专题02 方程（组）及不等式（组）（6大题型）（甘肃专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题02 方程（组）与不等式（组） 题型概览 题型01 一元一次方程 题型02 二元一次方程组 题型03 解一元二次方程 题型04 一元二次方程的应用 题型05 分式方程 题型06 不等式与不等式组 ( 题型01 )一元一次方程 1．（2025·甘肃·二模）已知点在一次函数（为常数，）的图象上，则关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃陇南·二模）某种商品原价1500元，按原价打折出售此商品的利润是300元，已知这种商品的进价为900元，则这种商品打折为 折． 3．（2025·甘肃·二模）一元二次方程的一个解为，则 ． 4．（2025·甘肃·二模）一个角的补角比这个角的2倍还多，则这个角的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃·二模）一个底面半径为10cm、高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（    ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12 cm ( 题型02 )二元一次方程组 6．（2025·甘肃兰州·二模）《孙子算经》下卷第28题译成现代文意思是：现有甲乙二人，身边各有多少钱，不清楚．如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，钱数一共是48；如果乙的线数加上甲的钱数的，钱数一共也是48．问甲乙二人各有多少钱？（   ） A．24，36 B．36，18 C．36，24 D．24，18 7．（2025·甘肃·二模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 8．（2025·甘肃·二模）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50，若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？设甲有钱为x，乙有钱为y，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 9．（2025·甘肃·二模）解方程组： ( 题型03 )解一元二次方程 10．（2025·甘肃白银·二模）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 11．（2025·甘肃·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（   ） A．0 B．1 C． D．3 12．（2025·甘肃·二模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 13．（2025·甘肃·二模）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 14．（2025·甘肃·二模）若关于x的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 15．（2025·甘肃·二模）关于x的一元二次方程的两根之和是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 17．（2025·甘肃平凉·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 ． 18．（2025·甘肃·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 19．（2025·甘肃·二模）关于的一元二次方程的两实根满足，则的值为 ． 20．（2025·甘肃·二模）已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为 ． 21．（2025·甘肃·二模）若方程有实数根，则的值可以是（　　） A．0 B．4 C．6 D．8 22．（2025·甘肃·二模）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 23．（2025·甘肃·二模）若一元二次方程的两个根分别为，则的值为 ． 24．（2025·甘肃·二模）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．6 B． C．4 D． 25．（2025·甘肃·二模）若关于x的方程有两个实数根，写出一个m的值为 ． 26．（2025·甘肃·二模）当分式的值为0时，则实数x的值是 ． 27．（2025·甘肃·二模）若是关于的方程： 的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 28．（2025·甘肃·二模）如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 ( 题型0 4 )一元二次方程的应用 29．（2025·甘肃·二模）“道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规；某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售500个，8月份销售845个，且从6月份到8月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 30．（2025·甘肃·二模）为了增加同学们体育活动的场地，学校准备将一块长和宽分别为21米和12米的长方形区域改造成一块排球场，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．若排球场地和小路的总面积为400平方米，求小路的宽度． 31．（2025·甘肃·二模）公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售100个，4月份销售169个，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． 32．（2025·甘肃·二模）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知2023年投入资金2万元，2025年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同，求该社区2023年至2025年投入资金的增长率． 33．（2025·甘肃·二模）商场某种商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件；当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件，据此规律请回答： (1)当每件商品售价定为55元时，商场获得的日盈利是多少？ (2)在上述条件不变，商品销售正常的情况下，让顾客能得到实惠，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？ 34．（2025·甘肃·二模）某电子商铺购进一批电子配件，其进价为每件40元，按每件60元出售，平均每天可售出100件，经过市场调查发现，单价每降低2元，平均每天的销售量可增加20件，现在该商铺要尽快减少库存，采取降价措施，并且平均每天获利2240元，那么每件应定价多少元？ 35．（2025·甘肃·二模）互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家快递网点年月份完成快递的件数为件，月份完成快递的件数为件，求该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率． ( 题型0 5 )分式方程 36．（2025·甘肃白银·二模）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声、、．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：，则的值是 ． 37．（2025·甘肃·二模）（1）计算：； （2）解方程：． 38．（2025·甘肃武威·二模）某影院放映《哪吒2》，周末场观影人数比工作日场多人．周末场人均票价比工作日场人均票价少元，周末场和工作日场的票房收入均为元．求工作日场的观影人数是多少人？ 39．（2025·甘肃·二模）计算： (1) (2)解分式方程： 40．（2025·甘肃·二模）分式方程的解为（   ） A．0 B．6 C．2 D．4 41．（2025·甘肃·二模）解方程：． 42．（2025·甘肃·二模）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 43．（2025·甘肃·二模）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 44．（2025·甘肃·二模）已知是分式方程的解，则的值为（  ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )不等式与不等式组 45．（2025·甘肃平凉·二模）解不等式：，并把解集表示在如图所示的数轴上． 46．（2025·甘肃·二模）解不等式时，去分母后结果正确的为（　　） A．2（x+2）＞1﹣3（x﹣3） B．2x+4＞6﹣3x﹣9 C．2x+4＞6﹣3x+3 D．2（x+2）＞6﹣3（x﹣3） 47．（2025·甘肃·二模）求不等式组的解集． 48．（2025·甘肃·二模）解不等式组：． 49．（2025·甘肃·二模）（1）计算：； （2）解不等式组：． 50．（2025·甘肃·二模）（1）计算：． （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 51．（2025·甘肃陇南·二模）解不等式组：． 52．（2025·甘肃·二模）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 53．（2025·甘肃·二模）解不等式组：． 54．（2025·甘肃·二模）解不等式组，并写出它的所有负整数解 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程（组）与不等式（组） 题型概览 题型01 一元一次方程 题型02 二元一次方程组 题型03 解一元二次方程 题型04 一元二次方程的应用 题型05 分式方程 题型06 不等式与不等式组 ( 题型01 )一元一次方程 1．（2025·甘肃·二模）已知点在一次函数（为常数，）的图象上，则关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一次函数解析式、解一元一次方程，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．代入到，求出的值，再代入的值到关于的方程，即可解出的值． 【详解】解：代入到，得， 解得：， 代入到方程，得， 解得：． 故选：C． 2．（2025·甘肃陇南·二模）某种商品原价1500元，按原价打折出售此商品的利润是300元，已知这种商品的进价为900元，则这种商品打折为 折． 【答案】八/8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设折扣为x，根据等量关系为：原价×折扣-进价=利润，列方程求解即可． 【详解】解：设折扣为x， 根据题意得，， 解得，， 则折扣为八折， 故答案为：八． 3．（2025·甘肃·二模）一元二次方程的一个解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，由题意可得，解方程即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（2025·甘肃·二模）一个角的补角比这个角的2倍还多，则这个角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了补角的定义以及一元一次方程的实际应用，设这个角的度数为，则这个角的补角为：，根据题意列出关于的一元一次方程， 解方程即可求解． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的补角为：， 根据题意得：， 解得：， 故选：B． 5．（2025·甘肃·二模）一个底面半径为10cm、高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（    ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12 cm 【答案】C 【分析】通过理解题意可知本题的等量关系，即大杯的体积=12个小杯的体积，再利用圆柱体的体积公式列方程求解即可解答． 【详解】解：设小杯的高为x， 根据题意得：π×102×30=π×（10÷2）2•x×12 解得：x=10 则小杯的高为10cm． 故选C． 【点睛】本题考查了圆柱面积公式的实际应用，准确理解题意找到等量关系式是解题的关键. ( 题型02 )二元一次方程组 6．（2025·甘肃兰州·二模）《孙子算经》下卷第28题译成现代文意思是：现有甲乙二人，身边各有多少钱，不清楚．如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，钱数一共是48；如果乙的线数加上甲的钱数的，钱数一共也是48．问甲乙二人各有多少钱？（   ） A．24，36 B．36，18 C．36，24 D．24，18 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键． 设甲有x钱，乙有y钱，然后根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲有x钱，乙有y钱， 根据题意可得： ，解得：， 所以甲乙二人分别有36钱和24钱． 故选C． 7．（2025·甘肃·二模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元； (2)共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆； (3)购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，，， 共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆； （3）解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元． ， 购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元． 8．（2025·甘肃·二模）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50，若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？设甲有钱为x，乙有钱为y，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，可以得到相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ； 故选：B． 9．（2025·甘肃·二模）解方程组： 【答案】 【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：方程组整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． ( 题型03 )解一元二次方程 10．（2025·甘肃白银·二模）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了方程的解，以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据方程的解得到，利用根与系数的关系得到，最后代入式子求解，即可解题． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：0． 11．（2025·甘肃·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，求出，然后由得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵， ∴， ∴m的值可以是0． 故选：A． 12．（2025·甘肃·二模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 13．（2025·甘肃·二模）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握一元二次方程的根即能够使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键． 将代入原方程即可求解． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：． 故答案为：． 14．（2025·甘肃·二模）若关于x的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设另一个根为，由题意得 ， ∴， 故答案为：． 15．（2025·甘肃·二模）关于x的一元二次方程的两根之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：设的两根为、， ． 故选：D． 16．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键．先化为一般形式，再根据判别式，求出的范围，进而即可得到答案． 【详解】解：，即 ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 的值可能是：8． 故选：A. 17．（2025·甘肃平凉·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根可得出，据此得出k的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即：， ∴， 故答案为：１． 18．（2025·甘肃·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：A． 19．（2025·甘肃·二模）关于的一元二次方程的两实根满足，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查主要了根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：，则k为任意实数，方程恒有两个不等的根， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：，， 故答案为：或． 20．（2025·甘肃·二模）已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的情况是解题的关键，由于，是方程的两个实数根，可得，，代入可得，进而得到，，代入原式验证后，即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，原方程为， ∴，不符合题意舍去， 当时，原方程为， ∴，符合题意舍去， 综上所述：， 故答案为：． 21．（2025·甘肃·二模）若方程有实数根，则的值可以是（　　） A．0 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程有实数解得到，代入解不等式即可． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， ∴， 故A符合题意； 故选：A． 22．（2025·甘肃·二模）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的计算是关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，即可求解． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 23．（2025·甘肃·二模）若一元二次方程的两个根分别为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．由题意可知，，再代入计算求值即可． 【详解】解：一元二次方程的两个根分别为， ，， ， 故答案为： 24．（2025·甘肃·二模）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．对于一元二次方程的两个根，满足，．先根据根与系数的关系求出和的值，再将转化成，然后将和的值代入即可得解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：D． 25．（2025·甘肃·二模）若关于x的方程有两个实数根，写出一个m的值为 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式．先根据判别式的意义得到，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得， 所以当m取0时，方程有两个实数根． 故答案为：0（答案不唯一）． 26．（2025·甘肃·二模）当分式的值为0时，则实数x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为零的条件，一元二次方程的解法，根据分式值为的条件①分母不为，②分子等于计算即可． 【详解】解：由题意得且， 由解得； 由，解得或（舍去） 所以实数的值为． 故答案为：． 27．（2025·甘肃·二模）若是关于的方程： 的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系的计算是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：若是关于的方程： 的两个实数根， ∴， ∴，， ∴， 故选：C ． 28．（2025·甘肃·二模）如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键． 由，可得，可得，可得，是方程的两个根，，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，而，， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴； 故选：C． ( 题型0 4 )一元二次方程的应用 29．（2025·甘肃·二模）“道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规；某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售500个，8月份销售845个，且从6月份到8月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔8月份的销售量=该品牌头盔6月份的销售量（1+该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于x的一元二次方程，求解出增长率，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 30．（2025·甘肃·二模）为了增加同学们体育活动的场地，学校准备将一块长和宽分别为21米和12米的长方形区域改造成一块排球场，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．若排球场地和小路的总面积为400平方米，求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设小路的宽度为，那么四周外围环绕着宽度相等的小路的长方形的长、宽分别为、，根据长方形的面积公式和已知条件即可列出方程，解方程即可求出小路的宽度． 【详解】解：设小路的宽度为，依题意得， 整理：， 解之：， (不合题意，舍去)． 答：小路的宽度为． 31．（2025·甘肃·二模）公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售100个，4月份销售169个，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该品牌头盔销售量的月增长率为，利用该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔2月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 32．（2025·甘肃·二模）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知2023年投入资金2万元，2025年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同，求该社区2023年至2025年投入资金的增长率． 【答案】 【分析】设该社区2023年至2025年投入资金的增长率x，根据题意，得，解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题的解法是解题的关键． 【详解】解：设该社区2023年至2025年投入资金的增长率x， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该社区2023年至2025年投入资金的增长率为． 33．（2025·甘肃·二模）商场某种商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件；当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件，据此规律请回答： (1)当每件商品售价定为55元时，商场获得的日盈利是多少？ (2)在上述条件不变，商品销售正常的情况下，让顾客能得到实惠，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？ 【答案】(1)6750元； (2)每件商品售价为60元时，商场日盈利达到8000元． 【分析】此题考查了一元二次方程和有理数四则混合运算的应用，根据题意正确列出方程是关键． （1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利； （2）设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当每件商品售价为55元时，比每件商品售价50元高出5元， 即（元）， 则每天可销售商品450件，即（件）， 商场可获日盈利为（元）． 答：每件商品售价定为55元时，商场获得的日盈利是6750元； （2）设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元． 则每件商品比50元高出元，每件可盈利元， 每日销售商品为（件）． 依题意得方程， 整理，得， 解得，． ∵让顾客能得到实惠， ∴ 答：每件商品售价为60元时，商场日盈利达到8000元． 34．（2025·甘肃·二模）某电子商铺购进一批电子配件，其进价为每件40元，按每件60元出售，平均每天可售出100件，经过市场调查发现，单价每降低2元，平均每天的销售量可增加20件，现在该商铺要尽快减少库存，采取降价措施，并且平均每天获利2240元，那么每件应定价多少元？ 【答案】每件应定价54元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件应降价x元，则每件定价为元，根据每天获得的利润等于单件利润乘以销售量列出方程求解即可． 【详解】解：设每件应降价x元，则每件定价为元， 根据题意得， 化简得：， 解得：， ∵商铺要尽快减少库存， ∴， 答：每件应定价54元． 35．（2025·甘肃·二模）互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家快递网点年月份完成快递的件数为件，月份完成快递的件数为件，求该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为，利用该快递网点月份完成快递的件数该快递网点月份完成快递的件数（该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为． ( 题型0 5 )分式方程 36．（2025·甘肃白银·二模）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声、、．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：，则的值是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据调和数的定义列出分式方程是解答本题的关键． 由调和数的定义列分式方程求解即可． 【详解】解：根据调和数的定义可得： ， 解得：， 经检验：是分式方程的解． 故答案为20． 37．（2025·甘肃·二模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）6；（2） 【分析】本题考查实数的运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先分别化简算术平方根，特殊三角函数，绝对值，再算乘法，最后进行加减运算即可； （2）方程去分母后得整式方程，解整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 38．（2025·甘肃武威·二模）某影院放映《哪吒2》，周末场观影人数比工作日场多人．周末场人均票价比工作日场人均票价少元，周末场和工作日场的票房收入均为元．求工作日场的观影人数是多少人？ 【答案】工作日场的观影人数是人 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据“周末场人均票价比工作日场人均票价少元”列方程求解即可． 【详解】解：设工作日场的观影人数是人，则周末场的观影人数是人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：或（不符题意，舍）， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：工作日场的观影人数是人． 39．（2025·甘肃·二模）计算： (1) (2)解分式方程： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了绝对值，零指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，零指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，然后计算加减． （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 40．（2025·甘肃·二模）分式方程的解为（   ） A．0 B．6 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先将分式方程化为整数方程得到，解得，经检验是分式方程的解，即可得到答案． 【详解】解： 解得， 经检验是分式方程的解， 故选：B． 41．（2025·甘肃·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，去分母转化为一元二次方程是解题的关键；先去分母化为一元二次方程，再解一元二次方程并检验即可得解． 【详解】解：等式两边同乘以得， ， ， ， ，， 经检验：是原方程的增根，舍去； 所以原方程的解为． 42．（2025·甘肃·二模）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，方程两边同乘，去分母后化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：时，， ∴是该分式方程的解． 故选：C 43．（2025·甘肃·二模）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原来平均每人每周投递快件件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件件，根据快递公司的快递员人数不变，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件件， 依题意得：． 故选：A 44．（2025·甘肃·二模）已知是分式方程的解，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将代入求解即可． 【详解】解：原式化简为， 将代入 得 解得. 当a=-3时a-x=-3-1=-4≠0 ∴a=-3 故选则：D． 【点睛】本题考查分式方程的解．会将分式方程化为整式方程，解题关键将方程的解代入转化为的方程． ( 题型0 6 )不等式与不等式组 45．（2025·甘肃平凉·二模）解不等式：，并把解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式并在数轴上表示其解集，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤． 利用解一元一次不等式的步骤进行求解，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化1得，． 不等式的解集在数轴上表示为： ． 46．（2025·甘肃·二模）解不等式时，去分母后结果正确的为（　　） A．2（x+2）＞1﹣3（x﹣3） B．2x+4＞6﹣3x﹣9 C．2x+4＞6﹣3x+3 D．2（x+2）＞6﹣3（x﹣3） 【答案】D 【分析】利用不等式的性质把不等式两边乘以6可去分母． 【详解】解：去分母得2（x+2）＞6﹣3（x﹣3）． 故选D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质去分母． 47．（2025·甘肃·二模）求不等式组的解集． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 48．（2025·甘肃·二模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出每一个不等式的解集，再找出解集的公共部分即得原不等式组的解集为． 【详解】解：解不等式①： ， ， ， 解不等式②： ， ， ， ∴原不等式组的解集为． 49．（2025·甘肃·二模）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及0指数、特殊角的三角函数值、负整数指数等知识，也考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． （1）先计算0指数、代入特殊角的三角函数值、计算负整数指数、化简绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先求出每个不等式的解集，再找出其解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，，解得：， ∴不等式组的解集为． 50．（2025·甘肃·二模）（1）计算：． （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），数轴见解析 【分析】本题考查实数的运算和解一元一次不等式组．解题关键是熟知实数运算里的相关概念定义，并能准确解每个不等式． （1）根据立方根，零指数幂定义和特殊角三角函数值来进行化简计算即可． （2）分别解两个不等式，取解集公共部分即可． 【详解】解：（1）， ． ； （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得． 在数轴上表示出解不等式①，②的解集， 所以，原不等式组的解集是 51．（2025·甘肃陇南·二模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为． 52．（2025·甘肃·二模）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图所示： ， 故选：B． 53．（2025·甘肃·二模）解不等式组：． 【答案】 【分析】先解不等式组中的每个不等式，再取其解集的公共部分即得答案． 【详解】解：对不等式组， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于基本题型，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键． 54．（2025·甘肃·二模）解不等式组，并写出它的所有负整数解 【答案】-3≤x<2，负整数解为-3，-2，-1. 【分析】分别求出每个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，再确定解集中的负整数即可得. 【详解】， 由①得，x≥-3， 由②得，x<2， 所以不等式组的解集为：-3≤x<2， ∴负整数解为-3，-2，-1. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$