3.1.2 椭圆的几何性质（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高二数学（选修一）第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2　椭圆的几何性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 1.根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确地 画出它的图形．(重点) 2．根据几何条件求出椭圆的方程．(重点、难点) 学习目标 3 为什么国家大剧院最终会选择了椭圆形设计呢？椭圆都有哪些几何性质呢？ 情景导入 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等. 下面，我们用椭圆方程 来研究椭圆的几何性质. 情景导入 y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b O x 新知探究 1．范围： 由方程，可知，椭圆上点的坐标（x，y） 都满足≤1， 即x2≤a2，－a≤x≤a. 同理可得－b≤y≤b. 这说明椭圆位于直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形内． 　　2．对称性： 　　从图形上看：椭圆关于x轴、y轴、原点对称． 　　从方程上看：（1）把x换成－x，方程不变，说明当点P（x，y）在椭圆上时，点P关于y轴的对称点P＇（－x，y）也在椭圆上，所以椭圆的图象关于y轴对称； 　　（2）把y换成－y，方程不变，所以椭圆的图象关于x轴对称； 　　（3）把x换成－x，同时把y换成－y，方程不变，所以椭圆的图象关于原点成中心对称． 　　综上：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫作椭圆的中心． 7 3．顶点： 在方程中，令x＝0，得y＝±b，说明点B1（0，－b），B2（0，b）是椭圆与y轴的两个交点．同理A1（－a，0），A2（a，0）是椭圆与 轴的两个交点． 　　（1）顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫作椭圆的顶点； 　　（2）长轴、短轴：线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； 　　（3）a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长． 　　4．离心率： 　　椭圆的焦距与长轴长的比e= ，叫作椭圆的离心率． 　　说明：（1）因为a＞c＞0，所以0＜e＜1． 　　（2）e越接近1，则c越接近a，从而　　　　　越小，因此椭圆越扁； 反之，e越接近于0， 越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于圆； 　　（3）当且仅当a＝b时，c＝0，这时两焦点重合，图形变为圆，但本教材规定圆与椭圆是不同的曲线，有些书将圆看成特殊的椭圆； 　　（4）试让学生通过探究大小变化来发现“扁”的程度． 例1　求椭圆　　　　 的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆． 分析：由椭圆的标准方程　　　　　，可知a＝5，b＝3，则椭圆位于四条直线 x＝±5，y＝±3所围成的矩形内．又椭圆以两坐标轴为对称轴，所以只要画出第一象限的图形就可以画出整个图象． 课本例题 　　解：　根据椭圆的方程　　　　 ，得a＝5，b＝3， 　　　　　． 　　因此，长轴长2a＝10，短轴2b＝6． 　　焦点为F1（－4，0）和F2（4，0）， 　　顶点为A1（－5，0），A2（5，0），B1（0，－3），B2（0，3）． 　　离心率　　　　　 ． 　　将方程变形为　　　　　 ，根据　　　　 算出椭圆在第一象限 的几个点的坐标： x 0 1 2 3 4 5 y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0 x y A1 A2 B2 B1 F1 F2 例2.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(长轴端点中离地面最近的点)距地面439km,远地点B(长轴端点中离地面最远的点)距地面2384km,AB是椭圆的长轴，地球的半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程． 【解析】解：如图所示，建立直角坐标系． 设椭圆的标准方程为： (a＞b＞0)． 由题意可得： ， 课本例题 解得a=7782.5，c=972.5， ∴b2=a2-c2=59621550， a2=60567306.25≈60567306， ∴卫星运行的轨道方程为： ． 12 1.求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标： (1) ； (2) ； (3)16x2+25y2=400； (4)4x2+y2=16． 【解析】解：(1)由 ，知a= ，b= ，c=1，且焦点在x轴上， 课本练习 所以长轴长为2 ，短轴长为2 ，离心率为 ，左、右顶点坐标为(± ，0)，上、下顶点坐标为(0，± )，焦点坐标为(±1，0)． (2)由 ，知a=10，b=6，c=8，且焦点在y轴上， 所以长轴长为20，短轴长为12，离心率为 ，左、右顶点坐标为(±6，0)，上、下顶点坐标为(0，±10)，焦点坐标为(0，±8)． 13 1.求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标： (1) ； (2) ； (3)16x2+25y2=400； (4)4x2+y2=16． (3)由16x2+25y2=400，知 ， 所以a=5，b=4，c=3，且焦点在x轴上， 所以长轴长为10，短轴长为8，离心率为 ，左、右顶点坐标为(±5，0)，上、下顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(±3，0)． (4)由4x2+y2=16，知 ， 所以a=4，b=2，c=2 ，且焦点在y轴上， 所以长轴长为8，短轴长为4，离心率为 ，左、右顶点坐标为(±2，0)，上、下顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±2 )． 14 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，焦点在x轴上，长轴长、短轴长分别为8和6； (2)中心在原点，一个焦点坐标为(0，5)，短轴长为4； (3)对称轴都在坐标轴上，长半轴长为10，离心率是0.6； (4)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1． 【解析】解：(1)由题意得2a=8，2b=6，所以a=4，b=3，结合焦点在x轴上， 故椭圆方程为 ； (2)由题意得c=5，2b=4， 故a2=b2+c2=4+25=29，因为焦点在y轴上， 故椭圆方程为 ； 15 (3)由题意得a=10， ，所以c=6，b2=a2-c2=100-36=64， 当焦点在x轴上时，椭圆方程为 ； 当焦点在y轴上时，椭圆方程为 (4)由题意得a=2，a-c=1，所以c=1，b2=a2-c2=4-1=3， 结合焦点在x轴上，故椭圆方程为 ． 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，焦点在x轴上，长轴长、短轴长分别为8和6； (2)中心在原点，一个焦点坐标为(0，5)，短轴长为4； (3)对称轴都在坐标轴上，长半轴长为10，离心率是0.6； (4)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1． 16 3.下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？ (1)4x2+9y2=36与 ； (2)9x2+4y2=36与 ． 【解析】解：(1)4x2+9y2=36可化为 ， 则该椭圆的离心率为 又椭圆 的离心率为 ， 又 ， 即 更接近于圆； 17 3.下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？ (1)4x2+9y2=36与 ； (2)9x2+4y2=36与 ． (2)9x2+4y2=36可化为 ， 则该椭圆的离心率为 ， 又 的离心率为 ， 又 ， 则 更接近于圆． 18 4.已知椭圆的焦距为4，离心率为 ，求椭圆的短轴长． 【解析】解：因为椭圆的焦距为4，离心率为 ， 则a=3，c=2，所以 ， 故椭圆的短轴长为 ． 5.若椭圆 =1(a＞b＞0)过点(3，-2)，离心率为 ，求a、b的值． 【解析】解：∵椭圆 =1(a＞b＞0)过点(3，-2)，离心率为 ， ∴ ，∴a= ，b= ． 19 6.(1)已知椭圆长轴的两个端点到左焦点的距离分别是2和4，求椭圆的离心率； (2)设F是椭圆的一个焦点，B1B2是短轴，若∠B1FB2=60°，求椭圆的离心率． 【解析】解：(1)已知椭圆长轴的两个端点到左焦点的距离分别是2和4， 即a-c=2，a+c=4， 即a=3，c=1， 即椭圆的离心率为 = ； (2)设F是椭圆的一个焦点，B1B2是短轴， 又∠B1FB2=60°， 则 ， 即椭圆的离心率为 ． 20 易错警示　与椭圆的离心率相关的求参数问题 错解分析：错误的根本原因是忽略了焦点在y轴上的可能，导致漏 解而错误． 防范措施：椭圆焦点位置的确定方法 由椭圆的标准方程确定焦点位置时，要看方程中分母的大小．当分母的大小不确定时，要对分母的大小进行讨论．如本例中，k与5的大小关系不定，从而影响e的计算，故分“k>5”和“k<5”两类分别求解. 归纳总结 典例剖析 归纳总结 典例剖析 归纳总结 典例剖析 D 典例剖析 D 归纳总结 随堂检测 【答案】C 【解析】25－9＝(25－k)－(9－k)，故两椭圆有相同的焦点． 【答案】C 1.知识总结:本节课我们共同研究了椭圆的范围、对称性、顶点和离心率,掌握这些性质是解决有关问题的基础． 2. 数学方法:掌握利用曲线方程研究曲线性质的重要方法——解析法（坐标法），这是我们这节课研究椭圆几何性质的方法.它体现了解析几何的核心思想，也是未来我们研究其他曲线的思维模式.   课堂小结 已知椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,k)＝1的离心率e＝eq \f(\r(10),5)，则实数k的值为 (　　) A．3 B．3或eq \f(25,3) C．eq \r(5) D．eq \r(15)或eq \f(\r(15),3) 错解：由椭圆方程可知a2＝5，b2＝k>0， 则c2＝a2－b2＝5－k，而e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(5－k,5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),5)))2. 解得k＝3. 正解：(1)当焦点在x轴上时，由椭圆方程可知a2＝5， b2＝k>0，则c2＝a2－b2＝5－k， 而e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(5－k,5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),5)))2，解得k＝3. (2)当焦点在y轴上时，由椭圆方程可知a2＝k>0，b2＝5，则c2＝a2－b2＝k－5， 而e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(k－5,k)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),5)))2，解得k＝eq \f(25,3). 综上，符合条件的实数k的值为3或eq \f(25,3). 题型一　由椭圆的标准方程研究其几何性质 【例1】求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． [解]　把已知方程化成标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝eq \r(16－9)＝eq \r(7)， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6， 离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)， 两个焦点坐标分别是F1(－eq \r(7)，0)和F2(eq \r(7)，0)， 四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)． [方法技巧]　确定椭圆的几何性质的步骤 题型二　利用几何性质求椭圆的标准方程 [典例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是10，离心率是eq \f(4,5)； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. [解]　(1)设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)． 由已知得2a＝10，a＝5.又∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，∴c＝4. ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1. (2)依题意可设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)． 如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1. 利用性质求椭圆方程的方法与步骤 (1)方法：利用椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法． (2)步骤：①确定焦点位置； ②根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数． 题型三　椭圆离心率的求法及应用 [典例3]　(1)(全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为 (　　) A．1－eq \f(\r(3),2)　　　　　　　 B．2－eq \r(3) C．eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \r(3)－1 [解析]　(1)在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°， 不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝eq \r(3)， 由椭圆的定义可知，方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1中，2a＝1＋eq \r(3)，2c＝2，得a＝eq \f(1＋\r(3),2)，c＝1， 所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,1＋\r(3))＝eq \r(3)－1. (2)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为(　　) A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(3),2) C．eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \f(\r(5)－1,2) 【解析】在Rt△ABF中，|AB|＝eq \r(a2＋b2)，|BF|＝a，|AF|＝a＋c， 由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2. 将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(－1±\r(5),2)，因为0<e<1， 所以e＝eq \f(\r(5)－1,2).故选D. [方法技巧]　求椭圆离心率的值或范围的两种方法 直接法 若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解 方程法 若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 1．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m<n<0)的焦点坐标是 (　　) A．(0，±eq \r(m－n)) B．(±eq \r(m－n)，0) C．(0，±eq \r(n－m)) D．(±eq \r(n－m)，0) 【答案】C 【解析】化为标准方程是eq \f(x2,－n)＋eq \f(y2,－m)＝1，因为m<n<0，所以0<－n<－m.所以焦点在y轴上，且c＝eq \r(－m－－n)＝eq \r(n－m). 2．椭圆C1：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与椭圆C2：eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k<9) (　　) A．有相同的长轴 B．有相同的短轴 C．有相同的焦点 D．有相等的离心率 3．椭圆的四个顶点构成的菱形的面积为10，两个焦点与短轴的两个顶点构成的菱形的面积为5，则椭圆的离心率为 (　　) A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(3),2) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(6),3) 【解析】依题意有2ab＝10,2bc＝5，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2). 4．若椭圆eq \f(x2,k＋4)＋eq \f(y2,4)＝1的离心率为eq \f(1,2)，则k＝________. 【答案】eq \f(4,3)或－1 【解析】当焦点在x轴上时，a2＝k＋4，b2＝4，所以c2＝k.因为e＝eq \f(1,2)，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,4)，即eq \f(k,k＋4)＝eq \f(1,4).所以k＝eq \f(4,3).当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝k＋4，所以c2＝－k.因为e＝eq \f(1,2)，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,4).所以eq \f(－k,4)＝eq \f(1,4).所以k＝－1.综上可知k＝eq \f(4,3)或k＝－1. 5．已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e＝eq \f(\r(3),2)，求椭圆的方程． 解：由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a＝16，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，))所以a＝4，c＝2eq \r(3). 所以b2＝a2－c2＝4，所求椭圆方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1. $$