精品解析：福建省长汀第一中学2024-2025学年高二上学期8月月考数学试题

长汀一中2026届高二上学期8月月考－数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知是等比数列，，，则（    ） A. 10 B. C. 6 D. 或6 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项的性质和等比数列的性质计算即可 【详解】由等比中项的性质可得, 设等比数列的公比为， 因为, 所以, 故选:C 2. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列前和公式、等差数列的性质可得答案. 【详解】，故， 则. 故选：A. 3. 已知首项为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（ ） A. B. 4或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出公比，分和两种情况，根据条件得到方程，求出公比，进而由求和公式即可求解. 【详解】由成等差数列，得， 设公比为，若，此时，此时不满足； 若，则， 故，即， 由于，故，解得或1（舍去）， 所以， 故选：D 4. 已知数列满足：，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算得出，可求出的通项公式，即可求得的值. 【详解】因为数列满足：，且， 对任意的，为偶数，则， 所以，，所以，. 故选：A. 5. 已知等差数列的前n项和为，，，则使不等式成立的最大的的值为（    ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质判断数列的增减性，再利用等差数列的前项和公式即可. 【详解】因数列是等差数列，则， 又，则，故公差，则数列是递增数列， 故当时递减，当时递增， 又，， 故使不等式成立的最大的的值为. 故选：C 6. 已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（ ） A. 910 B. 900 C. 890 D. 880 【答案】A 【解析】 【分析】先确定新数列的首项，再根据两个等差数列的公共项构成的数列依然是等差数列，且公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数确定公差，可求前10项和. 【详解】因为两个等差数列的首项均为1，公差分别为4，5， 所以是首项为1，公差为的等差数列，则． 故选：A 7. 已知正项数列的前项和为，若，且恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式交叉相乘后得到，仿写作差后得到，进而得到，然后利用裂项相消法求出不等式左边的最大值即可. 【详解】因为， 所以，即， 即，则， 与上式作差后可得， 因为正项数列，所以， 所以， 因为，， 所以 ， 所以实数的最小值为， 故选：B. 8. 已知，，，，成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，取最小值时为负数，且，利用等比数列的基本量运算即可求解. 【详解】若相邻两项为 和，则公比为正数，每一项都为正数，舍去； 若奇数项为 和，则奇数项均为正数，舍去； 由题意，要使最小，则，，都是负数，则和选择 和， 设等比数列的公比为， 当时，，所以，所以， 所以； 当时，，所以，所以， 所以； 综上可得，的最小值为. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则a，b，c成等比数列 B. 若一个常数列是等比数列，则这个数列的公比是1 C. 数列为等差数列的充要条件是对任意，都有 D. 若数列为等差数列，则数列也为等差数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，可举出反例；B选项，根据等比数列和公比的定义得到B正确；C选项，先得到必要性成立，再得到必要性成立，C正确；D选项，根据等差数列的定义得到也为等差数列. 【详解】A.如数列0，0，0，满足，但a，b，c不成等比数列，故错误； B.若一个常数列是等比数列.即，则这个数列的公比是，故正确； C.若数列为等差数列.则，即，故必要， 若，即为，则数列为等差数列，故充分，故正确； D.若数列为等差数列，设，则，为定值， 故数列也为等差数列，故正确 故选：BCD 10. 已知数列的通项为，，则（ ） A. 数列的最小项为 B. 数列的最大项为 C. 数列的最小值为－0.8 D. 数列的最大值为2.4 【答案】BCD 【解析】 【分析】由 判断选项AB，由判断选项CD. 【详解】解： ，当时，，则单调递增； 当时， ，则单调递减，又，，，所以数列的最大项为，无最小项，故A错误，B正确； ， 当时， 单调递减，； 当时，各项为正且单调递减， 所以数列的最小值为，数列的最大值为，故CD正确， 故选：BCD 11. 已知为数列前项和，则下列结论成立的有（ ） A. 若数列为等比数列，且，则数列为等差数列 B. 若数列为等差数列，若，则 C. 若数列为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为2 D. 若数列满足，且，则该数列的前100项和 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用等差数列与等比数列的定义及性质可判断选项ABC，根据所给数列表达式，找出规律求出即可. 【详解】A选项：依题意，设等比数列的公比为， 所以为常数， 所以数列为等差数列，故A正确； B选项：数列为等差数列，设公差为 ，首项为， 则， 又，即， 化简可得，则， ，所以， 故B选项正确； C选项：等差数列的前10项中， 偶数项的和为， 奇数项的和为， 又偶数项的和与奇数项的和之比为， 且，则， 解得，所以，故C选项正确； D选项：因为，所以， 因为， 所以数列依次为：， 所以数列从第 项起，周期为 ， 所以数列的前项的和为， 故D错误； 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足则数列的通项公式为____. 【答案】 【解析】 【分析】由递推关系变形，可转化为为等差数列，据此可求出通项公式. 【详解】， ，即， 解得， 由题意知，，故由可得， 所以是以为首项， 为公差的等差数列， ， 故 故答案为： 13. 已知等差数列，若，，且，则公差__________． 【答案】 或 【解析】 【分析】由题可得，然后分和讨论即得. 【详解】∵，， ∴， 若，显然，则， 解得，满足题意； 若，则，， 又， ， ， ， ∴ ，， ， 综上，公差或. 故答案为：0或6． 14. 已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为__________. 【答案】7 【解析】 【分析】降次作差得，构造数列，求出，则得到，作差构造新数列，再证明其单调性即可得到答案. 【详解】因为， 两式相减得：，即. 两边同除以可得， 又，得，满足， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故， 即，所以， 因为， 令，则， 所以数列单调递增，因为， 所以当时，，即； 当7时，， 即.所以的最小值为7. 故答案为：7. 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是作差得到，然后是构造等差数列，从而得到，最后作差并结合数列的单调性即可. 四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足.等比数列的公比为3，且. （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式和等比数列的定义即可求出数列通项； （2）根据分组求和与裂项求和法以及等比数列的求和公式即可求出 【小问1详解】 数列满足， 是以为首项，为公差的等差数列， ，， 等比数列的公比为3，且， ， 【小问2详解】 ， 16. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元． （1）求甲、乙两超市第n年销售额的表达式； （2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 【答案】（1）， （2）乙超市在第7年将被收购 【解析】 【分析】（1）根据求甲超市第年销售额的表达式，利用累加法求乙超市第年销售额的表达式； （2）利用（1）中得表达式，代入求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购. 【小问1详解】 设甲超市前年总销售额为，第年销售额为， 则， 因为时，， 则时，， 故； 设乙超市第年销售额为，则， 时，， ， 显然时也符合， 所以. 【小问2详解】 当时，，，有； 当时，，，有； 当时，，，故乙超市有可能被收购， 当，令，则， 整理得， 又当时，，故当且时，必有， 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购. 17. 已知数列满足.记. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合等比数列定义推理即得. （2）利用（1）的结论求出，再利用分组求和及错位相减法求和即得. （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 由，得，而，则， 又，因此， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，，则， 令数列的前项和为，则， ， 两式相减得，则， 所以. 【小问3详解】 由（2）知， ， 而，所以. 18. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ， （1）求的通项公式； （2）记为的前项和，求证：； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1） ， （2）证明如下： 由 (1) 可知，， 则， ， . （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件列出方程组，求解出，根据等比和等差数列的通项公式求解即可； （2）利用等比数列前n项和公式求出，求出，得证； （3）利用错位相减法和裂项相消法，分奇偶项两组求和即可. 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为， 则，化简，得， 整理，得， 解得(舍去)，或，则， ，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由 (1) 可得， ， ， 令， 两式相减，可得 ， ， 令 , . 19. 在数列的第 项与第项之间插入 个1，称为变换．数列通过变换所得数列记为，数列通过变换所得数列记为，以此类推，数列通过变换所得数列记为（其中）． （1）已知等比数列的首项为1，项数为 ，其前 项和为，若，求数列的项数； （2）若数列的项数为3，的项数记为． ①当时，试用表示； ②求证：． 【答案】（1）36 （2）①； ②证明：因数列是一个3项的数列，所以， 由，所以， 于是，则有 所以，得，即， 所以. ，，于是， 则有，可得，有，即， 所以， 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，由，利用等比数列通项公式与前项和公式求出，由变换的定义求数列的项数； （2）由变换的定义，得与的递推关系，利用放缩结合对数的运算证明不等式. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，显然， 由 ，得，解得. 故数列有8项，经过1次变换后的项数为， 即的项数为36. 【小问2详解】 ①由的项数为，则当时，， 所以 ②略 【点睛】方法点睛： “新定义”型问题，需要读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长汀一中2026届高二上学期8月月考－数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知是等比数列，，，则（    ） A. 10 B. C. 6 D. 或6 2. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ）. A. B. C. D. 3. 已知首项为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（ ） A. B. 4或 C. D. 4. 已知数列满足：，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前n项和为，，，则使不等式成立的最大的的值为（    ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 6. 已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（ ） A. 910 B. 900 C. 890 D. 880 7. 已知正项数列的前项和为，若，且恒成立，则实数 的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知，，，，成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则a，b，c成等比数列 B. 若一个常数列是等比数列，则这个数列的公比是1 C. 数列为等差数列的充要条件是对任意，都有 D. 若数列为等差数列，则数列也为等差数列 10. 已知数列的通项为，，则（ ） A. 数列的最小项为 B. 数列的最大项为 C. 数列的最小值为－0.8 D. 数列的最大值为2.4 11. 已知为数列前项和，则下列结论成立的有（ ） A. 若数列为等比数列，且，则数列为等差数列 B. 若数列为等差数列，若，则 C. 若数列为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为2 D. 若数列满足，且，则该数列的前100项和 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足则数列的通项公式为____. 13. 已知等差数列，若，，且，则公差__________． 14. 已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为__________. 四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足.等比数列的公比为3，且. （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 16. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元． （1）求甲、乙两超市第n年销售额的表达式； （2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 17. 已知数列满足.记. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若，数列的前项和为，求证：. 18. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ， （1）求的通项公式； （2）记为的前项和，求证：； （3）若，求数列的前项和. 19. 在数列的第 项与第项之间插入 个1，称为变换．数列通过变换所得数列记为，数列通过变换所得数列记为，以此类推，数列通过变换所得数列记为（其中）． （1）已知等比数列的首项为1，项数为 ，其前 项和为，若，求数列的项数； （2）若数列的项数为3，的项数记为． ①当时，试用表示； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $