精品解析：江西省南昌市第二中学教育集团万溪学校2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期阶段性学习质量检测初一数学试卷 说明：1．本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上做答，否则不给分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（ ） A. B. C. D. 2. 在、、、、3.1416、中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（　　） A. 7 B. 2 C. 5 D. 6 4. 如果P(a+b，ab)在第二象限，那么点Q (a，-b)在( ). A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 学习平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的． 观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小龙画平行线的依据有（ ） ①两直线平行，同位角相等； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 6. 自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案。斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，8，13，……画出螺旋曲线。在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作的圆弧，，…，得到一组螺旋线，连接，，，，得到一组螺旋线，如图所示。已知点，，的坐标分别为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 把命题“相等的角是对顶角”改写成“如果…，那么…”的形式是_____． 8. 利用计算器，得，，，．按此规律，可得的值约为________（精确到0.01）． 9. 将P点向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为__________． 10. 如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则________． 11. 已知点、，且轴，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为______． 12. 如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、解方程： （1）； （2）． 14. 如图，直线、相交于点O，平分，平分，，求和的度数． 15. 已知点，解答下列各题： （1）若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标： （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 16. 如图，，点，分别在，上，点在，之间，连接，，且．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在图1中作，且． （2）如图2，，作．且． 17. 如图，点A，B分别在x轴和y轴上，已知，，点C在第四象限且到两坐标轴的距离都为2． （1）求三角形的面积； （2）点D为与x轴的交点，运用（2）中的结论求点D的坐标． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知，． （1）求证：． （2）若平分，，求的度数． 19. 阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． （1）计算的值； （2）下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ （3）计算：______． 20. 如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． （1）如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； （2）若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分是 ，小数部分是 ． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 22. 已知． （1）如图1，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，平分，平分，，请利用（1）的结论求的大小； （3）如图3，平分，平分，两角平分线交于点，结合（1）的结论求与的关系． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在平面直角坐标中，点，满足． （1）直接写出结果：点A坐标为 ，点B坐标为 ； （2）点C是线段上一点，满足，点E是第四象限中一点，连接，使得，点F是线段上一动点，连接交于点D，当点F在线段上运动时，是否为定值？如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由； （3）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从A点出发以每秒1个单位长度的速度向下匀速移动，Q点从O点出发以每秒2个单位长度的速度向右匀速移动，点是线段上一点，设运动时间为秒，当时， ①求此时t的值； ②此时是否存在点，使得，若存在，请直接写出H的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期阶段性学习质量检测初一数学试卷 说明：1．本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上做答，否则不给分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平移的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知，C选项的图案是通过平移得到的； A、B、D中的图案不是平移得到的； 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握图案的平移进行解题． 2. 在、、、、3.1416、中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及，等有这样规律无限不循环的数．由此即可判定无理数个数． 【详解】解：∵=7，是开方开不尽的数. ∴无理数是：，共2个． 故选B． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数． 3. 如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（　　） A. 7 B. 2 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短进行分类讨论即可得到答案． 【详解】解：根据题意可画图如下： ∵，， ∴的最小值为3， 根据题意分类讨论： 当时，射线上不存在满足条件的点； 当时，射线上存在一个点； 当时，射线上存在两个点； 当时，射线上存在一个点； 结合选项时，在射线上只存在一个点， 故选：A． 【点睛】本题考查垂线段最短，熟练运用垂线段最短，能够根据题意进行分类讨论是解此题的关键． 4. 如果P(a+b，ab)在第二象限，那么点Q (a，-b)在( ). A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据第二象限内点的坐标特征求出a、b的正负情况，然后对点Q的坐标进行判断即可． 【详解】∵P（a+b，ab）在第二象限， ∴a+b＜0，ab＞0， ∴a＜0，b＜0， ∴-b＞0， ∴点Q（a，-b）在第二象限． 故选B． 【点睛】本题考查了每个象限中横纵坐标的特点，难度适中．解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负． 5. 学习平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的． 观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小龙画平行线的依据有（ ） ①两直线平行，同位角相等； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件由③∠3=∠1可得AB∥CD，由④∠4=∠2，可得AB∥CD． 【详解】解：第一次折叠后，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（4）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直； ∵AB⊥m，CD⊥m， ∴∠1=∠2=∠3=∠4= 90°， ∵∠3=∠1， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故③正确； ∵∠4=∠2， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故④正确； 综上分析可知，正确的是①②，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，关键是掌握平行线的判定定理． 6. 自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案。斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，8，13，……画出螺旋曲线。在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作的圆弧，，…，得到一组螺旋线，连接，，，，得到一组螺旋线，如图所示。已知点，，的坐标分别为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查在平面直角坐标系中的点的坐标规律，根据图中点的位置，找出规律，利用平移的特点，依次求出各个点的坐标，即可得出答案． 【详解】解：观察发现： )先向右平移个单位，再向上平移个单位得到 ； )先向右平移个单位，再向下平移个单位得到； )先向左平移个单位，再向下平移个单位得到； )先向左平移个单位，再向上平移个单位得到； )先向右平移个单位，再向上平移个单位得到； 根据斐波那契数，应先向右平移个单位，再向下平移个单位得到 ； 故选： D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 把命题“相等的角是对顶角”改写成“如果…，那么…”的形式是_____． 【答案】如果两个角相等，那么两个角是对顶角． 【解析】 【分析】对顶角相等的条件是两个角是对顶角，结论是两角相等，据此即可改写成“如果…，那么…”的形式． 【详解】解：∵原命题的条件是：“相等的角”，结论是：“这两个角是对顶角”， ∴命题“相等的角是对顶角”写成“如果，那么”的形式为：“如果两个角相等，那么两个角是对顶角” 故答案为如果两个角相等，那么两个角是对顶角． 【点睛】本题考查了确定一个命题的条件与结论的方法是首先把这个命题写成：“如果…，那么…”的形式，难度适中． 8. 利用计算器，得，，，．按此规律，可得的值约为________（精确到0.01）． 【答案】 【解析】 【分析】本题是算术平方根的计算．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9. 将P点向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，根据上加下减平移规律得到平移坐标，根据点Q在x轴上，得到，计算即可，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵将P点向上平移2个单位到Q点， ∴， ∵点Q在x轴上， ∴， ∴， ∴P点坐标为． 故答案为： 10. 如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，由翻折变换的性质可知，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴． 11. 已知点、，且轴，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同得到，则，可得、，再分当点M在线段上时，当点M在线段延长线上时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵、，且轴， ∴， ∴， ∴、， ∵点P为直线上一点， ∴可设点P的坐标为， 当点M在线段上时， ∵， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 当点M在线段延长线上时， ∵， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或， 故答案为：或． 12. 如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分类讨论，第一种情况：如图，当点在上时，过点作，当时；当时；第二种情况：当点在外时，过点作，当时；当时；根据平行线的性质，图形结合即可求解． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ，， ， 当时， 设，则， ，， ， ，解得：， ； 当时， 设，则， ，， ， ，解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ，， ， 当时， 设，则， ，， ， ，解得：， ； 当时，由图可知，，故不存在这种情况； 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查图形变换，掌握平行线的判定和性质，平移的性质，角度的和差计算方法的综合是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）7 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，利用平方根解方程，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据算术平方根定义，立方根定义，绝对值意义，进行求解即可； （2）先将方程进行变形，然后开平方即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴或． 14. 如图，直线、相交于点O，平分，平分，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了相交线，角平分线，熟练掌握角平分线定义，邻补角定义，对顶角性质，是解决问题的关键．根据角平分线的定义得到，根据得到，，，由对顶角的性质得到，，根据角平分线的定义得到，即可得到结论． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， ． 15. 已知点，解答下列各题： （1）若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标： （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】（1） （2）的值为 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，实数的运算，熟知相关知识是解题的关键． （1）平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，则，解方程求出a的值即可得到答案； （2）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，则，第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，则，据此求出a的值即可得到答案． 【小问1详解】 解；∵直线轴， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ，， ， ， ∴原式． 16. 如图，，点，分别在，上，点在，之间，连接，，且．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在图1中作，且． （2）如图2，，作．且． 【答案】（1） 如图，为所求． （2） 如图，为所求． 【解析】 【分析】本题考查几何作图，平行线的判定及性质，垂直的定义． （1）延长交于点M，由可得，即为所求； （2）延长至点N，由得到，过点P作，由得到，则，，进而根据得到，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，点A，B分别在x轴和y轴上，已知，，点C在第四象限且到两坐标轴的距离都为2． （1）求三角形的面积； （2）点D为与x轴的交点，运用（2）中的结论求点D的坐标． 【答案】（1）三角形的面积为7 （2）点D的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是掌握坐标系中三角形面积的多种求法． （1）由割补法求解； （2）根据先求，再求出即可． 【小问1详解】 解：三角形的面积为：； 【小问2详解】 解：∵三角形的面积为7， ∴， ，即， 解得：， ，即点D的坐标为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知，． （1）求证：． （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1） 证明：（邻补角的定义），（已知）， ． ． ． ， ． ． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意以及邻补角的定义得，运用内错角相等，两直线平行得，故，因为，所以，即可作答． （2）由（1）可知：，所以．结合角平分线的定义，即，因为，所以，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ， ． ∵平分， ． ， ． 19. 阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． （1）计算的值； （2）下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ （3）计算：______． 【答案】（1） （2）②，③ （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ②∵， ∴是“望一”数对； ③∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有②，是“望音”数对的有③． 【小问3详解】 解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 20. 如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． （1）如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； （2）若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质等，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）利用角平分线定义可得，由垂直定义可得，得出，再运用平行线性质即可得出答案； （2）过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 如图2，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； 【小问2详解】 如图，过点C作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分是 ，小数部分是 ． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、无理数的大小比较、相反数的概念，正确进行无理数的估算是解题的关键． （1）根据材料提示，即，由此即可求解； （2）根据材料提示可得，，代入计算即可求解； （3）根据材料提示可得的小数部分，由此可得的值，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵的整数部分为， ∴， ∵是整数，，且， ∴， ∴， ∴的相反数为． 22. 已知． （1）如图1，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，平分，平分，，请利用（1）的结论求的大小； （3）如图3，平分，平分，两角平分线交于点，结合（1）的结论求与的关系． 【答案】（1） 解：，理由如下： 如图：过点G作， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． （1）如图：过点G作， 易得，由平行线的性质可得，然后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线定义可得，设，则、；结合（1）的结论可得、，再结合可得，同理可得，然后代入数据即可解答； （3）由角平分线定义可得，设，则、；结合（1）的结论可得、，进而得到、，然后观察即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，平分， ∴， 设，则， 由（1）的结论可得：，， ∵ ∴，解得：， ∴． 【小问3详解】 ，理由如下： ∵平分，平分， ∴， 设，则， 由（1）的结论可得：，， ∴，， ∴ ． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在平面直角坐标中，点，满足． （1）直接写出结果：点A坐标为 ，点B坐标为 ； （2）点C是线段上一点，满足，点E是第四象限中一点，连接，使得，点F是线段上一动点，连接交于点D，当点F在线段上运动时，是否为定值？如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由； （3）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从A点出发以每秒1个单位长度的速度向下匀速移动，Q点从O点出发以每秒2个单位长度的速度向右匀速移动，点是线段上一点，设运动时间为秒，当时， ①求此时t的值； ②此时是否存在点，使得，若存在，请直接写出H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）是，2 （3）①或4；②存在，，，， 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题； （2）过D做，根据平行线的性质及已知，得，同理可证，，即可得出结果； （3）①由题可得，，，根据当时，，解方程即可得出结果，②分当时，若H位于的下方，当时，若H位于OG的下方两种情况讨论，分别作图分析解答即可． 【小问1详解】 解：∵， 又∵，， ∴，． ∴，． ∴，． 【小问2详解】 解：的值不会发生改变，且． 理由如下： 如图，过D做，则． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ， ∴． 同理可证，． ∴． 【小问3详解】 解：如图，由题可得，，． ∴，． ①当时，． ∴或4． ②当时，若H位于的下方，则如图， ， ∵， ∴， ∴． 若H位于OG的上方，则如图， ， ∵， ∴， ∴． 当时，若H位于OG的下方，则如图， ， ∵， ∴， ∴． 若H位于OG的上方，则如图， ， ∵， ∴， ∴． 综上，存在满足要求的H，坐标分别为，，，． 【点睛】本题属于三角形综合题、考查了非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $