第3章 §3.1 3.1.2 椭圆的几何性质（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦椭圆的几何性质这一核心知识点，从椭圆标准方程出发，通过观察与问题探究梳理范围、对称性、顶点等性质，明确a,b,c的几何意义，进而学习利用性质求椭圆方程及离心率的方法。 以维也纳金色大厅顶棚设计实例创设情境，激发学习兴趣，通过问题驱动引导学生自主观察几何性质，例题中分类讨论（如含参数方程的离心率求解）培养逻辑思维，体现用数学眼光观察现实、用数学思维思考问题的核心素养。课中辅助教师引导学生主动探究，课后练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

3.1.2　椭圆的几何性质 [学习目标]　1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.能利用椭圆的简单性质求椭圆的方程.3.会求椭圆的离心率． 导语 奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处．当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有)．所以能产生很好的听觉效果．其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？ 一、椭圆的几何性质 问题1　观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 提示　范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 知识梳理 1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长B1B2＝2b，长轴长A1A2＝2a，短半轴长等于b，长半轴长等于a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 F1F2＝2c 2.离心率 (1)定义：焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为e. (2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆． 注意点： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. (4)离心率也可以表示为e＝. 例1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 解　椭圆方程可化为＋＝1. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝， ∴e＝＝＝， ∴m＝3，∴b＝，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)． ②当m＞4时，a＝，b＝2， ∴c＝， ∴e＝＝＝，解得m＝， ∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)． 反思感悟　用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 跟踪训练1　(多选)已知椭圆C的两个焦点坐标分别为(－2,0)，(2,0)，离心率为e，则(　　) A．e越接近于0，则C就越接近于圆 B．e越接近于1，则C就越接近于圆 C．若C经过点，则C的长轴长为2 D．若e＝，则C的长半轴长为8 答案　AC 解析　由椭圆的性质可知，e越接近于0，椭圆就越接近于圆；e越接近于1，椭圆就越扁平，故A正确，B错误； 若C经过点，则由椭圆的定义可知C的长轴长2a＝＋＝2，故C正确； 由已知得＝，c＝2，则a＝4，长半轴长为4，故D错误． 二、利用几何性质求椭圆的标准方程 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝； (2)经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率． 解　(1)若焦点在x轴上，则a＝3， ∵e＝＝， ∴c＝， ∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，则b＝3， ∵e＝＝＝＝，解得a2＝27. ∴椭圆的方程为＋＝1. ∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. (2)方法一　由题意知e2＝1－＝， 所以＝，即a2＝2b2， 设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. 将点M(1,2)代入椭圆方程得 ＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3. 故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. 方法二　设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)， 将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝， 故＋＝或＋＝， 即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 反思感悟　利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． 跟踪训练2　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解　(1)设椭圆的方程为 ＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)． 由已知得2a＝10，a＝5，e＝＝，∴c＝4. ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1. (2)依题意可设椭圆方程为 ＋＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)， 且OF＝c，A1A2＝2b,2c＝6， ∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为＋＝1. 三、求椭圆的离心率 问题2　椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？ 提示　离心率e＝，假设a固定，当e→0时，c→0，因为a2＝c2＋b2，则b→a，所以离心率越小，椭圆就越圆．当e→1时，c→a，则b→0，所以离心率越大，椭圆就越扁．可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆． 问题3　已知的值能求出离心率吗？ 提示　可以．e＝＝＝. 例3　设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使·＝0，求椭圆的离心率e的取值范围． 解　由题意知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2＋y2＝c2上． 又点P在椭圆上，所以圆x2＋y2＝c2与椭圆＋＝1有公共点． 连接OP(图略)，则易知0＜b≤c＜a， 所以b2≤c2＜a2，即a2－c2≤c2＜a2. 所以≤c2＜a2，所以≤e＜1.所以e∈. 延伸探究 1．本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率． 解　当△PF1F2为等腰直角三角形时，∠F1PF2＝90°，这时F1F2＝PF1，即2c＝a， ∴离心率e＝＝. 2．把本例中条件“使·＝0”改为“使∠F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围． 解　由题意，知c＞b，∴c2＞b2. 又b2＝a2－c2， ∴c2＞a2－c2，即2c2＞a2. ∴e2＝＞， ∴e＞.故椭圆的离心率的取值范围为. 反思感悟　求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． 1．知识清单： (1)椭圆的简单几何性质． (2)由椭圆的几何性质求标准方程． (3)求椭圆的离心率． 2．方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法)． 3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系． 1．椭圆3x2＋4y2＝12的长轴长、短轴长分别为(　　) A．2， B.，2 C．4,2 D．2，4 答案　C 解析　把3x2＋4y2＝12化成标准形式为＋＝1，得a2＝4，b2＝3，则长轴长为4，短轴长为2. 2．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D．x2＋＝1 答案　A 解析　依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1. 3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点． 依题意可知，△BF1F2是正三角形． ∵在Rt△OBF2中，OF2＝c，BF2＝a，∠OF2B＝60°， ∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝. 4．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁．(填序号) 答案　① 解析　把x2＋9y2＝36化为标准形式＋＝1，离心率e1＝＝，又＋＝1的离心率e2＝＝，则e2＜e1，故①更扁. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共30分 1．(多选)为使椭圆＋＝1的离心率为，正数m的值可以是(　　) A．1 B. C. D. 答案　CD 解析　当0<m<2时，焦点在x轴上，此时a2＝2，b2＝m， 所以c2＝a2－b2＝2－m， 所以e2＝＝＝， 解得m＝，符合题意； 当m>2时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2， 所以c2＝a2－b2＝m－2， 所以e2＝＝＝，解得m＝，符合题意． 故正数m的值可以是或. 2．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，A为上顶点，则△AF1F2的面积为(　　) A．6 B．15 C．6 D．3 答案　D 解析　由椭圆方程＋＝1得 A(0,3)，F1(－，0)，F2(，0)， ∴F1F2＝2. ∴＝F1F2·yA＝×2×3＝3. 3．下列四个椭圆的形状中，最接近于圆的椭圆是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　B 解析　椭圆＋＝1的离心率e1＝＝， 椭圆＋＝1的离心率e2＝＝， 椭圆＋＝1的离心率e3＝＝， 椭圆＋＝1的离心率e4＝＝， 显然0<e2<e4<e1＝e3<1， 所以最接近于圆的椭圆是＋＝1. 4．(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则关于椭圆C下列叙述正确的是(　　) A．椭圆C的长轴长为10 B．椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3) C．椭圆C的离心率等于 D．若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则PQ＝ 答案　ACD 解析　由题意知椭圆的标准方程为＋＝1，则a＝5，b＝4，∴c＝3.长轴长为2a＝10，A正确； 两焦点为(3,0)，(－3,0)，B错误； 离心率为e＝＝，C正确； 将x＝3或x＝－3代入椭圆方程得 16×32＋25y2＝400， 解得y＝±，∴PQ＝，D正确． 5．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒PF2＝F2F1⇒2＝2c⇒e＝＝. 6．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b，2c，则(　　) A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R C．2a＝m＋n D．b＝ 答案　ABD 解析　∵地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得 ∴(*)．故A，B正确； 由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确； 由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2. ∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)， ∴b＝，故D正确． 7．(5分)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为__________． 答案　＋＝1 解析　由△F1F2M的周长为16， 得2a＋2c＝16，① 由离心率为，得＝，② 又a2＝b2＋c2，③ 由①②③解得a＝5，b＝4. ∴椭圆C的方程为＋＝1. 8．(5分)已知F1为椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆长轴上一点M(不含端点)任意作一条直线l，交椭圆于A，B两点，且△ABF1的周长的最大值为5b，则该椭圆的离心率为________. 答案　 解析　设椭圆的左焦点为F2，则有AF1＋BF1＋AB≤AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝4a＝5b， 则c＝＝a，因此所求离心率为. 9．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点A(－2,0)且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4，求椭圆C的标准方程和离心率． 解　由题意可得a＝2，×2c×2b＝4， 即bc＝2， 又c2＝a2－b2， 解得b＝c＝， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1，离心率e＝＝. 10．(10分)如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(4分) (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的标准方程．(6分) 解　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有OA＝OF2，即b＝c. 所以a＝c，e＝＝. (2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)， 设B(x，y)，由＝2， 解得x＝，y＝－. 代入＋＝1， 得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3， 又c2＝1，所以b2＝2， 所以椭圆的方程为＋＝1. 11．(多选)F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　BD 解析　当焦点在x轴上时，cos∠OFA＝＝＝＝. 因为2a＝6，所以a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.所以椭圆方程为＋＝1， 同理，当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1. 12．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2π，过点F1的直线交C于点A，B，且△ABF2的周长为8，则C的标准方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　C 解析　因为△ABF2的周长为8， 所以AB＋AF2＋BF2＝8，所以AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝8，即(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝8， 由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，所以2a＋2a＝8，解得a＝2， 由题意可得abπ＝2π，解得b＝， 因为椭圆的焦点在x轴上， 所以C的标准方程为＋＝1. 13．椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且PF1＝5PF2，则此椭圆离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可知PF1＋PF2＝2a，PF1＝5PF2， 则PF1＝，PF2＝，∵PF1－PF2≤F1F2， ∴≤2c，e≥. 又e<1，∴椭圆离心率的取值范围是. 14．(5分)如图，把椭圆＋＝1的长轴AB八等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则P1F＋P2F＋P3F＋…＋P7F的值为________． 答案　28 解析　设椭圆的另一个焦点为F′， 由椭圆的几何性质可知P1F＝P7F′， ∴P1F＋P7F＝P7F′＋P7F＝2a， 同理可得P2F＋P6F＝P3F＋P5F＝2P4F＝2a，又a＝4， 故P1F＋P2F＋P3F＋…＋P7F＝7a＝28. 15．(多选)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是(　　) A．PF1＋PF2＝2 B．离心率e＝ C．△PF1F2面积的最大值为 D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切 答案　AD 解析　由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，∴c2＝1， ∴PF1＋PF2＝2a＝2，因此A正确； e＝＝＝≠，因此B错误； 当点P在椭圆的上顶点或下顶点时， △PF1F2的面积最大，且＝×2c×b＝×2×1≠，因此C错误； 以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1， 且＝1，因此D正确． 16．(10分)已知定点A(a,0)，其中0<a<3，它到椭圆＋＝1上的点的距离的最小值为1，求a的值． 解　设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)， 则PA2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋(36－4x2) ＝2＋4－a2， 当0<a≤时，有0<a≤3. 所以当x＝a时，(PA2)min＝4－a2＝1， 解得a＝>(舍去)； 当<a<3时，有3<a<， 当且仅当x＝3时，(PA2)min＝a2－6a＋9＝1， 解得a＝2或a＝4(舍去)， 综上可得a＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $