精品解析：暑假作业10 一次函数的应用与综合（1个知识点+6个题型+创新题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 一次函数的应用与综合 【知识点 一次函数的应用】 判断等量关系为一次函数的情况 （1）函数图象是直线（或直线的一部分）； （2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数； （3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位 常见类型 （1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案； （2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值． 注意：根据实际情况确定变量的取值范围 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 一次函数的应用与行程问题】 1. 甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程y（米）与所用的时间x（分）的函数关系如图所示：给出下列说法：①比赛全程1500米．②2分时，甲乙相距300米．③比赛结果是乙比甲领先50秒到达终点．④3分40秒时，乙追上甲．其中正确的个数（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①由函数图象可以得； ②根据图象列式计算即可得出结论； ③由函数图象可以得答案； ④求出两分钟后，甲、乙图象表示的函数，再联立即可求解． 【详解】解：①由函数图象可得比赛全程1500米，故①正确； ②甲的速度米/分， ∴2分时甲、乙相距为米，故②正确； ③由函数图象可以得；乙比甲领先秒到达终点，故③错误； ④设两分钟后，，将，代入， ∴， 解得：， ∴， 设甲的函数解析式，，将，代入， 得， 解得， ∴， 联立， 解得， 即乙追上甲用分钟=3分钟40秒，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，认真观察函数图象从中获得有效信息是解题关键． 2. 已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，则下列说法错误的是（ ） A. B. 点F的坐标为 C. 出租车从乙地返回甲地的速度为 D. 出租车返回的过程中，货车出发或都与出租车相距 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用. 利用待定系数法求得的解析式，将代入解析式，解方程即可判断A选项； 根据A选项中a的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，可求出装货时间，即点B的坐标，再根据货车继续出发后与出租车相遇，求出装完货后货车的速度，即直线的解析式中k的值，最后将点B坐标代入直线的解析式，利用待定系数法即可得到直线的解析式，把代入可求得点G的坐标，进而得到点F的坐标，从而判断B选项； 由B选项中点F的坐标，再结合题意，可得点E的坐标，从而可得到出租车返回时的速度，从而判断C选项； 设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距，此时货车距离乙地为，出租车距离乙地为，结合货车和出租车的速度进行分类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距时；②出租车和货车第二次相遇后，距离时，分别进行解答即可判断D选项． 【详解】结合图象，可得， 设直线的解析式为， 将代入解析式，可得，解得， 直线的解析式为， 把代入，得， 故A选项正确； 根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距， 可得此时出租车距离乙地为， 出租车距离甲地为， 把代入，可得，解得， 货车装完货时，，可得， 根据货车继续出发后与出租车相遇，可得（出租车的速度＋货车的速度）， 根据直线的解析式为，可得出租车的速度为， 相遇时，货车的速度为， 故可设直线的解析式为， 将代入，可得，解得， 直线的解析式为， 把代入，可得，解得， ， ， 故B选项正确； 根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得, ， 出租车返回时的速度为， 故C选项正确； 设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距， 此时货车距离乙地为，出租车距离乙地为， ①出租车和货车第二次相遇前，相距时； 可得， 解得， ②出租车和货车第二次相遇后，相距时； 可得， 解得， 故在出租车返回的行驶过程中，货车出发或与出租车相距． 故D选项错误． 故选：D 3. 甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是______km/h，乙的速度是______km/h； （2）对比图①、图②可知______，______； （3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？ 【答案】（1）25，10 （2）10，1.5 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度； （2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到、的值； （3）由图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【小问1详解】 解：由图可得， 甲的速度为：，乙的速度为：， 故答案为：25，10； 【小问2详解】 解：由图可得， ， ， 故答案为：10；1.5； 【小问3详解】 解：由题意可得， 前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得，， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为． 【点睛】本题主要考查函数图象，解题的关键是由函数图象得到解题的信息． 4. 一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地行驶到地，甲车出发1小时后乙车从地出发，沿公路行驶到地．甲、乙两车匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地，乙车到达目的地后原地休息．甲、乙两车之间的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）A、C两地的距离为___________km，甲车行驶速度为___________km/h，乙车行驶速度为___________km/h； （2）求图中线段所在直线的函数解析式； （3）直接写出乙车出发多少小时，乙车与地的距离是甲车与地距离的2倍． 【答案】（1）；； （2） （3）小时或小时 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图像、一次函数应用以及一元一次方程的应用，通过函数图像获得所需信息是解题关键． （1）由图像可知，A、C两地的距离为，B、C两地的距离为，再分别确定乙车行驶速度时间和甲车行驶时间，然后根据“速度路程时间”求解即可； （2）首先确定点的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （3）设乙车出发小时，分甲车到达B地前和甲车到达B地后两种情况，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由图像可知，A、C两地的距离为， B、C两地的距离为，则乙车行驶速度为， ∵乙车比甲车早小时到达目的地， ∴甲车行驶总时间为， ∴甲车行驶速度为． 故答案为：420；100；60； 【小问2详解】 由（1）可知，甲车行驶速度为， 则点的纵坐标为，即， 两车相遇的时间为， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； 【小问3详解】 设乙车出发小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍， 当甲车到达B地前，可有， 解得， 当甲车到达B地后，可有， 解得， ∴乙车出发小时或小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍． 5. 在、两地之间有服务区，甲车由地驶往服务区，乙车由地驶往地，两车同时出发，匀速行驶，如图是甲、乙两车分别距离服务区的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是________千米/时； （2）求图象中线段的函数解析式； （3）当两车距服务区的路程之和是千米时，直接写出此时乙车的行驶时间． 【答案】（1） （2） （3） 或小时 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，结合路程除以速度，即可求解； （2）先求得乙车的速度，进而得出，待定系数求得解析式，即可求解； （3）分别求得各段解析式，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，千米/时； 故答案为：． 【小问2详解】 解：乙车的速度为千米/时； ∴ 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴ 【小问3详解】 解：依题意， 设乙车的行驶小时后，两车距服务区的路程之和是千米， 当甲乙未相遇时， 解得： 当乙经过服务区， （舍） 当甲乙相遇之后， 答：乙车的行驶 或小时后两车距服务区的路程之和是千米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键． 【题型2 一次函数的应用与费用最少问题】 6. 鲜花饼是一款以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼在云南当地烘焙品牌店均有销售．每年4月，鲜花饼的上市早已成为当地人民的共同期待，排着长队等待购买新鲜上市的鲜花饼在当地早已司空见惯，某经销商准备从一鲜花饼加工厂购进甲、乙两种鲜花饼进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种鲜花饼的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种鲜花饼按80元/千克的价格出售，设经销商购进甲种鲜花饼千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种鲜花饼共150千克，其中甲种鲜花饼多于50千克且不超过80千克，如何分配甲、乙两种鲜花饼的购进量，才能使经销商付款总金额最少？ 【答案】（1） （2）甲种鲜花饼的购进量是80千克、乙种鲜花饼的购进量是70千克，才能使经销商付款总金额最少 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键． (1)由图可知函数关系式是分段函数，用待定系数法求解即可； (2)购进甲种鲜花饼x千克，则购进乙种鲜花饼千克，根据实际意义可以确定函数解析式，再利用函数性质即可求出答案． 【小问1详解】 解：当时， 设， 将代入，得， 解得， 所以当时， 当时， 设， 将代入， 得， 解得， 所以当时， ， 所以与之间的函数关系式为 ； 【小问2详解】 解：甲种鲜花饼多于50千克且不超过80千克， ， ， 随的增大而减小， ， 当时，w最小，最小值为， 甲种鲜花饼的购进量是80千克、乙种鲜花饼的购进量是千克，才能使经销商付款总金额最少， 答：当甲种鲜花饼的购进量是80千克、乙种鲜花饼的购进量是千克，才能使经销商付款总金额最少． 7. “阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某中学为营造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需要资金1500元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共30个（两种规格的书柜都必须购买），其中购买乙种书柜的数量不少于购买甲种书柜的数量，请问：甲乙两种书柜各购进多少个时，花费资金最少，最少资金是多少元？ 【答案】（1）甲种书柜每个的价格分别是180元，乙种书柜每个的价格分别是240元 （2）甲乙两种书柜各购进15个时，花费资金最少，最少资金是6300元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用． （1）依据题意，设甲种书柜每个的价格分别是x元，乙种书柜每个的价格分别是y元，则，则，从而可以判断得解； （2）依据题意，设购买甲种书柜m个，则购买乙种书柜个，则，从而，故此时花费资金，且，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，设甲种书柜每个价格分别是x元，乙种书柜每个的价格分别是y元， ∴． ∴． 答：甲种书柜每个的价格分别是180元，乙种书柜每个的价格分别是240元； 【小问2详解】 解：由题意，设购买甲种书柜m个，则购买乙种书柜个， ∴． ∴． 又∵此时花费资金，且， ∴当时，花费资金最小，最小值为：（元）． 答：甲乙两种书柜各购进15个时，花费资金最少，最少资金是6300元． 8. 中华优秀文化源远流长，她是中华文明的智慧结晶．《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》的单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． （1）两种图书的单价分别是多少元？ （2）某校图书室计划购买这两种图书共100本，且购买的《周髀算经》的数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，该书店打折优惠，两种图书均按8折出售，两种图书分别购买多少本时费用最少？最少费用多少？说明你的理由． 【答案】（1）《周髀算经》单价为30元，《孙子算经》的单价是24元 （2）当购买《周髀算经》34本，购买《孙子算经》66本时费用最少，最少费用是元，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用． （1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可； （2）根据题意，可以得到购买《周髀算经》的数量与总费用的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到总费用的最小值． 【小问1详解】 解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》的单价是元， 由题意可得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：《周髀算经》单价为30元，《孙子算经》的单价是24元； 【小问2详解】 解：设购买《周髀算经》a本，则购买《孙子算经》为本，总费用为w元， 由题意可得：， ∴w随a的增大而增大， ∵购买的《周髀算经》的数量不少于《孙子算经》数量的一半， ∴， 解得， ∵a为正整数， ∴当时，w取得最小值，此时，， 答：当购买《周髀算经》34本，购买《孙子算经》66本时费用最少，最少费用是元． 9. 我市某游乐场在暑假期间推出学生个人门票优惠活动，各类门票价格如下表： 票价种类 （A）夜场票 （B）日通票 （C）节假日通票 单价（元） 80 120 150 某慈善单位欲购买三种类型的门票共100张奖励品学兼优的留守学生，设购买A种票x张，B种票张数是A种票的3倍还多7张，C种票y张，根据以上信息解答下列问题： （1）直接写出x与y之间的函数关系式； （2）设购票总费用为W元，求W（元）与x（张）之间的函数关系式； （3）为方便学生游玩，计划购买学生的夜场票不低于20张，且节假日通票至少购买5张，有哪几种购票方案？哪种方案费用最少？ 【答案】（1） （2） （3）当A种票为22张，B种票73张，C种票为5张时费用最少，最少费用为11270元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的运用，读懂题意列出函数表达式以及一元一次不等式组，运用一次函数的性质解决最值问题． （1）根据总票数为100得到，然后用x表示y即可； （2）利用表中数据把三种票的费用加起来得到，然后整理即可； （3）根据题意得到不等式组，再解不等式组且确定不等式组的整数解为20、21、22，于是得到共有3种购票方案，然后根据一次函数的性质求w的最小值． 【小问1详解】 解：根据题意， ， 所以； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：依题意得 解得， 因为整数x为20、21、22， 所以共有3种购票方案（A、20，B、67，C、13；A、21，B、70，C、9；A、22，B、73，C、5）； 而， 因为， 所以y随x的增大而减小， 所以当x=22时，， 即当A种票为22张，B种票73张，C种票为5张时费用最少，最少费用为11270元． 10. 受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． （1）直接写出当和时，与之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克． ①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额（元）最少？ ②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克．若销售完100千克水果后；甲种水果的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量的取值范围． 【答案】（1） （2）①购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额 (元)最少 ② 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用中的最优解问题． （1）由图已知与的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可； （2）①设购进甲种水果为千克，则购进乙种水果 千克，根据实际意义可以确定的范围，结合付款总金额(元)与两种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用； ②根据题意分为和两种情况列不等式解题即可． 小问1详解】 当时, 设, 根据题意得， 解得， ∴； 当时, 设， 根据题意得解得 ， ∴， ； 【小问2详解】 ①设购进甲种水果为千克，则购进乙种水果千克 ∴， 当时, ， 当时. 元； 当时, ， 当时, 元， ∵ ∴当时, 总费用最少, 最少总费用为元此时乙种水果(千克)， 答：购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额 (元)最少． ②当时,， 解得，不符合题意； 当时，，解得：， ∴甲种水果购进量的取值范围为：． 【题型3 一次函数的应用与利润最大问题】 11. 某书店计划同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元． （1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用4500元全部购进这两类图书，设购进A类图书x本，B类图书y本． ①求y关于x的关系式． ②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元．若书店全部售完可获利w元，求w关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）A类图书36元/本，B类图书45元/本 （2）①；②当购进A类图书60本，B类图书52本可获得最大利润380元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出方程和不等式组，建立函数关系式是求解本题的关键． （1）设A类图书每本a元，B类图书每本b元，根据题意建立二元一次方程组求解． （2）①根据用4500元全部购进两类图书可求出函数关系式． ②先求w与x的函数关系式，再根据函数性质求最值． 【小问1详解】 解：设A类图书每本a元，B类图书每本b元，由题意得： ， 解：． 答：A类图书36元/本，B类图书45元/本． 【小问2详解】 解：①∵用4500元全部购进两类图书， ∴， ∴， ②由题意得： ， ∵，， ∴． ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，（元）， （本）． ∴当购进A类图书60本，B类图书52本可获得最大利润380元． 12. 根据需要，某厂要制作如图所示的A，B两种塑料盒（单位：）共80个，购进某种塑料板材100张， 每张这样的塑料板材有两种裁剪方法： 甲：裁成4块的小正方形板； 乙：裁成8块的小长方形板． 先将x张这种板材都按甲方法裁成小正方形板，用于制作80个A，B两种塑料盒的正方形的面，每个A种塑料盒需要6块正方形的面，每个B种塑料盒需要2块正方形的面和4块长方形的面，设制作A种塑料盒y个， （1）按甲方法裁成小正块方形板_______块（用含x的式子表示），按甲方法裁成小正方形板（_______）（用含y的式子表示），求y与x的函数关系式； （2）若把剩下的板材都按乙方法裁成小长方形板，恰好做成了A，B两种塑料盒各40个，已知每张板材的进价是4元，将其按甲方法裁剪还需要1元，按乙方法裁剪还需要3元，其他成本忽略不计．A种塑料盒的销售单价定为m元，B种塑料盒的销售单价定为元，但不低于7元．m定为多少时，这批塑料盒的销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1），， （2）当时，w的值最大，最大值为元 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意确定正确的函数关系式是解本题的关键 （1）由裁剪得到的正方形的面数等于制作80个，两种塑料盒的正方形的面，再建立函数关系式即可； （2）先确定．结合，再利用一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：按甲方法裁成小正块方形板块（用含x的式子表示）， 按甲方法裁成小正方形板（用含y的式子表示）， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：总成本为（元． 由题意，． 解得． ． 销售利润：． 整理，得． ， 随的增大而增大． 当时，的值最大，最大值为（元）． 13. 某企业生产A、B两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如下表： A型产品（元/件） B型产品（元/件） 甲地区销售可获得的利润 180 130 乙地区销售可获得的利润 160 120 若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元． （1）求A、B两种型号产品各生产了多少件？ （2）若销往甲地区x件A型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值． 【答案】（1）A型产品生产了200件，B型产品生产了300件 （2）利润的最大值是72000元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点， （1）根据该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据（1）中的结果和题意，可以写出y与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，可以求得最大利润； 解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 【小问1详解】 设A型产品生产了m件，则B型产品生产了件， 由题意得：， 解之得：， ， ∴A型产品生产了200件，B型产品生产了300件； 【小问2详解】 由题意得： ， 随若x的增大而增大， 当时，y有最大值72000， 答：利润的最大值是72000元． 14. 茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元． （1）A，B两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 【答案】（1）A、B两种茶具每套进价分别为100元和75元 （2）采购A种茶具30个，B种茶具50个可获得最大利润为1900元 【解析】 【分析】本题考查一次了函数的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元，根据题意列方程组并求解即可； （2）计算再次购进A、B两种茶具时，A种茶具和B种茶具每套的价格，根据“A种茶具每套进价×购进A种茶具的套数+B种茶具每套进价×购进B种茶具的套数”列关于x的一元一次不等式并求解，设获得的利润为W元，根据“获得的利润＝每套A种茶具的利润×购进A种茶具的套数+每套B种茶具的利润×购进B种茶具的套数”写出W关于x的关系式，根据该关系式的增减性和x的取值范围，确定当x为何值时W的值最大，求出其最大值此时的值即可． 【小问1详解】 解：（1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元． 根据题意，得 解得， ∴A种茶具每套进价100元，B种茶具每套进价75元． 【小问2详解】 解：再次购进A、B两种茶具时，A种茶具每套进价为（元），B种茶具每套进价为（元）． 设购进A种茶具x套，则购进B种茶具套． 根据题意，得， 解得； 设获得的利润为W元，则， ∵， ∴W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W的值最大，，此时购进B种茶具（套）， 购进A种茶具30套、B种茶具50套获得最大的利润，最大的利润是1900元． 15. 某商场购进A，B两种商品共件进行销售，其中A商品的件数不超过B商品件数的2倍，不少于B商品件数的一半，A，B两种商品的进价、售价如表： A B 进价（元/件） 售价（元/件） 请利用所学知识解决下列问题： （1）设商场购进A商品的件数为x件，购进A，B两种商品全部售出后获得利润为y元，求y与x之间的函数关系式及x的取值范围： （2）在（1）的条件下，商场购进A商品多少件时，商场获得利润最大？最大利润是多少元？ （3）在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中拿出m元捐给慈善基金，则商场购进A商品多少件时，可获得最大利润？ 【答案】（1） （2）商场购进A商品件时，商场获得利润最大，最大利润是元 （3）商场购进A商品件时，可获得最大利润 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的图象与性质等知识．熟练掌握一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）依题意得，，则y与x之间的函数关系式是，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）由一次函数的增减性求解作答即可； （3）设A，B商品全部售出后获得利润为w元，则，由，可得，则w随x的增大而减小，然后作答即可． 【小问1详解】 解：依题意得，， ∴y与x之间的函数关系式是； 依题意得，， 解得，， ∴x的取值范围； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，y取最大值，为， ∴商场购进A商品件时，商场获得利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：设A，B商品全部售出后获得利润为w元，则， ∵， ∴， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取最大值， ∴商场购进A商品件时，可获得最大利润． 【题型4 一次函数的应用与分段计费问题】 16. 某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/瓶 4元/瓶 售价 18元/瓶 6元/瓶 （1）设甲种型号的果汁有x万瓶，公司所获利润为W元，如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． （2）“五一”黄金周期间，为扩大销量，该公司对乙种型号果汁进行优惠，优惠方案如下： 方案一：购买乙种型号果汁一律打9折； 方案二：购买168元会员卡后，乙种型号果汁一律8折． 某超市到该公司购买乙种型号果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案． 【答案】（1）当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元； （2）当时，选择方案一购买更合算；当时，选择两优惠方案所需费用相同；当时，选择方案二购买更合算． 【解析】 【分析】（1）根据该公司四月份投入成本不超过216万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之导出x的取值范围，利用总利润每瓶甲种号的果汁的销售利润生产甲种型号的果汁量每瓶乙种型号的果汁的销售利润生种型号的果汁的数量，可找出W关于x的关系式，再利用一次函数的性质，即可解值问题； （2）设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，选择方案一所需费用为元；选择方案而需费用为元，分及 三种情况，可求出y的直范围或y的值，进而可得出结论． 本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式应用以及一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵该公司每月生产甲、乙两种型号的果汁20万瓶，且甲种型号的果汁生产了x万瓶，乙种型号的果汁生产了万瓶， 据题意得： 解得：， ∵公司所获利润为W元， ∴ ∴ ∵ ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，最大值为，此时， ∴当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元； 【小问2详解】 解：设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，则选择方案一所需费用为：元，选择方案二所需费用为：元， 若，则， 当时，选择方案一购买更合算； 若，则， 当时，选择两优惠方案所需费用相同； 若，则， 当时，选择方案二购买更合算． ∴当时，选择方案一购买更合算；当时，选择两优惠方案所需费用相同；当时，选择方案二购买更合算． 17. 某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初二某班的同学们准备制作、两款挂件来进行销售．已知制作3个款挂件、5个款挂件所需成本为46元，制作5个款挂件、10个款挂件所需成本为85元．已知、两款挂件的售价如下表： 手工制品 款挂件 款挂件 售价（元/个） 12 8 （1）求制作一个款挂件、一个款挂件所需的成本分别为多少元？ （2）若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个款挂件或3个款挂件，制作的总成本不超过590元，且制作款挂件的数量不少于款挂件的2倍．设安排人制作款挂件，销售的总利润为元．请写出（元）与（人）之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）制作一个款挂件的成本为7元，制作一个款挂件的成本为5元 （2）,且为正整数；安排17人制作款挂件，23人制作款挂件时，总利润最大，为377元 【解析】 【分析】(1) 设制作一个款挂件的成本为元，制作一个款挂件的成本为元列出方程组即可； (2) 根据题意，列出一次函数和不等式组，求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性分析求解即可． 【小问1详解】 解：设制作一个款挂件的成本为元，制作一个款挂件的成本为元． 由题可知：， 解得 答：制作一个款挂件的成本为7元，制作一个款挂件的成本为5元． 【小问2详解】 解：由题可知：． ∴， ∵为整数， ∴且为正整数． ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，最大，此时，． 答：安排17人制作款挂件，23人制作款挂件时，总利润最大，为377元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，以及一次函数的应用，根据题意列出方程组和不等式组是解题关键． 18. 某快递公司因业务拓展，需要招聘快递员，提供了如下两种日工资方案： 方案一：每日底薪50元，每完成一单业务再提成3元； 方案二：每日底薪80元，前30单无提成，超过30单的部分，每完成一单提成5元． 设快递员每日完成的业务量为n单（n为正整数），方案一、二中日工资分别为（单位：元）． （1）分别写出关于n的函数解析式； （2）据统计，若某快递员平均每天的业务量约为50单，仅从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？说明理由； （3）设某快递员平均每日完成的业务量为n单，从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？试画出日工资收入函数大致图象并直接写出你的选择方案． 【答案】（1）y2 （2）他应该选择方案一．理由见解析 （3）当或时，他应该选择方案二；当或时，两个方案的日工资相同，任选其一即可；当时，他应该选择方案一． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）分别根据两个具体方案解答即可； （2）当时，分别计算，的值并比较大小即可； （3）先计算两函数图象的交点坐标，再根据函数关系式画出对应的函数图象，再图象比较，的大小即可． 【小问1详解】 解：（1）， 当时，， 当时， ∴关于n的函数解析式（n为正整数）， 关于n的函数解析式y2． 【小问2详解】 解：他应该选择方案一．理由如下： 当时，，， ∵， ∴仅从日工资收入的角度考虑，他应该选择方案一． 【小问3详解】 当时，解得， 当， 解得， ∴两函数图象的交点坐标为，， 则两函数的图象如图所示： 根据图象，当或时，， 当或时，， 当时，， ∴当或时，他应该选择方案二；当或时，两个方案的日工资相同，任选其一即可；当时，他应该选择方案一． 19. 某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图像如图所示，根据图形回答： （1）该市自来水收费时，每户使用不超过吨时，每吨收费________元；超过吨时，每吨收费________元； （2）求该户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间的关系式； （3）若某户居民某月交水费元该户居民用水多少吨？ 【答案】（1），； （2）； （3）吨． 【解析】 【分析】（）分两种情况，用水费除以用水量即可得每吨收费； （）分两种情况，用待定系数法求出函数关系式即可； （）把代入法（）所得对应的函数解析式计算即可求解； 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用信息，列出函数关系式． 【小问1详解】 解：∵(元吨)， ∴不超过吨时，每吨收费元， ∵(元吨)， ∴超过吨时，每吨收费元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时，设， 把，代入得，， 解得， ∴； 当时，设， 把，代入得， ， 解得， ∴； 综上所述，与之间的关系式为； 【小问3详解】 解：∵ ， ∴用水量超过吨， 把代入得， ， 解得， 答：该户居民用水吨． 20. 当排球和足球纳入中招考试体育加试后，这两种球的销量逐步提升．某体育用品商店看准时机，第一次购入个排球和个足球共花费元．第二次购入个排球和个足球共花费元．商店将排球和足球以元个和元个的价格出售，前两次进货很快销售一空． （1）求每个排球和足球的进价． （2）该商店准备第三次购入排球和足球共个，根据市场需求，排球的购买个数不少于个且不超过个．购买时生产厂家对排球进行了优惠，规定购买排球不超过个时保持原价，超过个时超过的部分打八折．设第三次进货销售完的总利润为元（利润销售额成本），其中购进排球个． 求与的函数关系式； 商店为了回馈顾客，开展促销活动．将其中的（为正整数）个排球按元个，个足球按元个进行销售．若第三次进货销售完后，获得的最大利润不能低于元，求的最大值． 【答案】（1）排球的进价为每个元，足球的进价为每个元； （2）；． 【解析】 【分析】（）根据题意列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （）根据题意可以写出利润与的函数关系式， 根据的取值范围当，时和当时，及一次函数的性质，可以求得利润的最大值； 本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求的最大值． 【小问1详解】 设排球的进价为每个元，足球的进价为每个元， 根据题意，得， 解方程组，得， 答：排球的进价为每个元，足球的进价为每个元， 【小问2详解】 当时，， 当时， ， ∴ ， 当时，， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为， ∴， 解不等式，得； 当时， ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最大，最大值为， ∴， 解不等式，得， ∵是正整数， ∴的最大值为， 答：的最大值为． 【题型5 一次函数的应用与含参问题】 21. 武汉某文化公司向市场投放A型和B型商品共200件进行试销．A型商品成本价140元/件，B型商品成本价120元/件，要求两种商品的总成本价不超过26400元，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为170元/件，全部售出且获得的利润不低于10800元．设该公司投放A型商品x件，销售这批商品的利润为y元． （1）求y与x之间的函数解析式．并求出x的取值范围； （2）要使这批商品的利润最大，该公司应该向市场投放多少件A型商品？最大利润是多少？ （3）该公司决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐慈善资金元，当该公司售完这200件商品并捐献资金后获得的最大收益为10960元时．求a的值． 【答案】（1），，且x为整数 （2）该公司向市场投放120件A型商品时，可使这批商品的利润最大为11200元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意即可得出y与x之间的函数关系式，根据两种商品的总成本价不超过26400元，全部售出且获得的利润不低于10800元，列不等式组可得x的范围； （2）根据一次函数的性质解答即可； （3）根据题意得y=10x+10000-ax=（10-a）x+10000，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 根据题意得，y=（200-140）x+（170-120）×（200-x）， 即y=10x+10000， ∵两种商品的总成本价不超过26400元，全部售出且获得的利润不低于10800元， ∴， 解得80≤x≤120， 答：y与x之间的函数解析式为y=10x+10000，x的取值范围是80≤x≤120； 【小问2详解】 由（1）可知：y=10x+10000（80≤x≤120）， ∵10＞0， ∴y随x的增大而增大， 当x=120时，y=10×120+10000=11200， 答：该公司应该向市场投放120件A型商品，最大利润为11200元； 【小问3详解】 根据题意可知一共捐出ax元， ∴y=10x+10000-ax=（10-a）x+10000， 当10-a＜0时， y=（10-a）x+10000的最大值小于10000，不符合最大收益为10960元， ∴这种情况不存； 当10-a＞0时， x=120，y取最大值， ∴120（10-a）+10000=10960， ∴a=2， 答：a的值为2． 【点睛】本题考查了一次函数的应用识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型． 22. 红星美凯龙某商店销售12台型和5台型空调的利润为1950元，销售8台型和10台型电脑的利润为2300元． （1）求每台型空调和型空调的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的空调共100台，其中型空调的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型空调台，这100台空调的销售总利润为元．求该商店购进型、型空调各多少台，销售总利润最大，为多少元？ （3）实际进货时，广家对型空调出厂价下调元，且限定商店最多购进型空调70台，若商店保持同种空调的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台空调销售总利润最大的进货方案． 【答案】（1）每台型空调的销售利润为元，每台型空调的销售利润为元； （2）该商店购进型空调台，型空调台时，销售总利润最大，为元； （3）购进型空调台，型空调台时，销售总利润最大． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用及一元一次不等式的应用，弄清题意，找出题中的数量关系列出函数关系式、找出不等关系列出不等式是解题的关键． （1）设每台型空调的销售利润为元，每台型空调的销售利润为元，根据“销售12台型和5台型空调的利润为1950元，销售8台型和10台型电脑的利润为2300元”列二元一次方程求解即可； （2）设购进型空调台，则购进型空调台，根据“型空调的进货量不超过型电脑的2倍”；列一元一次不等式，求出的取值范围，设销售总利润为元，得出关于的函数解析式，再结合一次函数的增减性求最值即可； （3）由题意可得，，再根据的取值范围，确定一次函数增减性，即可求解． 【小问1详解】 解：设每台型空调的销售利润为元，每台型空调的销售利润为元， 由题意得：，解得：， 答：每台型空调的销售利润为元，每台型空调的销售利润为元； 【小问2详解】 解：设购进型空调台，则购进型空调台， 由题意得：， ， 设销售总利润为元， 则， ， 随的增大而减小， 为正整数， 当时，有最大值，最大值为元， 此时台， 即该商店购进型空调台，型空调台时，销售总利润最大，为元； 【小问3详解】 解： 由（2）可知，， ， 根据题意得，， ， ， 随的增大而增大， 时，有最大值， 即购进型空调台，型空调台时，销售总利润最大． 23. 某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共100个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过11200元，已知篮球和排球的厂家批发价分别是每个120元和每个100元，商场零售价分别是每个150元和每个120元．设该商场采购x个篮球． （1）求该商场的采购费用y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； （3）受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球批发价上调了元/个，同时排球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，求m的值． 【答案】（1） （2）2600元 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可； （2）设利润为W，根据题意得到总利润，利用一次函数的增减性质求解即可； （3）设利润为W，根据题意得到总利润，分和，利用一次函数的增减性质求解即可． 【小问1详解】 解：设该商场采购x个篮球，则采购个排球， 根据题意，， 由得， 答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：该商场采购x个篮球，设利润为W，根据题意，得， ∵， ∴W随x的增大而增大，又， ∴当时，W最大，最大值为2600， 答：商场能获得的最大利润为2600元； 【小问3详解】 解：该商场采购x个篮球，根据题意，得， 当即时，W随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得，舍去； 当即时，W随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得， 综上，满足条件的m值为3． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函数解析式是解答的关键． 24. 年月日时分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售，已知“天宫”模型的利润元/个，“神舟”模型的利润元/个．该店计划购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元． （1）求与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对“神舟”模型出厂价下调元，且限定航模店最多购“神舟”模型台，若航模店保持同种模型的售价不变，求出这个模型利润最大时的的值． 【答案】（1）（ 且为整数） （2）当购进“神舟”模型和“天宫”模型各和个时利润最大，最大利润是元 （3）当时，获得利润最大；当时，购进“神舟”模型数量在内取任意整数值，均获得利润最大；当时，获得利润最大． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）单个利润乘数量等于总利润列式即可得出函数关系式，再根据题意列一元一次不等式组，求解即可得出的取值范围． （2）根据一次函数的性质，即可得出随的增大而减小，当时为最小值，为最大值，代入函数关系式即可求解． （3）由出厂价下调元，算出下调后的函数关系式和的取值范围，在根据一次函数的性质，分成、、分别分析即可． 【小问1详解】 解：依题意，可列函数关系式为：， 即， ∵购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且购进这两种模型共个， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为（ 且为整数）． 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴在中，随的增大而减小， ∴当时，， 此时， ∴当购进“神舟”模型和“天宫”模型各和个时利润最大，最大利润是元． 【小问3详解】 依题意，得， 即（ 且为整数）， ①当时，， ∴随的增大而减小， ∴当时，值最大． ②当时，在内取任意整数值，值恒为． ③当时，， ∴随的增大而增大， ∴当时，值最大． 综上所述，当时，获得利润最大；当时，购进“神舟”模型数量在内取任意整数值，均获得利润最大；当时，获得利润最大． 25. 为了迎接“十·一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表： 运动鞋价格/种类 甲 乙 进价（元/双） m 售价（元/双） 160 120 已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同． （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润售价进价）不少于10800元，且不超过11100元，问该专卖店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠元出售．乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 【答案】（1） （2）共有16种进货方案 （3）当时，方案获利都一样；当时，获得最大利润的进货方式为购进甲种运动鞋155双，购进乙种运动鞋45双；当时，获得最大利润的进货方式为购进甲种运动鞋140双，购进乙种运动鞋60双． 【解析】 【分析】（1）根据题意列分式方程，求解即可得到答案； （2）由（1）可知，甲运动鞋的利润为元/双，乙运动鞋的利润为元/双，设购进甲x双，则购进乙双，根据题意列不等式组，求解即可得到答案； （3）设利润为w元，根据题意，得出，分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，利用一次函数的性质分别求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的根， m的值为100； 【小问2详解】 解：由（1）可知，甲运动鞋的利润为（元/双），乙运动鞋的利润为（元/双）， 设购进甲x双，则购进乙双， 由题意得：， 解得：， 为整数， 共有16种进货方案； 【小问3详解】 解：设利润为w元， 由题意得：， ①当时，w恒为8000； ②当时，，w随x增大而增大， 当时，， 即进货方式为：甲155双，乙45双； ③当时，，w随x增大而减小， 当时，， 即进货方式为：甲140双，乙60双． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的性质，正确理解题意，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 【题型6 一次函数与几何综合题】 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． （1）求m和b的值； （2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ； ②若点P在线段上，且的面积为10时，求t的值； ③直接写出t为何值时，为等腰三角形． 【答案】（1）， （2）①，；②；③为等腰三角形时，t的值为4或或或6 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）将点代入，求出m的值，再代入中求出b即可； （2）把代入直线解析式，即可求得； 利用面积公式列出方程进行求解即可； 分三种情况： ，和分别求t的值即可． 【小问1详解】 解：中， 当时，， 当时，， ，， 点在直线上， ， ， 又点也在直线上， ， 解得，， ，； 【小问2详解】 解：直线与轴相交于点， 由（1）得， ， 解得， 点的坐标为， 由（1）得点的坐标为； 故答案为：，； 过点作于点，即为的高，如图所示， ，， ， 的面积为， ，， ，， ， 设，则， ， 解得； 为等腰三角形有三种情况： 过作于，如图1所示， 则，， ， ， 第一种情况：当时，， ， 此时，解得； 第二种情况：当时，和分别在点两侧，如图2所示， 则， ， ， 或，解得或； 第三种情况：当时，如图3所示， 设，则， ， ， 解得，， 与重合，， ， ，解得； 答：为等腰三角形时，的值为或或或． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线，分别与轴交于点、． （1）求点、的坐标： （2）若线段上存在一点，使得，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）点坐标为，点坐标为 （2）点的坐标为 （3）点的坐标为，， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出直线和直线的函数解析式，即可求得点C坐标； （2）设点，根据的面积列方程，求解即可； （3）根据平行四边形的性质以及平移的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入直线， 得， 解得， ∴直线， 将点代入直线， 得， 解得， ∴直线， 当时，， ∴点坐标为， 当时，， ∴点坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∵点在线段上，如图所示： 设点， ∴的面积， ∴， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：，，， 设点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则 ①，为平行四边形的边时，此时，且， 则点， ②，为平行四边形的边时，此时，且， 则点， ③，为平行四边形的边时，此时，且， 则点， 综上，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为，，． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，三角形的面积，动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 28. 如图，直线l：是由直线经过平移并且经过点而得，它与x轴和y轴的交点分别为A、B，若，点为y轴上的动点． （1）求直线l的解析式及的度数； （2）若，求点E的坐标； （3）若点O关于直线的对称点F，连接，直接写出线段与直线l有交点时，n的取值范围． 【答案】（1）， （2）点E的坐标为或 （3）当或时，线段CF与直线l有交点．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质得出，将点D代入确定函数解析式；再由函数与坐标轴的交点确定，即可得出角度； （2）过点C作，在点C左侧取一点G，使得，过点G作轴，使得，连接，交y轴于点E，过点D作轴，根据全等三角形的判定和性质得出，，然后利用勾股定理及各线段的长度确定点M的坐标为，利用待定系数法得出直线的解析式为，即可确定点E的坐标，再由对称即可确定另一个点的坐标； （3）当点O关于直线的对称点F恰好落在上时，根据轴对称图形的性质得出，设点，得出，确定点F，得出中点H，再由待定系数法确定直线的解析式，结合图形即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线l：是由直线经过平移并且经过点而得， ∴， 将点D的坐标代入直线l的解析式得： ， 解得：， ∴， 直线l：与x轴和y轴的交点分别为A、B， 当时，得； 当时，得：， 解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解∶ 过点C作，在点C左侧取一点G，使得，过点G作轴，使得，连接，交y轴于点E，过点D作轴，如图1， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为，将点C，点M的坐标分别代入得： ， 解得， ∴， 当时，， ∴， 关于点O的对称点也符合题意， 综上所述，点E的坐标为或； 【小问3详解】 解∶当或时，线段CF与直线l有交点．理由如下： 如图2，当点E在y轴正半轴时，点O关于直线的对称点F恰好落在上时，如图2： ∴， 设点， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴点， ∴中点， 设直线的解析式为，将点C，点H的坐标分别代入得： ， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴当时，线段与直线l有交点； 如图3，当点E在y轴负半轴时，点O关于直线的对称点F恰好落在上时，如图2： ∴， 设点， ∵， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点， ∴中点， 设直线的解析式为，将点C，点H的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∴当时，线段与直线l有交点； 综上所述，当或时，线段与直线l有交点． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，平移，交点问题，轴对称问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 29. 如图1，函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称. （1）求直线的函数解析式： （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点 P，交直线于点Q. ①若的长为4，求点M的坐标； ②如图2，连接，在点M的运动过程中是否存在点 P，使 若存在，请求出点 P坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）直线的解析式为； （2）①点M的坐标为或；②点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线解析式； （2）①先表示出，根据题意列式计算即可得出结论； ②分点M在y轴左侧和右侧，由对称得出，可得当时，利用勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， 当时，， 解得：， ∴点，， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①设，则点，， 则， ∵的长为4， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为或； ②如图，当点M在y轴的左侧时， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， ∴， 解得：， ∴， 当点M在y轴的右侧时， 同理可得， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键． 30. 如图1，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，以A为直角顶点在第一象限内作等腰，其中上，． （1）求直线l的解析式和点C的坐标； （2）如图2，点M是的中点，点P是直线l上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）5； （3）存在；或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求得直线的解析式，过点作轴，利用证明，结合其性质可得点的坐标； （2）根据中点坐标公式可得，延长至，使得，即点为的中点，可知，垂直平分，连接，则，得，当点在直线上时取等号，由勾股定理求得，利用待定系数法得直线的解析式为，当点在直线上时，即直线与直线相交，联立方程组即可求得此时点的坐标为； （3）根据题意得，过点作轴交直线于，可知，分情况：当点在点右侧时，当点在点、点之间时，当点在点左侧时，结合三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 ∵，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，，代入得，， 解得：， ∴， 过点作轴，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 则点的坐标为； 【小问2详解】 由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵点是的中点， ∴点的坐标为，即：， 延长至，使得，即点为的中点， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴垂直平分， 连接，则， ∴，当点在直线上时取等号， 由勾股定理可得：， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在直线上时，即直线与直线相交， 得，解得：， 即此时点的坐标为， 综上，的最小值为5，此时点的坐标为； 【小问3详解】 存在，理由如下： ∵， 则， 过点作轴交直线于， 此时，则，即， ∴，则， 当点在点右侧时，， ∴， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 当点在点、点之间时，，不符合题意； 当点在点左侧时，， ， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 综上，存在点的坐标为或时，． 【点睛】本题考查了图形与坐标，待定系数法求函数解析式，一次函数，两直线交点坐标与二元一次方程组解的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 31. 如图1，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向平移，平移时交线段于点D，交线段于点C，当点C与点B重合时结束运动. （1）求k的值； （2）若直线的函数关系式为，P是直线上一点，当时，求点P的坐标； （3）如图2，在直线运动过程中，过点D作轴交于点E，连接，设运动时间为.当时，求t的值. 【答案】（1） （2）点或 （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入即可求出k的值； （2）求出，，，设点.根据得到，求出，即可得到点P的坐标； （3）连接，根据得到，当时，作于点F，则，求出直线，得到，则，，得到，则，解得. 此题考查了一次函数的图象和性质、解一元一次方程等知识，数形结合是解题的关键. 【小问1详解】 解：直线与x轴交于点， ，解得， 即k的值为. 【小问2详解】 由（1）知直线的函数关系式为， 当，， ∴点. 直线的函数关系式， 当，， 当，，解得， ∴点，点. 点，点， ，，， 设点. ， ， ， 当时，， 当时，， 点或. 【小问3详解】 如图，连接. ， ， ， 当时，作于点F，则， 设直线的解析式为. ， ，解得， ， ， ，， ， ，解得， 即t的值为. 32. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． （1）请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； （2）当四边形为平行四边形时，求b的值； （3）若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在，或0或 【解析】 【分析】（1）直线，令，则，当时，，即可求解； （2）四边形为平行四边形时，，即可求解； （3）分当是菱形的边、是菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解： ∵，边，则点、、的坐标分别为：、、， 直线，令，则，当时，， 故点、的坐标分别为：；； 【小问2详解】 解： 由（1）知点、的坐标分别为：；； 点、的坐标分别为：、； 则，， 四边形为平行四边形时，则，即， 解得：； 【小问3详解】 ①当是菱形的边时， 点对应的点为：或， 在菱形中，，即， 解得：， 当时，点，不在边上，故该值舍去， 故； 当四边形为菱形时； 同理可得：； ②当是菱形的对角线时， 则，即， 解得：， 综上：或0或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定理的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 33. 如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，，以为边在y轴的右侧作正方形． （1）求点A，B的坐标； （2）如图，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，，． 如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； 如图2，点D是线段的中点，另一动点H在直线上，且，请直接写出点H的坐标． 【答案】（1）， （2）是，；点坐标为或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称的性质等等，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． （1）分别将代入（）求解，再根据，即可求解； （2）①过点E作轴，通过证明，得到，即可求解；②连接，可得点H与点E重合，作点M关于直线的对称点N，可得N点坐标，求得直线的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：分别将，代入， 得，，即，， ∴，． 由， 得，， 即，． 【小问2详解】 解：①过点作轴，如下图：    由题意可得：， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴． ∴． 设，则，， ∴． 由题意可得：，即， ∴点E在定直线上； ②连接，由题意可得为等腰直角三角形， ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∴，此时点与点重合． ∵D是线段的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线为，将、代入， 得， 解得． ∴． 当时，， 即点． 作点关于直线的对称点， 得， 此时， ∴点为直线与的交点， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴． 联立， 解得． 此时．    综上，点坐标为或． 34. 阅读理解： 【新定义】对于线段和 点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q 是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为，点是直线上一动点． （1）已知4个点：，以上这四个点中 是线段的“等距点” ， 是线段的“完美等距点”（填写大写字母）． （2）若点P 在第三象限，且，点H在y轴上，且H是线段的“等距点”，求点H的坐标； （3）当，是否存在这样的点N，使点N是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 【答案】（1）B，C，E；B （2）H点的坐标为 （3）P点的坐标为或 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查了新定义、等腰直角三角形的性质、两点之间的距离公式和勾股定理等知识，本题综合性强，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键． （1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论． 【小问1详解】 ∵， ∴ ∴B是线段的等距点； ∵， ∴ ∴C是线段的等距点； ∵， ∴ ∴D不是线段的等距点； ∵， ∴ ∴E是线段的等距点； ∵ ∴， ∴B是线段的完美等距点； 【小问2详解】 ∵点是直线上一动点 ∴ ∴ ∴ ∵点P 在第三象限， ∴ 设H的坐标为 ∴ ∵ ∴，解得： ∴H的坐标为 【小问3详解】 存在； ∵点N是线段的“等距点”， 点A 的坐标为， ∴ ∴设N的坐标为 ∵点是直线上一动点 ∴ ∴，， ∵点N为线段的“完美等距点”， ∴ ∴，解得 ∵点N为线段的“完美等距点”， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴，解得或 当时， 当时， ∴P点的坐标为或； 35. 根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形的“距离”定义：如果点为图形上的任意一点，点为图形上的任意一点，且两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形的“距离”，记为特别地，当图形有公共点时，图形的“距离”． （1）如图1，在平面直角坐标系中，菱形的，点在第一象限，若，，，则，菱形______， 菱形______； （2）如图2，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将一次函数的图象记为． ①若，求的取值范围； ②若，且，则的值为______； （3）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为平面内一点，令，，，比较的大小关系______（直接写出结果）． 【答案】（1）， （2）①或 ② （3） 【解析】 【分析】（1）过作于, 由, 可得菱形, 而, 有故菱形； （2）①当图象经过点时, 知,, 当图象经过点时, , 得, 由一次函数的图象和性质可知, , 则的取值范围为或； ②如图, 设图象与轴交于, 与轴交于, 作于点,中, 令, 得, 根据知故, 从而, 即得 ，用待定系数法可得； （3）令,, 可得在直线上，设直线与轴交于点，与轴交于点, 然后根据勾股定理计算即可 【小问1详解】 过作于, 如图: ， ， 由题意知,，菱形 ， ， ， ∴ 菱形， 故答案为：，； 【小问2详解】 ①图象经过点或点时，图象与只有一个交点,符合 当图象经过点时， 将代入, 得, 解得 当图象经过点时， 将代入, 得, 解得, 由一次函数的图象和性质可知，当或时，图象与有两个交点, 满足, ∴的取值范围为或； ②如图, 设图象与轴交于, 与轴交于, 作于点. 中, 令 得 ∴, ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 将 代入 得 解得 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵点为平面内一点， 令，，则， ∴点在直线上， 设直线与轴交于点，与轴交于点, 当时，；当y=0时，，解得， ∴， 又∵， ∴ ∴当时 ，距离最小，这时， ∴， 同理得到， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义的意义，将新定义问题转化为学过的数学问题． 36. 【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设线段，的夹角为，，则我们把称为的“度比坐标”，把称为的“度比坐标”． 【迁移应用】 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求点的坐标，并写出的“度比坐标”（用含的代数式表示）； （2），为直线上的动点（点在点左侧），且的“度比坐标”为． ①若，求的长； ②在①的条件下，平面内是否存在点，使得的“度比坐标”与的“度比坐标”相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②或; 【解析】 【分析】（1）求出，，得出，即可得出答案； （2）①由，得出直线解析式为，作轴于，于，证明，得出，，推出，代入函数解析式，计算出的值即可得解；②由①可知，，,，根据已知求出求出，再由,可得,可将E点分两种情况，分别求出解析式，结合两点间距离公式列出方程，即可得解． 【小问1详解】 解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， ∴的“度比坐标”为； 【小问2详解】 解：①∵， ∴直线解析式为， 如图，作轴于，于， ， ∴ 设， ∵的“度比坐标”为， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 代入直线得：， 解得：， ∴，， ∴； ②由①可知，，, ∴， ∵的“度比坐标”与的“度比坐标”相等， ∴， 又∵, ∴, 当点E在第二象限时，平分, ∵, ∴, 则所在的直线经过的中点F, 由①可知，, 则, 设所在的解析式为,将代入解析式得：, ∴所在的解析式为, 设,由, ∴, 解得(正值已舍) 则; 当点E在第一象限时， 则∥, ∴所在的解析式为, 设,由, ∴, 解得(负值已舍) 则; ∴或; 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 37. 在平面直角坐标系中，对于任意两个图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作．如图，已知，其中，，，D，E为三角形外两点．例如，点A与x轴之间的“关联距离”，线段与y轴之间的“关联距离”． （1）求点A与直线之间的“关联距离”； （2）若，，将线段向左平移n个单位，当线段与之间的“关联距离”时，求n的最小值； （3）若，，当时，对于每一个m，都满足线段与一次函数（k是常数，）的图象之间的“关联距离”，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）过点A作于点D，根据，，，得出，，，根据等积法求出，即可得出答案； （2）求出直线的解析式为：，把代入得：，求出，根据线段与之间的“关联距离”，求出即可； （3）根据，，得出当时，线段在线段和之间，根据，得出直线过定点，画出图形，根据，得出结果即可． 【小问1详解】 解：过点A作于点D，如图所示： ∵，，， ∴，， ， ， ∵， ∴， ∵垂线段最短， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴在直线上， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∵线段与之间的“关联距离”， ∴线段向左平移的距离为：． 【小问3详解】 解：∵，， ∴当时，， 当时，， ∴当时，线段在线段和之间， ∵， ∴直线过定点，如图所示： 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 根据图可知，当且时，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数的解析式，坐标与图形，三角形面积公式，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的性质． 38. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若存在实数，，，使得且，则称点为以点和为端点的线段的等差点． （1）若线段的两个端点坐标分别为和，则下列点是线段等差点的有__________；（填写序号即可） ①；②；③；④． （2）点A，都在直线上，已知点A的横坐标为，，． ①如图1，当时，线段的等差点在线段上，求满足条件的点的坐标； ②如图2，点横坐标为2，以为对角线构造正方形，在正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段上存在其中某条线段的等差点，直接写出的取值范围__________． 【答案】（1）①④ （2）①或；②或． 【解析】 【分析】（1）的两个端点坐标分别为和，根据定义计算检验即可； （2）①根据解析式得，当时，，，待定系数法确定直线解析式为，联立，求解交点即等差点坐标为；设点，根据定义求解； ②如图，点横坐标为2，可知，，，，分别在x轴、直线上，如图，正方形上两点的一个等差点为，点位于时，取最小值，；正方形上两点的一个等差点为，点位于时，取最大值，；任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，故，或，，所以或． 【小问1详解】 解：的两个端点坐标分别为和 ①：∵ ∴是等差点； ②：∵且 ∴不是等差点； ③：∵，且 ∴不是等差点； ④：∵且 ∴是等差点． 故答案为①④． 【小问2详解】 解：①∵点A直线上，横坐标为， ∴ 当时，， 设直线解析式为，则 ，解得， ∴直线解析式为，联立，得 ，解得 ∴交点即等差点坐标为； 设点，则或，解得或 ∴或； ②如图，点横坐标为2，以为对角线构造正方形，可知，，，，分别在x轴、直线上， 如图，根据等差点定义知，正方形上两点的一个等差点为，点位于时，取最小值，，； 如图，正方形上两点的一个等差点为，点位于时，取最大值，； 正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，故，或，即， 综上，或． 【点睛】本题考查正方形性质，一次函数，待定系数法，理解新定义是解题的关键，注意动态问题的多情况分析． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 一次函数的应用与综合 【知识点 一次函数的应用】 判断等量关系为一次函数的情况 （1）函数图象是直线（或直线的一部分）； （2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数； （3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位 常见类型 （1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案； （2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值． 注意：根据实际情况确定变量的取值范围 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 一次函数的应用与行程问题】 1. 甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程y（米）与所用的时间x（分）的函数关系如图所示：给出下列说法：①比赛全程1500米．②2分时，甲乙相距300米．③比赛结果是乙比甲领先50秒到达终点．④3分40秒时，乙追上甲．其中正确的个数（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地距离与货车行驶时间之间的函数图象，则下列说法错误的是（ ） A. B. 点F的坐标为 C. 出租车从乙地返回甲地的速度为 D. 出租车返回的过程中，货车出发或都与出租车相距 3. 甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是______km/h，乙的速度是______km/h； （2）对比图①、图②可知______，______； （3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？ 4. 一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地行驶到地，甲车出发1小时后乙车从地出发，沿公路行驶到地．甲、乙两车匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地，乙车到达目的地后原地休息．甲、乙两车之间的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）A、C两地距离为___________km，甲车行驶速度为___________km/h，乙车行驶速度为___________km/h； （2）求图中线段所在直线的函数解析式； （3）直接写出乙车出发多少小时，乙车与地的距离是甲车与地距离的2倍． 5. 在、两地之间有服务区，甲车由地驶往服务区，乙车由地驶往地，两车同时出发，匀速行驶，如图是甲、乙两车分别距离服务区的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是________千米/时； （2）求图象中线段的函数解析式； （3）当两车距服务区的路程之和是千米时，直接写出此时乙车的行驶时间． 【题型2 一次函数的应用与费用最少问题】 6. 鲜花饼是一款以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼在云南当地烘焙品牌店均有销售．每年4月，鲜花饼的上市早已成为当地人民的共同期待，排着长队等待购买新鲜上市的鲜花饼在当地早已司空见惯，某经销商准备从一鲜花饼加工厂购进甲、乙两种鲜花饼进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种鲜花饼的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种鲜花饼按80元/千克的价格出售，设经销商购进甲种鲜花饼千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种鲜花饼共150千克，其中甲种鲜花饼多于50千克且不超过80千克，如何分配甲、乙两种鲜花饼的购进量，才能使经销商付款总金额最少？ 7. “阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某中学为营造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需要资金1500元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共30个（两种规格的书柜都必须购买），其中购买乙种书柜的数量不少于购买甲种书柜的数量，请问：甲乙两种书柜各购进多少个时，花费资金最少，最少资金是多少元？ 8. 中华优秀文化源远流长，她是中华文明的智慧结晶．《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》的单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． （1）两种图书的单价分别是多少元？ （2）某校图书室计划购买这两种图书共100本，且购买的《周髀算经》的数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，该书店打折优惠，两种图书均按8折出售，两种图书分别购买多少本时费用最少？最少费用多少？说明你的理由． 9. 我市某游乐场在暑假期间推出学生个人门票优惠活动，各类门票价格如下表： 票价种类 （A）夜场票 （B）日通票 （C）节假日通票 单价（元） 80 120 150 某慈善单位欲购买三种类型的门票共100张奖励品学兼优的留守学生，设购买A种票x张，B种票张数是A种票的3倍还多7张，C种票y张，根据以上信息解答下列问题： （1）直接写出x与y之间的函数关系式； （2）设购票总费用为W元，求W（元）与x（张）之间的函数关系式； （3）为方便学生游玩，计划购买学生的夜场票不低于20张，且节假日通票至少购买5张，有哪几种购票方案？哪种方案费用最少？ 10. 受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． （1）直接写出当和时，与之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克． ①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额（元）最少？ ②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克．若销售完100千克水果后；甲种水果的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量的取值范围． 【题型3 一次函数的应用与利润最大问题】 11. 某书店计划同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元． （1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用4500元全部购进这两类图书，设购进A类图书x本，B类图书y本． ①求y关于x的关系式． ②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元．若书店全部售完可获利w元，求w关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 12. 根据需要，某厂要制作如图所示的A，B两种塑料盒（单位：）共80个，购进某种塑料板材100张， 每张这样的塑料板材有两种裁剪方法： 甲：裁成4块的小正方形板； 乙：裁成8块的小长方形板． 先将x张这种板材都按甲方法裁成小正方形板，用于制作80个A，B两种塑料盒的正方形的面，每个A种塑料盒需要6块正方形的面，每个B种塑料盒需要2块正方形的面和4块长方形的面，设制作A种塑料盒y个， （1）按甲方法裁成小正块方形板_______块（用含x的式子表示），按甲方法裁成小正方形板（_______）（用含y的式子表示），求y与x的函数关系式； （2）若把剩下的板材都按乙方法裁成小长方形板，恰好做成了A，B两种塑料盒各40个，已知每张板材的进价是4元，将其按甲方法裁剪还需要1元，按乙方法裁剪还需要3元，其他成本忽略不计．A种塑料盒的销售单价定为m元，B种塑料盒的销售单价定为元，但不低于7元．m定为多少时，这批塑料盒的销售利润最大，并求出最大利润． 13. 某企业生产A、B两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如下表： A型产品（元/件） B型产品（元/件） 甲地区销售可获得的利润 180 130 乙地区销售可获得的利润 160 120 若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元． （1）求A、B两种型号产品各生产了多少件？ （2）若销往甲地区x件A型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值． 14. 茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元． （1）A，B两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 15. 某商场购进A，B两种商品共件进行销售，其中A商品的件数不超过B商品件数的2倍，不少于B商品件数的一半，A，B两种商品的进价、售价如表： A B 进价（元/件） 售价（元/件） 请利用所学知识解决下列问题： （1）设商场购进A商品的件数为x件，购进A，B两种商品全部售出后获得利润为y元，求y与x之间的函数关系式及x的取值范围： （2）在（1）的条件下，商场购进A商品多少件时，商场获得利润最大？最大利润是多少元？ （3）在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中拿出m元捐给慈善基金，则商场购进A商品多少件时，可获得最大利润？ 【题型4 一次函数的应用与分段计费问题】 16. 某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/瓶 4元/瓶 售价 18元/瓶 6元/瓶 （1）设甲种型号的果汁有x万瓶，公司所获利润为W元，如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． （2）“五一”黄金周期间，为扩大销量，该公司对乙种型号果汁进行优惠，优惠方案如下： 方案一：购买乙种型号果汁一律打9折； 方案二：购买168元会员卡后，乙种型号果汁一律8折． 某超市到该公司购买乙种型号果汁，请帮该超市设计出合适购买方案． 17. 某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得利润捐献给福利院．初二某班的同学们准备制作、两款挂件来进行销售．已知制作3个款挂件、5个款挂件所需成本为46元，制作5个款挂件、10个款挂件所需成本为85元．已知、两款挂件的售价如下表： 手工制品 款挂件 款挂件 售价（元/个） 12 8 （1）求制作一个款挂件、一个款挂件所需的成本分别为多少元？ （2）若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个款挂件或3个款挂件，制作的总成本不超过590元，且制作款挂件的数量不少于款挂件的2倍．设安排人制作款挂件，销售的总利润为元．请写出（元）与（人）之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？ 18. 某快递公司因业务拓展，需要招聘快递员，提供了如下两种日工资方案： 方案一：每日底薪50元，每完成一单业务再提成3元； 方案二：每日底薪80元，前30单无提成，超过30单的部分，每完成一单提成5元． 设快递员每日完成的业务量为n单（n为正整数），方案一、二中日工资分别为（单位：元）． （1）分别写出关于n的函数解析式； （2）据统计，若某快递员平均每天的业务量约为50单，仅从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？说明理由； （3）设某快递员平均每日完成的业务量为n单，从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？试画出日工资收入函数大致图象并直接写出你的选择方案． 19. 某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图像如图所示，根据图形回答： （1）该市自来水收费时，每户使用不超过吨时，每吨收费________元；超过吨时，每吨收费________元； （2）求该户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间的关系式； （3）若某户居民某月交水费元该户居民用水多少吨？ 20. 当排球和足球纳入中招考试体育加试后，这两种球的销量逐步提升．某体育用品商店看准时机，第一次购入个排球和个足球共花费元．第二次购入个排球和个足球共花费元．商店将排球和足球以元个和元个的价格出售，前两次进货很快销售一空． （1）求每个排球和足球的进价． （2）该商店准备第三次购入排球和足球共个，根据市场需求，排球的购买个数不少于个且不超过个．购买时生产厂家对排球进行了优惠，规定购买排球不超过个时保持原价，超过个时超过的部分打八折．设第三次进货销售完的总利润为元（利润销售额成本），其中购进排球个． 求与的函数关系式； 商店为了回馈顾客，开展促销活动．将其中的（为正整数）个排球按元个，个足球按元个进行销售．若第三次进货销售完后，获得的最大利润不能低于元，求的最大值． 【题型5 一次函数的应用与含参问题】 21. 武汉某文化公司向市场投放A型和B型商品共200件进行试销．A型商品成本价140元/件，B型商品成本价120元/件，要求两种商品的总成本价不超过26400元，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为170元/件，全部售出且获得的利润不低于10800元．设该公司投放A型商品x件，销售这批商品的利润为y元． （1）求y与x之间的函数解析式．并求出x的取值范围； （2）要使这批商品的利润最大，该公司应该向市场投放多少件A型商品？最大利润是多少？ （3）该公司决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐慈善资金元，当该公司售完这200件商品并捐献资金后获得的最大收益为10960元时．求a的值． 22. 红星美凯龙某商店销售12台型和5台型空调的利润为1950元，销售8台型和10台型电脑的利润为2300元． （1）求每台型空调和型空调的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的空调共100台，其中型空调的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型空调台，这100台空调的销售总利润为元．求该商店购进型、型空调各多少台，销售总利润最大，为多少元？ （3）实际进货时，广家对型空调出厂价下调元，且限定商店最多购进型空调70台，若商店保持同种空调的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台空调销售总利润最大的进货方案． 23. 某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共100个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过11200元，已知篮球和排球的厂家批发价分别是每个120元和每个100元，商场零售价分别是每个150元和每个120元．设该商场采购x个篮球． （1）求该商场的采购费用y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； （3）受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球批发价上调了元/个，同时排球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，求m的值． 24. 年月日时分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售，已知“天宫”模型的利润元/个，“神舟”模型的利润元/个．该店计划购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元． （1）求与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对“神舟”模型出厂价下调元，且限定航模店最多购“神舟”模型台，若航模店保持同种模型的售价不变，求出这个模型利润最大时的的值． 25. 为了迎接“十·一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表： 运动鞋价格/种类 甲 乙 进价（元/双） m 售价（元/双） 160 120 已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同． （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润售价进价）不少于10800元，且不超过11100元，问该专卖店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠元出售．乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 【题型6 一次函数与几何综合题】 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． （1）求m和b的值； （2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ； ②若点P在线段上，且的面积为10时，求t的值； ③直接写出t何值时，为等腰三角形． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线，分别与轴交于点、． （1）求点、的坐标： （2）若线段上存在一点，使得，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 28. 如图，直线l：是由直线经过平移并且经过点而得，它与x轴和y轴的交点分别为A、B，若，点为y轴上的动点． （1）求直线l的解析式及的度数； （2）若，求点E的坐标； （3）若点O关于直线的对称点F，连接，直接写出线段与直线l有交点时，n的取值范围． 29. 如图1，函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称. （1）求直线的函数解析式： （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点 P，交直线于点Q. ①若的长为4，求点M的坐标； ②如图2，连接，在点M的运动过程中是否存在点 P，使 若存在，请求出点 P坐标；若不存在，请说明理由. 30. 如图1，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，以A为直角顶点在第一象限内作等腰，其中上，． （1）求直线l的解析式和点C的坐标； （2）如图2，点M是的中点，点P是直线l上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 31. 如图1，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向平移，平移时交线段于点D，交线段于点C，当点C与点B重合时结束运动. （1）求k的值； （2）若直线的函数关系式为，P是直线上一点，当时，求点P的坐标； （3）如图2，在直线运动过程中，过点D作轴交于点E，连接，设运动时间为.当时，求t的值. 32. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． （1）请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； （2）当四边形为平行四边形时，求b的值； （3）若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 33. 如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，，以为边在y轴的右侧作正方形． （1）求点A，B的坐标； （2）如图，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，，． 如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； 如图2，点D是线段的中点，另一动点H在直线上，且，请直接写出点H的坐标． 34. 阅读理解： 【新定义】对于线段和 点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q 是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为，点是直线上一动点． （1）已知4个点：，以上这四个点中 是线段的“等距点” ， 是线段的“完美等距点”（填写大写字母）． （2）若点P 在第三象限，且，点H在y轴上，且H是线段的“等距点”，求点H的坐标； （3）当，是否存在这样的点N，使点N是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 35. 根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形的“距离”定义：如果点为图形上的任意一点，点为图形上的任意一点，且两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形的“距离”，记为特别地，当图形有公共点时，图形的“距离”． （1）如图1，在平面直角坐标系中，菱形的，点在第一象限，若，，，则，菱形______， 菱形______； （2）如图2，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将一次函数的图象记为． ①若，求的取值范围； ②若，且，则的值为______； （3）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为平面内一点，令，，，比较的大小关系______（直接写出结果）． 36. 【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设线段，的夹角为，，则我们把称为的“度比坐标”，把称为的“度比坐标”． 【迁移应用】 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求点的坐标，并写出的“度比坐标”（用含的代数式表示）； （2），为直线上的动点（点在点左侧），且的“度比坐标”为． ①若，求的长； ②在①的条件下，平面内是否存在点，使得的“度比坐标”与的“度比坐标”相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 37. 在平面直角坐标系中，对于任意两个图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作．如图，已知，其中，，，D，E为三角形外两点．例如，点A与x轴之间的“关联距离”，线段与y轴之间的“关联距离”． （1）求点A与直线之间的“关联距离”； （2）若，，将线段向左平移n个单位，当线段与之间的“关联距离”时，求n的最小值； （3）若，，当时，对于每一个m，都满足线段与一次函数（k是常数，）的图象之间的“关联距离”，求k的取值范围． 38. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若存在实数，，，使得且，则称点为以点和为端点的线段的等差点． （1）若线段的两个端点坐标分别为和，则下列点是线段等差点的有__________；（填写序号即可） ①；②；③；④． （2）点A，都在直线上，已知点A的横坐标为，，． ①如图1，当时，线段的等差点在线段上，求满足条件的点的坐标； ②如图2，点横坐标为2，以为对角线构造正方形，在正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段上存在其中某条线段的等差点，直接写出的取值范围__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $