第一章 集合与常用逻辑用语（举一反三讲义·培优篇）高一数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版（2019）】 题型1 集合中元素的个数问题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则中元素个数为 ． 4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 5．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 题型2 根据元素与集合的关系求参数 1．（24-25高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 2．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 4．（24-25高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 5．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 题型3 有限集合子集、真子集的确定 1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（   ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 3．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 4．（24-25高一上·上海·开学考试）已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设，证明：若，则. 5．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 题型4 根据集合间的关系求参数 1．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）设集合，集合，若，，则等于（    ） A． B．0 C．1 D． 2．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 5．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 题型5 交、并、补集的混合运算 1．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知全集，集合，集合，求 ． 4．（24-25高一上·河北唐山·期中）设集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 5．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）已知全集，，，. (1)列举法表示集合、、、； (2)求； (3)求；. 题型6 集合混合运算中的求参问题 1．（24-25高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 2．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 3．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是 . 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 5．（24-25高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 题型7 集合中的新定义问题 1．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 3．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，定义集合，则中有 个元素． 4．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 5．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合中含有三个元素同时满足（1）（2）（3）为偶数，则称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)判断集合是否具有性质，说明理由; (2)若集合具有性质，证明：集合是的“期待子集”; (3)证明：集合具有性质的充分条件是集合是集合的“期待子集”. 题型8 充分条件与必要条件中的含参问题 1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 4．（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）已知：或，：，：． (1)若是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若是的必要条件，求的最大值． 5．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 题型9 充分、必要条件与集合交汇 1．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 3．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）已知集合或，或. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不充分条件，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 题型10 全称量词与存在量词中的含参问题 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，命题． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版（2019）】 题型1 集合中元素的个数问题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数. 【解答过程】因为，所以．又，所以， 所以可能的取值为，分别代入可得， 所以集合A中共有6个元素． 故选：D. 2．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用集合的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得. 【解答过程】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则中元素个数为 ． 【答案】3 【解题思路】针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论即可. 【解答过程】当都为正数时，， 当中有两个正数时，不妨设，则 ， 当中有一个正数时，不妨设，则 ， 当都为负数时，， 所以， 所以M中元素个数为3． 故答案为：3. 4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 【答案】(1)8个； (2)证明见解析． 【解题思路】（1）需要对的取值进行分类讨论，然后计算出，再根据元素的互异性求解； （2）设，计算出，即可证明． 【解答过程】（1）时，； ，； ，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； 所以，它有8个元素； （2）因为， 所以设，． ，所以得证． 5．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【解答过程】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 题型2 根据元素与集合的关系求参数 1．（24-25高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【解题思路】由集合与元素的关系分类讨论即可求解. 【解答过程】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 2．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合中的元素特征得出不等式组可解得结果. 【解答过程】由且，得 解得， 故选：A． 3．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【解题思路】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【解答过程】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 4．（24-25高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)的值为0或 (2)的值为 【解题思路】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值． （2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值． 【解答过程】（1）集合中有三个元素：，，，， 或， 解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立． 的值为0或． （2）集合中也有三个元素：0，1，，， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， ． 实数的值为． 5．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【解题思路】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【解答过程】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或. 题型3 有限集合子集、真子集的确定 1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（   ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解题思路】先解出集合，再由得到，最后根据包含关系求出实数即可； 【解答过程】， 因为，所以， 所以， 对应实数的值分别为， 其组成集合的子集个数为个. 故选：D. 2．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【答案】B 【解题思路】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果. 【解答过程】∵， ∴满足“，则”的的集合是的子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， ∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：. 故选：B. 3．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 【答案】6 【解题思路】用穷举法求出集合，再求集合B的非空真子集的个数即可. 【解答过程】由题意，当，或时，或； 当，或时，或； 当，或时，或； 综合以上可知，； 所以集合B的非空真子集的个数为， 故答案为：6. 4．（24-25高一上·上海·开学考试）已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设，证明：若，则. 【答案】(1)254 (2)证明见解析 【解题思路】（1）先分类讨论求出集合A，然后求出集合A的非空真子集个数； （2）结合条件设，将7x变形为，即可证明. 【解答过程】（1）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，； 所以，它有8个元素，有个非空真子集； （2）因为，所以设， 所以，得证. 5．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【解答过程】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 题型4 根据集合间的关系求参数 1．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）设集合，集合，若，，则等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【解题思路】根据，，对进行分类讨论，由此求得的值. 【解答过程】当时，有两相等的实根， 则，解得； 当时，有两相等的实根1， 则 解得； 当时，有两个不相等的实根，1， 则无解， 综上：. 故选：D. 2．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意，分和两种情况讨论即可. 【解答过程】因为， ①当时，，解得， ②当时，， 解得， 综上所述，的取值范围是为：. 故选：A. 3．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】结合，分，两种情况讨论求解即可. 【解答过程】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 5．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【解答过程】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 题型5 交、并、补集的混合运算 1．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】确定，，再计算交集得到答案. 【解答过程】，，故， ，故. 故选：B. 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【解答过程】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 3．（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知全集，集合，集合，求 ． 【答案】 【解题思路】根据集合交集和补集的概念求解即可. 【解答过程】因为全集，集合，集合， 所以，， 故答案为：. 4．（24-25高一上·河北唐山·期中）设集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或；或 (2) 【解题思路】（1）根据题意可知，再根据集合间运算求解即可； （2）分析可知，根据包含关系列式求解即可. 【解答过程】（1）由题意可得：， 当时，则， 可得，所以或； 又因为或所以或. （2）显然，若，则，解得， 所以的取值范围为. 5．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）已知全集，，，. (1)列举法表示集合、、、； (2)求； (3)求；. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)； 【解题思路】（1）根据描述法所给集合，用列举法求出集合； （2）根据集合的交集、并集运算得解； （3）根据集合的交并补的概念进行计算即可. 【解答过程】（1）全集，集合， 集合， 集合. （2）， . （3）. . 题型6 集合混合运算中的求参问题 1．（24-25高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】由，得到，分与讨论即可. 【解答过程】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 故选：A. 2．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【解题思路】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【解答过程】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 3．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】通过集合运算得出，对集合进行分类讨论，时显然成立，时无解. 【解答过程】 当时，，满足题意. 当时，时，解得 综上所述，. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果. （2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果. 【解答过程】（1）当时，， 因为或，所以， 故. （2）若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. 5．（24-25高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据并集结果可得，分别讨论和的情况即可求得结果； （2）由交集结果可知，分别讨论、和，根据可构造不等式求得结果. 【解答过程】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 题型7 集合中的新定义问题 1．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据与，利用集合交、并、补运算的法则可得到答案. 【解答过程】集合，， 则，， 由定义可得：且，且， 所以， 选项ABD错误，选项C正确． 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【解题思路】由封闭集的定义，逐项判断即可，同时③用举例，④用反证法即可. 【解答过程】对于①，因为为一个“封闭集”，由定义可知则，那么,正确； 对于②，因为为一个“封闭集，，所以，所以，正确； 对于③，,，都是封闭集，显然或不成立，错误 对于④，充分性：都是“封闭集”，若或，易知是“封闭集”， 必要性：若是“封闭集”，令, 假设且． 则存在,,同时, 因为是“封闭集”， 所以,，分两类情况讨论 若,又则所以，这与假设矛盾； 若,又则所以，这与假设矛盾； 故假设不成立，原结论是“封闭集”则或．必要性成立，故正确； 故选：D. 3．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，定义集合，则中有 个元素． 【答案】63 【解题思路】根据题意，得到集合中有9个元素，集合中有35个元素，进而得到有9个值，有7个值，结合图形，进而求得集合中的元素个数，得到答案. 【解答过程】中有个元素（即9个点）， 即图中正方形内部及其正方形边上的整点， 集合中有个元素（即42个点）， 即图中长方形内部及其长方形边上的整点， 所以或或或或或或或或4，共有9个值， 或或或或或或，共有7个值， 所以中的元素可看作正方形中的整点，即个． 故答案为：63.    4．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)集合能满足，实数的取值范围为. 【解题思路】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）易知，假设集合能满足，则，或且，代入求解即可. 【解答过程】（1）因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）, 因为且，所以， 所以 所以. （3）因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为. 5．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合中含有三个元素同时满足（1）（2）（3）为偶数，则称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)判断集合是否具有性质，说明理由; (2)若集合具有性质，证明：集合是的“期待子集”; (3)证明：集合具有性质的充分条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】(1)不具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断； （2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”； （3）存在三个互不相同的，使得均属于,证明满足性质的三个条件即可. 【解答过程】（1）集合不具有性质，理由如下:从任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足③， 有一个为2时，不妨令，则，不满足②， 综上，集合不具有性质. （2）因为集合具有性质，所以是偶数，必为奇数. 当时，由，则，不合题意; 当时，由，则，或（舍去）;所以，所以具有性质， 而中的元素1，2，3满足:，集合是的“期待子集”. （3）当集合是集合的“期待子集”时，则在中存在三个互不相同的元素使得均属于， 不妨设，令，，则，满足①， ，满足②， 为偶数，满足③，所以集合具有性质， 所以集合具有性质的充分条件是集合是集合的“期待子集”. 题型8 充分条件与必要条件中的含参问题 1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解. 【解答过程】令或，， 因是的充分不必要条件，可得真包含于， 可得. 故选：D. 2．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】当时，求出，由题意求得的范围. 【解答过程】根据题意，当时，， 则， 因为成立的充分条件是， 所以. 故选:B. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据必要非充分条件，转化为子集关系，即可求解. 【解答过程】因为是的必要非充分条件， 设集合 或，或，, 当，得时，此时成立，，成立， 当时，即时，再满足，得：，此时的取值为， 所以 故答案为：. 4．（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）已知：或，：，：． (1)若是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若是的必要条件，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据充分条件与必要条件的定义列不等式，即可得参数范围； （2）写出，再结合必要条件的定义列不等式，即可得参数最值. 【解答过程】（1）设命题与表示的集合分别为和， 即或，， 又是的必要不充分条件， 则， 所以， 即； （2）设命题表示的集合为， 则， 又命题表示的集合为， 是的必要条件， 所以， 则，解得， 又， 所以， 即的最大值为. 5．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据充要条件知，不等式的解集相同，建立方程得解； （2）由充分不必要条件可化为，解不等式得解. 【解答过程】（1）因为是的充要条件， 所以， 解得. （2）因为是的充分不必要条件， 所以， 即，解得， 所以的取值范围. 题型9 充分、必要条件与集合交汇 1．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【解答过程】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【解题思路】先举反例说明充分性不成立，再证必要性成立即可. 【解答过程】先看充分性：若，，则，不是奇数，故不成立； 所以“”是“”的不充分条件； 再证必要性：因为，所以，故“”是“”的必要条件. 综上：“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 3．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】通过集合关系即可求解. 【解答过程】由是成立的一个充分不必要条件， 可知：， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 4．（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）已知集合或，或. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）当时，得到，结合并集的概念，即可求解； （2）根据题意，转化为是的真子集，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解； （3）根据题意，转化为是的真子集，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）解：当时，或，所以. （2）解：因为是的必要不充分条件，可得是的真子集， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. （3）解：因为是的充分不充分条件，可得是的真子集， ①当时，即时，此时，符合题意； ②当时，即时，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 5．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)答案见解析 【解题思路】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）选①，由题意得到是的真子集，再分集合是否为空集讨论即可；选②，因为，所以，再分集合是否为空集讨论即可；选③，，所以，再分集合是否为空集讨论即可； 【解答过程】（1）当时，，又， ∴， 又或 ， ∴或； （2）选①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 若，则，解得； 若，则且等号不能同时成立，解得， 综上，或，即的取值范围为 选②，因为，所以，下同选①. 选③，，所以，下同选①. 题型10 全称量词与存在量词中的含参问题 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【解答过程】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题； 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 2．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出为真命题时的范围，进一步可得答案． 【解答过程】由，得， ，， 则当时，取最小值2，所以， 命题，则，即， 若命题均为假命题，则且，即， ∴实数的取值范围为． 故选：B. 3．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【解题思路】先求出命题、分别为真命题时实数的取值范围，然后分真假，或假真两种情况可求得结果. 【解答过程】由命题为真命题，得，解得， 由命题为真命题，得，解得， 因为命题、一真一假，所以真假，或假真， 当真假时，，得， 当假真时，，得， 综上，或. 故答案为：或. 4．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）为真命题，则方程有实数根，分与两种情况讨论即可. （2）由一元二次不等式恒成立求得当命题为真命题时的范围，利用交集运算求解即可. 【解答过程】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根， 当时，有实数根， 当时，则，解得且， 综上，实数的取值范围为 （2）命题为真命题，则，不等式恒成立， 当时，， 则，解得 当真假时，有，则或； 当假真时，有，则解集为： 综上，或， 故实数m的取值范围为 5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，命题． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意确定，即可求解； （2）通过真真和假假两种情况讨论即可求解. 【解答过程】（1）因为命题为真命题，所以，故，故， 于是．因为，所以，即． （2）①为真命题时，则，由于，所以，故， 于是．由知，所以； ②命题为真命题时， （i）时，，符合题意； （ii）时，，即，此时且； 故命题为真命题时，有； 由命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题可知， 由两种情况：真真和假假， 所以，当真真时a不存在；当假假时． 综上所述，实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$