3.1.2椭圆的几何性质同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版高中数学选择性必修一 椭圆方程 椭圆的几何性质（基础） 1． 单选题 1.若椭圆+=1(a>)的长半轴长等于其焦距,则a=(　　) A.2　　　　B.2　　　　C.2　　　　D.4 2.与椭圆有相同焦点，且短轴长为 的椭圆的方程是( ) A. B. C. D. 3.已知椭圆的离心率为，则 ( ) A. B.或 C.8或2 D.8 4. 已知是椭圆上一点，， 分别是椭圆的左、右焦点.若 的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D. 5.已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)的长轴的两个端点,M是椭圆上的一点,kAM·kBM>-,则此椭圆的离心率的取值范围是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 6.如图,某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心F1为一个焦点且离心率为的椭圆,地球可看作半径为R的球体,该卫星近地点离地面的距离为r,则远地点离地面的距离l为(　　) A.3r+2R　　　　B.5r+2R　　　　C.　　　　D. 2． 多选题 1.已知椭圆 ，下列结论正确的是( ) A.椭圆的长半轴长是12 B.椭圆 的短半轴长是2 C.椭圆的焦点坐标分别是, D.经过椭圆焦点的最短弦长是 2.椭圆C:+=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,直线AF1与C的另一个交点为B,若∠F1AF2=,则(　　) A.C的焦距为2　　　　B.C的短轴长为2 C.C的离心率为　　　　D.△ABF2的周长为8 三．填空题 1.为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则 的取 值范围是_______. 2.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，椭圆 短轴的一个端点恰为的重心，则椭圆 的长轴长为_____. 3.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为M,N,上、下顶点分别为P,Q,四边形MQNP的面积为8,原点O到直线PN的距离为,则椭圆E的方程为　　　　.  四．解答题 已知椭圆+=1(a>b>0)的短轴长与焦距相等,且椭圆过点P,斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F,且与椭圆交于A,B两点,M是线段AB的中点,射线OM与椭圆交于点C. (1)求椭圆的方程; (2)若k=-,求点C的坐标; (3)是否存在正数k,使四边形OACB是平行四边形?若存在,求出直线AB的方程;若不存在,请说明理由. 答案 一、单选题 1. A 1. A 1. C 1. A 1. B 1. A 二、多选题 1. BD 1. ABD 三、填空题 1. 1. 1. 4、 解答题 9.解析　(1)由椭圆的短轴长与焦距相等可得b=c,所以a2=b2+c2=2b2, 又椭圆过点P, 所以+=1,解得b2=1, 所以椭圆方程为+y2=1. (2)由(1)可得F(1,0), 因为k=-, 所以l:y=-(x-1), 与椭圆方程联立,消去y可得x2+(x-1)2=1,化简可得3x2-2x-3=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=,y1+y2=-(x1-1)-(x2-1)=1-×(x1+x2)=, 由中点坐标公式可得M, 所以直线OM:y=x, 联立所以或因为点C是射线OM与椭圆的交点,所以C. (3)存在正数k满足题意. 由题意可得l:y=k(x-1),设A(x3,y3),B(x4,y4), 由四边形OACB是平行四边形,得+=, 联立消去y可得x2-2k2x+k2-1=0, 则Δ=4k4-4(k2-1)=2+2k2>0,x3+x4=, 所以y3+y4=k(x3-1)+k(x4-1)=k(x3+x4-2)=, 因为+=,所以C , 因为点C在椭圆上,所以× + =1,化简可得k4=,又k>0,所以k=, 所以存在正数k,使四边形OACB是平行四边形,直线AB的方程为y=(x-1). 学科网（北京）股份有限公司 $$