2.2基本不等式【6个常规题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【2.2基本不等式】 总览 题型梳理 【知识点总览】 一、基本不等式的推导 1. 核心公式： 平方形式：对于任意实数 ，有 推导过程： 由完全平方公式 （任何实数的平方非负），展开得： 移项后即得 ，当且仅当 时，等号成立。 2. 算术-几何平均不等式（基本形式）： 若 ，令 （），代入平方形式得： 即两个正数的算术平均数不小于其几何平均数，当且仅当 时等号成立。 二、使用基本不等式的注意事项（“一正二定三相等”） 1. 一正：变量为正数 若 为负数，需先转化为正数（如提取负号），否则公式不成立。 例：若 ，则 ，可对 变形使用。 2. 二定：和或积为定值 求积的最大值时，需保证和为定值；求和解的最小值时，需保证积为定值。 例：若 ，求 的最小值，此时 （积为定值），故最小值为 。 3. 三相等：等号成立条件 必须验证等号是否能取到，若变量无法相等，则需用函数单调性等其他方法求解。 例：若 ，求 的最小值时，需确保 有解（即 ，在定义域内，等号成立）。 三、基本不等式的常见形式与变形 1. 基础变形公式 | 形式 | 表达式 | 等号成立条件 | |-----------------------|---------------------------------|--------------------| | 和与积的关系 | | | | 积与和的关系 | | | | 平方和与和的关系 | | | | 倒数和与积的关系 | （） | | 2. 分式与根式形式 （ 同号），当且仅当 时等号成立。 （算术-几何-平方平均不等式），当且仅当 时等号成立。 3. 多变量扩展（必修一暂不要求，可选记） 三变量：若 ，则 ，当且仅当 时等号成立。 四、常见结论与应用场景 1. 最值问题结论 若 且 （定值），则 的最大值为 （当 时取得）。 若 且 （定值），则 的最小值为 （当 时取得）。 2. 实际应用场景 几何意义：半径为 的半圆中，弦长 ，半圆上的高 ，则 （直径的一半为算术平均，高为几何平均）。 经济与工程：用于优化资源分配（如矩形面积固定时求最小周长，或周长固定时求最大面积）。 3. 不等式链拓展 对 ，有： （调和平均 ≤ 几何平均 ≤ 算术平均 ≤ 平方平均），等号均当且仅当 时成立。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：基本不等式的使用条件】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【例题3】（24-25高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·天津南开·开学考试）设，，则下列不等式中一定成立的是（   ） ①        ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【相似题3】多选题（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）下列命题中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【题型2：利用基本不等式求和与积的最值】 例题精选 【例题1】（2025高二下·浙江·学业考试）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2】（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）已知，，且，则的最大值为 . 【例题3】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）设，且.则xy的最大值是 ；的最小值为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 【相似题2】（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若正数满足，且的最小值是16，则的值为 . 【相似题3】（23-24高一上·甘肃白银·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 例题精选 【题型3：基本不等式中“1”的代换】 【例题1】（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．12 C． D．27 【例题2】（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 【例题3】（山西省部分学校2025届高三下学期5月模拟联考数学试题）已知正实数，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．7 相似练习 【相似题1】（2025·辽宁盘锦·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则的最小值是 . 【相似题3】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【题型4：利用基本不等式证明不等式】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 【例题2】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【例题3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，求证： (1)； (2)． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）（1）已知，，，求证：； （2）已知、、都是正实数，且，求证：. 【相似题2】（20-21高一·全国·课后作业）已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 【相似题3】（2024高一·全国·专题练习）已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 【题型5：利用基本不等式解决实际问题】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课后作业）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【例题2】（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 【例题3】（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 【相似题2】（24-25高一上·四川绵阳·期末）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.    (1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 【相似题3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为. (1)求y关于x的函数表达式； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？ 【题型6：基本不等式的综合应用】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例题2】多选题（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知且，则下列选项正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【例题3】多选题（2025·湖北恩施·模拟预测）若正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 相似练习 【相似题1】多选题（22-23高一上·浙江湖州·阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【相似题2】多选题（24-25高二下·云南楚雄·阶段练习）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【相似题3】多选题（24-25高一下·山西运城·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 【课后强化练习】 一、单选题 1．（2025·安徽合肥·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 2．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）若，，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 3．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 4．（24-25高一下·云南临沧·阶段练习）若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、多选题 6．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A．最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为4 7．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若，且，则下列说法正确的是（    ） A．ab有最大值 B．有最大值 C．有最小值4 D．有最小值 8．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）以下结论正确的是（ ） A．若，则的最大值为 B．的最小值为2 C．若则 D．若a+b＝1，则 三、填空题 9．（24-25高二下·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值为 . 10．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知，则的最大值为 ． 11．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 12．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知为正实数，且，则的最小值为 ． 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知正数满足，则取到最小值时， ； 14．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）若，则的最大值为 . 15．（24-25高三下·上海·阶段练习）设，，若，则的最大值为 . 16．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设为实数，若，则的最大值是 ． 四、解答题 17．（24-25高一上·河南周口·阶段练习）利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 18．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【2.2基本不等式】 总览 题型梳理 【知识点总览】 一、基本不等式的推导 1. 核心公式： 平方形式：对于任意实数 ，有 推导过程： 由完全平方公式 （任何实数的平方非负），展开得： 移项后即得 ，当且仅当 时，等号成立。 2. 算术-几何平均不等式（基本形式）： 若 ，令 （），代入平方形式得： 即两个正数的算术平均数不小于其几何平均数，当且仅当 时等号成立。 二、使用基本不等式的注意事项（“一正二定三相等”） 1. 一正：变量为正数 若 为负数，需先转化为正数（如提取负号），否则公式不成立。 例：若 ，则 ，可对 变形使用。 2. 二定：和或积为定值 求积的最大值时，需保证和为定值；求和解的最小值时，需保证积为定值。 例：若 ，求 的最小值，此时 （积为定值），故最小值为 。 3. 三相等：等号成立条件 必须验证等号是否能取到，若变量无法相等，则需用函数单调性等其他方法求解。 例：若 ，求 的最小值时，需确保 有解（即 ，在定义域内，等号成立）。 三、基本不等式的常见形式与变形 1. 基础变形公式 | 形式 | 表达式 | 等号成立条件 | |-----------------------|---------------------------------|--------------------| | 和与积的关系 | | | | 积与和的关系 | | | | 平方和与和的关系 | | | | 倒数和与积的关系 | （） | | 2. 分式与根式形式 （ 同号），当且仅当 时等号成立。 （算术-几何-平方平均不等式），当且仅当 时等号成立。 3. 多变量扩展（必修一暂不要求，可选记） 三变量：若 ，则 ，当且仅当 时等号成立。 四、常见结论与应用场景 1. 最值问题结论 若 且 （定值），则 的最大值为 （当 时取得）。 若 且 （定值），则 的最小值为 （当 时取得）。 2. 实际应用场景 几何意义：半径为 的半圆中，弦长 ，半圆上的高 ，则 （直径的一半为算术平均，高为几何平均）。 经济与工程：用于优化资源分配（如矩形面积固定时求最小周长，或周长固定时求最大面积）。 3. 不等式链拓展 对 ，有： （调和平均 ≤ 几何平均 ≤ 算术平均 ≤ 平方平均），等号均当且仅当 时成立。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：基本不等式的使用条件】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】AB通过分析a，b符号，可判断选项正误； C由基本不等式可判断选项正误； D由作差法结合AB分析可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 【例题2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B 【分析】利用基本不等式的条件、取等号的条件逐项判断. 【详解】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：B 【例题3】（24-25高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据均值不等式，可知当时，成立，可验证充分性；根据举特值法可判断必要性. 【详解】当时，，当且仅当即时取等号，所以充分性成立； 当时，成立，不满足，所以必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式使用的条件判断即可. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误； 对于D：，取等条件为，即，故D正确. 故选：D 【相似题2】（24-25高一上·天津南开·开学考试）设，，则下列不等式中一定成立的是（   ） ①        ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用基本不等式的知识对各选项逐一分析即可 【详解】对于①，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故①错误； 对于②，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，则成立，故②正确； 对于③，， 当且仅当即时等号成立， 因为，所以成立，故③正确； 对于④， ， 当且仅当，即时等号成立，故④正确. 故选：C 【相似题3】多选题（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）下列命题中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式计算即可一一判定选项. 【详解】对于A，由基本不等式知，当且仅当时取得等号， 所以时，，故当时，为真命题，即A正确； 对于B，显然时，有，故B错误； 对于C，易知，当且仅当时取得等号， 所以当时，，命题时，为真命题， 故C正确； 对于D，易知，当且仅当时取得等号， 所以当时，，命题时，为真命题， 故D正确. 故选：ACD 【题型2：利用基本不等式求和与积的最值】 例题精选 【例题1】（2025高二下·浙江·学业考试）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因，则， 则，等号成立时. 故的最小值是. 故选：C 【例题2】（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）已知，，且，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】应用基本不等式求积的最大值即可. 【详解】因为，，且，所以，故， 当且仅当等号成立，所以的最大值为8. 故答案为：8 【例题3】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）设，且.则xy的最大值是 ；的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求出的最大值，又，利用基本不等式求和的最小值. 【详解】， ，当且仅当即，时等号成立， 则xy的最大值是, ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：； 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，利用基本不等式中“1的妙用”求出最小值. 【详解】，且， 则 （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为． 故答案为： 【相似题2】（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若正数满足，且的最小值是16，则的值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值，再列式求出值. 【详解】依题意，，解得，当且仅当时取等号， 因此，解得，所以的值为4. 故答案为：4 【相似题3】（23-24高一上·甘肃白银·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式可求得结果；（2）利用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此，当时，取到最大值. （2）由，解得， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为10. 例题精选 【题型3：基本不等式中“1”的代换】 【例题1】（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．12 C． D．27 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 【例题2】（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 【答案】B 【分析】根据已知有，应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题意，， 又，当且仅当时取等号， 所以，即目标式最小值为7. 故选：B. 【例题3】（山西省部分学校2025届高三下学期5月模拟联考数学试题）已知正实数，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．7 【答案】D 【分析】对于，利用以值代参，求解基本不等式. 【详解】 ， 当且仅当,即取等号． 故选：D． 相似练习 【相似题1】（2025·辽宁盘锦·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入所求代数式，结合基本不等式可求得其最小值. 【详解】因为正数、满足， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为． 故选：C. 【相似题2】（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最小值为， 故答案为：. 【相似题3】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】变形目标式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【题型4：利用基本不等式证明不等式】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 【答案】证明见解析；证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）证明：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； （2）证明：∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． . 【例题2】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【详解】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 【例题3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再由基本不等式证明即可； （2）利用代入得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立． （2）， ， 当且仅当时，即时等号成立． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）（1）已知，，，求证：； （2）已知、、都是正实数，且，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据题意结合不等式的性质分析证明； （2）根据题意利用乘“1”法，结合基本不等式分析证明. 【详解】（1）因为，则， 又因为，则，可得， 又，所以； （2）因为、、都是正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 【相似题2】（20-21高一·全国·课后作业）已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 【答案】证明见解析 【分析】利用基本不等式证明. 【详解】因为, 所以,即≥,当且仅当时取得等号, 则有， 同理得≥，≥， 相加可得++≥++，当且仅当时等号成立. 【相似题3】（2024高一·全国·专题练习）已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先将证明的式子进行化简，运用已知条件，基本不等式“1”妙用即可计算证明. 【详解】证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 ， 当且仅当同时成立， 即时等号成立. 【题型5：利用基本不等式解决实际问题】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课后作业）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低 (2) 【详解】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为． 设甲工程队报价为y元，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元． （2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以． 故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 【例题2】（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可证，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）首先证明，得到，在利用勾股定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. （2）如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 【例题3】（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【答案】(1)，其中，． (2) (3) 【分析】（1）根据题设有，化简整理可得关系式； （2）根据（1）可得，结合对应函数的单调性求最小值； （3）解法一：应用基本不等式有，解一元二次不等式求得，结合求最大值； 解法二：根据已知得，再应用基本不等式求最大值. 【详解】（1）由题设，则且； （2）由，得， 易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值． 故仓库占地面积的最小值为，此时． （3）解法一：由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 解法二：由，得． 故． 因为（当且仅当时取等号）． 所以（当且仅当时取等号）． 故仓库容积的最大值为，此时． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 【答案】(1)育苗区的长为，宽为； (2) 【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1）依题意，，所用篱笆总长为，而， 当且仅当，即，时取等号， 所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. （2）依题意，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值. 【相似题2】（24-25高一上·四川绵阳·期末）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.    (1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 【分析】（1）设出米，则米，求出矩形面积的表达式，根据矩形的面积大于32平方米解不等式可得答案； （2）利用基本不等式求解可得答案. 【详解】（1）设，则由与相似得 ，整理得， 矩形的面积， 即， 当时，得，整理得， 解得，或，又， （2）时，， 当且仅当即时等号成立， 所以， 所以，当的长为米，矩形花坛的面积最小，最小值平方米. 【相似题3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为. (1)求y关于x的函数表达式； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？ 【答案】(1) (2)海报长，宽时，用纸量最少 【分析】（1）根据宣传栏的面积列出解析式； （2）结合基本不等式求解出海报面积的最小值即的最小值； 【详解】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， ， 整理得. （2）由（1）知，即，     ，由基本不等式可得，       令，则， 解得（舍去）或. ，当且仅当，即时等号成立， ∴海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为. 【题型6：基本不等式的综合应用】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合条件可得 ，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 三个等号可同时成立，所以 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为 ， 故选：A. 【例题2】多选题（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知且，则下列选项正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式结合常值代换及换元法计算各个选项即可判断选项. 【详解】对于A项，因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A项正确； 对于B项，因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B项正确； 对于C项，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C项错误； 对于D项，令所以 所以， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D项正确． 故选：ABD． 【例题3】多选题（2025·湖北恩施·模拟预测）若正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式进行求解. 【详解】因为正实数满足， 对A选项：，当且仅当时等号成立，故A正确；   对B选项：，，当时等号成立，故B错误； 对C选项：由，则，当且仅当时等号成立，故C正确； 对D选项：，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 相似练习 【相似题1】多选题（22-23高一上·浙江湖州·阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 【相似题2】多选题（24-25高二下·云南楚雄·阶段练习）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】举出反例即可判断A；利用基本不等式即可判断B；利用消元法结合基本不等式即可判断C；根据基本不等式在“1”的整体代换即可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，由，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以有，故B正确； 对于C，由，得， 又，则， 由二次函数的性质可知，当时，有最小值，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：BCD. 【相似题3】多选题（24-25高一下·山西运城·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】变形，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因， 则 当且仅当时取等号， 故的最小值为4． 故答案为： 【课后强化练习】 一、单选题 1．（2025·安徽合肥·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 2．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）若，，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 3．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 4．（24-25高一下·云南临沧·阶段练习）若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、多选题 6．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A．最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为4 7．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若，且，则下列说法正确的是（    ） A．ab有最大值 B．有最大值 C．有最小值4 D．有最小值 8．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）以下结论正确的是（ ） A．若，则的最大值为 B．的最小值为2 C．若则 D．若a+b＝1，则 三、填空题 9．（24-25高二下·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值为 . 10．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知，则的最大值为 ． 11．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 12．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知为正实数，且，则的最小值为 ． 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知正数满足，则取到最小值时， ； 14．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）若，则的最大值为 . 15．（24-25高三下·上海·阶段练习）设，，若，则的最大值为 . 16．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设为实数，若，则的最大值是 ． 四、解答题 17．（24-25高一上·河南周口·阶段练习）利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 18．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B A B ABC BCD AC 1．D 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可得解. 【详解】由题意得， 当且仅当时，即时，取得最小值9． 故选：D. 2．D 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】因为，，且，由基本不等式可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，故有最大值为. 故选：D. 3．B 【分析】先由已知等式得到，再由基本不等式求解可得. 【详解】已知，且，，其中, ， 当且仅当时取等号. 故选：B 4．A 【分析】由已知等式变形得出，令，，可得出且，，代入，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】由得， 令，，则且，， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为 ， 故选：A． 5．B 【分析】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 6．ABC 【分析】选项、可直接利用基本不等式求得最值，选项、可以先乘再求其最值. 【详解】因为，所以，当且仅当，即，时成立，正确； 对于，，当且仅当，即，时成立，正确； 对于，，当且仅当，即，时成立，正确； 对于，，当且仅当，即时成立，错误. 故选： 7．BCD 【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，平方后，结合A选项，得到取得最大值，故B正确；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，由得，，结合函数单调性得到时，取得最小值. 【详解】对于A，因，，解得， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，由，由A项已得， 故当且仅当时，取得最大值为2， 此时取得最大值，故B正确； 对于C，因，由， 当且仅当时等号成立，此时取得最小值4，故C正确； 对于D，由可得，解得， 则， 因，故当时，取得最小值，故D正确. 故选：BCD. 8．AC 【分析】对式子进行变形，运用基本不等式，结合乘1法进行计算判断各选项即可. 【详解】对于选项A，已知，又因为，所以，即，当且仅当时等号成立. 将代入可得. 因为，所以，则. 对不等式两边同时开平方，可得，所以的最大值为，故选项A正确. 对于选项B， . 但是等号成立的条件是，即. 而因为，所以，那么，等号不成立，所以，故选项B错误. 对于选项C，已知，则（因为），所以. 在不等式两边同时加上，可得. 不等式两边同时除以，得到. 因为，且，，开平方，可得，故选项C正确. 对于选项D， . 根据基本不等式则，所以，当且仅当，即时等号成立. 由于；则，故选项D错误. 故选：AC. 9．1 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1 10． 【分析】利用重要不等式，注意等号成立条件，可得答案. 【详解】由题意可得，当且仅当时，等号成立，则. 故答案为：. 11．4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 12． 【分析】将化为，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以 因为， 所以，当且仅当时取等． 所以则的最小值为， 故答案为：． 13． 【分析】借助“1”的灵活运用，由基本不等式即可求解. 【详解】由正数，满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以取到最小值时，. 故答案为：. 14． 【分析】根据基本（均值）不等式求和的最小值即可. 【详解】因为，， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立. 故. 故答案为： 15． 【分析】根据基本不等式可求的最大值. 【详解】由题意得，， 当且仅当，即时取等号， ∴的最大值为. 故答案为：. 16．/ 【分析】根据基本不等式的应用求解即可. 【详解】 ， ，当且仅当时，等号成立， 可得， 时取最大值， 故的最大值为. 故答案为：. 17．(1)4 (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式即可求解. （2）利用基本不等式即可求解. （3）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，当且仅当时取等号， 故最小值为4，此时. （2）因为， 所以，当且仅当时取等， 故最大值为. （3）因为， 所以，当且仅当时取等号， 故所求最大值为. 18．(1) (2) (3)3万元 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$