第09讲 一元二次方程的求根公式及解法综合（2知识点+2大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第09讲 一元二次方程的求根公式及解法综合 （2知识点+2大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：2大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：一元二次方程求根公式 1、 公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：．对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 2、 求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． 3、 用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 知识点02：一元二次方程解法综合 1 开平方法：形如及的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程． 2 因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若，则或． 3 配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解 即：，再用开平方法求解． 4 公式法：用求根公式解一元二次方程 一元二次方程，当时，有两个实数根： 【题型1 求根公式法解一元二次方程】 【例1-1】用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），则，则， ∴； （2），则，则，∴． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用． 【例1-2】用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）方程无实数解；（2）方程无实数解． 【解析】（1），则，方程无实数解； （2），则，方程无实数解． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用． 【例1-3】用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）方程可化为：，，则， 则，∴； （2）方程可化为：，则． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用直接开平方法求解． 【例1-4】用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），则，则， ∴原方程的解为：； （2） ，则，则， ∴原方程的解为：． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程．先求出的值，再代入求根公式求出答案即可． 【详解】解：， 这里，，， ∵， ． ∴， 【变式1-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【答案】， ． 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把原方程变形为，然后利用公式法解方程即可． 【详解】解： ∴， ∴， ∴， ． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．本题可以利用配方法或公式法求解即可． 【详解】解：， 方程变形得：， ∵，，，， ∴， ∴，， 即，． 【变式1-4】（24-25八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】，． 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程．首先把一元二次方程化为一般形式，然后再用公式法解方程． 【详解】解：， 方程化为一般式为， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 【题型2一元二次方程解法综合】 【例2-1】 用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），提取公因式可得：， ∴原方程的解为：； （2），提取公因式可得：， ∴原方程的解为：． 【总结】本题主要考查利用提取公因式法求一元二次方程的解． 【例2-2】用开平方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）则，开平方得：， ∴原方程的解为：； （2），开平方得：或， ∴原方程的解为：． 【总结】本题主要考查利用直接开平方法解一元二次方程． 【例2-3】用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），用完全平方公式可得：， ∴原方程的解为：； （2）原方程用平方差公式可得：， 整理可得：，∴原方程的解为：． 【总结】本题主要考查利用公式法求一元二次方程的解． 【例2-4】用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】（1）对原方程十字相乘分解可得：，∴原方程的解为：； （2）对原方程整理得：，十字相乘分解可得：， ∴原方程的解为：； （3），整理得：，十字相乘分解可得：， ∴原方程的解为：； （4），提取公因式可得：， 整理得：，∴原方程的解为：． 【总结】本题主要考查利用因式分解法求一元二次方程的解，注意（3）和（4）化成一般形式再分解． 【例2-5】用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2），． 【解析】（1），整理得：，配方得：， ∴原方程的解为：； （2），配方得：， ∴原方程的解为：，． 【总结】本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方． 【例2-6】用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】（1）∵，∴，∴， ∴原方程的解为：，； （2） 整理可得：，，则，， ∴原方程的解为：，； （3）整理可得：，，则，， ∴原方程的解为：，． 【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根． 【例2-7】用因式分解法和公式法2种方法解方程：． 【答案】，． 【解析】方程可整理成：， 十字相乘分解可得：， ∴原方程的解为：，； 公式法：，∴， ∴原方程的解为：，． 【总结】本题主要考查利用因式分解和公式法求解一元二次法的解． 【例2-8】用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1），；（2），；（3），； （4），；（5），；（6），． 【解析】（1）直接开平方可得：，∴原方程的解为：，； （2）化简得：，十字相乘分解可得：， ∴原方程的解为：，； （3），平方差因式分解得：， 整理得：，∴ 原方程的解为：，； （4），提取公因式可得：， 整理得：，∴原方程的解为：，； （5）∵方程，， ∴原方程的解为：，； （6），整理可得， 十字相乘分解得：， ∴原方程的解为：，． 【总结】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择． 【变式2-1】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了解一元二次方程，变形为，得到或，即可求出答案即可． 【详解】解： 则 ∴ 则或 解得， 【变式2-2】（23-24八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海长宁·期末）用配方法解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了运用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化1，得，再把常数项移到等号的右边，即，再配方，最后开方，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴ ∴． 【变式2-4】（24-25八年级上·上海·期末）用配方法解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式2-5】（23-24八年级上·上海·阶段练习）解方程 【答案】或 【知识点】换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查运用换元法及因式分解法解一元二次方程，设，则原方程可变形为，再根据因式分解法求解即可 【详解】解：设，则原方程可变形为， ∴， ∴ ∴， 即或， 解得或 【变式2-6】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）解方程：． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，设解关于的方程，进而即可求解． 【详解】解： 设，则原方程为 ∵, ，． ∴ 【变式2-7】（24-25八年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，，； （2）解：， ， ， ， 解得，，； （3）解：， ， ， 解得，； （4）解：， ， ， ， ∴， 解得，，． 【点睛】本题考查了直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程是解题的关键． 【变式2-8】（24-25八年级上·上海·阶段练习）用适当的方法解一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查解一元二次方程，结合方程的结构特点灵活先用一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用配方法求解即可； （2）把方程整理为一般形式后，再运用因式分解法求出方程的解即可； （3）方程移项后，运用因式分解法求解即可； （4）把方程整理为一般形式后，再运用公式法求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ∴ （3）解：， ， ∴； （4）解： ， ∵ ， ∴ ∴． 【变式2-9】（24-25八年级上·上海·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法、直接开平方法和配方法． （1）先变形得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先把方程整理为一般式，然后利用因式分解法解方程； （3）先把方程去分母整理为一般式，然后利用求根公式法解方程； （4），可得，把当成一个整体可得，即可得到或，然后分别解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ∴或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （4）解： ∴， ， ， ， ∴或， 当时，，解得 当时，，解得，即， 综上所述，，． 【变式2-10】（23-24八年级上·上海浦东新·期中）（1）如果实数x、y满足，那么的值为 ； （2）如果实数x、y满足，那么代数式的值为 ； （3）如果实数x满足，求代数式的值． 【答案】（1）9或；（2）81；（3）1 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】（1）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （2）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （3）设，则由原方程得到关于的一元二次方程，通过解该方程得到的值；然后将其代入所求的变形后的代数式进行求值． 【详解】解：（1）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或． 即值为9或． 故答案为：9或； （2）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或（舍去）． 即代数式的值为81； （3）设，则， 整理，得， 解得或， 当时，无解（舍去）， 即， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法求解是解题关键．先去括号化简，再根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 故选C． 2．（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程时，配方后所得的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．先把常数项移到等号的右边，再把等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得答案． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即． 故选：C． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）关于的一元二次方程有一个根为，则的值（   ） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，把代入原方程，求出的值，再根据一元二次方程的定义得出，即可解答． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根为， ，且， 解得：， 故选：C． 4．（24-25八年级上·上海普陀·期末）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查解一元二次方程，分别求出每个方程的解，进行判断即可． 【详解】解：A、， ∴；不符合题意； B、， ∴；符合题意； C、，此方程无解；不符合题意； D、， ∴， ∴；不符合题意； 故选B． 二、填空题 5．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）方程的解是 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先移项，再分解因式，即可得解． 【详解】解：， 移项，得：， 分解因式，得：， 或， 解得：，， 故答案为：，． 6．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查直接开平方法解一元二二次方程，先把方程化简成，再直接开平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为，据此结合题意得到，，，即可得到答案． 【详解】解：设关于的一元二次方程为， 一元二次方程的根为， ，，， 该一元二次方程可以为， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海长宁·期末）一元二次方程的根是 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程． 通过对给定的一元二次方程进行因式分解，将其转化为两个一次方程，进而求解方程的根． 【详解】解：， ， 则或， 所以， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海·阶段练习）关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的解．首先根据一元二次方程有一个根为，可得关于的一元二次方程，解方程可得：或，根据一元二次方程的二次项系数不能为可得：，从而确定的值． 【详解】解：一元二次方程有一个根为， ， 由可得：， 或， 解得：或， 由可得：， ． 故答案为： ． 10．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如果最简根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义得，即可求解；理解定义“几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：，， 当时， ， 舍去， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ． 【答案】或2/2或 【知识点】由一元二次方程的解求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及新定义，解题的关键是由和，可得关于x的方程两个实数根为，，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或． 【详解】解：∵同时满足和， ∴关于x的方程两个实数根为，， ∵， ∴或， ∴的根为或， ∵与互为“同伴方程”， ∴或， 故答案为：或2． 三、解答题 12．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：(配方法) 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查利用配方法解一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤求解即可． 【详解】解：移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得：， 即， 开方得：， ∴． 13．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）解方程：． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 解得：． 14．（23-24八年级上·上海普陀·期中）解方程：． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：． 15．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把看做一个整体，把原方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 16．（23-24八年级上·上海·单元测试）用公式法解方程 (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再求出判别式的值，进而利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解； 整理得， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 17．按规定方法解方程： (1)；（公式法） (2)．（因式分解法） (3)；（直接开平方或因式分解法） (4)；（配方法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据公式法进行计算即可； （2）整理后，根据因式分解进行计算即可； （3）根据直接开平方进行计算即可； （3）根据配方法进行配方计算即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， 故，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴，， 解得，； （3）解：， 开方得， ∴，， 解得，； （4）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 18．阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，利用换元降次求解一元高次方程． （1）设，则原方程化为，进而求解； （2）设，则原方程化为，进而求解； （3）设，则原方程化为，进而求解； 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； （2）设，则原方程化为， 解得， 当时，，，，； 所以原方程的解为，； （3）. 设，则原方程化为， 解得， 当时，，， 解得：，； 当时，， 解得，； 所以原方程的解为，，0， 19．阅读下面材料，解答问题： 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，． 上述解题方法叫做换元法． 请利用换元法解方程：． 【答案】，，， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题，先设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，再把和6分别代入得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解． 【详解】解：设，则，即， ∴ 解得：， 当时，，即， 解得：，; 当时，，即， 解得：，. 所以原方程的解为，，， 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 一元二次方程的求根公式及解法综合 （2知识点+2大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：2大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：一元二次方程求根公式 1、 公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：．对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 2、 求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． 3、 用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 知识点02：一元二次方程解法综合 1 开平方法：形如及的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程． 2 因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若，则或． 3 配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解 即：，再用开平方法求解． 4 公式法：用求根公式解一元二次方程 一元二次方程，当时，有两个实数根： 【题型1 求根公式法解一元二次方程】 【例1-1】用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【例1-2】用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【例1-3】用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【例1-4】用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【变式1-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 【变式1-4】（24-25八年级上·上海·期末）解方程：． 【题型2一元二次方程解法综合】 【例2-1】 用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． 【例2-2】用开平方法解下列方程： （1）； （2）． 【例2-3】用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． 【例2-4】用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例2-5】用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【例2-6】用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【例2-7】用因式分解法和公式法2种方法解方程：． 【例2-8】用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【变式2-1】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 【变式2-2】（23-24八年级上·上海·期末）解方程：． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海长宁·期末）用配方法解方程：． 【变式2-4】（24-25八年级上·上海·期末）用配方法解方程：． 【变式2-5】（23-24八年级上·上海·阶段练习）解方程 【变式2-6】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）解方程：． 【变式2-7】（24-25八年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-8】（24-25八年级上·上海·阶段练习）用适当的方法解一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 【变式2-9】（24-25八年级上·上海·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【变式2-10】（23-24八年级上·上海浦东新·期中）（1）如果实数x、y满足，那么的值为 ； （2）如果实数x、y满足，那么代数式的值为 ； （3）如果实数x满足，求代数式的值． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程时，配方后所得的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）关于的一元二次方程有一个根为，则的值（   ） A． B．或 C． D．以上都不对 4．（24-25八年级上·上海普陀·期末）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）方程的解是 ． 6．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）方程的解是 ． 7．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 ． 8．（24-25八年级上·上海长宁·期末）一元二次方程的根是 ． 9．（24-25八年级上·上海·阶段练习）关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 10．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如果最简根式与是同类二次根式，则 ． 11．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ． 三、解答题 12．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：(配方法) 13．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）解方程：． 14．（23-24八年级上·上海普陀·期中）解方程：． 15．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 16．（23-24八年级上·上海·单元测试）用公式法解方程 (1)； (2) (3)； (4)． 17．按规定方法解方程： (1)；（公式法） (2)．（因式分解法） (3)；（直接开平方或因式分解法） (4)；（配方法） 18．阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 19．阅读下面材料，解答问题： 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，． 上述解题方法叫做换元法． 请利用换元法解方程：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$