精品解析：福建省厦门双十中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

厦门双十中学2024-2025学年高一下学期 数学第二次月考 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上：如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效. 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 ，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 2. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为 A. 80 B. 96 C. 108 D. 110 3. 已知，是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若，，且，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下，若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ） 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 A. B. C. D. 5. 在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径的比值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在三棱柱中，若点，分别满足，，三棱柱高为3，面积为，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知菱形，且，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（ ） A. 12π B. 13π C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 为了加强疫情防控，某中学要求学生在校时每天都要进行体温检测．某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 乙同学体温的极差为 B. 甲同学体温的中位数与平均数相等 C. 乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小 D. 甲同学体温的第60百分位数为 10. 下列描述正确的是（ ） A. 若事件满足，则与是对立事件 B. 若，则事件与相互独立 C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件． D. 一个袋子中有2个红球，2个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，事件“球颜色相同”与事件“第二次取到红球”相互独立． 11. 如图，已知棱长为2的正方体中，点在线段上运动，现给出下列结论：则正确的选项为（ ） A. 直线与直线所成角的大小不变 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为定值 D. 存在一点，使得直线与平面所成角为 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 平面直角坐标系内点，，，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为__________. 13. 已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为___________. 14. 在中，内角所对的三边分别为，且，若的面积为，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 16. 非直角中，角所对的边分别为，. （1）求角； （2）若，为中点，在下列条件中任选一个，求的长度. 条件①； ②的面积为，且. 17. 为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． （1）求p和q的值； （2）求甲、乙两人共答对3道题的概率． 18. 已知等边三角形分别是边上的三等分点，且（如图甲），将沿折起到的位置（如图乙），是的中点． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当多面体的体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值． 19. 给定样本数据，记样本均值为，定义：为样本数据到实数的偏差平方和，为样本数据到实数的距离和． （1）证明：; （2）证明：的最小值为； （3）求当取最小值时，的取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门双十中学2024-2025学年高一下学期 数学第二次月考 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上：如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效. 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 ，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先进行化简，后根据实部虚部概念，模长公式，共轭复数概念解题即可. 【详解】,则的实部为 ，虚部为，，. 故选：C． 2. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为 A. 80 B. 96 C. 108 D. 110 【答案】C 【解析】 【分析】 设高二总人数为人，由总人数及抽样比列方程组求解即可． 【详解】设高二总人数为人，抽取的样本中有高二学生人 则高三总人数为个， 由题可得：，解得：. 故选C 【点睛】本题主要考查了分层抽样中的比例关系，考查方程思想，属于基础题． 3. 已知，是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若，，且，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面的位置关系，结合平面的基本性质即可判断空间中线线、线面、面面的位置关系. 【详解】对于A选项，，，则，由线面垂直的性质知，垂直于内的任意直线，又，则平行于内的某直线，所以. 对于B选项，，则平行于内的某直线，又，所以内的某直线也垂直于，则. 对于C选项，，，，由线面平行的性质可得. 对于D选项，，，则或，又，则与相交或平行. 故选：D. 4. 进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下，若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ） 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 从20个随机数中观察随机数的三个数中恰有2个在0，1，2，3，4，5中的个数，然后可得概率． 【详解】观察20个随机数，其中有116，812，730，217，109，361，284，147，318，027共10个表示3天中恰有2天发布高温橙色预警信号， 因此所求概率为． 故选：B． 【点睛】本题考查随机数表，解题关键是正确理解题意，从随机数中求得表示3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的个数，从而得出概率． 5. 在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可得，根据三角形正弦定理求出外接圆半径和三角形面积公式求出内切圆半径即可求解. 【详解】在中，，由正弦定理可得， 设， 由余弦定理得，所以， 则， 所以，则， 所以， 故选：C 6. 如图所示，在三棱柱中，若点，分别满足，，三棱柱高为3，面积为，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意确定几何体为三棱台，再结合棱台的体积公式求出三棱台的体积和棱柱的体积之间的关系，即可求得答案. 【详解】因为在三棱柱中，，， 故， 则，故几何体为三棱台； 设三棱台的体积为，几何体的体积为， 设h为三棱柱的高，则， ， 故， 故选：A 7. 已知菱形，且，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为轴建立平面直角坐标系，根据条件得出各个点的坐标，由得出点的坐标，再得出向量的坐标，由向量的夹角公式可得答案. 【详解】在菱形中，设交于点，分别以为轴建立如图所示的平面直角坐标系. 由，则 由，则点为的中点，所以 则 所以 故选：D 8. 在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（ ） A. 12π B. 13π C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图1，取中点，由棱锥体积求得面积，并得出为二面角的平面角，由面积求得此角，然后求出，由此知四面体可以放置在一个长方体中，四面体的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2，长方体的外接球就是四面体的外接球，长方体的对角线就是球的直径，计算可得球表面积． 【详解】如图1，取中点，连接，则，，又，平面，所以平面， ，所以， 又， ，， 又由，，知为二面角的平面角，此角为钝角， 所以， 所以， 因此四面体可以放置在一个长方体中，四面体的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2， 此长方体的外接球就是四面体的外接球，设长方体的棱长分别为， 则，解得， 所以外接球的直径为，， 球表面积为． 故选：B． 　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　图2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 为了加强疫情防控，某中学要求学生在校时每天都要进行体温检测．某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 乙同学体温的极差为 B. 甲同学体温的中位数与平均数相等 C. 乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小 D. 甲同学体温的第60百分位数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图中数据，依次分析各选项即可得答案. 【详解】由乙同学的体温折线图可知体温的极差为：， 故A错误； 甲同学的体温由低到高分别为： ， 所以中位数为：， 平均数为： ， 故选项B正确， 根据图中数据，甲同学的体温平均数为，与乙同学的体温平均数为， 但甲同学的体温极差为，大于乙同学的体温极差， 故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C选项正确； 对于D选项，由，在B选项中甲同学的体温从小到大排列知， 甲同学体温的第60百分位数为， 故D选项正确. 故选：BCD. 10. 下列描述正确的是（ ） A. 若事件满足，则与是对立事件 B. 若，则事件与相互独立 C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件． D. 一个袋子中有2个红球，2个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，事件“球颜色相同”与事件“第二次取到红球”相互独立． 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，利用判断出事件A与B相互独立；C选项，根据互斥事件的定义作出判断；D选项，两种情况进行计算. 【详解】对于A，例如，投掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数为1，2，3”，事件B为“点数为2，4，6”，则，但是A，B不是对立事件，故A不正确； 对于B，，，故B正确； 对于C，掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”能同时发生，所以不是互斥事件，故C正确； 对于D，，，， 因为，所以事件与事件相互独立，D正确. 故选：BCD. 11. 如图，已知棱长为2的正方体中，点在线段上运动，现给出下列结论：则正确的选项为（ ） A. 直线与直线所成角的大小不变 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为定值 D. 存在一点，使得直线与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得直线与直线所成角判断选项A；利用面面垂直判定定理判断选项B；求得到平面的距离判断选项C；求得直线与平面所成角的范围判断选项D. 【详解】连接，则由正方体中， ，平面， 可得平面, 又平面，则， 则直线与直线所成角的大小不变.故选项A判断正确； 连接， 由正方体中，平面. 又平面，则平面平面. 故选项B判断正确； 由平面，平面， 可得平面， 则点到平面的距离相等，设该距离为d， 由，可得， 解之得，则点到平面的距离为定值. 故选项C判断正确； 正方体中， 直线与平面所成角为， 由中，，， 则，由为锐角，， 则. 故不存在一点，使得直线与平面所成角为.选项D判断错误. 故选：ABC 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 平面直角坐标系内点，，，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据三点共线可求得，可求.再根据向量共线定理与向量加法运算即可求解. 【详解】，， ，. ∵O、A、B三点共线， ，解得或（舍去）. ，，. 设线段AB上靠近点A的三等分点为C， 则，. 故答案为：. 13. 已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设样本数据、、、、的平均数为，结合方差公式可得，解可得，结合平均数的性质分析可得答案． 【详解】解：根据题意，设样本数据、、、、的平均数为， 其方差 ， 又， 则有，解可得， 则样本数据、、、、的平均数为； 故答案为：． 14. 在中，内角所对的三边分别为，且，若的面积为，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积公式得到，利用角A的三角函数表达出，利用数形结合及的几何意义求出最值. 【详解】因为△ABC的面积为1，所以， 可得，由，可得 ， 设，其中， 因为表示点与点连线的斜率， 如图所示，当过点P的直线与半圆相切时，此时斜率最小， 在直角△OAP中，，可得， 所以斜率的最小值为， 所以m的最大值为，所以，所以， 即BC的最小值为， 故答案为： 【点睛】思路点睛：解三角形中最值问题，要结合基本不等式，导函数或者数形结合，利用代数式本身的几何意义求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值； （2）由平均数的公式直接求解，由图可得中位数在第3组，若设中位数设为，则，从而可求得的值； （3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可 【详解】（1）由，解得. （2）这组数据的平均数为. 中位数设为，则，解得. （3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为， 记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件， 从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，， 所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个， 所以 . 16. 非直角中，角所对的边分别为，. （1）求角； （2）若，为中点，在下列条件中任选一个，求的长度. 条件①； ②的面积为，且. 【答案】（1）； （2）选择条件①，. 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理变形给定等式，再用正弦定理边化角，借助和角的正弦公式计算即得； (2)选择条件①，求出，利用正弦定理求出边a，再用余弦定理即可求解， 选择条件②，利用三角形面积公式求出ab，进而求出边a，b，再用余弦定理即可求解. 【详解】中，将代入已知等式得，， 而是非直角三角形，即，则， 由正弦定理得：，则， 即，于是得， 而，则，即，又， 所以； （2）若选择条件①，，由(1)知B为锐角，则， 又， 由正弦定理得，， 又为中点，即， 在中，由余弦定理得，解得， 所以的长度是. 若选择条件②， 由的面积得，， 由余弦定理得，即有， 因，即，由，解得 ， 又为中点，即， 在中，，解得， 所以的长度是. 17. 为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． （1）求p和q的值； （2）求甲、乙两人共答对3道题的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立、互斥事件概率公式得到方程组求解； （2）先求出甲、乙答对题目数为0、1、2的概率，再由甲乙总共答对3道题，等价于甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，利用独立、互斥事件概率公式计算求得. 【小问1详解】 设A：甲同学答对第一题，B：乙同学答对第一题，则，． 设C：甲、乙两人均答对第一题，D：甲、乙两人恰有一人答对第一题， 则，． ∵甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响， ∴A与B相互独立，与互斥， ∴,． 由题意得解得或 ∵，∴，． 【小问2详解】 设：甲同学答对了i道题，:乙同学答对了i道题，． 由题意得，，，． 设E：甲、乙两人共答对3道题，则， ∴， ∴甲、乙两人共答对3道题的概率为． 18. 已知等边三角形分别是边上的三等分点，且（如图甲），将沿折起到的位置（如图乙），是的中点． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当多面体的体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值． 【答案】（1） 如图所示，作中点，连接， 因为是的中的，是的中点，所以在中，， 因为等边三角形中，分别是边上的三等分点，所以，由是的中点得，则， 因为，面，面，所以面，同理面， 因为，面，面， 所以面面， 因为平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）做出辅助线，证明面面平行，根据面面平行的性质定理，证明线面平行. （2）先计算出三棱锥体积，通过等体积法求出点到平面的距离，根据线面角的定义，求出线面角的正弦值. （3）先做出面与面的交线，根据二面角的平面角的定义，做出二面角的平面角，求出各边长，计算锐二面角的平面角的正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，不妨设等边三角形边长为3，则，， 由余弦定理得， 由勾股定理可知，所以， 如图所示，因为，面面， 所以为二面角的平面角，所以， 过作，垂直于延长线的点， 可知为直角三角形，其中， 所以， 因为，面，面， 所以面， 因为面，所以， 因为，面，面， 所以面，所以到平面的距离为. 在中，，则 ， 所以三棱锥的体积， 在中，， 由余弦定理得， 在中，， 在中，， 根据余弦定理得, 所以， 所以， 设到面的距离为，直线与平面所成角为， 则， 由得，解得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 多面体可以看成以为顶点的四棱锥，由（2）知，到面的距离为， 当时，四棱锥体积最大，此时面面，此时， 延长相交于，连接，此时所在直线，为面与面的交线， 作的中点，连接， 因为，所以为等腰直角三角形， 所以， 因为面，， 所以为平面与平面所成的锐二面角的平面角， 在中，，可得, 所以与平面所成的锐二面角的正切值为. 19. 给定样本数据，记样本均值为，定义：为样本数据到实数的偏差平方和，为样本数据到实数的距离和． （1）证明：; （2）证明：的最小值为； （3）求当取最小值时，的取值． 【答案】（1）证明： 由 . （2）证明： 由 ，其中为常数， 所以当时，函数取得最小值. （3） 当为偶数时，时，取得最小值； 当为奇数时，时，取得最小值. 【解析】 【分析】（1）化简，结合平均数的定义，即可得证； （2）化简，结合二次函数的性质，即可得证； （2）由数据，当为偶数时，设为数据的中位数，得到，化简，分和，两种情况讨论，化简得到，即可得到答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：因为数据， 当为偶数时，设为数据的中位数，则， 由 （其中为常数）， 任取实数，当时， 若，则 ； 若，则存在，使得， 则 ， 所以， 同理可证：当时，满足； 当为奇数时，设为数据的中位数，则， 由 （其中为常数）， 同理可证：， 综上可得：当为偶数时，时，取得最小值； 当为奇数时，时，取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $