精品解析：黑龙江省双鸭山市第一中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

2024—2025学年度高二下学期月考 数学试卷 注：卷面分值：150分 时间：120分钟 出题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 已知命题若，则，则命题的否定为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率（=3.14159265358979323846264338327950288…）小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记为.设此函数定义域为A，值域为，则关于此函数，下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 值域 6. 已知都是非零实数，集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（ ） A. 自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积 B. 用一架两臂不等长的天平秤黄金，先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金大于10g C. 某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于 D. 两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不论物品价格升降，每次购买这种物品的数量都是一定的；第二种是不论物品价格升降，每次购买这种物品所花的钱数都是一定的．若两次购买时价格不同，则用第二种方式购买更实惠 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意的实数，函数恒有两个极值点 B. 设为的极值点，则 C. 当时，若在上有最大值，则 D. 若，则 11. 设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的一个周期是4 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________． 13. 等差数列的前项和为，且，，当 ________时，最大. 14. 已知曲线与曲线有且只有一条公切线，则________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知关于的不等式的解集为. （1）当时，求； （2）当时，求. 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知数列是由正数组成的等比数列，，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）数列的前n项和为，若，求实数的值． 18. 设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）证明：在上是凹函数； （3）已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 19. 设，定义为的“函数”. （1）设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程； （2）设为的“函数”. （ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围； （ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度高二下学期月考 数学试卷 注：卷面分值：150分 时间：120分钟 出题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再运用集合的交集定义求解即得. 【详解】由可得，即， 因，则. 故选：C. 2. 已知命题若，则，则命题的否定为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题得解. 【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题得： 命题：”若，则“的否定是：”若，则“. 故选：B 3. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出函数的平均变化率和瞬时变化率，解方程可得结果. 【详解】易知平均变化率为， 可得，瞬时变化率为， 因此，解得. 故选：A 4. 若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式性质先将化成.对于A，B，运用作差比较法即可判断；对于C，利用基本不等式可推得，故可判断C正确；对于D，通过举反例即可判断结论错误. 【详解】由可得. 对于A，因，则，故，即A正确； 对于B，因，由可得，故B正确； 对于C，因，则，故， 当且仅当时等号成立，因，故，则C正确； 对于D，不妨取，显然满足，但，即D错误. 故选：D. 5. 在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率（=3.14159265358979323846264338327950288…）小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记为.设此函数定义域为A，值域为，则关于此函数，下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 值域 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域、值域的定义以及函数的对应关系，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】A、定义域为正整数集，不是正整数，故，A正确； B、值域是小数点后每一位的数字（到的整数），而是小数，并非单个数字，故，B错误； C、，小数点后第位是，即，C正确； D、小数点后每位数字是到的自然数，即，D正确. 故选：B. 6. 已知都是非零实数，集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，进行赋值说明此时A≠B，然后根据“M⇒N，M是N的充分不必要条件，N是M的必要不充分条件”，进行判定即可． 【详解】解：∵ ∴取a1＝1，a2＝﹣1，b1＝﹣1，b2＝1，A≠B 而A＝B⇒ ∴“”是“”的的充分不必要条件 故选A． 【点睛】本题主要考查了以不等式为载体考查两集合相等的充要条件，以及赋值法的运用，属于基础题． 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设条件可得是周期为4的周期函数，结合给定区间解析式，利用周期性、奇偶性求的值. 【详解】由题意，在上的奇函数，且，得， ∴，则，即， ∴，即是周期为4的周期函数， 当时，，则. 故选：B. 8. 设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件特征，构造函数，由函数的奇偶性和单调性性质可确定，的关系，再结合等差数列前n项和公式及其性质求解即可. 【详解】构造函数，， 则， 所以是奇函数，又与是增函数， 所以是上的增函数， 又， ， 所以即，且即， 又是等差数列的前n项和， 所以. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（ ） A. 自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积 B. 用一架两臂不等长的天平秤黄金，先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金大于10g C. 某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于 D. 两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不论物品价格升降，每次购买这种物品的数量都是一定的；第二种是不论物品价格升降，每次购买这种物品所花的钱数都是一定的．若两次购买时价格不同，则用第二种方式购买更实惠 【答案】ABD 【解析】 【分析】由圆与正方形的面积公式即可判断A，由基本不等式即可判断BC，由作差法比较大小即可判断D 【详解】对于选项A：设周长为，则圆的面积为， 正方形的面积为，因为，，可得，即， 故A正确； 对于选项B：设左右臂长，，则，所以， 顾客购得的黄金，故B正确； 对于选项C：设这两年的平均增长率为， 则，可得， 因为，即， 当且仅当，即时，等号成立， 即这两年的平均增长率不大于，故C错误； 对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为元/kg，购n kg， 第二次购物时的价格为元/kg，购n kg，两次购物的平均价格为； 若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购kg物品， 第二次仍花元钱，能购物品，两次购物的平均价格为． 比较两次购的平均价格： ， 当且仅当时，等号成立，所以两次价格不同时， 第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格， 因而用第二种策略比较经济，故D正确. 故选：ABD． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意的实数，函数恒有两个极值点 B. 设为的极值点，则 C. 当时，若在上有最大值，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数的导数，由结合韦达定理求解判断AB；把代入求出极值点判断C；按给定等式计算判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于A，，函数恒有两个变号零点，函数恒有两个极值点，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，，当或时，， 当时，，因此分别是的极大值点和极小值点， 由在上有最大值，得，C错误； 对于D， ，则，D错误. 故选：AC 11. 设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的一个周期是4 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用抽象函数及导数的运算判断函数的图象关于点对称，从而可得的图象关于对称，所以是周期函数，4是一个周期，可判断A、B、C项；因为，且，所以，所以，可判断D项. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于中心对称， 两边求导得：， 所以的图象关于对称， 因为，所以； 所以，又，所以， 所以函数的图象关于点对称； 所以的图象关于对称，故B正确； 所以，即， 又，所以，即， 所以，所以是周期函数，且4是一个周期， 又因为，所以， 所以是周期函数，且4是一个周期，故C正确； 因为为奇函数，所以过，所以， 令，代入，可得，故A错误； 令代入，可得， 令，代入，可得， 又因为的周期为4，所以，所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛： 1.若，则关于对称，两边同时求导得：，则关于中心对称； 2.若，则关于中心对称，两边同时求导得：，则关于对称； 3.若，则为周期函数且周期为； 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，不等式为，显然成立，符合题意； 当时，则，解得. 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：. 13. 等差数列的前项和为，且，，当 ________时，最大. 【答案】6或7 【解析】 【分析】 由题意利用等差数列的性质，可求得，，所以，再利用二次函数的图像与性质求得当取得最大值时，的值 【详解】解：因为，所以，化简得， 所以， 因为，所以， 所以， 它的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为， 因为，所以当或时，取得最大值， 故答案为：6或7 14. 已知曲线与曲线有且只有一条公切线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设公切线的切点坐标，根据导数的几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出后，构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求. 【详解】设曲线在处的切线与曲线相切于处， ，故曲线在处的切线方程为， 整理得. ，故曲线在处的切线方程为， 整理得. 故 由(1)再结合知，将(1)代入(2) ，得， 解得且， 将代入(1) ，解得且， 即且，令，则，. 令，， 则在区间单调递增，在区间单调递减，且， 又两曲线有且只有一条公切线，所以只有一个根，由图和知. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知关于的不等式的解集为. （1）当时，求； （2）当时，求. 【答案】(1) (2)①当时，； ②当时，； ③当时，. 【解析】 【分析】（1）直接解一元二次不等式得M;（2）对a分类讨论解一元二次不等式. 【详解】（1）由题得，所以不等式的解集为， 故M= . （2）①当时，此时关于的不等式为，； ②当时，此时； ③当时，此时. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出集合，再根据并集的定义即可得解； （2）根据题意是的真子集，根据集合的关系求解参数的取值范围． 【小问1详解】 ∵当时，，， ∴； 【小问2详解】 ∵，∴， 由是的充分不必要条件得是的真子集， 若，则，解得，满足是的真子集，符合题意； 当时，，满足是的真子集，符合题意； 当时，，得，解得， 综上可得：， 故实数的取值范围为：． 17. 已知数列是由正数组成的等比数列，，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）数列的前n项和为，若，求实数的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由，，成等差数列，列方程可求出公比，从而可求出数列的通项公式； （2）由（1）可得，然后利用分组求和的方法求出，再与对比，可求出实数的值 【详解】解：（1）∵，，成等差数列， ∴，∴． ∵，∴． ∴． （2）由（1）知，，，∴． ∴．∴． 18. 设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）证明：在上是凹函数； （3）已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是，值域为； （2）设，，， 则 ， ∴， ∴当时，是凹函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设描述的性质写出单调区间，再由单调性求最值，即可得值域； （2）根据凹函数的定义，应用作差法比较大小证明结论； （3）根据题设求出的值域，将问题化为的值域为的值域的子集，求参数值. 【小问1详解】 由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以，又，， 所以，所以， 所以在上的值域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 设，，，则，， 由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为， 当，即时，单调递增，所以递增区间为， 由，，，得的值域为， 因为为减函数，所以，， 根据题意，的值域为的值域的子集， 从而有，所以. 19. 设，定义为的“函数”. （1）设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程； （2）设为的“函数”. （ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围； （ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：由题， 设，抛物线的对称轴为直线， 因为方程有两个正根，，所以，解得， 由题意知，得. 因为，，所以， ， 令， 则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以， 由，，得， 因为，所以，所以，则， 所以，所以，所以， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据新定义确定的解析式，求导利用导数的几何意义求解； （2）（ⅰ）求导，并根据极值的定义判断求解；（ⅱ）根据题意得方程有两个正根，，由韦达定理可得，且，求出，构造函数，利用导数求出最大值得证. 【小问1详解】 由题意，得，则，所以切点为， 又因为，所以， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 （ⅰ）由题，可得，定义域为， 则， 因为是的极小值点，则， 则 ， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极大值点，不满足题意； 若，则， 所以在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，的取值范围为. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $