1.1.2 空间向量的数量积运算 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积 2025/6/23 复习回顾 平面向量 空间向量 推广 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量， 任意两个空间向量的线性运算就可以转化为平面向量的线性运算. a b a b O A B 问题导入 问题1：上节课我们学习了空间向量的线性运算，除此之外，空间向量还有其它运算吗？ 问题2：在必修第二册中我们学习了平面向量的数量积运算，能否类比平面向量数量积得出空间向量数量积的定义与性质吗？ 问题3：学习平面向量的数量积时，学习了哪些内容？是如何学习的？ 复习回顾 平面向量的夹角： 范围：________ 定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 ＝a， ＝b，则_______＝θ 叫做向量a与b的夹角．记作: ________ ∠AOB 0≤θ≤π <a,b> O A B 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量， 因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 50° A B C 45° 85° 1.在△ABC中，已知A=45°，B=50°，C=85°，求下列向量的夹角： (1) 45° 130° 85° 45° 130° 85° (2) (3) 思考： 两个向量的夹角与两条直线的夹角有何区别？ 向量 与 之间的夹角θ的取值范围是[0, π], 注意: 必须共起点. 两直线夹角的范围 是不一样的. 可以平移实现. 复习回顾 向量有方向 新知探索 一、 空间向量的夹角 定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 ＝a， ＝b，则_______叫做向量a与b的夹角．记作: ________ ∠AOB <a,b> 平移到共起点！ O B A 范围：________________ 0≤ <a,b> ≤π 概念形成 与 反向 O A B 与 同向 O A B 记作 与 垂直， O A B 特殊情况： 一、 空间向量的夹角 两个向量的夹角唯一确定，且<a,b>=<b,a> = = B O A 概念形成 二、空间向量的数量积 规定：零向量与任意向量的数量积等于零. （1）定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos<a,b>叫做a，b的数量积． 即 【注意】 ②一种新的运算. ①“·”不能省略不写，也不能写成“×”. ③数量积a·b的结果是一个数，不是向量. 概念形成 夹角公式 概念形成 证明： 课堂练习 （1）已知 解： （2） 解： 由 ，得 ∵ ∴ . 知三求一 概念辨析 思考：向量的数量积是一个数，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 0°≤θ＜90° =90° 两个非零向量的数量积， 3.当 a·b=0时，夹角θ_______. 1.当 a·b>0时，夹角θ范围是_______________； 2.当 a·b<0时，夹角θ范围是_______________; 90°＜θ ≤180° ? 是非零向量 5. 4.=_______. =_______. 0 符号由夹角θ决定： （1）a·e＝e·a＝___________. （2）a⊥b⇔__________. （3）当a，b同向时，a·b＝_________； 当a，b反向时，a·b＝___________. （4）a·a＝_______或|a|＝_____. （5）|a·b|≤_______ 概念辨析 |a|cos θ　 a·b＝0　 |a||b|　 －|a||b|　 |a|2　 |a||b|　 以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题. 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 （垂直的判断） （求向量模长） （不等式） 新知探索 三、空间向量的数量积的运算律 与平面向量一样，空间向量的数量积也满足下列运算律： 解析： 是一个数乘向量, 与 共线, 也是一个数乘向量, 但与 共线, 两向量方向不一定相同, 所以不一定相等. 三、空间向量的数量积的运算律 新知探索 思考：等式(·)·=·(·) 是否成立, 为什么? 新知探索 三、空间向量的数量积的运算律证明 想一想,空间向量的投影如何定义？ 根据平面向量数量积的学习经验，为了研究数量积的运算律，需要定义向量的投影． 一、平面中的投影向量 复习回顾 新知探索 思考1 在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影. 类似地，空间中 向量 a如何向在向量 b 投影？ 二、空间中的投影向量 平移 共起点 作投影 O A C B 新知探索 思考1 在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影. 类似地，空间中 向量 a 在向量 b 上的投影有什么意义？ 向量 a 向直线 l 的投影呢？ 向量 a 向平面 β 的投影呢？ 二、空间中的投影向量 由于任意两个空间向量可以平移到同一个平面内，因此向投影,直线l,平面投影都是一致的。 向量在向量方向上的分量. 新知探索 二、空间中的投影向量 思考2 你能用向量 a 和向量 b 表示出投影向量吗？ 概念形成 二、空间中的投影向量 数量积的几何意义 课堂练习 1. 已知 ||=5, ||=4, 与的夹角 q=120º, 求· 及 在方向上的投影. 解: = 54cos120º = -10. 120 O C 在 方向上的投影为 =5cos120 新知探索 三、空间向量的数量积的运算律证明 新知探索 三、空间向量的数量积的运算律证明 证明：如图, O A B C A B D q2 q1 q3 =|OD|·|OC|, =|OA|·|OC| +|AD|·|OC| =|OD|·|OC|, 新知探索 三、空间向量的数量积的运算律证明 【巩固1 夹角公式应用】 【巩固2 求向量的数量积】 ①求数量积：目标向量用已知模和夹角的同起点向量表示 【巩固3 求线段的长度】 D' C' B' D A B C A' ②求线段长度：即求向量的模(目标向量用已知模和夹角的向量表示) 【巩固4 求异面直线的角】 ③求异面直线所成角：即求两向量的夹角或其补角(目标向量用已知模和夹角的向量表示,先求数量积,再除以模之积) ④证线线垂直：证明两向量的数量积为0 (目标向量用已知模和夹角的向量表示) (法1) (法2) 【巩固5 证明线线垂直】 课堂小结 找夹角时要先保证向量同起点. 展开代入 5.求投影向量 （1）阅读教材，记忆知识点 （2）完成配套的同步作业 作业布置 问题： 回顾之前学习向量线性运算的过程，我们都是按照怎样的路径 学习的？ 物理模型 性质 运算律 应用 路径： 概念 向量的加法 位移合成 力的合成 向量的数量积 ? 向量数量积 问题 ①在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生 位移s，那么力F所做的功 ，其中θ是F与s的夹角． 功是一个_____，它由力和位移两个向量来确定. 问题 ②功是一个矢量还是标量？它的大小由哪些量确定？ 这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. 标量 向量数量积 问题 如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？ 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念. 向量数量积 eq \r(a·a)　 $$