第04讲 有理数的加减运算（知识清单+3易错+8必考题型）-2025-2026学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（北师大版2024）

第04讲 有理数的加减运算 题型梳理 易错分析 易错点一 拆负的带分数时，易弄错符号致错 易错点二 对有理数减法法则理解不透致错 易错点三 运用运算律交换位置时，易弄错符号 题型方法 题型一 有理数加法法则 题型二 有理数加法法则的应用 题型三 有理数的加法运算律 题型四 有理数加法运算律的实际应用 题型五 有理数减法法则 题型六 有理数减法法则的应用 题型七 有理数的加减混合运算 题型八 有理数加减混合运算在生活中的应用 知识清单 知识点1．有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点2．有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点3．有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 易错分析 【易错点一】拆负的带分数时，易弄错符号致错 【例1】（2024七年级上·云南·专题练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 【变式3】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【易错点二】对有理数减法法则理解不透致错 【例2】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）根据有理数减法法则，计算的过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·广西来宾·期中）下列算式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）（1）计算：． （2）在计算“”时．甲同学的做法如下： ① ② ．③ 在甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是___________（写出错误所在行的序号），请你写出正确的计算过程． 【变式3】（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）在计算： 时，甲同学的做法如下： (1)在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是 (2)请给出正确的解题过程 【易错点三】运用运算律交换位置时，易弄错符号 【例3】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）计算时，下列处理方式正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式3】（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）有理数加法计算： (1)； (2)； (3)． 题型方法 【题型一】有理数加法法则 【例1】（24-25七年级上·河北邢台·期中）计算的结果是（    ） A．8 B． C．15 D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·四川巴中·阶段练习）利用有理数的加法法则，的结果符号应确定为 ，（填“” “”）计算结果是 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型二】有理数加法法则的应用 【例2】（24-25七年级上·福建南平·期末）巡道员沿着一条东西向的铁路进行巡视维护，从驻地出发先向东走了7千米，又向东走了3千米，然后折返向西走了11.5千米，此时他在驻地的什么方向，与驻地的距离是多少千米（   ） A．向西1.5 B．向东1.5 C．向西21.5 D．向东21.5 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）《九章算术》是我国重要的数学典籍，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则．魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）有一只蚂蚁在直线上表示3的数字位置上开始向西爬行（向东为正方向），每秒钟爬行1个单位，那么5秒后这只蚂蚁所在的位置表示的数是 ． 【变式3】（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练在东西方向的足球场上画了一条直线，要求球员在这条直线上进行折返跑训练．如果约定向西为正，向东为负，将某球员的一组折返跑练习记录如下（单位：米）：，，，，，，，，，． (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)球员训练过程中，最远处离出发点多少米； (3)球员在这一组练习过程中，共跑了多少米？ 【题型三】有理数的加法运算律 【例3】（2024七年级上·黑龙江·专题练习）小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河北保定·期中）计算是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【变式2】（22-23七年级上·福建福州·期中）在计算“”时，小明同学的做法如图所示，其中步骤①所运用的运算法则或运算律是 ． ①_________， 同号两数的加法法则 异号两数的加法法则 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型四】有理数加法运算律的实际应用 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：．问：守门员最后是否回到了球门线的位置？ 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·山西晋中·期末）小华本周体育锻炼时长的变化情况如下表（正数表示锻炼时长比前一天增加，负数表示锻炼时长比前一天减少）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长变化 0 (1)的意思是______； (2)本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比情况如何？ 【变式2】（24-25七年级上·全国·期中）某公司5天内货品进出仓库的吨数如下：，，，35，（其中“”表示进库，“”表示出库） (1)5天前仓库管理员结算后确定仓库里还有货品530吨，那么5天后仓库里存有货品多少吨？ (2)如果进出货的装卸费都是每吨4元，那么这5天一共要付多少元装卸费？ 【变式3】（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下： ，，，，，，，， 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶 (1)地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 【题型五】有理数减法法则 【例5】（24-25七年级上·吉林长春·期末）根据有理数减法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·福建福州·期中）我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，给出的名为“正负术”的算法：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之”．这四句话符合有理数的减法法则，下列能体现“正无入负之”这句话含义的算式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·广东广州·期中）口算 ， ， ． 【变式3】（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【题型六】有理数减法法则的应用 【例6】（24-25七年级上·广东深圳·期中）月球表面的白天平均温度零上126℃记作，夜间平均温度零下150℃，记作，则月球表面白天与夜间的温差为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·山西运城·期末）“春节冷不冷，就看冬月初一”这句谚语，是古人对天气变化的一种独特观察和预测．如图是运城市盐湖区冬月初一当天气温图，那么这一天的温差是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一种零件标准尺寸是20毫米，质量部门工作人员将19.97毫米记为毫米，那么20.05毫米就记为 毫米． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）全班学生分为五个组进行知识抢答比赛，每组的基本分为100分，答对1题加50分，答错1题扣50分．游戏结束时，各组的分数如下： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 100 150 350 (1)第一名超出第二名多少分？ (2)第三名超出第五名多少分？ 【题型七】有理数的加减混合运算 【例7】（24-25七年级上·重庆·期中）把式子写成省略括号和加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知有理数1，，，，通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，则这个运算结果最大值是（   ） A．23 B．22 C．21 D．3 【变式2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）把算式写成省略括号和加号的形式为 ． 【变式3】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)． 【题型八】有理数加减混合运算在生活中的应用 【例8】（24-25七年级上·广东深圳·期末）某公司推出无人驾驶载人飞行器，可搭载乘客或物资．在某次运输模拟测试中，出发时搭载货物重量为，记录装载卸载货物的数据如下：，，，，，（正数表示新装载的货物重量，负数表示卸载的货物重量，单位：）．模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）潜水艇停在海平面以下处，先上浮，又下潜，则此时潜水艇的位置是在（   ） A．海平面以下850m处 B．海平面以下m处 C．海平面以上850m处 D．海平面以上800m处 【变式2】（24-25七年级上·山西吕梁·期末）某文具店在某一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 310 287.3 288.7 768 表中星期日的盈亏数被墨水污染了，请你算出星期日的盈亏数为 ． 【变式3】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）小虫从某点O出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，． (1)小虫最后是否回到出发点O？如果没有，在出发点O的什么地方？ (2)小虫离开出发点O最远时多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬2厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）小明有6张分别写有数字的卡片，若从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字的差最大，最大值是多少（   ） A．14 B．13 C．11 D．9 3．（24-25六年级上·上海闵行·期末）不能用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是（   ） A．加法结合律； B．同号两数相加，符号不变，绝对值相加； C．乘法对加法的分配律； D．减去一个数等于加上这个数的相反数． 4．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）以花花家为起点，向东走为正，向西走为负．如果花花从家先走了米，又走了米，这时花花在家的（   ） A．正西方向20米处 B．正西方向50米处 C．正东方向20米处 D．正东方向50米处 二、填空题 5．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：的结果是 ． 6．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）把写成省略括号的和的形式是 ． 7．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）七名同学为了测量一栋高楼的实际高度时，需要在若干个观测点，测量两个相邻可视观测点的相对高度．如为9米表示观测点A比观测点C高9米，然后用这些相对高度计算出楼的高度.下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是 米． 9米 7.5米 米 4米 米 6米 三、解答题 8．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 9．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）某食品店一星期中每天的盈亏情况如下（记盈余为正数）： 430元，元，元，370元，元，546元，688元．食品店这一星期总的盈亏情况如何？ 10．（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）某服装厂计划平均每天生产400套运动服，下表是该厂某一周的生产情况（超出计划产量的记为“”，不足计划产量的记为“”）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 (1)试求出表中被污染的数据； (2)该服装厂星期五生产了多少套运动服？ 11．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图所示，是北京市地铁1号线的部分线路图．小王到北京市地铁1号线参加志愿者服务活动，从“西单站”入站，服务活动结束后从站出站．若规定向东为正，向西为负，则小王当志愿者过程中乘车的站数；按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，．请通过计算说明站为哪一站． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的加减运算 题型梳理 易错分析 易错点一 拆负的带分数时，易弄错符号致错 易错点二 对有理数减法法则理解不透致错 易错点三 运用运算律交换位置时，易弄错符号 题型方法 题型一 有理数加法法则 题型二 有理数加法法则的应用 题型三 有理数的加法运算律 题型四 有理数加法运算律的实际应用 题型五 有理数减法法则 题型六 有理数减法法则的应用 题型七 有理数的加减混合运算 题型八 有理数加减混合运算在生活中的应用 知识清单 知识点1．有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点2．有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点3．有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 易错分析 【易错点一】拆负的带分数时，易弄错符号致错 【例1】（2024七年级上·云南·专题练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握运算律简便运算是解答的关键．先将减法化为加法，再利用有理数加法交换律和结合律对甲、乙两人的算式求解判断即可． 【详解】解： ，故甲计算错误； ，故乙计算正确， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减的运算法则．由有理数的加减的运算法则和加法交换律进行计算，即可进行判断． 【详解】解： ，故甲正确； ，故乙正确． 故选A． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，有理数加法的运算律，熟练掌握有理数加减混合运算是解题的关键．先将带分数转化成整数与分数相加减，再根据有理数加法的交换律与结合律，即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 【变式3】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 【易错点二】对有理数减法法则理解不透致错 【例2】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）根据有理数减法法则，计算的过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了有理数减法．根据有理数减法法则计算，即可． 【详解】解：． 故选：B 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·广西来宾·期中）下列算式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减运算，熟练掌握绝对值的化简和有理数加减运算法则是解题的关键．根据题目中的选项逐个分析每一个算式等号左右两边是否相等，相等则正确，否则错误，通过计算可得只有正确，其余均错误，即可得出正确选项． 【详解】解：，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误． 故选：B． 【变式2】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）（1）计算：． （2）在计算“”时．甲同学的做法如下： ① ② ．③ 在甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是___________（写出错误所在行的序号），请你写出正确的计算过程． 【答案】（1）11（2）①，计算过程见解析 【分析】（1）去括号，去绝对值，再进行加减运算即可； （2）利用结合律进行简便运算． 【详解】解：（1）原式 ； （2）加括号时，后面一项没有变号，所以开始出错的步骤是①，正确的计算过程如下： ． 【点睛】本题考查有理数的加减运算．熟练掌握有理数的加减运算法则，是解题的关键． 【变式3】（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）在计算： 时，甲同学的做法如下： (1)在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是 (2)请给出正确的解题过程 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】（1）根据添括号法则判断即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是①； （2）正确的过程为： = = =6 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则是解答本题的关键． 【易错点三】运用运算律交换位置时，易弄错符号 【例3】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）计算时，下列处理方式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查加法运算律，根据加法交换律和结合律进行解答即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，首先根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把加减混合运算转化为有理数的加法运算，把小数转化为分数，再利用加法交换律和结合律，把分母相同的数结合在一起，可得：原式，利用有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加减法运算，加法运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （）根据有理数的加法运算法则和加法交换律即可求解； （）根据有理数的加减法运算法则和加法交换律即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）有理数加法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． （1）利用有理数加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）利用有理数加法的交换律和结合律进行计算即可； （3）利用有理数加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型方法 【题型一】有理数加法法则 【例1】（24-25七年级上·河北邢台·期中）计算的结果是（    ） A．8 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法法则进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加法法则．一个正数与一个负数相加时，将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同，由此即可解答． 【详解】解：根据有理数加法法则，计算过程正确的是：， 故选D． 【变式2】（24-25七年级上·四川巴中·阶段练习）利用有理数的加法法则，的结果符号应确定为 ，（填“” “”）计算结果是 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法运算法则，掌握其运算法则即可求解，根据有理数加法运算法则可得，计算结果的符号与绝对值较大数的符号相同，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴结果的符号与的符合相同， ∴， 故答案为：①；② ． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加法法则求解即可； （2）根据有理数加法法则求解即可； （3）根据有理数加法法则求解即可； （4）根据有理数加法法则求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【题型二】有理数加法法则的应用 【例2】（24-25七年级上·福建南平·期末）巡道员沿着一条东西向的铁路进行巡视维护，从驻地出发先向东走了7千米，又向东走了3千米，然后折返向西走了11.5千米，此时他在驻地的什么方向，与驻地的距离是多少千米（   ） A．向西1.5 B．向东1.5 C．向西21.5 D．向东21.5 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法的应用，解题的关键是规定向东走为正，向西走为负．根据题意可以设出正方向，然后根据题目中的数据进行计算，看最后的结果即可解答本题． 【详解】解：设向东走为正，向西走为负， ∴， 此时他在驻地向西1.5千米， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）《九章算术》是我国重要的数学典籍，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则．魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算，正确理解图例算筹正放与斜放的意义是关键． 根据题意列出算式求解即可． 【详解】解：由题意可知：图2中算筹正放两根，斜放5根， 则可表示为． 故选：B． 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）有一只蚂蚁在直线上表示3的数字位置上开始向西爬行（向东为正方向），每秒钟爬行1个单位，那么5秒后这只蚂蚁所在的位置表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，数轴上点的移动规律是“左减右加”，所以此蚂蚁所在的位置表示的数是． 【详解】解：蚂蚁所在的位置为：． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练在东西方向的足球场上画了一条直线，要求球员在这条直线上进行折返跑训练．如果约定向西为正，向东为负，将某球员的一组折返跑练习记录如下（单位：米）：，，，，，，，，，． (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)球员训练过程中，最远处离出发点多少米； (3)球员在这一组练习过程中，共跑了多少米？ 【答案】(1)球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点米 (2)在最远处离出发点 (3)球员在一组练习过程中，跑了米． 【分析】本题考查的是有理数加减法的应用． （1）根据加法法则，将正数与正数相加，负数与负数相加，进而得出计算得结果； （2）求出每一段到出发点的距离，即可判断出结果； （3）利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可． 【详解】（1）解： (米)； 答：球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点米； （2）每段路程跑完距离出发点为： 第一段，， 第二段，， 第三段，， 第四段，， 第五段，， 第六段，， 第七段，， 第八段，， 第九段，， 第十段，， ∴在最远处离出发点； （3） (米)， 答：球员在一组练习过程中，跑了米． 【题型三】有理数的加法运算律 【例3】（2024七年级上·黑龙江·专题练习）小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算律，根据加法交换律和加法结合律即可求解，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键． 【详解】解：将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律， 故选：． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河北保定·期中）计算是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算律．熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键．根据有理数的加法运算律判断作答即可． 【详解】解：由题意知，应用了加法交换律与结合律， 故选：C． 【变式2】（22-23七年级上·福建福州·期中）在计算“”时，小明同学的做法如图所示，其中步骤①所运用的运算法则或运算律是 ． ①_________， 同号两数的加法法则 异号两数的加法法则 【答案】加法结合律 【分析】根据解题步骤可直接得出答案． 【详解】解：，这一步所运用的运算法则或运算律是加法结合律， 故答案为：加法结合律． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握加法结合律是解题的关键． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【题型四】有理数加法运算律的实际应用 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：．问：守门员最后是否回到了球门线的位置？ 【答案】守门员最后回到了球门线的位置 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，正负数的实际应用，把守门员折返跑的记录相加，若结果为0，则守门员回到球门线位置，若不为0，则没有回到球门线位置，据此列式求解即可． 【详解】解： ， 答：守门员最后回到了球门线的位置． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·山西晋中·期末）小华本周体育锻炼时长的变化情况如下表（正数表示锻炼时长比前一天增加，负数表示锻炼时长比前一天减少）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长变化 0 (1)的意思是______； (2)本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比情况如何？ 【答案】(1)星期五小华的体育锻炼时长与前一天相比没有变化； (2)本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比增加． 【分析】本题考查了有理数的加减法，掌握有理数的加减法则是解题的关键． 只要求出本周7天体育锻炼时长变化的和即可． 【详解】（1）解：的意思是星期五小华的体育锻炼时长与前一天相比没有变化； 故答案为：星期五小华的体育锻炼时长与前一天相比没有变化； （2）解：计算一周时长变化总和： 结果为正，说明本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比增加了． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期中）某公司5天内货品进出仓库的吨数如下：，，，35，（其中“”表示进库，“”表示出库） (1)5天前仓库管理员结算后确定仓库里还有货品530吨，那么5天后仓库里存有货品多少吨？ (2)如果进出货的装卸费都是每吨4元，那么这5天一共要付多少元装卸费？ 【答案】(1)509吨 (2)548元 【分析】本题考查了正负数的意义、有理数加法的实际应用，理解正负数的相反意义，掌握有理数加法的运算法则是解题的关键． （1）求得5天内货品进出仓库的吨数的和，结合存货530吨，即可求得5天前仓库里存有货品的吨数； （2）求得进出货的总数量，乘以4，即可求得装卸费． 【详解】（1）解：（吨）， 仓库里还有货品530吨，则5天前仓库里存有货品（吨）． 答：5天后仓库里存有货品509吨． （2）解：（吨）， （元）， 答：这5天一共要付多少元装卸费548元． 【变式3】（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下： ，，，，，，，， 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶 (1)地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)地在Ａ地正南方向，它们相距 (2)汽车行驶平均耗油 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的运算，绝对值等知识点，熟练掌握正负数的意义，有理数的运算，绝对值是解决此题的关键． （1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可； （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出该天共耗油多少升即可． 【详解】（1）解：（1）∵ ， ， ∴地在A地正南方向，它们相距； （2）∵ ， ∵汽车行驶平均耗油， ∴汽车行驶平均耗油 【题型五】有理数减法法则 【例5】（24-25七年级上·吉林长春·期末）根据有理数减法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数减法法则知识点，解题的关键是掌握有理数减法法则并正确运用． 根据有理数减法法则将减法运算转化为加法运算来判断选项． 【详解】解：有理数的减法法则是：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 对于式子的相反数是，所以， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·福建福州·期中）我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，给出的名为“正负术”的算法：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之”．这四句话符合有理数的减法法则，下列能体现“正无入负之”这句话含义的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数减法法则，理解“正无入负之”的含义是解题的关键；据此即可求解． 【详解】解：由题意知，体现“正无入负之”这句话含义的算式是； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·广东广州·期中）口算 ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减法运算．根据有理数的加减法运算法则计算即可． 【详解】解：，，． 故答案为：；；． 【变式3】（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【题型六】有理数减法法则的应用 【例6】（24-25七年级上·广东深圳·期中）月球表面的白天平均温度零上126℃记作，夜间平均温度零下150℃，记作，则月球表面白天与夜间的温差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义及有理数的减法运算，熟练掌握正负数的实际意义是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解 【详解】解：由题意得：； 故选：C ． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·山西运城·期末）“春节冷不冷，就看冬月初一”这句谚语，是古人对天气变化的一种独特观察和预测．如图是运城市盐湖区冬月初一当天气温图，那么这一天的温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数减法的应用，根据温差最高温度最低温度列式计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 故选：D． 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一种零件标准尺寸是20毫米，质量部门工作人员将19.97毫米记为毫米，那么20.05毫米就记为 毫米． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，根据题意，低于标准尺寸为负，则高于标准尺寸为正，进行求解即可． 【详解】解：（毫米）； 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）全班学生分为五个组进行知识抢答比赛，每组的基本分为100分，答对1题加50分，答错1题扣50分．游戏结束时，各组的分数如下： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 100 150 350 (1)第一名超出第二名多少分？ (2)第三名超出第五名多少分？ 【答案】(1)200分 (2)500分 【分析】本题考查了有理数减法的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）根据题意，找到第一名和第二名对应的分数，再相减即可； （2）根据题意，找到第三名和第五名对应的分数，再相减即可． 【详解】（1）解：由题意得，第一名为第四组350分，第二名为第二组150分， （分）， 答：第一名超出第二名200分． （2）解：由题意得，第三名为第一组100分，第五名为第三组分， （分）， 答：第三名超出第五名500分． 【题型七】有理数的加减混合运算 【例7】（24-25七年级上·重庆·期中）把式子写成省略括号和加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是熟练运用有理数的加减运算法则，本题属于基础题型．根据有理数的加减运算即可求出答案． 【详解】解：， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知有理数1，，，，通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，则这个运算结果最大值是（   ） A．23 B．22 C．21 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题关键．要使加减混合运算的结果最大，则利用所有的正有理数之和减去所有的负有理数之和即可得． 【详解】解：要使加减混合运算的结果最大，则利用所有的正有理数之和减去所有的负有理数之和． 即 ， 即这个运算结果最大值是21， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）把算式写成省略括号和加号的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，根据加减运算中的符号法则，进行化简即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 【变式3】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型八】有理数加减混合运算在生活中的应用 【例8】（24-25七年级上·广东深圳·期末）某公司推出无人驾驶载人飞行器，可搭载乘客或物资．在某次运输模拟测试中，出发时搭载货物重量为，记录装载卸载货物的数据如下：，，，，，（正数表示新装载的货物重量，负数表示卸载的货物重量，单位：）．模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正数和负数及有理数加减混合运算，熟练掌握正数和负数是表示一对相反意义的量是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 即模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）潜水艇停在海平面以下处，先上浮，又下潜，则此时潜水艇的位置是在（   ） A．海平面以下850m处 B．海平面以下m处 C．海平面以上850m处 D．海平面以上800m处 【答案】A 【分析】设海平面以下800m处记作，根据题意，得即海平面以下850m处，解答即可． 本题考查了正负数的应用，有理数加减法的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：设海平面以下800m处记作， 根据题意，得， 故位于海平面以下850m处． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·山西吕梁·期末）某文具店在某一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 310 287.3 288.7 768 表中星期日的盈亏数被墨水污染了，请你算出星期日的盈亏数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正负数的应用，有理数加减混合运算，根据正负数的意义列式，再计算即可． 【详解】解： 元， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）小虫从某点O出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，． (1)小虫最后是否回到出发点O？如果没有，在出发点O的什么地方？ (2)小虫离开出发点O最远时多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬2厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫最后是回到了出发点O (2)12厘米 (3)54粒 【分析】本题考查了正负数的实际问题及有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）把记录数据相加，根据结果为正还是负，即可得出小虫最后离原点的位置； （2）根据正负数的性质，求出每次爬行与O点的距离，即可进行判断； （3）把所有的爬行路程的绝对值相加，即可得到小虫爬行的总路程，即可求出小虫共得芝麻的粒数． 【详解】（1）解： ， ∴小虫最后是回到了出发点O； （2）解：① 厘米， ② 厘米， ③ 厘米， ④ 厘米， ⑤ 厘米， ⑥ 厘米， ⑦ 厘米， ∴小虫离开出发点O最远时12厘米． （3）解：（厘米） （粒） 答：小虫一共得到54粒芝麻． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的加法．根据异号两数的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D 2．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）小明有6张分别写有数字的卡片，若从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字的差最大，最大值是多少（   ） A．14 B．13 C．11 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，要使差最大，则要选择最大的数和最小的数，据此确定选取的数，再用最大的数减去最小的数即可得到答案． 【详解】解：∵要使两个数字的差最大， ∴选择的两个数为最大的数和最小的数，即要选择和， ∴差的最大值为， 故选：B． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期末）不能用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是（   ） A．加法结合律； B．同号两数相加，符号不变，绝对值相加； C．乘法对加法的分配律； D．减去一个数等于加上这个数的相反数． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的减法和加法计算，减去一个数，等于加上这个数的相反数，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加，据此可得结论． 【详解】解：用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是加法结合律；同号两数相加，符号不变，绝对值相加；减去一个数等于加上这个数的相反数；不能用乘法对加法的分配律解释， 故选：C． 4．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）以花花家为起点，向东走为正，向西走为负．如果花花从家先走了米，又走了米，这时花花在家的（   ） A．正西方向20米处 B．正西方向50米处 C．正东方向20米处 D．正东方向50米处 【答案】A 【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可，本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得：（米）， 这时花花在家的正西方向20米处， 故选：A． 二、填空题 5．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数加法运算，涉及加法运算律，先由有理数加法交换律及结合律恒等变形，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）把写成省略括号的和的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减，属于应知应会题型，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键； 根据有理数的加减运算法则解答即可． 【详解】解：把写成省略括号的和的形式是； 故答案为：． 7．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）七名同学为了测量一栋高楼的实际高度时，需要在若干个观测点，测量两个相邻可视观测点的相对高度．如为9米表示观测点A比观测点C高9米，然后用这些相对高度计算出楼的高度.下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是 米． 9米 7.5米 米 4米 米 6米 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据题意列出算式计算即可． 【详解】 （米） 即是米． 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算及加法运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算，注意利用加法运算律． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）某食品店一星期中每天的盈亏情况如下（记盈余为正数）： 430元，元，元，370元，元，546元，688元．食品店这一星期总的盈亏情况如何？ 【答案】食品店这一星期盈利1930元 【分析】本题主要考查有理数加减的应用，解题的关键是理解题意；根据题意可得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得： （元）； 答：食品店这一星期盈利1930元． 10．（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）某服装厂计划平均每天生产400套运动服，下表是该厂某一周的生产情况（超出计划产量的记为“”，不足计划产量的记为“”）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 (1)试求出表中被污染的数据； (2)该服装厂星期五生产了多少套运动服？ 【答案】(1)表中被污染的数据是 (2)该服装厂星期五生产了392套运动服 【分析】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加减法运算，解题的关键是读懂题意． （1）用合计减去其他六天的情况即可求出； （2）根据第（1）问即可求出星期五的生产情况． 【详解】（1）解：依题意得，星期五工厂多生产运动服为： ，   ，         ∴表中被污染的数据是； （2）解：由（1）得：该服装厂星期五生产的运动服比平均数量少8件， ∴套，                      ∴该服装厂星期五生产了392套运动服． 11．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图所示，是北京市地铁1号线的部分线路图．小王到北京市地铁1号线参加志愿者服务活动，从“西单站”入站，服务活动结束后从站出站．若规定向东为正，向西为负，则小王当志愿者过程中乘车的站数；按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，．请通过计算说明站为哪一站． 【答案】站是复兴门站 【分析】本题主要考查了有理数加法运算的应用，根据题意列出算式求出结果，根据求出的结果，结合图形作出判断即可． 【详解】解： ， ∵向东为正，向西为负， ∴所在的位置是复兴门站， 答；站是复兴门站． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$