专题03 一次函数、二次函数与反比例函数（11大题型）（甘肃专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题03 一次函数、二次函数与反比例函数 题型概览 题型01 一次函数的图象与性质 题型02 求一次函数解析式 题型03 一次函数的实际应用 题型04 反比例函数的图象与性质 题型05 求反比例函数的解析式 题型06 反比例函数与一次函数 题型07 反比例函数与几何综合 题型08 二次函数的图象与性质 题型09 待定系数法求二次函数解析式 题型10 二次函数图象的平移 题型11 实际问题与二次函数 SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数的图象与性质 1．（2025·甘肃·二模）点 ， 是一次函数 （ 为常数，且 ）的图象上的两点，且 ，则 的值为（    ） A． B． C．3 D．6 2．（2025·甘肃·二模）一次函数 ，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃·二模）把直线 向上平移a个单位后，与直线 的交点在第二象限，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃·二模）若一次函数 （k为常数）的图象经过第一、二、三象限，则k的值可以是 （写出一个即可）． 5．（2025·甘肃·二模）若点 在一次函数 图象上，且 ，则 的值是 ． 6．（2025·甘肃·二模）下列函数中，y随x的值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． SHAPE \* MERGEFORMAT 求一次函数解析式 7．（2025·甘肃武威·二模）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， ．求一次函数的解析式及n的值． 8．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴， 轴于点 为 的中点，反比例函数 的图象过点 ，且 ． (1)求 的值； (2)求直线 的函数表达式． 9．（2025·甘肃陇南·二模）若点 和点 关于原点对称，且经过同一个正比例函数 的图象，则 的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 10．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象交于 两点，一次函数 的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式 的解集； (3)点P是x轴上一点，且 的面积等于 面积的2倍，求点P的坐标． 11．（2025·甘肃·二模）如图，已知 是一次函数 的图象与反比例函数 图象的两个交点，直线 与 轴交于点 ． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2) 是 轴上一点，且 ，求点 的坐标； (3)直接写出关于 的不等式 的解集． 12．（2025·甘肃·二模）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点 的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　）    A． B． C． D． SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数的实际应用 13．（2025·甘肃白银·二模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻 是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积 为 ，压敏电阻 的阻值随所受液体压力 的变化关系如图2所示（水深 越深，压力 越大），电源电压保持 不变，当电路中的电流为 时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式 ），则下列说法中正确的是 ． ①当水箱未装水 时，压强 为 ②当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力 为 ③当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度 是 ④若想使水深 时报警，应使定值电阻 的阻值为 14．（2025·甘肃平凉·二模）甘加草原拥有壮丽的高原风光，蓝天白云下，广阔的草原上牛羊成群，风景如画．夏季是游览甘加草原的最佳季节，此时草原上野花烂漫，景色宜人．暑假期间，王超一家自驾前往该景区游玩，经过服务区时，休息一段时间后继续驶往目的地，如图表示王超离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)王超一家到达服务区之前车速为______千米/小时，在服务区休息时长为______小时； (2)求图中 段y与x之间的函数关系式； (3)王超离开家多久，离家的距离恰好为160千米？ 15．（2025·甘肃·二模）在一条笔直的公路上A、B两地相120km，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．甲车的速度比乙的速度慢 B．甲车出发1小时后乙才出发 C．甲车行驶了2.8h或3.2h时，甲、乙两车相距10km D．乙车达到A地时，甲车离A地90km SHAPE \* MERGEFORMAT 反比例函数的图象与性质 16．（2025·甘肃·二模）下列各点中，不在反比例函数 的图象上的是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·甘肃·二模）已知点 ， ， 在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·甘肃平凉·二模）反比例函数 （ 为常数）的图象经过 、 两点，且 ，则 与 的大小关系是 ．（填“>”“=”或“<”） 19．（2025·甘肃·二模）已知点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·甘肃·二模）已知点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，则a的取值范围是 ． 21．（2025·甘肃·二模）若点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是（    ） A． B． C． D． SHAPE \* MERGEFORMAT 求反比例函数的解析式 22．（2025·甘肃·二模）如图，在直角坐标系 中，正方形 的顶点A、C分别在x轴和y的正方向上，反比例函数 的图象与边 交于点D，与边 交于点E，若点 ，则点E的坐标是 ． 23．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像与反比例函数 的图像相交于第一、三象限内的 ， 两点．    (1)求该反比例函数的表达式； (2)直接写出当 时，x的取值范围． 24．（2025·甘肃陇南·二模）如图，点 在反比例函数 的图象上， 轴，且交 轴于点 ，交反比例函数 的图象于点 ，已知 ． (1)求反比例函数 的解析式； (2)点 为反比例函数 图象上一动点，连接 交 轴于点 ，当 为 中点时，求 的面积． 25．（2025·甘肃·二模）在平面直角坐标系中，点 为原点，点A 在第一象限，且 ． 若反比例函数 的图像经过点 ，则 的取值范围是 ． SHAPE \* MERGEFORMAT 反比例函数与一次函数 26．（2025·甘肃·二模）如图，已知双曲线 与直线 交于 、 两点（点 在点 的左侧），过点 作 轴垂线，过点 作 轴垂线，两条垂线交于点 ，若 的面积为8，则 的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 27．（2025·甘肃·二模）如图，过点 且与y轴平行的直线与反比例函数 和 的图像分别交于A、B两点，若P是y轴上任意一点，求 的面积． 28．（2025·甘肃·二模）已知反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ，则 的解集为（   ） A． B． 或 C． 或 D． 29．（2025·甘肃·二模）如图，已知 为反比例函数 的图象上两点，直线 交 轴于点 ． (1)求 的值； (2)若 ，求反比例函数的解析式． 30．（2025·甘肃·二模）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，点B的坐标为 ．在 中， ， ． (1)求a和k的值； (2)求点C的坐标． 31．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数 的图象上，直线 与反比例函数的图象的另一支交于点B， 轴于点C，连接 ．若 的面积为5，则 的值为（  ） A．5 B． C．10 D． 32．（2025·甘肃·二模）如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 、 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直线 与 轴交于点 ， 是 轴上一点，若 的面积等于12，求 的值． 33．（2025·甘肃·二模）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ． (1)一次函数和反比例函数的解析式； (2) 为 轴上的一动点，当 的面积为3时，求 的坐标． 34．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若 是直线 上的一个动点， 的面积为21，求点 坐标； (3)若 ，请直接写出关于 的不等式的解． 35．（2025·甘肃·二模）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接 ，求 的面积． SHAPE \* MERGEFORMAT 反比例函数与几何综合 36．（2025·甘肃·二模）如图，在 中， ， 轴，垂足为 ．反比例函数 的图象经过点 ，交 于点 ．已知 ， ．    (1)若 ，求 的值： (2)连接 ，若 ，求 的长． 37．（2025·甘肃·二模）如图，正方形 和矩形 的面积相等，反比例函数 在第一象限的图象经过B、E两点，则 的长为（   ） A．16 B．8 C． D． 38．（2025·甘肃·二模）在平面直角坐标系 中，点 是反比例函数 图像上一点，点 是 轴上一点， ，将 绕点 旋转 ，点 的对应点分别为 ．当四边形 的面积等于8时，点 的坐标是 ． 39．（2025·甘肃·二模）如图，正方形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象上．若 轴，点 的横坐标为 ，则 （    ） A． B． C． D． SHAPE \* MERGEFORMAT 二次函数的图象与性质 40．（2025·甘肃·二模）抛物线 过 两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若 是以 为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 ． 41．（2025·甘肃·二模）抛物线 的顶点坐标是 42．（2025·甘肃武威·二模）将抛物线 先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到的抛物线的表达式写成 的形式为 ． 43．（2025·甘肃·二模）已知二次函数 （ 为常数，且 ）的图象只经过两个象限，那么 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．（2025·甘肃·二模）如图，已知开口向下的抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④抛物线上有两点 和 ，若 且 ，则 ．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．（2025·甘肃·二模）如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点 ，顶点为 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 ．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 46．（2025·甘肃·二模）如图，已知二次函数 的图象顶点为 ，与 轴交于原点和点 ．若在 轴正半轴上有一点 ，使 为直角三角形，则点 的坐标为 ． 47．（2025·甘肃·二模）已知二次函数 （ 是实数）．对于该二次函数图象上的两点 ， ，当 时，始终有 成立．则 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 48．（2025·甘肃陇南·二模）关于 的二次函数 的图象只经过一，二，四象限，则 满足的条件是（   ） A． B． C． D． 49．（2025·甘肃·二模）如图，二次函数 的图像过点 ，对称轴为直线 ．现有下列结论：① ；② ；③若 是抛物线上的两点，则当 时， ；④若方程 的两个根为 ，且 ，则 ．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 50．（2025·甘肃·二模）新定义：如果二次函数 的图象经过点 ，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． (1)若抛物线 是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式． (2)已知抛物线 （ ， 为常数，且 ）． ①求证：该抛物线为“定点抛物线”； ②若 ，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点 ， ，当 时，求 的取值范围． SHAPE \* MERGEFORMAT 待定系数法求二次函数解析式 51．（2025·甘肃白银·二模）如图，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，点 和点 关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线 和抛物线的表达式； (2)如图，直线 上方的抛物线上有一点 ，过点 作 于点 ，求线段 的最大值； (3)点 是抛物线的顶点，点 是 轴上一点，点 是坐标平面内一点，以 为顶点的四边形是以 为边的矩形，求点 的坐标． 52．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线 交坐标轴于 、 两点，抛物线 经过 、 两点，且交 轴于另一点 ．点 为抛物线在第一象限内的一点，过点 作 ， 交 于点 ，交 轴于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)设点 的横坐标为 ，在点 的移动过程中，存在 ，求出 的值； (3)在抛物线上取点 ，在平面直角坐标系内取点 ，问是否存在以 、 、 、 为顶点且以 为边的矩形？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由． 53．（2025·甘肃定西·二模）如图1，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点 、 ，点P是直线 下方抛物线上一动点，分别连接 ． (1)求抛物线表达式； (2)当 的面积是 面积的2倍时，求点P的坐标； (3)将线段 沿x轴的负方向平移得到 ，点A的对应点为点 ，点C的对应点为点 ，点Q为点A关于x轴的对称点，连接 ，在线段平移过程中，求 的最小值． 54．（2025·甘肃平凉·二模）如图，抛物线 （a、b为常数， ）与x轴交于 、 两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，且在第四象限． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点P与点C关于抛物线的对称轴对称，作直线 与y轴交于点M，连接 ，交y轴于点N，求线段 的长； (3)如图2，连接 ，两线段交于点E．在线段 上取点F，使 ．连接 ，求 的最小值． 55．（2025·甘肃·二模）抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1， 为第二象限内抛物线上一点， 交 于点 ，若 与 相似，求点 的横坐标； (3)如图2，直线 交抛物线于 ， 两点，直线 和 交于点 ，若点 在直线 上，求 的值． 56．（2025·甘肃·二模）如图1，抛物线 交 轴于点 、 两点，顶点 ，点 为第一象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)若 ，求点 的坐标； (3)如图2，直线 交抛物线于 、 ，直线 交抛物线于 、 ，点 为 的中点，点 为 的中点，当 时，求直线 一定经过的定点的坐标． SHAPE \* MERGEFORMAT 二次函数图象的平移 57．（2025·甘肃·二模）已知二次函数，将其函数图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的抛物线所对应的解析式应是（　　） A． B． C． D． 58．（2025·甘肃陇南·二模）已知抛物线：与轴相交于和两点，与轴相交于点．抛物线沿轴向右平移后的抛物线为，点、在上的对应点分别为、． (1)求点坐标； (2)若的面积等于的面积的2倍，请说明抛物线怎样沿轴平移得到抛物线． 59．（2025·甘肃·二模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 60．（2025·甘肃·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 61．（2025·甘肃·二模）已知抛物线与x轴有公共点． (1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围； (2)将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值； (3)D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形． SHAPE \* MERGEFORMAT 实际问题与二次函数 62．（2025·甘肃白银·二模）兰州牛肉拉面，被誉为中华第一面．如图，这是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当汤面的最大竖直高度为时，碗中汤面的水平宽度为 ．（碗的厚度不计） 63．（2025·甘肃酒泉·二模）一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．已知球门高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．抛物线关系式为．通过计算判断球 （能或不能）射进球门．（忽略其他因素） 64．（2025·甘肃·二模）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点． 65．（2025·甘肃·二模）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)当时，求这条抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； (3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F），求k的取值范围． 66．（2025·甘肃·二模）如图①是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲纹处理，将传统文化与现代建筑为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲纹呈抛物线形，如图②，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面128米处的水平宽度（即的长）为 米．      67．（2025·甘肃·二模）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 小明进行了两次掷实心球训练． （1）第一次训练时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 根据上述数据，实心球竖直高度的最大值是 m； （2）第二次训练时，实心球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的着陆点的水平距离为，则 （填“”，“”或“”）． 68．（2025·甘肃·二模）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．    69．（2025·甘肃·二模）如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度是 m． 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 题型10 题型11 2 / 30 $$ 专题03 一次函数、二次函数与反比例函数 题型概览 题型01 一次函数的图象与性质 题型02 求一次函数解析式 题型03 一次函数的实际应用 题型04 反比例函数的图象与性质 题型05 求反比例函数的解析式 题型06 反比例函数与一次函数 题型07 反比例函数与几何综合 题型08 二次函数的图象与性质 题型09 待定系数法求二次函数解析式 题型10 二次函数图象的平移 题型11 实际问题与二次函数 SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数的图象与性质 1．（2025·甘肃·二模）点 ， 是一次函数 （ 为常数，且 ）的图象上的两点，且 ，则 的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质，将 ， 代入得 ， 是解题的关键． 【详解】解：将 ， 代入 得， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 2．（2025·甘肃·二模）一次函数 ，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数之间的关系，对于一次函数 （k为常数， ），当 的图象过一、二、三象限；当 的图象过一、三、四象限；当 的图象过一、二、四象限；当 的图象过二、三、四象限；当 时y随x的增大而增大，当 时y随x的增大而增减小，据此可得 ，解之即可． 【详解】解：∵一次函数 ，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 3．（2025·甘肃·二模）把直线 向上平移a个单位后，与直线 的交点在第二象限，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线 向上平移a个单位后为： ，求出直线 与直线 的交点，再由此点在第二象限可得出a的取值范围． 【详解】解：直线 向上平移a个单位后为： ， 联立两直线解析式得： ， 解得： ， 即交点坐标为 ， ∵交点在第二象限， ∴ ， 解得： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0且纵坐标大于0． 4．（2025·甘肃·二模）若一次函数 （k为常数）的图象经过第一、二、三象限，则k的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】由一次函数图象经过第一、二、三象限，可知 ， ，在范围内确定 的值即可． 【详解】解：∵一次函数 （ 是常数， ）的图象经过第一、二、三象限， ∴ ， ， ∴ 可以取1， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】考查了一次函数的性质．根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，常数项的值的符号，从而确定字母k的取值范围． 5．（2025·甘肃·二模）若点 在一次函数 图象上，且 ，则 的值是 ． 【答案】5 【分析】把 代入 ，得 ，再利用平方差公式，得 ，进而即可求解． 【详解】解：∵点 在一次函数 图象上， ∴ ，即： ， ∵ ，即： ， ∴ ， 故答案是：5． 【点睛】本题主要考查代数式求值以及一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数图像上点的坐标特征以及平方差公式，是解题的关键． 6．（2025·甘肃·二模）下列函数中，y随x的值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质．根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、 ， ，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意； B、 ， ，y的值随x值的增大而减小，故该选项符合题意； C、 ， ，开口向下，当 时，y的值随x值的增大而增大；当 时，y的值随x值的增大而减小，故该选项不符合题意； D、 ， ，开口向上，当 时，y的值随x值的增大而减小；当 时，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：B． SHAPE \* MERGEFORMAT 求一次函数解析式 7．（2025·甘肃武威·二模）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， ．求一次函数的解析式及n的值． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的结合，待定系数法式求表达式的方法，掌握待定系数法是解题的关键． 将点B代入反比例函数解析式中算出 的值，点A代入反比例函数解析式中算出n的值，再将点B和点A代入 然后根据待定系数法求 的值. 【详解】解：将点 代入反比例函数 得： ， ∴ ， 将点 代入 得： ， ∴ ， 将点 ， 代入 得： ， 解得 ， ∴一次函数的解析式 ． 8．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴， 轴于点 为 的中点，反比例函数 的图象过点 ，且 ． (1)求 的值； (2)求直线 的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的结合，求函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用线段的中点求出点 的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法代入假设的解析式中即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ， ∵点 为 的中点， ∴ 是 的中位线， ∵ ， ∴ ， ∵点 在第一象限， ∴点 的坐标为 ， ∵反比例函数 的图象过点 ， ∴ ； （2）解：设直线 的函数表达式为 ， ∵ ， ∴ ， 把 的坐标分别代入 ， 得 解得 ∴直线 的函数表达式为 ． 9．（2025·甘肃陇南·二模）若点 和点 关于原点对称，且经过同一个正比例函数 的图象，则 的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，关于原点对称点的特点，先根据点 和点 关于原点对称，求出 ，得出 ，然后将点B的坐标代入正比例函数解析式，求出k的值即可． 【详解】解：∵点 和点 关于原点对称， ∴ ， ∴ ， ∵点B在正比例函数 的图象上， ∴ ， 解得： ， 故选：A． 10．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象交于 两点，一次函数 的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式 的解集； (3)点P是x轴上一点，且 的面积等于 面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 或 (3) 或 【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．解题关键在于把已知点代入解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题； （3）首先求出 ，设 ，然后根据题意得到 ，求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数 的图象经过点 ， ， 解得： ， ， 把 的坐标代入 得 ， 解得： ， ∴一次函数的解析式为 ； （2）解：观察图象可得， 不等式 的解集为： 或 ； （3）解：连接 ，由一次函数的解析式为 可得 ， ∴ ， 设 ， 由题意可得 ，解得： ， 或 ． 11．（2025·甘肃·二模）如图，已知 是一次函数 的图象与反比例函数 图象的两个交点，直线 与 轴交于点 ． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2) 是 轴上一点，且 ，求点 的坐标； (3)直接写出关于 的不等式 的解集． 【答案】(1)反比例函数 ，一次函数 (2) 或 (3) 或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积问题，与不等式的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将 点代入反比例函数 中，求得反比例函数的表达式，可得 点坐标，将 、 两点代入一次函数 中，可得一次函数的表达式； （2）设 ，即 ，对于一次函数 ，令 ，求得 点坐标，因为 ， ， ，可得 ，解得 的值，即得点 的坐标； 【详解】（1）解：将 点代入反比例函数 中， 得， ， 解得： ， 反比例函数 ， 将 点代入反比例函数 中， 得， ， 解得： ，即 ， 将 、 两点代入一次函数 中， 得， ， 解得： ， ， 一次函数 ； （2）解：设 ，即 ， 对于一次函数 ，令 ，则 ，即 ， ， ， 而 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： ， 或 ； （3）解： ， ∴ ， 即 ， ∵ ， 由图象可知： 或 ． 12．（2025·甘肃·二模）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点 的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解一次函数即可得解． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点 ，    设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为 ， ∵ 过点 和 ， ∴ ， 解得 ， ∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为 ， 故选A． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数的实际应用 13．（2025·甘肃白银·二模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻 是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积 为 ，压敏电阻 的阻值随所受液体压力 的变化关系如图2所示（水深 越深，压力 越大），电源电压保持 不变，当电路中的电流为 时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式 ），则下列说法中正确的是 ． ①当水箱未装水 时，压强 为 ②当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力 为 ③当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度 是 ④若想使水深 时报警，应使定值电阻 的阻值为 【答案】①③④ 【分析】本题跨学科考查了反比例函数、一次函数的实际应用，理解每个变量的实际意义是解题的关键． 根据题意结合图 、图 、图 可得 ， ，对各个选项进行逐个计算即可． 【详解】解：①由图 得：当 时， ，故此项说法正确； ② 当报警器刚好开始报警时， ， 解得 ，由图 可求得： ， 解得 ，故此项说法错误； ③当报警器刚好开始报警时，由上得 ， 则有 ， ， 由图 求得 ， ∴ ， 解得： ， 故此项说法正确； ④当报警器刚好开始报警时： ， ， 当 时， ， ， ， ，故此项说法正确． 故答案为：①③④． 14．（2025·甘肃平凉·二模）甘加草原拥有壮丽的高原风光，蓝天白云下，广阔的草原上牛羊成群，风景如画．夏季是游览甘加草原的最佳季节，此时草原上野花烂漫，景色宜人．暑假期间，王超一家自驾前往该景区游玩，经过服务区时，休息一段时间后继续驶往目的地，如图表示王超离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)王超一家到达服务区之前车速为______千米/小时，在服务区休息时长为______小时； (2)求图中 段y与x之间的函数关系式； (3)王超离开家多久，离家的距离恰好为160千米？ 【答案】(1)100；1 (2) (3)3小时 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据图象获得信息求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据图象，先判断 对应的函数关系式，再将 代入对应的函数关系式并求出x的值即可． 【详解】（1）解：王超一家到达服务区之前车速为 千米/小时， 在服务区休息时长为 小时； 故答案为：100；1； （2）解：设 段y与x之间的函数关系式为 （k、b为常数，且 ）． 将 和 分别代入 ， 得 ， 解得 ， ∴ 段y与x之间的函数关系式为 ． （3）解：∵ ， ∴根据图象可知，对应x为 ， ∴ ， 解得 ． 答：王超离开家3小时后，离家的距离恰好为160千米． 15．（2025·甘肃·二模）在一条笔直的公路上A、B两地相120km，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．甲车的速度比乙的速度慢 B．甲车出发1小时后乙才出发 C．甲车行驶了2.8h或3.2h时，甲、乙两车相距10km D．乙车达到A地时，甲车离A地90km 【答案】D 【分析】根据图象直接判断A；求出两车的路程y与时间x之间的函数关系式，即可判断B、C、D 【详解】解：当甲出发时乙未出发，甲行驶5小时未到达B地，而乙已经到达A地，说明甲车的速度比乙的速度慢，故选项A正确； 设甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为 ，代入 ， 得 ， 解得 ， ∴甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为 ； 设乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为 ，代入 和 ， ，解得 ， ∴乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为 ， 当 时， ，解得 ， 即甲车出发1小时后乙才出发，故选项B正确； 当 时，解得 ； 当 时，解得 ； ∴甲车行驶了2.8h或3.2h时，甲、乙两车相距10km，故选项C正确； 当 时， ，故选项D错误； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数的图象，求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确理解一次函数的图象得到相关信息是解题的关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 反比例函数的图象与性质 16．（2025·甘肃·二模）下列各点中，不在反比例函数 的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键．分别求出当 时，当 时，当 时，当 时y的值即可得到答案． 【详解】解：当 时， ， ∴ 在反比例函数 的图象上，A选项不符合题意； 当 时， ， ∴ 不在反比例函数 的图象上，B选项符合题意； 当 时， ， ∴ 在反比例函数 的图象上，C选项不符合题意； 当 时， ， ∴ 在反比例函数 的图象上，D选项不符合题意； 故选：B． 17．（2025·甘肃·二模）已知点 ， ， 在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质等知识点，掌握反比例函数的性质成为解题的关键． 根据反比例函数性质可得反比例函数图像分布在二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大，据此即可解答． 【详解】解： ， ， ∴反比例函数图像分布在二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大， ， ， ， ， ． 故选：A． 18．（2025·甘肃平凉·二模）反比例函数 （ 为常数）的图象经过 、 两点，且 ，则 与 的大小关系是 ．（填“>”“=”或“<”） 【答案】 【分析】比例系数大于 ，两点在同一象限，根据反比例函数的图象的性质作答即可．考查反比例函数点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于 ，两点在同一象限， 随 的增大而减小． 【详解】解：∵ ， ∴反比例函数 在第一、三象限，且在每一个象限内， 随 的增大而减小； 又∵ ， ∴ ； ∴ 故答案为 ． 19．（2025·甘肃·二模）已知点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，理解并掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 根据题意，可知反比例函数 的图象在第一、三象限，且在每一个象限内， 都 随的增大而减小，据此分析判断即可． 【详解】解：对于反比例函数 ， ， 其图象在第一、三象限，且在每一个象限内， 都 随的增大而减小， EMBED Equation.DSMT4 ， 点 在第三象限，且 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 在第一象限，且 ， ， 故选：C． 20．（2025·甘肃·二模）已知点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 由 可得在各象限内y随x增大而减小，由 可得点A在第三象限，点B在第一象限，进而求解． 【详解】解：∵ ， ∴图象在一，三象限，且在每一象限内，y随x增大而减小， ∵ ， ， ∴点A在第三象限，点B在第一象限， ∴ ， 解得 ， 故答案为： ． 21．（2025·甘肃·二模）若点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数 中， ， ∴反比例函数图象上分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 点 在第四象限， ， 点 ， 在第二象限，且 ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． SHAPE \* MERGEFORMAT 求反比例函数的解析式 22．（2025·甘肃·二模）如图，在直角坐标系 中，正方形 的顶点A、C分别在x轴和y的正方向上，反比例函数 的图象与边 交于点D，与边 交于点E，若点 ，则点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点 在反比例函数 图象上， ∴ ， ∴反比例函数解析式为 ， ∵正方形   ∴ ∵点E在反比例函数图象上，且点E的纵坐标为3， ∴ ． 故答案为： ． 23．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像与反比例函数 的图像相交于第一、三象限内的 ， 两点．    (1)求该反比例函数的表达式； (2)直接写出当 时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，利用数形结合思想求解不等式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据交点坐标和图象，找到一次函数图象位于反比例函数图象下方部分的点的横坐标取值范围可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数 的图像与反比例函数 的图像相交于第一、三象限内的 ， 两点， ∴ ， ，即 ， ∴ ， ， 将 代入 中，得 ， ∴该反比例函数的表达式为 ； （2）解：由（1）知， ， ， 根据图象，当 时，x的取值范围为 或 ． 24．（2025·甘肃陇南·二模）如图，点 在反比例函数 的图象上， 轴，且交 轴于点 ，交反比例函数 的图象于点 ，已知 ． (1)求反比例函数 的解析式； (2)点 为反比例函数 图象上一动点，连接 交 轴于点 ，当 为 中点时，求 的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查根据函数值求自变量，待定系数法求反比例函数解析式，中点坐标，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）把点 坐标代入反比例函数 求得点 坐标，根据 求出点 的坐标，然后把点 的坐标代入 中求得 的值，即可求出 的解析式． （2）设 ． 根据 的中点 在 轴上，求出点 和点 坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： 点 在反比例函数 的图象上， ， 解得 ， 轴， ， 把点 坐标代入 ，得 ． ． 该反比例函数的解析式为 ； （2）设 ． ，点 为 的中点， ． 点 在 轴上， ， ． ， ， ． ， ． ． 的面积为3． 25．（2025·甘肃·二模）在平面直角坐标系中，点 为原点，点A 在第一象限，且 ． 若反比例函数 的图像经过点 ，则 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图像与几何图形面积求比例系数，根据题意作图分析，理解当点 为反比例函数图像与直线 的交点时， 的值最大，由 的几何意义可知， 为图像上的点与坐标轴围成的正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数如图所示， ∵函数图像经过第一象限， ∴ ， 当点 为反比例函数图像与直线 的交点时， 的值最大，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴k的取值范围是 ． SHAPE \* MERGEFORMAT 反比例函数与一次函数 26．（2025·甘肃·二模）如图，已知双曲线 与直线 交于 、 两点（点 在点 的左侧），过点 作 轴垂线，过点 作 轴垂线，两条垂线交于点 ，若 的面积为8，则 的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想是解题的关键． 设点A的坐标为 ，根据题意可得点B的坐标为 ，从而得到 ，然后根据 的面积为8，即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为 ， ∵双曲线 与直线 交于 、 两点， ∴点A，B两点关于原点对称， ∴点B的坐标为 ， ∵过点 作 轴垂线，过点 作 轴垂线，两条垂线交于点 ， ∴ ， ∵ 的面积为8， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B 27．（2025·甘肃·二模）如图，过点 且与y轴平行的直线与反比例函数 和 的图像分别交于A、B两点，若P是y轴上任意一点，求 的面积． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数 中比例系数k的几何意义：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．如图，连接 ， ，记 与x轴的交点为C，依据 轴，可得 与 的面积相等，再根据反比例函数 和 的图像分别交于A、B两点，即可得到 ， ，而得出 的面积为 ． 【详解】解：如图，连接 ， ，记 与x轴的交点为C， ∵ 轴， ∴ 与 的面积相等， 又∵反比例函数 和 的图像分别交于A、B两点， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 的面积为 ． 28．（2025·甘肃·二模）已知反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ，则 的解集为（   ） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例数与一次函数交点问题，先求得 ，进而根据函数图象，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ， ∴ ， 解得： ， 故点 ，代入一次函数 ，解得： ，一次函数 ， 函数图象如图， ∴ 的解集为 ， 故选：A． 29．（2025·甘肃·二模）如图，已知 为反比例函数 的图象上两点，直线 交 轴于点 ． (1)求 的值； (2)若 ，求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设直线 的解析式为 ，待定系数法得到 ，再把点 代入求解即可； （2）由 以及（1）中求出 的值联立求解 ，再由待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ． 点 在直线 上， ， 解得 ． 直线 的解析式为 ． ， ， ∴ ， ． 直线 的解析式为 ， 将点 代入得 ，即 ； （2）解： 点 在反比例函数 EMBED Equation.DSMT4 的图象上， . 由（1）可知 ， 解得 ， ， 反比例函数的解析式为 ． 30．（2025·甘肃·二模）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，点B的坐标为 ．在 中， ， ． (1)求a和k的值； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) ， ； (2) 【分析】本题考查一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，坐标与图形： （1）把 代入 ，求出 的值，待定系数法求出 的值； （2）作 轴，作 轴，证明 ，即可得出结果． 【详解】（1）解：把 代入 ，得： ； 把 代入 ，得： ； （2）作 轴，作 轴，则： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ． 31．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数 的图象上，直线 与反比例函数的图象的另一支交于点B， 轴于点C，连接 ．若 的面积为5，则 的值为（  ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点以及反比例函数的定义，设点 ，则点 ， ，由 求出 ，即可得出结论，求出 的值是解题的关键． 【详解】解：如图，过 作 轴于点 ， 设点 ，则点 ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 32．（2025·甘肃·二模）如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 、 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直线 与 轴交于点 ， 是 轴上一点，若 的面积等于12，求 的值． 【答案】(1)反比例函数的解析式为： ，一次函数的解析式为： ； (2) 或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． （1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，根据 的面积等于12，再建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵ 在反比例函数 的图象上， ∴ ， ∴反比例函数的解析式为： ， 把 代入 ，得 ， ∴ ， 把 ， 都代入一次函数 ，得 ， 解得 ， ∴一次函数的解析式为： ； （2）解：如图， 对于 ，当 ，解得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 的面积等于12， ∴ ，即 ， 解得： 或 ； ∴ 或 ． 33．（2025·甘肃·二模）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ． (1)一次函数和反比例函数的解析式； (2) 为 轴上的一动点，当 的面积为3时，求 的坐标． 【答案】(1) ， (2) 或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求反比例函数、一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出 ，设 ，则 ，表示出 ， ，结合 得出 ，求解即可． 【详解】（1）解：把点 代入 ，得 ，解得 ， 一次函数的解析式为 ， 把点 代入 ，得 ， ∴ 把点 代入 ，得 ， 反比例函数的解析式为 ， （2）解：把 代入 ，得 ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， 或 ， 或 ． 34．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若 是直线 上的一个动点， 的面积为21，求点 坐标； (3)若 ，请直接写出关于 的不等式的解． 【答案】(1) ， (2) 或 (3) 或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题： （1）把 代入 可得反比例函数解析式；把 代入反比例函数解析式求出n的值，再利用待定系数法求一次函数解析式； （2）记直线 与直线 的交点为 ，求出点C的坐标，设点 ，根据 即可求解． （3）运用数形结合思想，得出当 时，则 或 ，即可作答． 【详解】（1）解：依题意把 代入 ，得出 ， 解得 ， 反比例函数的解析式为： ； 把 代入 中，得出 ， ， 则把 和 分别代入 ， 得出 ， 解得 ， ； （2）解：如图，记直线 与直线 的交点为 ， 当 时，则 ， 是直线 上的一个动点， 设点 ， 的面积为21， ， 即 ， ， 解得 或 ， 点 坐标为 或 ． （3）解：依题意，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点． 则结合图象，当 时，则 或 ． 35．（2025·甘肃·二模）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接 ，求 的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为 ，一次函数的解析式为 ； (2) 的面积为8． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数几何综合． （1）将 代入反比例函数 中，即可求得 ，再将 代入反比例函数解析式求得 ，最后将点 、 代入一次函数 中求解，即可解题． （2）根据一次函数解析式得出点C，再利用 ，即可求解． 【详解】（1）解： 反比例函数 经过点 ， ， 反比例函数解析式为 ， 点 在 上，则 ， ， 把 、 代入 ， 得 ，解得 ， 一次函数的解析式为 ； （2）解：把 代入 ，得 ， ， ， ． SHAPE \* MERGEFORMAT 反比例函数与几何综合 36．（2025·甘肃·二模）如图，在 中， ， 轴，垂足为 ．反比例函数 的图象经过点 ，交 于点 ．已知 ， ．    (1)若 ，求 的值： (2)连接 ，若 ，求 的长． 【答案】(1)20 (2) 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象的性质，正确得出方程，解一元一次方程是解题关键． （1）利用等腰三角形的性质得出 ， 的长，再利用勾股定理得出 的长，得出 点坐标即可得出答案； （2）首先表示出 ， 点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出 点坐标，然后利用勾股定理即可求得 的长． 【详解】（1）解：作 ，垂足为 ， ， ， ． 在 中， ， ， ， ， 点的坐标为 ， 反比例函数 的图象经过点 ， ， （2）解：如图， 设 点的坐标为 ， ， ， ， ， 两点的坐标分别为： ， ． 点 ， 都在反比例函数 的图象上， ， ， 点的坐标为： ， ． 37．（2025·甘肃·二模）如图，正方形 和矩形 的面积相等，反比例函数 在第一象限的图象经过B、E两点，则 的长为（   ） A．16 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据正方形的性质结合反比例函数的解析式，求出 点坐标，设 ，根据两个图形的面积相等，求出 点坐标，代入反比例函数解析式，求出 的值即可． 【详解】解：∵正方形 ，反比例函数 在第一象限的图象经过B、E两点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ， ∵正方形 和矩形 的面积相等， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵点 在反比例函数的图象上， ∴ ， 解得： 或 （舍去）； 经检验 是原方程的解； ∴ ． 故选C． 38．（2025·甘肃·二模）在平面直角坐标系 中，点 是反比例函数 图像上一点，点 是 轴上一点， ，将 绕点 旋转 ，点 的对应点分别为 ．当四边形 的面积等于8时，点 的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数、平行四边形的性质，旋转的性质，熟练掌握是解答本题的关键．根据题意画出图像，先证明四边形 是平行四边形，易得 ，在 中利用三线合一得到 ，利用 面积即可求解． 【详解】解：根据题意画出图像得， 过点 作 于点 ， ， ， 根据旋转得， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， 易知 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 是等腰三角形， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 故答案为： ． 39．（2025·甘肃·二模）如图，正方形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象上．若 轴，点 的横坐标为 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正方形的性质设 ，再根据点 的横坐标为 和点 在反比例函数 的图象上，分别写出点 ， ， 的坐标，然后根据点 在反比例函数 的图象上，得出用 表示 ，再求出 点的坐标，根据 在反比例函数 的图象上，求得 ． 【详解】解：连接 交 于点 ， ∵四边形 是正方形， ∴设 ， ∵点 的横坐标为 ，点 在反比例函数 的图象上， ∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ∵点 在反比例函数 的图象上， ∴ ，解得： (舍去)或 ， ∴点 的纵坐标为 ， ∴点 的坐标为 ， ∵点 在反比例函数 的图象上， ∴ ， ∴ ． 故选： A． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，求代数式的值，解二元一次方程等知识，解题的关键是根据正方形的性质，结合点在反比例函数图象上，设出其中一个点的坐标，再表示出其他点的坐标． SHAPE \* MERGEFORMAT 二次函数的图象与性质 40．（2025·甘肃·二模）抛物线 过 两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若 是以 为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，勾股定理等．由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解： 抛物线L的解析式为 ， 抛物线L的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ， 抛物线L过 两点， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M， 设抛物线M的顶点 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 是以 为斜边的直角三角形， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 整理得 ， 解得 ， ， 点C的坐标为 或 故答案为： 或 ． 41．（2025·甘肃·二模）抛物线 的顶点坐标是 【答案】 【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】解： 的顶点坐标为（-2，1）． 故答案为：（-2，1）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 42．（2025·甘肃武威·二模）将抛物线 先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到的抛物线的表达式写成 的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及二次函数的一般式化为顶点式，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．先将 化为顶点式，再利用左加右减，上加下减即可得出平移后的表达式． 【详解】解： ， ∵先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度， ∴平移后的抛物线的表达式为 ， 故答案为： ． 43．（2025·甘肃·二模）已知二次函数 （ 为常数，且 ）的图象只经过两个象限，那么 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据二次函数的图象经过的象限确定参数的取值范围，解一元一次不等式组，解题关键是将问题转化为不等式组求解．根据二次函数的图象只经过两个象限，列出不等式组求解． 【详解】解：∵二次函数 ， ∴对称轴为 ，顶点坐标为 ， ∵它的图象只经过两个象限， ∴ 或 ， 不等式组 无解； 不等式组 的解集为 ． 故选：B． 44．（2025·甘肃·二模）如图，已知开口向下的抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④抛物线上有两点 和 ，若 且 ，则 ．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与 轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④． 【详解】解： 抛物线开口向下， ， 抛物线交 轴于正半轴， ， ， ， ，故①正确； 抛物线对称轴为直线 ， 时， ， 时， ， ，故②正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线 ， ， ， ， 故③正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线 ， 若 且 ，则点 到对称轴的距离小于 到直线的距离， ，故不正确． 故选：C． 45．（2025·甘肃·二模）如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点 ，顶点为 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 ．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题，根据二次函数的对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合图象开口向下，与 轴交于正半轴，得 ，再根据对称轴为直线 ，则 ，故得 ，再得二次函数 的图象与x轴的另一个交点坐标为 ，则 ，结合二次函数的对称性得出 关于直线 对称的点为 ，根据二次函数 的图象开口向下，则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，即可作答． 【详解】解：∵二次函数 的图象开口向下，与 轴交于正半轴， ∴ ， ∴ ， 故①符合题意； ∵二次函数 的图象与x轴交于点 ，顶点为 ， ∴对称轴为直线 ， ∴二次函数 的图象与x轴的另一个交点坐标为 ， 则把 代入 ，得 ， 故②符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线 ， ∴ ， 则 ， ∴ ， 则 ， 故③不符合题意； 当 时， ， ∴二次函数 与 轴的交点坐标为 ∵二次函数的对称轴为直线 ， ∴ 关于直线 对称的点为 ∵二次函数 的图象开口向下， ∴越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∵ ， 则 ． 故④符合题意； 故选：B． 46．（2025·甘肃·二模）如图，已知二次函数 的图象顶点为 ，与 轴交于原点和点 ．若在 轴正半轴上有一点 ，使 为直角三角形，则点 的坐标为 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理．先利用二次函数的性质求得 和 ，设点 的坐标为 ，利用勾股定理求得 ，用 表示出 和 ，分三种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：设点 的坐标为 ， ， ∵ ， ∴ ， 令 ，则 ， 解得 或 ， ∴ ， ∴ ， ， ， ①当 为斜边时， ， 解得 或 ， ∴点 的坐标为 或 ； ②当 为斜边时， ， 解得 (舍去)； ③当 为斜边时， ， 解得 ， ∴点 的坐标为 ； 综上点 的坐标为 或 或 ， 故答案为： 或 或 ． 47．（2025·甘肃·二模）已知二次函数 （ 是实数）．对于该二次函数图象上的两点 ， ，当 时，始终有 成立．则 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数函数值的计算，函数值比较大小的方法是关键． 根据题意得到 ，根据 成立，得到 ， ，整理得， ，令 ，所以 ，结合题意即可求解． 【详解】解：二次函数 （ 是实数）化为一般式得， ， ∵函数图象上的两点 ， ， ∴当 时， ， 当 时， ， ∵当 时，始终有 成立， ∴ ， ∴ ，整理得， ， 令 ， ∵ ， ∴ 关于 的二次函数图象开口向上，对称轴为直线 ； 当 时， ，当 时， ， ∵ ， 即 ， ∴ ， 解得， ， ∵ ， ∴ ， 故选：C ． 48．（2025·甘肃陇南·二模）关于 的二次函数 的图象只经过一，二，四象限，则 满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与 轴有2个交点，对称轴为直线 ，且 ，而且与 轴的交点不在负半轴上，故 ，然后解不等式组即可． 【详解】解：∵二次函数 图象经过第一、二、四象限，对称轴为直线 ， ∴ 且 ， 解得 或 ． 综上， ， 故选：B． 49．（2025·甘肃·二模）如图，二次函数 的图像过点 ，对称轴为直线 ．现有下列结论：① ；② ；③若 是抛物线上的两点，则当 时， ；④若方程 的两个根为 ，且 ，则 ．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．由图像可知，该抛物线开口向下，与 轴交于正半轴，易知 ，结合对称轴为直线 ，易得 ，即可判断结论①；首先确定该抛物线与 轴的另一交点为 ，故当 时，可有 ，易得 ，即可判断结论②；由抛物线的对称性可知 ，故当 时，可得 ，即可判断结论③；若方程 的两个根为 ， ，则 ， 为抛物线与直线 的两个交点的横坐标，结合图形即可判断结论④． 【详解】解：由图像可知，该抛物线开口向下，与 轴交于正半轴， ∴ ， 又∵对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ，故结论①正确； ∵该抛物线过点 ，对称轴为直线 ， ∴该抛物线与 轴的另一交点为 ， ∴当 时，可有 ， ∴ ， ∴ ，故结论②错误； ∵ 是抛物线上的两点， ∴由抛物线的对称性可知 ， ∴当 时， ， 故结论③正确； ∵该二次函数图像与 轴交于 ， ， ∴ ， 若方程 的两个根为 ， ， 则 ， 为抛物线与直线 的两个交点的横坐标， ∵ ， ∴ ，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①③④，共计3个． 故选：C． 50．（2025·甘肃·二模）新定义：如果二次函数 的图象经过点 ，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． (1)若抛物线 是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式． (2)已知抛物线 （ ， 为常数，且 ）． ①求证：该抛物线为“定点抛物线”； ②若 ，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点 ， ，当 时，求 的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）将 代入 ，求解即可； （2）①将 代入 ，得 ，可知点 在抛物线 上，进而求解； ②求得该二次函数的对称轴和顶点坐标为，结合题意画出图象，进而求解 【详解】（1）解：将 代入 ， 得 ， 解得 ， 故抛物线的表达式为 ； （2）①证明：将 代入 ，得 ， 点 在抛物线 上， ∴该抛物线为“定点抛物线”. ② ， 该抛物线的开口向下， 由题可知该抛物线经过点 ， 当抛物线的顶点在最低位置时，顶点坐标为 . 此时抛物线的对称轴为直线 ， 点 关于直线 的对称点为 . 画出抛物线的大致图象如图所示； 结合图象可知，当 时，点 在直线 上方， 此时 ； SHAPE \* MERGEFORMAT 待定系数法求二次函数解析式 51．（2025·甘肃白银·二模）如图，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，点 和点 关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线 和抛物线的表达式； (2)如图，直线 上方的抛物线上有一点 ，过点 作 于点 ，求线段 的最大值； (3)点 是抛物线的顶点，点 是 轴上一点，点 是坐标平面内一点，以 为顶点的四边形是以 为边的矩形，求点 的坐标． 【答案】(1)直线 解析式为 ；抛物线表达式为 (2)线段 的最大值为 (3) 或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，则可求得点C的坐标与抛物线的对称轴，从而求得点D的坐标，再用待定系数法即可求得直线 的解析式； （2）设 交y轴于点E，则 为等腰直角三角形；过F作 轴交 于点N，则 为等腰直角三角形， ；设 ，则 ，根据题意建立二次函数，利用二次函数性质求解； （3）分两种情况：当点P在 的右边时，设直线 交y轴于点R，易得 ，求出直线 的解析式 ，得点R的坐标；设 ，由四边形 为矩形，可得 ，再利用勾股定理建立方程求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标；当点P在 的左边时，同理求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：把A、B两点坐标分别代入 中，得： ， 解得： ， ∴ ； 上式中令 ，得 ，即 ； ∵抛物线的对称轴为直线 ，C、D关于对称轴对称， ∴ ; 设直线 解析式为 ，把A、D两点坐标代入得： ， 解得： ， ∴直线 解析式为 ； （2）解：如图，设 交y轴于点E， 当 时， ，则 ， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ； 过F作 轴交 于点N，则 ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ； 设 ，则 ， ∴ ， 由于二次项系数为负，则当 时， 有最大值 ， ∴ ； 即 的最大值为 ； （3）解：如图，当点P在 的右边时，设直线 交y轴于点R， ∵抛物线的对称轴为直线 ， ∴当 时， ， 即 ； 设直线 的解析式 ，则有 ，解得 ， ∴直线 的解析式 ， 上式中令 ，则 ，即 ； 设 ， ∵四边形 为矩形， ∴ ， 由勾股定理得 ， 即 ， 解得： ，即 ； ∵ ， ∴由平移得 ； 如图，当点P在 的左边时， 同理：由勾股定理得： ， 即 ， 解得： ， 即 ； 由平移得： ； 综上， 或 ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解题的关键． 52．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线 交坐标轴于 、 两点，抛物线 经过 、 两点，且交 轴于另一点 ．点 为抛物线在第一象限内的一点，过点 作 ， 交 于点 ，交 轴于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)设点 的横坐标为 ，在点 的移动过程中，存在 ，求出 的值； (3)在抛物线上取点 ，在平面直角坐标系内取点 ，问是否存在以 、 、 、 为顶点且以 为边的矩形？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以 、 、 、 为顶点且以 为边的矩形，此时点 的坐标为 或 ． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数的解析式求出点 的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据 求出 ，从而可得 ，再根据平行线的判定可得 ，从而可得点 的纵坐标与点 的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点 的坐标为 ，分两种情况：①四边形 是矩形，②四边形 是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点 的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数 ， 当 时， ，即 ， 当 时， ，解得 ，即 ， 把 ， 代入 得 ， 解得 ， 则抛物线的解析式为 ． （2）解： ， ， ， ， ， ， ， 点 的纵坐标与点 的纵坐标相同，即为3， 当 时， ，解得 或 （舍去）， 则 ． （3）解：存在，求解如下： 设点 的坐标为 ， ①当四边形 是矩形时，则 ， ∵直线 的解析式为 ， ∴设直线 的解析式为 ， 把点 代入得 ， 直线 的解析式为 ， 联立 ，解得 或 （即为点 ，舍去）， ， ②当四边形 是矩形时，则 ， 设直线 的解析式为 ， 将点 代入得： ，解得 ， 则直线 的解析式为 ， 联立 ，解得 或 （即为点 ，舍去）， ， 综上，存在以 、 、 、 为顶点且以 为边的矩形，此时点 的坐标为 或 ． 53．（2025·甘肃定西·二模）如图1，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点 、 ，点P是直线 下方抛物线上一动点，分别连接 ． (1)求抛物线表达式； (2)当 的面积是 面积的2倍时，求点P的坐标； (3)将线段 沿x轴的负方向平移得到 ，点A的对应点为点 ，点C的对应点为点 ，点Q为点A关于x轴的对称点，连接 ，在线段平移过程中，求 的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的定义等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键， （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出 ，进而求出直线 的解析式为 ；设 ， ，则 ，求出 ，得到 ，解方程即可得到答案； （3）先根据题意作图，由平移的性质可知， ， ，则 的值最小就是 的最小值， 如图，作出点 关于直线 对称的对称点 ，连接 交直线 于点 ，连接 ，则此时 取得最小值，即为 的长度，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：将 ， 代入 ，得 ， 解得 ，   抛物线的解析式为 ； （2）解：过点 作 轴于点 ，交线段 于点 ， 由 可知 ， 设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入 ，得 ， 解得 ， 直线 的解析式为 ；      设点 的横坐标为 ， 则 ， ， ， ， ， 解得 ， ， ； （3）解：设抛物线沿 轴的负方向平移 个单位长度得到 ，将点 向右平移 个单位长度得到点 ，作出图形如下： 由平移的性质可知， ， ， 的值最小就是 的最小值， 显然点 在直线 上运动， 如图，作出点 关于直线 对称的对称点 ，连接 交直线 于点 ，连接 ，则此时 取得最小值，即为 的长度． 点 关于直线 对称的对称的点是 ， ， ， ． 54．（2025·甘肃平凉·二模）如图，抛物线 （a、b为常数， ）与x轴交于 、 两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，且在第四象限． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点P与点C关于抛物线的对称轴对称，作直线 与y轴交于点M，连接 ，交y轴于点N，求线段 的长； (3)如图2，连接 ，两线段交于点E．在线段 上取点F，使 ．连接 ，求 的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求最短线段，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）将点 、 代入抛物线 ，利用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线的对称轴为直线 ，根据点P与点C关于抛物线的对称轴对称，得点 ，运用待定系数法求出 的解析式，可得 的坐标，从而可求出 的长； （3）根据勾股定理求出 ，过点C作 轴，使得 ，过点T作 轴于点G，证明 得 ，当O、E、T共线时， 最小，最小值为 的长，由勾股定理求出 的长即可解决问题． 【详解】（1）解：将 代入 中， 得 ， 解得 ， ∴抛物线的函数表达式为 ． （2）解：在 中，当 时， ， ， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线 ， ∵点P与点C关于抛物线的对称轴对称，且 ∴点 ， 设直线 的函数表达式为 （m、n为常数， ）， 将 ，代入上式，得 ， 解得 ， ∴直线 的函数表达式为 ， 当 时， ． ． 同理可求得直线 的函数表达式为 ， 当 时， ． ． ． （3）解： ， ． 如图2，过点C作 轴，使得 ，过点T作 轴于点G， 轴， ， ， . ， 故O、E、T共线时， 最小，最小值为 的长， ， ， 故 的最小值为 ． 55．（2025·甘肃·二模）抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1， 为第二象限内抛物线上一点， 交 于点 ，若 与 相似，求点 的横坐标； (3)如图2，直线 交抛物线于 ， 两点，直线 和 交于点 ，若点 在直线 上，求 的值． 【答案】(1) (2)点 的横坐标为 或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况：当 时， ；当 时， ；分别求解即可； （3）设 ， ， ，由题意可得 轴，抛物线的对称轴为直线 ，从而可得 ， ，求出直线 的解析式为 ，同理可得直线 的解析式为 ，结合题意可得 ，由①可得 ，由②可得 ，从而得出 ，整理可得 ，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）解：在 中，令 ，则 ，即 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ， ∴ 为等边三角形， ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入解析式可得 ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 连接 、 ， ∵ 与 相似， ∴当 时， ， ∴ ， ∴设直线 的解析式为 ， 将 代入解析式可得 ， ∴直线 的解析式为 ， 联立 可得 ， 解得： ， （不符合题意，舍去）， 此时点 的横坐标为 ； 当 时， ，即 ， ∴ ， 过点 作 于 ，则 为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ， 将 代入解析式可得 ， ∴ ， ∴直线 的解析式为 ， 联立 可得 ， 解得： ， （不符合题意，舍去）； 此时点 的横坐标为 ； 综上所述，点 的横坐标为 或 ； （3）解：设 ， ， ， 由题意可得 轴，抛物线的对称轴为直线 ， ∴ ， ， 设直线 的解析式可得 ， 将 ， 代入解析式可得 ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 同理可得直线 的解析式为 ， ∵直线 和 交于点 ， ∴ ， 由①可得： ，由②可得： ， ∴ ， 整理可得： ∴ ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 56．（2025·甘肃·二模）如图1，抛物线 交 轴于点 、 两点，顶点 ，点 为第一象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)若 ，求点 的坐标； (3)如图2，直线 交抛物线于 、 ，直线 交抛物线于 、 ，点 为 的中点，点 为 的中点，当 时，求直线 一定经过的定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出 ，连接 ，直线 的解析式为 ，根据 ，可得 ，则直线 解析式为 ，联立 ，解得 或 ，则点P的坐标为 ； （3）联立 得 ，则 ，进而得到 ，根据中点坐标公式得到 ，同理可得 ；则可求出直线 解析式为 ，根据 ，得到直线 解析式为 ，当 时， ，则直线 一定经过点 ． 【详解】（1）解：把 ， 代入 中得 ， ∴ ， ∴抛物线解析式为 ； （2）解：在 中，当 时， 或 ， ∴ ， 如图所示，连接 ，设直线 的解析式为 ， ∴ ， ∴ ∴直线 的解析式为 ， ∵ ， ∴ 和 是同底等高的三角形， ∴ ， ∴可设直线 解析式为 ， 把 代入 中得： ，解得 ， ∴直线 解析式为 ， 联立 ，解得 或 ， ∴点P的坐标为 ； （3）解：联立 得 ， ∴ ， ∴ ， ∵点 为 的中点， ∴ ，即 ； 联立 得 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵点 为 的中点， ∴ ，即 ； 设直线 解析式为 ， ∴ ， ∴ ， ∴直线 解析式为 ， ∵ ， ∴ ， ∴直线 解析式为 ， 当 时， ， ∴直线 一定经过点 ． SHAPE \* MERGEFORMAT 二次函数图象的平移 57．（2025·甘肃·二模）已知二次函数 ，将其函数图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的抛物线所对应的解析式应是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移规律，以及通过顶点式或变量替换法求平移后的解析式．把抛物线解析式化为顶点式可求得顶点坐标，根据平移规律∶上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式． 【详解】解：二次函数 变为顶点式为 ． 顶点坐标为 ． 由题意得平移后顶点坐标为 ，即 ． 新顶点坐标为 ． 新顶点式为 ． 新解析式展开为 ． 故选：C． 58．（2025·甘肃陇南·二模）已知抛物线 ： 与 轴相交于 和 两点，与 轴相交于点 ．抛物线 沿 轴向右平移后的抛物线为 ，点 、 在 上的对应点分别为 、 ． (1)求点 坐标； (2)若 的面积等于 的面积的2倍，请说明抛物线 怎样沿 轴平移得到抛物线 ． 【答案】(1)点 的坐标为 ； (2)抛物线 沿 轴向右平移6或 个单位得到抛物线 【分析】本题考查了待定系数法确定函数关系式，抛物线与x轴的交点坐标，平移的性质，三角形的面积公式，能熟练运用相关性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）设抛物线 沿 轴向右平移 得到抛物线 ，根据平移可得 ， ，则 ， ， ，根据三角形面积公式，列式计算可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 ： 与 轴相交于 和 两点， ∴ ， 当 时， ， ∴点 的坐标为 ； （2）解：设抛物线 沿 轴向右平移 得到抛物线 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ， ∵ 的面积等于 的面积的2倍， ∴ ，即 ， ∴ 或 ． 综上，抛物线 沿 轴向右平移6或 个单位得到抛物线 ． 59．（2025·甘肃·二模）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令 ，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数 的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令 ，则 ， EMBED Equation.DSMT4 或 ， 解得： 或 ， ， 故答案为：1． 60．（2025·甘肃·二模）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，顶点为 ；抛物线 ，顶点为 ． (1)求抛物线 的表达式及顶点 的坐标； (2)如图1，连接 ，点 是拋物线 对称轴右侧图象上一点，点 是拋物线 上一点，若四边形 是面积为12的平行四边形，求 的值； (3)如图2，连接 ，点 是抛物线 对称轴左侧图像上的动点（不与点 重合），过点 作 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 交 轴于点 ，连接 ，求 面积的最小值． 【答案】(1) ， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线 的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接 ，过点 作 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 轴，交 延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，与 轴交于 ，设点 的横坐标为 ．设直线 的表达式为 ，解方程组得到直线 的表达式为 ，则 ，求得 ，求得 于是得到 ，解方程得到 ，根据平移的性质得到 ，将 代入 ，解方程即可； （3）过 作 轴，垂足为 ，过点 作 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 轴，过点 作 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 轴，与 交于点 ，设 且 ，求得抛物线 的顶点 ，得到 ，推出 ，解方程得到当 时， ，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解： 抛物线 过点 得 解得 抛物线 的表达式为 顶点 ； （2）解：如图，连接 ，过点 作 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 轴，交 延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，与 轴交于 ，设点 的横坐标为 ． 设直线 的表达式为 由题意知 解得 直线 的表达式为 的面积为12 ， ， 解得 （舍） 点 先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将 代入 得 解得 ． （3）解：如图，过 作 轴，垂足为 ，过点 作 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 轴，过点 作 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 轴，与 交于点 ，设 且 抛物线 的顶点 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 易得 当 时， 点 横坐标最小值为 ，此时点 到直线 距离最近， 的面积最小 最近距离即边 上的高，高为： 面积的最小值为 ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 61．（2025·甘肃·二模）已知抛物线 与x轴有公共点． (1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围； (2)将抛物线 先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线 （如图所示），抛物线 与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值； (3)D为抛物线 的顶点，过点C作抛物线 的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线 于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形． 【答案】(1) (2)n＝2 (3)见解析 【分析】（1）根据抛物线与 轴由公共点，可得 ，从而而求出 的值，进而求得抛物线对称轴，进一步得到结果； （2）根据图像平移的特征可求出平移后抛物线的解析式，根据 和 分别得出点 和 的坐标，根据 列出方程，进而求的结果； （3）从而得出点 、点 的坐标，由抛物线的解析式可得出点 的坐标和点 的坐标，进而求得 的解析式，从而得出点 的坐标，进而得出 ，进一步得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴有公共点， ∴ ∴ ∴ ． ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴当 时，y随着x的增大而增大． （2）解：由题意，得 ， 当y＝0时， ， 解得： 或 ， ∵点A在点B的右侧， ∴点A的坐标为（1+n，0），点B的坐标为（－3+n，0）． ∵点C的坐标为（0，－n2 +2n+3）， ∴n+1＝－n2+2n+3． 解得：n＝2或n＝－1（舍去）． 故n的值为2. （3）解：由（2）可知：抛物线C2的解析式为y＝－（x－1）2+4． ∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（－1，0） 点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4）， 抛物线C2的对称轴是直线x＝1， ∵点E与点C关于直线x＝1对称， ∴点E的坐标为（2，3）． ∴点G的坐标为（1，3）． 设直线BE解析式为y＝kx+b， ∴ 解得： ∴y＝x+1． 当x＝1时，y＝1+1＝2．点F的坐标为（1，2）． ∴FG＝EG＝DG＝CG＝1． ∴四边形CDEF为矩形． 又∵CE⊥DF， ∴四边形CDEF为正方形． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，求一次函数的解析式，平移图像的特征，正方形的判定，解决问题的关键是平移前后抛物线解析式之间的关系． SHAPE \* MERGEFORMAT 实际问题与二次函数 62．（2025·甘肃白银·二模）兰州牛肉拉面，被誉为中华第一面．如图，这是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底 为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽 ，碗深 ，则当汤面的最大竖直高度为 时，碗中汤面的水平宽度为 ．（碗的厚度不计） 【答案】20 【分析】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键．根据题意，求出抛物线表达式，当汤面的最大竖直高度为 时，则令 ，解答出x的值，即可得出结果 【详解】解：根据题意得抛物线经过点 ， 设抛物线表达式为 ，代入得 ， 解得 ， ∴抛物线表达式为 ， 当汤面的最大竖直高度为 时， 令 ， 解得： ， 碗中汤面的水平宽度为 ， 故答案为：20 63．（2025·甘肃酒泉·二模）一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．已知球门 高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．抛物线关系式为 ．通过计算判断球 （能或不能）射进球门．（忽略其他因素） 【答案】不能 【分析】本题主要考查二次函数的应用，依据题意，由 时，求出y的值可以判断得解 【详解】解：当 时， ， 所以，球不能射进球门． 故答案为：不能． 64．（2025·甘肃·二模）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高 时，水柱落点距O点 ；喷头高 时，水柱落点距O点 ．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数 在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质 是解题关键． 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高 时，可设 将 代入解析式得出 喷头高 时，可设 将 代入解析式得 联立可求出 和 的值，设喷头高为 时，水柱落点距 点 ，则此时的解析式为 将 代入可求出 ． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高 时，可设 ， 将 代入解析式得出 ①； 喷头高 时，可设 ； 将 代入解析式得 ②； 联立可求出 ， 设喷头高为 时，水柱落点距 点 ， ∴此时的解析式为 将 代入可得 解得 ， 故答案为： ． 65．（2025·甘肃·二模）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板 长为2米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以 所在直线为x轴， 所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)当 时，求这条抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； (3)图中 米， 米，若跳水运动员在区域 内（含点E，F），求k的取值范围． 【答案】(1)故抛物线解析式为： (2)运动员落水点与点 的距离为 米 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用等知识点， 根据抛物线顶点坐标 ,结合 ，可设抛物线解析为： ,将点 代入即可得解； 依据题意，由 求出函数解析式，再令 ,求出 即可； 若跳水运动员在区域 内(含点 , )，则在函数 中，当 米, ,当 米时 ,解不等式即可得； 熟练掌握利用顶点式求出二次函数解析式并能准确判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解决此题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，可得抛物线顶点坐标 , , 可设抛物线解析为： , ,解得： , 故抛物线解析式为： ； （2）解：根据题意，抛物线解析式为： , 令 ,则 , 解得： (舍去)， 运动员落水点与点 的距离为 米； （3）解：根据题意，抛物线解析式为： , 将点 代入可得： ,即 ， 若跳水运动员在区域 内(含点 入水， 当 时， ,即 ,解得： , 当 时， ,即 ,解得： , 66．（2025·甘肃·二模）如图①是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲纹处理，将传统文化与现代建筑为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲纹呈抛物线形，如图②，已知其底部宽度 为80米，高度为200米，则离地面128米处的水平宽度（即 的长）为 米．      【答案】48 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，数形结合．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点 在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将 代入求出 的值，即可得到 的值． 【详解】解：以底部所在的直线为 轴，以线段 的垂直平分线所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，    EMBED Equation.DSMT4 ， ， 设内侧抛物线的解析式为 ， 将 代入， 得： ， 解得： ， 内侧抛物线的解析式为 ， 将 代入得： ， 解得： ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 （米）， 故答案为：48． 67．（2025·甘肃·二模）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系 ，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度 （单位：m）与水平距离 （单位：m）近似满足函数关系 ． 小明进行了两次掷实心球训练． （1）第一次训练时，实心球的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 根据上述数据，实心球竖直高度的最大值是 m； （2）第二次训练时，实心球的竖直高度 与水平距离 近似满足函数关系 ，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为 ，第二次训练实心球的着陆点的水平距离为 ，则 （填“ ”，“ ”或“ ”）． 【答案】 【分析】题考查了二次函数的图象和性质，掌握其顶点式 中 为其顶点坐标是解题关键． （1）利用抛物线的对称性求得对称轴，再根据开口方向即可解答； （2）求出第一次训练时的抛物线解析式，令 ，求出两次的成绩，然后比较解题即可． 【详解】解：（1）由表格可知 和 时，y值相等， ∴对称轴为： ， ∴当 时，实心球竖直高度的最大，最大值为 ， 故答案为： ； （2）设第一次的函数解析式为 ， 把 代入得： ， 解得 ， ∴ 令 ，则 ， 解得： （舍去）， ， 令 ，则 ， 解得： （舍去）， ， 故答案为： ． 68．（2025·甘肃·二模） 年5月8日， 商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步． 时 分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为 米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面 米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退 米，两条水柱的形状及喷水口 、 到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点 距地面 米．    【答案】 【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令 求平移后的抛物线与 轴的交点即可． 【详解】解：由题意可知： 、 、 ， 设抛物线解析式为： ， 将 代入解析式 ， 解得： ， ， 消防车同时后退 米，即抛物线 向左（右）平移 米， 平移后的抛物线解析式为： ， 令 ，解得： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式． 69．（2025·甘肃·二模）如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度 为 ，顶点M距水面 （即 ），小孔顶点N距水面 （即 ）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度 是 m． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出大孔抛物线的解析式，然后根据NC的长即可求出点E、F的坐标，从而求出结论． 【详解】解：设大孔抛物线的解析式为 ， 把点 解析式，得 ，解得 ， 因此大孔抛物线的解析式为 ； 由 ，可知点F的纵坐标为4， 代入解析式 ， 解得 ． 所以 ， 所以 ． 故答案为： ． 【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用待定系数法求二次函数解析式是解决此题的关键． 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 题型10 题型11 2 / 30 $$