第11讲 一元二次方程的应用（1）（3大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第11讲 一元二次方程的应用（1）（3大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：3大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：二次三项式的因式分解 （1）形如的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：． 知识点02：数字问题 多位数的表示：任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成。数位从右至左依次是个位、十位、百位等，数位上的单位从右至左依次为 1、10、100 等。数位上的数字只能是 0-9 之中的数，且最高位上的数不能为 0。例如，一个三位数，个位上数为 a，十位上数为 b，百位上数为 c，则这个三位数可表示为 100c + 10b + a。 连续整数、偶数或奇数问题：几个连续整数中，相邻两个整数相差 1。如三个连续整数，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 1，x + 1。几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差 2。如三个连续偶数（奇数），设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 2，x + 2。 解决数字问题时，通常先根据题目条件设出合适的未知数，再依据数字之间的关系找出等量关系，进而列出一元二次方程求解，最后要检验所得的解是否符合实际情况，如数字是否在合理范围内等。 知识点03：增长率问题 增长率：增加量占起始量的百分比，若起始量为q，终极量为p，增长率为x，则增长一次后p=q(1+x)。 连续增长率公式：连续增长两次，公式为p=q(1+x)² 若x>0，表示增长；若x<0，表示降低，此时公式变为p=q(1−x)²，常用于计算降低率问题。 【题型1 二次三项式的因式分解】 【例1-1】若方程的两个根是，，则在实数范围内分解因式____________． 【例1-2】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）将二次三项式在实数范围内分解因式，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【例1-3】将在实数范围内分解因式___________． 【例1-4】在实数范围内分解因式： （1）； （2）． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海·期中）把二次三项式因式分解，下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）在实数范围内因式分解： ． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解： ． 【变式1-4】在实数范围内分解因式： （1）； （2）． 【变式1-5】在实数范围内因式分解：2x2﹣3xy﹣3y2． 【题型2数字问题】 【例2-1】（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ． 【例2-2】有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数． 【例2-3】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数． 【变式2-1】已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ． 【变式2-2】已知两个连续奇数的积是，求这两个数． 【变式2-3】一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 【题型3增长率问题】 【例3-1】某钢铁厂去年月份钢的产量为吨，月份上升到吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？ 【例3-2】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）某种型号的优盘经过两次降价后，每只由原来的200元下降至128元，则这种型号的优盘平均每次降价的百分率为 ． 【例3-3】甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为元的商品，甲超市连续两次降价；乙超市一次性降价；丙超市第一次降价，第二次降价，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是哪家？ 【例3-4】某商场今年一月份销售额万元，二月份销售额下降，进入月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率． 【变式3-1】（24-25八年级上·上海徐汇·期末）某地区空气污染的年平均值前年为，经过两年的治理，今年为，如果设污染的年平均值，每年的降低率均为x，列出关于x的方程： ． 【变式3-2】随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，计划年底，全省基站数量将达到万座，到年底，全省基站数量将达到万座．按照计划，求年底到年底，全省基站数量的年平均增长率． 【变式3-3】（22-23八年级上·上海静安·期中）2010年，某市楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价销售。经过连续两年下调后，2012年的均价为每平方米5265元，求平均每年下调的百分率． 【变式3-4】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海·期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司年缴税万元，年缴税万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在实数范围内分解因式： ． 5．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）在实数范围内分解因式： ． 6．（24-25八年级上·上海闵行·期中）在实数范围内因式分解： ． 7．（24-25八年级上·上海崇明·期中）在实数范围内因式分解： ． 8．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ． 9．（24-25八年级上·上海普陀·期末）某新能源汽车品牌2022年在国内的销量为10万辆，2024年销量达到了19.6万辆，如果该品牌汽车销量的年增长率均为x，那么可列方程为 ． 10．（24-25八年级上·上海·期末）某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为128元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是，那么可以列出方程 ． 11．（24-25八年级上·上海闵行·期中）某地年月份的房价平均每平方米为元，该地年同期的房价平均每平方米为元，假设这两年该地房价的平均增长率均为，则可列关于的方程为： ． 12．（24-25八年级上·上海·阶段练习）2023年工厂的生产总值为1000万元，估计2025年三年的生产总值之和为3333万，设这两年的平均增长率为，请列出方程： ． 13．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一辆汽车的新车购买价为20万元，每年的年折旧率为，如果在购买后的第二年年末，这辆车折旧后的价值为12.8万元，那么这个x的值是 ． 14．（24-25八年级上·上海闵行·期中）2024年世界互联网大会乌镇峰会将于11月19日至22日在中国乌镇举办．本次峰会将全面聚焦人工智能，目前人工智能技术涵盖基础学习类、语言处理类、视觉处理类和其他技术类等几大领域某高校开设了人工智能相关选修课程（一年修满学分），已知2022年和2024年分别报名学生100人和169人，2022年、2023年和2024年每年的报名人数平均增长率相同，那么这个年平均增长率是 ． 三、解答题 15．一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数． 16．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某种型号的优盘经过两次降价后，每只由原来的元下降至元，求这种型号的优盘平均每次降价的百分率． 17．（22-23八年级上·上海长宁·期中）学校阅览室每天中午放学时间都向师生开放．据统计，第一个月进阅览室128人次，若进阅览室人次逐月增加，且月平均增长率相同，预计到第三个月末累计进阅览室608人次．求进阅览室人次的月平均增长率． 18．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）一种笔记本电脑，原来的售价是元，经过连续两年的降价，今年每台售价为元，每年降价的百分率相同． (1)年降价的百分率是多少？ (2)小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？ 19．（24-25八年级上·上海·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一天进馆人次，进馆人数逐日增加，到第三天结束累计进馆人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 一元二次方程的应用（1）（3大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：3大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：二次三项式的因式分解 （1）形如的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：． 知识点02：数字问题 多位数的表示：任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成。数位从右至左依次是个位、十位、百位等，数位上的单位从右至左依次为 1、10、100 等。数位上的数字只能是 0-9 之中的数，且最高位上的数不能为 0。例如，一个三位数，个位上数为 a，十位上数为 b，百位上数为 c，则这个三位数可表示为 100c + 10b + a。 连续整数、偶数或奇数问题：几个连续整数中，相邻两个整数相差 1。如三个连续整数，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 1，x + 1。几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差 2。如三个连续偶数（奇数），设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 2，x + 2。 解决数字问题时，通常先根据题目条件设出合适的未知数，再依据数字之间的关系找出等量关系，进而列出一元二次方程求解，最后要检验所得的解是否符合实际情况，如数字是否在合理范围内等。 知识点03：增长率问题 增长率：增加量占起始量的百分比，若起始量为q，终极量为p，增长率为x，则增长一次后p=q(1+x)。 连续增长率公式：连续增长两次，公式为p=q(1+x)² 若x>0，表示增长；若x<0，表示降低，此时公式变为p=q(1−x)²，常用于计算降低率问题。 【题型1 二次三项式的因式分解】 【例1-1】若方程的两个根是，，则在实数范围内分解因式____________． 【答案】． 【解析】如果一元二次方程的两个根是和，那么二次三项式可分解为：． 【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解． 【例1-2】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）将二次三项式在实数范围内分解因式，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】因式分解的应用、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可． 【详解】解：令， 解得：， 所以， 故选：A． 【例1-3】将在实数范围内分解因式___________． 【答案】4． 【解析】因为方程的两个根为：，，所以=4． 【总结】考查如果一元二次方程的两个根是和，那么二次三项式 可分解为：． 【例1-4】在实数范围内分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海·期中）把二次三项式因式分解，下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解的应用、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程和在实数内分解因式，能求出方程的解是解此题的关键．先把y看出已知数求出关于x的方程的解，再分解因式即可． 【详解】解：， ， 则， 所以， 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、实数范围内分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，令，求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：令， 解得或， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、实数范围内分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，把y看做常数，解关于x的一元二次方程，求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：当时， 令， ∴， ∴， 解得或， ∴， 故答案为：． 【变式1-4】在实数范围内分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】如果一元二次方程的两个根是和，那么二次三项式 可分解为：． 【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解． 【变式1-5】在实数范围内因式分解：2x2﹣3xy﹣3y2． 【答案】2（x﹣）（x﹣）． 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】令原式为0求出x的值，即可确定出因式分解的结果. 【详解】解：当2x2﹣3xy﹣3y2＝0时，x＝， 所以2x2﹣3xy﹣3y2＝2(x﹣)(x﹣)． 【点睛】本题考查的是公式法因式分解.先把二次项系数提出，再用x分别减去方程的两根. 【题型2数字问题】 【例2-1】（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ． 【答案】10和12 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这两个连续正偶数分别为，，且，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设这两个连续正偶数分别为，，且， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， 所以， 所以，这两个数是10和12． 故答案为：10和12． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意正确列出一元二次方程是解题关键． 【例2-2】有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数． 【答案】36． 【解析】设个位数字为，则十位数字是． 根据题意可得：， 整理得：， ，解得：，（不是整数，舍去）． 答：这个两位数为36． 【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题． 【例2-3】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数是35或53． 【解析】设个位数字为，则十位数字是． 根据题意可得：，整理得：． 分解得：， 解得：，． 答：原来的两位数是35或53． 【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题． 【变式2-1】已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ． 【答案】84 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可． 【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为： x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 解得：x1＝8，x2＝1.5（舍）， ∴x﹣4＝4， ∴10x+（x﹣4）＝84． 答：这个两位数为84． 故答案为：84 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【变式2-2】已知两个连续奇数的积是，求这两个数． 【答案】17，19或． 【解析】解：设这两个连续奇数为，则 ， 整理得：， 解得：， 所以． 答：这两个数是17，19或． 【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题． 【变式2-3】一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 【答案】16或49 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设一位数为，则两位数为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】设一位数为，则两位数为． 则根据题意可得：，   整理得：． 分解得：， 解得：，． 答：这个两位数为16或49． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把一个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，可以表示为；把一个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数，可以表示为，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键． 【题型3增长率问题】 【例3-1】某钢铁厂去年月份钢的产量为吨，月份上升到吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？ 【答案】20％ 【解析】设这两个月平均每月增长的百分率是， 则根据题意可得：， 解：（负值舍去）． 答：这两个月平均每月增长的百分率是20％． 【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决增长率的问题． 【例3-2】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）某种型号的优盘经过两次降价后，每只由原来的200元下降至128元，则这种型号的优盘平均每次降价的百分率为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设这种型号的优盘平均每次降价的百分率为，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设这种型号的优盘平均每次降价的百分率为， 根据题意得：， ， ， ，（不合题意，舍去）， 答：这种型号的优盘平均每次降价的百分率为． 故答案为： 【例3-3】甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为元的商品，甲超市连续两次降价；乙超市一次性降价；丙超市第一次降价，第二次降价，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是哪家？ 【答案】乙 【解析】甲超市：； 乙超市：； 丙超市：． 【总结】本题主要考查降低率的问题． 【例3-4】某商场今年一月份销售额万元，二月份销售额下降，进入月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率． 【答案】20％ 【解析】三、四月份平均每月销售额增长的百分率是， 则根据题意可得：， 解：（负值舍去）． 答：三、四月份平均每月销售额增长的百分率是20％． 【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决增长率的问题． 【变式3-1】（24-25八年级上·上海徐汇·期末）某地区空气污染的年平均值前年为，经过两年的治理，今年为，如果设污染的年平均值，每年的降低率均为x，列出关于x的方程： ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，设污染的年平均值，每年的降低率均为x，再根据“某地区空气污染的年平均值前年为，经过两年的治理，今年为”列出一元二次方程即可． 【详解】解：设污染的年平均值，每年的降低率均为x， 由题意可得：， 故答案为：． 【变式3-2】随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，计划年底，全省基站数量将达到万座，到年底，全省基站数量将达到万座．按照计划，求年底到年底，全省基站数量的年平均增长率． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设年底到年底，全省基站数量的年平均增长率为，则到年底全省基站数量为万座，到年底全省基站数量为万座，根据到年底全省基站数量将达到万座可列一元二次方程，解方程即可求出平均增长率． 【详解】解：设年底到年底，全省基站数量的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：年底到年底，全省基站数量的年平均增长率为． 【变式3-3】（22-23八年级上·上海静安·期中）2010年，某市楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价销售。经过连续两年下调后，2012年的均价为每平方米5265元，求平均每年下调的百分率． 【答案】平均每年下调的百分率为 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据题意，设平均每年下调的百分率为，则得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设平均每年下调的百分率为，则， ， 直接开平方得，则（由于百分率不大于1，舍去）或， 答：平均每年下调的百分率为． 【点睛】本题考查二次函数解实际应用题，读懂题意，掌握平均增长率（下降率）是解决问题的关键． 【变式3-4】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）该生产线日产量的增长率，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据题意求出第四试验阶段日产量，将其与2500件比较后即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，有理数的运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：该生产线日产量的增长率， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该生产线日产量的增长率为； （2）解：能，理由如下： 依题意，（件）． 他们的目标能实现． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即．若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，，计算各选项中的值，根据的符号判断即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率的计算方法是解题的关键； 根据每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元，表示之后两个月的产值，然后已知第三季度的总产值，列方程即可． 【详解】解：∵每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元， ∴八月份产值为， 九月份产值为， ∵计划第三季度共创产值484万元， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级上·上海·期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司年缴税万元，年缴税万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设年平均增长率是，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设年平均增长率是， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴年平均增长率是， 故选：C． 二、填空题 4．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．先令，求出，然后写出结果即可． 【详解】解：令， 解得：， ∴在实数范围内分解因式：． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了因式分解，解一元二次方程，正确的解一元二次方程是解题的关键． 先解方程，再写成因式分解的形式即可． 【详解】解：令， ∴， 则， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·上海闵行·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解的应用 【分析】本题考查在实数范围内分解因式和解一元二次方程，先求出方程的根，再分解因式即可．能求出一元二次方程的解是解此题的关键． 【详解】解：， 此时，，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海崇明·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查在实数范围内因式分解，先令，利用求根公式求出两个根，根据分解即可． 【详解】解：令， ， ， ， ∴， 故答案为：． 8．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ． 【答案】23 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设十位上的数为x，则个位上的数位，十位上的数的平方比个位上的数也大1，再建立方程求出其解就可以得出结论． 【详解】解：设原两位数的十位数字为x， 根据题意得： ∴， 解得：，（不符合题意舍去） 答：这个两位数为23， 故答案为23． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 9．（24-25八年级上·上海普陀·期末）某新能源汽车品牌2022年在国内的销量为10万辆，2024年销量达到了19.6万辆，如果该品牌汽车销量的年增长率均为x，那么可列方程为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据平均增长率的等量关系：，结合实际问题，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海·期末）某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为128元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是，那么可以列出方程 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据平均变化率的等量关系，增长为加，降低为减，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故答案为： 11．（24-25八年级上·上海闵行·期中）某地年月份的房价平均每平方米为元，该地年同期的房价平均每平方米为元，假设这两年该地房价的平均增长率均为，则可列关于的方程为： ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用—增长率，一般用增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），如果设房价平均每年的增长率为根据题意即可列出方程．解题的关键是掌握增长率的公式：一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 【详解】解：设这两年该地房价的平均增长率均为， 依题意，得：． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·上海·阶段练习）2023年工厂的生产总值为1000万元，估计2025年三年的生产总值之和为3333万，设这两年的平均增长率为，请列出方程： ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故答案为：． 13．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一辆汽车的新车购买价为20万元，每年的年折旧率为，如果在购买后的第二年年末，这辆车折旧后的价值为12.8万元，那么这个x的值是 ． 【答案】0.2 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据“新车购买价为20万元，购买之后的第二年年末折旧后的价值为12.8万元”列方程求解即可． 本题考查一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】设每年的年折旧率为x，根据题意，得 ， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故答案为：0.2． 14．（24-25八年级上·上海闵行·期中）2024年世界互联网大会乌镇峰会将于11月19日至22日在中国乌镇举办．本次峰会将全面聚焦人工智能，目前人工智能技术涵盖基础学习类、语言处理类、视觉处理类和其他技术类等几大领域某高校开设了人工智能相关选修课程（一年修满学分），已知2022年和2024年分别报名学生100人和169人，2022年、2023年和2024年每年的报名人数平均增长率相同，那么这个年平均增长率是 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设年平均增长率是，根据题意列出方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率是， 根据题意列方程：，即， 解得：（不合题意，舍去），， 故答案为：． 三、解答题 15．一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数． 【答案】或 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设个位数字为，则十位数字是．再建立方程，再解方程即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字是．根据题意可得： ， 整理得：． 分解得：，         解得：，． 答：原来的两位数是或． 【点睛】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题，确定相等关系列方程是解本题的关键． 16．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某种型号的优盘经过两次降价后，每只由原来的元下降至元，求这种型号的优盘平均每次降价的百分率． 【答案】这种型号的优盘平均每次降价的百分率为 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设这种型号的优盘平均每次降价的百分率为，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设这种型号的优盘平均每次降价的百分率为， 根据题意得： ，（不合题意，舍去）， 答：这种型号的优盘平均每次降价的百分率为． 17．（22-23八年级上·上海长宁·期中）学校阅览室每天中午放学时间都向师生开放．据统计，第一个月进阅览室128人次，若进阅览室人次逐月增加，且月平均增长率相同，预计到第三个月末累计进阅览室608人次．求进阅览室人次的月平均增长率． 【答案】进阅览室人次的月平均增长率为． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进阅览室的人次，再根据到第三个月末累计进阅览室608人次，列方程求解． 【详解】解：设进阅览室人次的月平均增长率为， 根据题意，得： 解得；（舍去）． 答：进阅览室人次的月平均增长率为． 【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题． 18．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）一种笔记本电脑，原来的售价是元，经过连续两年的降价，今年每台售价为元，每年降价的百分率相同． (1)年降价的百分率是多少？ (2)小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？ 【答案】(1) (2)元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的售价为元，第二次的降价后的售价为元，根据题意可列出方程，据此求解即可． （2）用现价减去去年的价格即可求解． 【详解】（1）解：设每年降价的百分率是，根据题意可得： ， 解得，舍去 答：每年降价的百分率为． （2）解：， 答：他多付了元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题，有理数的混合计算的应用，关键是会根据增长率列出式子，再找到等量关系列出方程． 19．（24-25八年级上·上海·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一天进馆人次，进馆人数逐日增加，到第三天结束累计进馆人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 【答案】(1)进馆人次的日平均增长率为 (2)校图书馆能接纳第四天的进馆人次，理由见解析 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确找出等了关系是解题的关键． （1）设进馆人次的日平均增长率为，先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程求解； （2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可． 【详解】（1）解：设进馆人次的日平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 进馆人次的日平均增长率为； （2）第四天的进馆人次为：（人）， ， 校图书馆能接纳第四天的进馆人次． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$