专题05 命题（知识梳理+5对点集训+基础过关+拓展提优）-2025年初升高数学无忧衔接（上海专用）

专题05 命题（知识梳理+5对点集训+基础过关+拓展提优） 1.能够清晰阐述命题的定义，准确分辨给定语句是否为命题，并说明判断依据。 2.深入理解命题的结构，熟练将命题改写成 “如果……，那么……” 的形式，精准剖析出条件和结论。 3.全面掌握真命题、假命题的概念，学会通过推理、举反例等方法判断命题的真假。 4.深刻理解四种命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）的概念，熟练掌握四种命题之间的相互关系，能够根据原命题准确写出其他三种命题形式，并判断其真假。 知识点01：命题的概念 能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 知识点02：命题的结构 命题可以改写成“若，则”的形式，或“如果，那么”的形式.其中是命题的条件，是命题的结论. 要点诠释： 1. 一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论. 2. 有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式. 知识点03：推出关系 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 知识点04：四种命题的概念 1.原命题：若则；逆命题：若则；否命题：若则；逆否命题：若则； 2．常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 3.四种命题之间的真假关系 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 要点诠释： （1）互为逆否命题的两个命题同真同假； （2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系. 知识点05：等价命题 如果A、B是两个命题，,那么A、B叫做等价命题 如果，并且，那么记作，叫做与等价 例：：ABC的三条边相等，：ABC的三个角相等， 那么原命题与逆否命题是等价命题，逆命题与否命题是等价命题。 对点集训一：命题的概念 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·课前预习）命题 用 表达，且可以 的语句叫做命题．命题通常用陈述句表述．其含义 的命题叫做真命题， 的命题叫做假命题． 说明：（1）判定一个语句是否为命题需满足两个条件：①陈述句，②可判断真假．只有这两个条件都具备，才可以称这个语句为命题； （2）判断的结果可真可假，但真假必居其一，假命题也是命题； （3）判断命题的真假应写“真命题、假命题”，而不写“正确、错误”． 【答案】 自然语言、符号或式子 判断其真假 判断为真 判断为假 【知识点】命题的概念 例2．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）下列语句 ①考数学开心吗？ ②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2不是素数 ④0是自然数 其中是命题的语句的序号有 . 【答案】③④ 【知识点】命题的概念 【分析】根据命题的概念即得. 【详解】因为可以判断真假的陈述句为命题， 所以①为疑问句，不是命题； ②不能判断真假，不是命题； ③为假命题； ④为真命题； 所以是命题的语句的序号有③④. 故答案为：③④. 例3．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且能够判断它是假的，所以它是命题． （2）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题． （3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． （4）“若，则”是陈述句， 并且．它是真的，所以它是命题． （5）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． （6）“若与是无理数，则是无理数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． 精练 1．下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 【答案】② 【知识点】命题的概念 【分析】根据命题的定义判断即可. 【详解】对于①：若，，则，能判断真假，是命题，且为真命题； 对于②：，不能判断真假，故不是命题； 对于③：，能判断真假，是命题，且为真命题. 故答案为：② 2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）陈述句“、、全为”的否定形式为 ． 【答案】、、不全为 【知识点】命题的概念 【分析】直接对陈述句进行否定即可. 【详解】陈述句“、、全为”的否定形式为“、、不全为”. 故答案为：、、不全为. 3.判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2)3x2≤5； (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)一个数的算术平方根一定是负数． 【分析】根据可以判断真假的陈述句为命题的定义，逐项分析判定即可. 【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． （2）因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题． （3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． （4）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． 对点集训二：常用数集或数集关系应用 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【答案】C 【知识点】判断命题的真假 【分析】A，根据等边三角形和全等的定义作出判断；B，解不等式得到B错误；C，由对顶角定义判断；D，可举出反例. 【详解】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误； B选项，若，则或，B错误； C选项，对顶角相等，C正确； D选项，2为偶数，但2为质数，D错误. 故选：C 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【知识点】交并补混合运算、判断命题的真假 【分析】由集合的运算及基本关系求解． 【详解】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 例3．（24-25高一上·上海·期中）命题“如果，那么”是 命题（填写“真”或“假”） 【答案】真 【知识点】判断命题的真假、常用数集或数集关系应用 【分析】根据数集之间的关系判断真假即可. 【详解】由所有有理数都是实数，知“如果，那么”为真命题. 故答案为：真 例4．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 【分析】（1）根据数的性质即可判断； （2）举出等腰梯形即可判断； （3）推出即可判断. 【详解】（1）根据数的性质知如果a、b都是奇数，那么是偶数， 可设，其中，则，，则其为偶数，则其为真命题； （2）一组对边平行且两对角线等长的四边形还可能是等腰梯形，故其为假命题； （3）如果，则，则，故其为真命题. 精练 1．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 【答案】 ③ ①④ 【知识点】命题的概念、判断命题的真假 【分析】首先根据命题是可以判断真假的陈述句，来判断出是否为命题，如果判断为真，即为真命题，如果判断为假，即为假命题． 【详解】①空集是任何集合的子集，是真命题； ②任何集合都有真子集吗？不是陈述句，不是命题； ③一个数不是正数就是负数，还可以是0，是假命题； ④德国数学家康托是集合论的创始人，是真命题； ⑤公共场所请戴好口罩！不是陈述句，不是命题； 故答案为：③；①④． 3．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】判断命题的真假 【分析】通过取反例即可判断. 【详解】取，满足， 显然不成立，所以命题为假命题. 故答案为：假 4．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由. (1)所有偶数都不是素数； (2)是的真子集； (3)0是的真子集； (4)如果集合A是集合B的子集，那么B不是A的子集. 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题，理由见解析 (3)假命题，理由见解析 (4)真命题，理由见解析 【知识点】判断命题的真假、子集的概念 【分析】（1）利用偶数与素数的定义，举反例判断即可得解； （2）（3）（4）利用集合子集的定义逐一分析判断即可得解. 【详解】（1）因为是偶数，同时也是素数，所以该命题为假命题； （2）因为，且， 所以是的真子集，所以该命题为真命题； （3）因为是中的一个元素， 所以0不是的真子集，所以该命题为假命题； （4）当时，互为子集，所以该命题为假命题. 5．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，，则； (2)若a、，则关于x的方程的解为． 【答案】(1)真命题，理由见解析； (2)假命题，理由见解析. 【知识点】判断命题的真假 【分析】（1）推出为的真子集，则得到； （2）举出反例即可. 【详解】（1），则为的真子集， 故，故其为真命题. （2）当时，该方程的解为，故其为假命题. 对点集训三： 命题的条件和结论 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【答案】(1)答案见解析，真命题． (2)答案见解析，真命题． (3)答案见解析，假命题． 【知识点】判断命题的真假、指出命题的条件和结论 【分析】（1）（2）（3）按给定条件改写命题，再判断真假. 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． （2）若，则，是真命题． （3）已知、为正整数，若，则且，是假命题． 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组中陈述句，的推出关系： (1)：是能被4整除的自然数，：是偶数； (2)：实数满足方程，：或； (3)：实数满足方程，：． 【答案】(1)，但 (2) (3)，但． 【知识点】指出命题的条件和结论、方程与不等式、整数与整除 【分析】对于（1），可举例分析判断；对于（2），（3）解出方程，结合举反例判断. 【详解】（1）是能被4整除的自然数，即，所以是偶数．即， 但．反例：是偶数，但不能被4整除． （2）实数满足方程，可得或，即； 同样，如果或，则有，即． （3）若，必有，即． 但满足，而不满足，即． 精练 1．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)6是12和18的公约数； (2)当时，方程有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)已知为非零自然数，当时，. 【答案】(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题． (2)若，则方程有两个不等实根，是假命题． (3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题． (4)已知为非零自然数，若，则，是假命题． 【知识点】命题的概念、判断命题的真假 【分析】根据“若p，则q”的形式，即可求解，从而可判断真假. 【详解】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数． 因为，所以6是12和18的公约数， 所以，若一个数是6，则它是12和18的公约数是真命题. （2）若，则方程有两个不等实根， 当时，方程为，方程只有1个实根， 所以，若，则方程有两个不等实根是假命题． （3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分． 根据平行四边形的性质可知，若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分是真命题. （4）已知为非零自然数，若，则， 当时，满足， 所以，已知为非零自然数，若，则是假命题． 2．把下列命题改写成“若，则”的形式： （1），函数的值随值的增加而增加； （2）当两圆相切时，连心线过两圆的切点． 【答案】（1）时，若的值增加，则函数的值也随着增加． （2）当两圆相切时，若一直线过两圆心，则必过两圆的切点． 【知识点】指出命题的条件和结论、命题的概念 【分析】合理断句分出，，改写成“若，则”的形式． 【详解】（1）时，若的值增加，则函数的值也随着增加． （2）当两圆相切时，若一直线过两圆心，则必过两圆的切点． 【点睛】本题考查命题的形式，属于基础题. 对点集训四：原命题的否命题、逆命题、逆否命题 典型例题 例1．（23-24高一上·上海闵行·期中）陈述句“或”的否定形式是（    ）． A．且 B．且 C．且 D．或 【答案】C 【知识点】写出原命题的否命题及真假判断 【分析】根据命题的否定的概念求解即可. 【详解】“或”的否定形式是：且. 故选：C 例2．若命题甲的否命题为“若a≠3且b≠4，则a+b≠7”，则命题甲的逆命题为 【答案】若a+b=7，则a=3或a=4 【知识点】写出原命题的逆命题及真假判断、写出原命题的否命题及真假判断 【分析】先求出甲的原命题，再求出逆命题即可． 【详解】命题甲的否命题为“若a≠3且b≠4，则a+b≠7”，则甲的原命题为：“若a=3或b=4，则a+b=7”， 则命题甲的逆命题为：若a+b=7，则a=3或a=4 故答案为若a+b=7，则a=3或a=4 【点睛】本题主要考查四种命题的关系，比较基础．注意否命题和命题的否定的区别． 例3．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）设，求证：若，则或. 【答案】证明见详解 【知识点】写出原命题的逆否命题及真假判断 【分析】原命题真假等同于逆否命题真假，转化判断其逆否命题真假即可. 【详解】当且时，则， 所以命题“若且，则”为真命题， 则其逆否命题“若，则或”为真命题，得证. 例4证明：“已知、，若，则.”为真命题. 【分析】根据原命题与逆否命题同真同假,将命题变为逆否命题去证明真假即可. 【详解】由原命题与逆否命题同真同假,将命题变为逆否命题去证明真假即可. “已知、,若,则. 其逆否命题为“已知、,若,则. 证明如下:若 则 所以 “已知、,若,则.成立 即原命题“已知、,若,则.”为真命题 得证. 【点睛】本题考查了原命题与逆否命题的真假关系及简单应用,利用等价关系证明简单的命题,属于基础题. 精练 1．（24-25高一上·上海浦东新·期中）陈述句或，则的否定形式： 【答案】 【知识点】写出原命题的否命题及真假判断 【分析】根据已知命题否定的定义写出对应否定形式即可. 【详解】由或，则. 故答案为： 2．（22-23高一上·上海闵行·期末）“且”的否定形式为 . 【答案】或 【知识点】写出原命题的否命题及真假判断 【分析】根据原命题的否定的定义可直接写出结论. 【详解】原命题的否定形式为：或， 故答案为：或. 3.试说出下列命题的反面： （1）a是实数； （2)a大于2； （3）a小于2； （4）至少有2个； （5）最多有一个； （6）两条直线平行. 【分析】根据命题的否定直接求解即可 【详解】（1）a不是实数.    　　           （2)a小于等于2. （3）a大于等于2.    　　           （4）至多有1个 （5）最少有两个       　     　    （6）两条直线不平行. 4.写出命题：“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并指出各个命题的真假. 【答案】逆命题：若，则；假命题. 否命题：若，则；假命题. 逆否命题：若，则；真命题 【知识点】写出原命题的否命题及真假判断、写出原命题的逆命题及真假判断、写出原命题的逆否命题及真假判断 【分析】由逆命题、否命题、逆否命题的定义直接写出结果并判断． 【详解】逆命题：若，则；当时，满足条件，但结果不成立，所以它是假命题. 否命题：若，则；当时，满足条件，但结果不成立，所以它是假命题. 逆否命题：若，则；真命题 【点睛】本题考查了四种命题形式及其真假判断，属于基础题． 对点集训五：已知命题的真假求参数 典型例题 例1．（23-24高一上·上海·期中）已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】由命题为真求解即可. 【详解】已知命题“如果，那么”是真命题， 则实数的取值范围是. 故答案为： 例2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数、方程与不等式 【分析】分别求出命题甲和命题乙为真时的取值范围，问题转化为甲真乙假和甲假乙真时两种情况，利用不等式组求解即可. 【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根， 设两根为，则有，解得； 命题乙为真时，则关于的方程没有实数根， 有，解得. 若甲、乙有且只有一个是真命题， 当甲真乙假时，则有，解得； 当甲假乙真时， 则有，解得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 例3．（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】对于命题甲，根据条件利用集合的运算可求出命题甲是真命题时的范围；对于命题乙，将问题转化成或集合A中元素为非正数，从而通过方程根的情况，求得命题乙是真命题时的范围，然后根据命题甲与命题乙的真假分两种情况讨论即可求得答案． 【详解】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 精练 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）为说明“设是任意实数，若，则”是假命题，可以在集合中选取的值，此时为 . 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】根据题意在集合中选取的值，满足. 【详解】若命题为假命题，则由题意知，且，此时为. 故答案为： 2．（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【详解】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 3．（22-23高一上·上海徐汇·期中）已知命题①函数的图象总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若命题①为真，求的取值范围； (2)若命题①、②中至多有一个命题为真，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】（1）分、讨论可得答案； （2）求出命题①、②都为真命题时的取值范围，再求其补集可得答案. 【详解】（1）命题①函数的图象总在轴上方为真命题，则 当时，符合题意； 当，由求得， 故的取值范围为：； （2）若方程有两个不相等的实数根， 则，解得， 若命题①、②都是真命题，则； 故当命题①、②中至多有一个命题为真时， 的取值范围为或. 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果，那么，是 命题． 【答案】假 【知识点】判断命题的真假 【分析】通过特殊值进行验证即可. 【详解】假命题；如：，此时，但是， 故答案为：假. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）在横线上填上一个结论，使命题“已知为实数，若，则 ”是假命题． 【答案】且（答案不唯一） 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据条件得出同号，即可求出结果. 【详解】由，知同号，即且或且， 故答案为：且（答案不唯一） 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，，，则命题“若α，则β”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据集合的包含关系判断即可. 【详解】，，故命题“若α，则β”是真命题. 故答案为：真. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）α： β：．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】判断命题的真假 【分析】解方程可得答案. 【详解】当时，解得， 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）“实数、都是正数”的否定形式为 . 【答案】实数、中至少有一个是非正数 【知识点】写出简单命题的非命题 【分析】根据命题的否定可得出结论. 【详解】实数、都是正数，即且，其否定形式为“或”， 故“实数、都是正数”的否定形式为“实数、中至少有一个是非正数”. 故答案为：实数、中至少有一个是非正数. 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则“若，则”是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据，可判断. 【详解】因为等价于， 所以命题“若，则”是真命题. 故答案为：真. 7．（24-25高一上·上海·期中）“若且，则且”是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】判断命题的真假 【分析】直接取特殊值验证即可. 【详解】当时，且；此时不满足且，故该命题为假命题. 故答案为：假 8．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是真命题用集合的语言描述为 ． 【答案】满足满足 【知识点】判断命题的真假、子集的概念 【分析】分析可知所有满足条件的元素都满足条件，结合子集关系分析得解. 【详解】若命题“若，则”是真命题，则所有满足条件的元素都满足条件， 所以满足满足. 故答案为：满足满足. 9．（23-24高一上·上海闵行·期中）若、中至少有一个小于0，则是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】判断命题的真假 【分析】利用反例判断命题的真假即可. 【详解】、中至少有一个小于0包括、都小于0和、两个数中一个小于0，一个大于0， 故当，时，满足条件，但是， 所以命题：若、中至少有一个小于0，则为假命题. 故答案为：假 10．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，则命题“关于x的方程的解集为”是 命题（填“真”或“假”）. 【答案】假 【知识点】判断命题的真假 【分析】结合一次方程解的性质判断命题的真假即可. 【详解】当时，方程无解，当时，方程的解为， 所以命题“关于x的方程的解集为”是假命题. 故答案为：假. 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）“至少存在一个不满足性质p”的否定形式为 . 【答案】所有的满足性质p 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题， 故“至少存在一个不满足性质p”的否定形式为：所有的满足性质p. 故答案为：所有的满足性质p 12．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）下列命题中真命题的编号是 ①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的两个集合相等；④函数的图像与轴有一个交点；⑤若，则；⑥满足的集合有7个. 【答案】③④⑤ 【知识点】判断命题的真假、求集合的子集（真子集）、空集的概念以及判断、子集的概念 【分析】当时即可判断①，根据空集定义判断②，根据集合相等判断③，解方程判断④，利用不等式的性质判断⑤，求出集合，即可判断⑥. 【详解】对于①：当时方程是一元一次方程，故①错误； 对于②：空集是任何非空集合的真子集，故②错误； 对于③：互相包含的两个集合相等，故③正确； 对于④：令，解得，所以函数的图像与轴有一个交点，故④正确； 对于⑤：若则，所以，故⑤正确； 对于⑥：满足的集合有，，， ，，共个，故⑥错误； 故答案为：③④⑤ 二、单选题 13．有以下命题： （1）命题：“在△ABC中，若BCAC，则∠A∠B”； （2）已知，命题“若，则且”； （3）已知，命题“若且，则”. 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】判断命题的真假 【分析】（1）根据边角关系判断真假；（2）由可知都不为，由此判断真假；（3）根据平方运算的特点进行判断. 【详解】（1）：根据“大边对大角”可知（1）正确； （2）：若，则都不为，即且，故正确； （3）：若且，则，则，故正确； 故选：D. 14．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）若是全集的真子集，则下列四个命题：①；②；③④⑤中与命题等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系、交并补混合运算 【分析】直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论． 【详解】∵，则①符合题意； ∵，则②不符合题意； ∵，则③符合题意； ∵，这与是全集的真子集相矛盾，则④不符合题意； ∵，则⑤符合题意； 与命题等价的有①③⑤，共3个 故选：C. 三、解答题 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）证明命题“个位数字是0的自然数能被5整除”是真命题． 【分析】设这个数为，根据即可判断是真命题． 【详解】证明：设这个数为， 因为能被5整除， 所以个位数字是0的自然数能被5整除 所以命题“个位数字是0的自然数能被5整除”是真命题． 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断命题“有一个角是锐角的三角形是锐角三角形”的真假并说明理由． 【知识点】判断特称（存在性）命题的真假、判断命题的真假 【分析】直接举反例即可判断． 【详解】解：（举反例）当三个角分别是10°，20°，150°时，该三角形是钝角三角形， 故命题为假命题． 17．（24-25高一上·上海·课前预习）判断下列命题的真假，并用“”写出下列命题． (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若，则； (4)若平面内两条直线和均垂直于直线，则． 【答案】(1)真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形 (2)假命题， 两个三角形的周长相等两个三角形全等 (3)假命题， (4)真命题，平面内两条直线和均垂直于直线 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据题意，结合平行四边形的性质，全等三角形的性质，以及一元二次方程的解和平行线的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）解：真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形. （2）解：假命题，两个三角形的周长相等两个三角形全等. （3）解：假命题，由方程，解得或，所以命题为假命题， 即. （4）解：真命题，平面内两条直线和均垂直于直线. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的真假 【分析】根据题意确定，的取值，得出与集合，的关系，判断命题是否正确. 【详解】命题①对于任意，都有； 若，则即，,或，，，即， 若，则时即即， 或时即即，故总有， 故命题①为真命题； 命题②对于任意，都有. 若，则，而，故即，故； 若，则当，一定成立，即，此时， 当时，，此时也成立， 故命题②为真命题； 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知非空集合，满足对于的任意一个排列，对任意，，都有.   关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ）. 命题①：若，则中至少有两个相等； 命题②：若，则中至少有两个相等； A．①是真命题；②是真命题 B．①是真命题；②是假命题 C．①是假命题；②是真命题 D．①是假命题；②是假命题 【答案】B 【知识点】判断命题的真假 【分析】分别研究两个命题的真假性即可得到答案. 【详解】根据条件，显然都是关于原点对称的集合，所以对，，有. 同时，对，只要包含，则对，有，反之亦然，故. 这表明，只要中有任何一个包含，中就至少有两个相等. 与此同时，对于，设满足，若，，则，所以，据的对称性有，同理，故，同理. 同时，设，则，所以. 故，所以，同理. 有了这些准备工作，下面分别研究两个命题①和②： 对于①，如果中的每个数都是偶数，则可以不断对每个元素除以（这个过程不能无限进行），直至中不全为偶数. 所以不妨设中至少有一个包含奇数，不妨设奇数，此时任取. 根据前面已经证明的结论，可知对任意整数，有，. 再结合前面证明的结论，可知对任意整数，有，. 从而对任意整数，据，，有. 这表明对任意整数，只要不全是偶数，就有. 由于是奇数，故不全是偶数，从而. 根据前面证明的结论，可知中至少有两个相等，故①正确； 对于②，设，，. 则满足全部条件，但两两不相等，故②错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对已有条件的适当转化。 3．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 【答案】C 【知识点】判断命题的真假、集合新定义 【分析】对命题举反例说明即可；对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确； 【详解】对命题：令，则集合是封闭集， 故， 但，故不是封闭集，故命题假； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， 所以， 同理可得， 所以， 所以是封闭集，故命题真； 故选：C 二、填空题 4．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为 【答案】3 【知识点】判断命题的真假、集合新定义 【分析】根据新定义逐一判断即可求解 【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确， （2）若数域有非零元素，则， 从而，故（2）正确； （3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误， （4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确， 故真命题的个数是3. 故答案为：3 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 【答案】②③④ 【知识点】描述法表示集合、判断命题的真假 【分析】根据集合的特征，代入公式或，并结合举例判断. 【详解】①若，①错误， ②，②正确， ③，③正确， ④，④正确， ⑤若，⑤错误. 故答案为：②③④ 三、解答题 6．判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 【答案】(1)是命题，且是假命题 (2)不是命题 (3)不是命题 (4)不是命题 (5)是命题，且是真命题 (6)是命题，且是假命题 【知识点】命题的概念、判断命题的真假 【分析】根据命题的概念、命题的真假判断即可. 【详解】（1）任何负数都小于零，故该语句是命题，且是假命题． （2）两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法判断真假，故不是命题． （3）因为是未知数，无法判断是否大于零，所以不是命题． （4）空集是任何非空集合的真子集，集合是否为非空集合无法判断，故不是命题． （5）6是所给方程的解，故该语句是命题，且是真命题． （6）由于给定方程的判别式， 可知给定方程无实根，故该语句是命题，且为假命题. 7．已知命题①函数的图像总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. （1）若命题①为真命题，求的取值范围； （2）若命题②为真命题，求的取值范围； （3）若命题①②中至多有一个命题为真，求的取值范围； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【知识点】根据补集运算确定集合或参数、已知命题的真假求参数 【分析】（1）分，两种情况讨论即可求解； （2）方程两个不相等的实数根，可利用判别式建立不等式求解． （3）求命题①、②全都是真命题时的范围为，则的补集即为所求． 【详解】（1）时，，符合题意； 当时，由求得，故的取值范围为． （2）方程两个不相等的实数根， 即或，故取值范围为． （3）设，，若命题①、②全都是真命题， 则的范围为 故当命题①、②中至多有一个命题为真时， 的取值范围是． 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列命题的真假并说明理由： (1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根； (2)如果一元二次方程有实数根，那么． 【答案】(1)真命题，理由见解析 (2)假命题，理由见解析 【知识点】判断命题的真假 【分析】（1）利用一元二次方程有解的条件求解即可. （2）举反例判断即可. 【详解】（1）真命题．理由：若，则， 故方程有实数根，命题是真命题． （2）假命题．理由：因为当时，显然方程有实数根， 此时不满足，所以命题是假命题． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 命题（知识梳理+5对点集训+基础过关+拓展提优） 1.能够清晰阐述命题的定义，准确分辨给定语句是否为命题，并说明判断依据。 2.深入理解命题的结构，熟练将命题改写成 “如果……，那么……” 的形式，精准剖析出条件和结论。 3.全面掌握真命题、假命题的概念，学会通过推理、举反例等方法判断命题的真假。 4.深刻理解四种命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）的概念，熟练掌握四种命题之间的相互关系，能够根据原命题准确写出其他三种命题形式，并判断其真假。 知识点01：命题的概念 能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 知识点02：命题的结构 命题可以改写成“若，则”的形式，或“如果，那么”的形式.其中是命题的条件，是命题的结论. 要点诠释： 1. 一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论. 2. 有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式. 知识点03：推出关系 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 知识点04：四种命题的概念 1.原命题：若则；逆命题：若则；否命题：若则；逆否命题：若则； 2．常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 3.四种命题之间的真假关系 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 要点诠释： （1）互为逆否命题的两个命题同真同假； （2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系. 知识点05：等价命题 如果A、B是两个命题，,那么A、B叫做等价命题 如果，并且，那么记作，叫做与等价 例：：ABC的三条边相等，：ABC的三个角相等， 那么原命题与逆否命题是等价命题，逆命题与否命题是等价命题。 对点集训一：命题的概念 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·课前预习）命题 用 表达，且可以 的语句叫做命题．命题通常用陈述句表述．其含义 的命题叫做真命题， 的命题叫做假命题． 说明：（1）判定一个语句是否为命题需满足两个条件：①陈述句，②可判断真假．只有这两个条件都具备，才可以称这个语句为命题； （2）判断的结果可真可假，但真假必居其一，假命题也是命题； （3）判断命题的真假应写“真命题、假命题”，而不写“正确、错误”． 例2．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）下列语句 ①考数学开心吗？ ②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2不是素数 ④0是自然数 其中是命题的语句的序号有 . 例3．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 精练 1．下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）陈述句“、、全为”的否定形式为 ． 3.判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2)3x2≤5； (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)一个数的算术平方根一定是负数． 对点集训二：常用数集或数集关系应用 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 例3．（24-25高一上·上海·期中）命题“如果，那么”是 命题（填写“真”或“假”） 例4．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 精练 1．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 3．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 4．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由. (1)所有偶数都不是素数； (2)是的真子集； (3)0是的真子集； (4)如果集合A是集合B的子集，那么B不是A的子集. 5．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，，则； (2)若a、，则关于x的方程的解为． 对点集训三： 命题的条件和结论 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组中陈述句，的推出关系： (1)：是能被4整除的自然数，：是偶数； (2)：实数满足方程，：或； (3)：实数满足方程，：． 精练 1．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)6是12和18的公约数； (2)当时，方程有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)已知为非零自然数，当时，. 2．把下列命题改写成“若，则”的形式： （1），函数的值随值的增加而增加； （2）当两圆相切时，连心线过两圆的切点． 对点集训四：原命题的否命题、逆命题、逆否命题 典型例题 例1．（23-24高一上·上海闵行·期中）陈述句“或”的否定形式是（    ）． A．且 B．且 C．且 D．或 例2．若命题甲的否命题为“若a≠3且b≠4，则a+b≠7”，则命题甲的逆命题为 例3．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）设，求证：若，则或. 例4证明：“已知、，若，则.”为真命题. 精练 1．（24-25高一上·上海浦东新·期中）陈述句或，则的否定形式： 2．（22-23高一上·上海闵行·期末）“且”的否定形式为 . 3.试说出下列命题的反面： （1）a是实数； （2)a大于2； （3）a小于2； （4）至少有2个； （5）最多有一个； （6）两条直线平行. 4.写出命题：“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并指出各个命题的真假. 对点集训五：已知命题的真假求参数 典型例题 例1．（23-24高一上·上海·期中）已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是 . 例2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 例3．（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 精练 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）为说明“设是任意实数，若，则”是假命题，可以在集合中选取的值，此时为 . 2．（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 3．（22-23高一上·上海徐汇·期中）已知命题①函数的图象总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若命题①为真，求的取值范围； (2)若命题①、②中至多有一个命题为真，求的取值范围. 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果，那么，是 命题． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）在横线上填上一个结论，使命题“已知为实数，若，则 ”是假命题． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，，，则命题“若α，则β”是 命题．（填“真”或“假”） 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）α： β：．（填“”或“”） 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）“实数、都是正数”的否定形式为 . 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则“若，则”是 命题.（填“真”或“假”） 7．（24-25高一上·上海·期中）“若且，则且”是 命题.（填“真”或“假”） 8．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是真命题用集合的语言描述为 ． 9．（23-24高一上·上海闵行·期中）若、中至少有一个小于0，则是 命题.（填“真”或“假”） 10．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，则命题“关于x的方程的解集为”是 命题（填“真”或“假”）. 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）“至少存在一个不满足性质p”的否定形式为 . 12．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）下列命题中真命题的编号是 ①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的两个集合相等；④函数的图像与轴有一个交点；⑤若，则；⑥满足的集合有7个. 二、单选题 13．有以下命题： （1）命题：“在△ABC中，若BCAC，则∠A∠B”； （2）已知，命题“若，则且”； （3）已知，命题“若且，则”. 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）若是全集的真子集，则下列四个命题：①；②；③④⑤中与命题等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三、解答题 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）证明命题“个位数字是0的自然数能被5整除”是真命题． 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断命题“有一个角是锐角的三角形是锐角三角形”的真假并说明理由． 17．（24-25高一上·上海·课前预习）判断下列命题的真假，并用“”写出下列命题． (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若，则； (4)若平面内两条直线和均垂直于直线，则． 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知非空集合，满足对于的任意一个排列，对任意，，都有.   关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ）. 命题①：若，则中至少有两个相等； 命题②：若，则中至少有两个相等； A．①是真命题；②是真命题 B．①是真命题；②是假命题 C．①是假命题；②是真命题 D．①是假命题；②是假命题 3．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 二、填空题 4．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 三、解答题 6．判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 7．已知命题①函数的图像总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. （1）若命题①为真命题，求的取值范围； （2）若命题②为真命题，求的取值范围； （3）若命题①②中至多有一个命题为真，求的取值范围； 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列命题的真假并说明理由： (1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根； (2)如果一元二次方程有实数根，那么． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$