专题06 圆（10大题型）（甘肃专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题11 圆 题型概览 题型01 垂径定理 题型02 圆周角定理 题型03 证明某直线是圆的切线 题型04 利用切线的性质定理求解 题型05 切线的性质和判定的综合 题型06 圆内接四边形求角度 题型07 正多边形和圆 题型08 求弧长 题型09 求扇形和其他不规则图形的面积 题型10 圆锥的定义及面积 ( 题型01 )垂径定理 1．（2025·甘肃·二模）如图，是的一条弦，直径于点．若，，则的直径为（　　） A．5 B．6 C． D．13 2．（2025·甘肃·二模）如图所示，是圆的直径，弦，垂足为，，． (1)求证：； (2)求图中阴影部分的面积． 3．（2025·甘肃·二模）如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长为（   ）． A． B． C． D． 4．（2025·甘肃·二模）如图，内接于，是的直径，，点是劣弧的中点，连接交于点，，则弦的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（2025·甘肃·二模）如图，为的直径，弦于点E，已知，，则的半径为 ． 6．（2025·甘肃·二模）如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为（   ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 ( 题型02 )圆周角定理 7．（2025·甘肃·二模）如图，都是的半径，． (1)求证：； (2)若，，求． 8．（2025·甘肃·二模）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为（    ）． A．4 B．3 C． D． 9．（2025·甘肃·二模）如图，是⊙O的直径，是弦，点是弧的中点，与交于点，是⊙O的切线，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 10．（2025·甘肃·二模）如图，点、、、都在上，若，，则的度数为 ． 11．（2025·甘肃·二模）如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 12．（2025·甘肃·二模）如图，为的直径，为上一点，连接，，过点的直线与相切，与的延长线交于点，点为上一点，且，连接并延长交直线于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 13．（2025·甘肃·二模）如图，在中，直径与弦的交点为E，，若，则 ． 14．（2025·甘肃·二模）如图，点，，在上，，，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025·甘肃·二模）如图， 在中， 直径与弦相交于点 P， 连接， ，，若，， 则 （    ） A． B． C． D． ( 题型03 )证明某直线是圆的切线 16．（2025·甘肃武威·二模）如图，已知是的直径，是的弦，，连接交于点E，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求． 17．（2025·甘肃武威·二模）如图，是的直径，点A，点D在上，且位于的两侧，点C在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 18．（2025·甘肃·二模）如图，是的直径，C是劣弧的中点，与相交于点E．连接与的延长线相交于点F． (1)证明：是的切线； (2)证明：． 19．（2025·甘肃·二模）如图，在中；点为边上一点，经过两点，交于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 20．（2025·甘肃·二模）如图，为半径，点B在上，，连接交于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若 ，求 的长． 21．（2025·甘肃·二模）如图，中，，，平分，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好经过点D． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求线段的长． 22．（2025·甘肃白银·二模）如图，为的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且． (1)求证：为的切线． (2)若，，求的长． 23．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． ( 题型0 4 )切线的性质定理 24．（2025·甘肃平凉·二模）如图，在中，以为直径的交于点，经过点的切线交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，的半径是2，求的长． 25．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，与交于点C，与相切，过点C作，交于点D，M是边上一动点，则当的周长最小时，的值为（　　） A． B． C． D． 26．（2025·甘肃·二模）如图，，是的直径，点在上，连接交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)过点作的切线交的延长线于点．若，求的长． 27．（2025·甘肃·二模）如图1，是的直径，是的弦，连接，过点B作的垂线交于点D，交于点E． (1)若为的中点，求的大小； (2)如图2，过点B作的切线交的延长线于点F，求证：． 28．（2025·甘肃·二模）如图，是半圆的直径，点在的延长线上，切于点，，垂足为，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 29．（2025·甘肃·二模）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． ( 题型0 5 )切线的性质和判定的综合 30．（2025·甘肃·二模）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求及的长． 31．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为延长线上一点，延长交于点F，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，时，求的长． 32．（2025·甘肃·二模）如图，是的外接圆，圆心在上，且，是上一点，过作的垂线交于点，交的延长线于点，直线交于点，． （1）求证：是的切线． （2）设的半径为，且，求的长． ( 题型0 6 )圆内接四边形求角度 33．（2025·甘肃武威·二模）如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接．点为上一点，平分，且，求的度数． 34．（2025·甘肃·二模）如图所示，A，B是上的两点．，C是上一点，则的度数为 ． 35．（2025·甘肃·二模）如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 36．（2025·甘肃·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 37．（2025·甘肃·二模）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则 ． ( 题型0 7 )正多边形和圆 38．（2025·甘肃陇南·二模）如图，作的任意一条直径，分别以为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点和，顺次连接，得到六边形，若，则阴影部分的面积为 ． 39．（2025·甘肃·二模）如图，正六边形的边长为，点M是的内心，点N是的外心，则的长度为（   ） A．2 B． C． D． 40．（2025·甘肃·二模）如图，⊙的内接正六边形的边长为6，点P是弧的中点，则弧的长为 ． 41．（2025·甘肃·二模）如图，的外切正六边形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ．    42．（2025·甘肃·二模）如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为 ． 43．（2025·甘肃·二模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为（    ） A．3 B． C． D． ( 题型0 8 )求弧长 44．（2025·甘肃·二模）为半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板如图放置，30°角的顶点P在半圆上，斜边经过点B，一条直角边交半圆O于点Q．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 45．（2025·甘肃·二模）古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点A和点B分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，B地在A地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离为800km．当太阳光线在A地直射时，同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是．由此估算地球周长约为 km． 46．（2025·甘肃·二模）小文在假期旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞（如图），她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为2.4m，门洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的，则这个门洞的圆弧长为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 9 )求扇形和其他不规则图形的面积 47．（2025·甘肃·二模）如图，是的直径，与弦交于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 48．（2025·甘肃平凉·二模）中国是个重视孝道的国家，“孝”是我国传统的美德．如图①是一块弘扬“孝”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，点、分别在、上，与都是以为圆心，、长分别为半径，圆心角，若，，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 49．（2025·甘肃·二模）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ． 50．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得，则图中线段扫过的阴影部分的面积为 . ( 题型 10 )圆锥的定义及面积 51．（2025·甘肃·二模）一个圆锥的主视图是边长为的等边三角形，其侧面展开图的面积是 ． 52．（2025·甘肃·二模）一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 ．（结果保留） 53．（2025·甘肃·二模）如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为 ． 54．（2025·甘肃白银·二模）某遮阳伞如图所示，伞面可近似看作一个圆锥，若，，则遮阳伞伞面的面积（圆锥的侧面积）为 ． 55．（2025·甘肃·二模）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体侧面展开图的圆心角的度数为 ． 56．（2025·甘肃·二模）如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）． 57．（2025·甘肃·二模）党的二十大提出“发展乡村特色产业，拓宽农民增收致富渠道．”王家庄村民李兴旺看到来村游客越来越多，民宿需求大增，就扩大自己的农家乐经营规模，在新建大厨房时，购买了规格为180cm×120cm的长方形不锈钢铁皮（如图①）用来制作如图②的烟囱帽（圆锥部分），他用铁皮裁下的最大扇形焊成的烟囱帽的高度为 cm．    58．（2025·甘肃·二模）如图，圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则圆锥主视图的面积为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 圆 题型概览 题型01 垂径定理 题型02 圆周角定理 题型03 证明某直线是圆的切线 题型04 利用切线的性质定理求解 题型05 切线的性质和判定的综合 题型06 圆内接四边形求角度 题型07 正多边形和圆 题型08 求弧长 题型09 求扇形和其他不规则图形的面积 题型10 圆锥的定义及面积 ( 题型01 )垂径定理 1．（2025·甘肃·二模）如图，是的一条弦，直径于点．若，，则的直径为（　　） A．5 B．6 C． D．13 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．连接，设的半径为，则，，然后根据垂径定理求得，利用勾股定理，解得即可得到直径． 【详解】解：连接，如图所示， 设的半径为，则， ， ， 是的一条弦，直径于点，， ， ，即， 解得， 的直径为， 故选：D． 2．（2025·甘肃·二模）如图所示，是圆的直径，弦，垂足为，，． (1)求证：； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理、扇形面积公式，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由垂径定理得到，然后求出，即可证明出； （2）首先得出，然后得到，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）因为是的直径，弦， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以； （2）由（1）的结论，知， 所以 ． 3．（2025·甘肃·二模）如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接，先根据已知求得，再根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：连接， ∵的直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：D． 4．（2025·甘肃·二模）如图，内接于，是的直径，，点是劣弧的中点，连接交于点，，则弦的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】该题考查了垂径定理，三角形中位线定理，根据垂径定理得出，从而得是的中位线，， ． 【详解】解：∵点是劣弧的中点，是半径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 5．（2025·甘肃·二模）如图，为的直径，弦于点E，已知，，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理．连接，设的半径为r，则，．根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理列方程即可求出的r值． 【详解】解：连接，设的半径为r，则， ， ， ∵为的直径，， ∴， ∵在中，， ， 解得， ∴的半径为5． 故答案为：5． 6．（2025·甘肃·二模）如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为（   ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】B 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆的性质、垂径定理的推论、勾股定理等知识，根据题意可得，在中，由勾股定理可得，由圆的半径均相等，结合代值求解即可得到答案． 【详解】解：是的半径，交于点，， ， 在中，，则由勾股定理可得， ， 故选：B． ( 题型02 )圆周角定理 7．（2025·甘肃·二模）如图，都是的半径，． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用圆周角定理即可证明； （2）作于点，作于点，利用三线合一性质得到，，得到，利用全等三角形的判定证出，得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ； （2）解：如图，作于点，作于点， ，， ，，， 由（1）得，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 8．（2025·甘肃·二模）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为（    ）． A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．由圆的基本性质可得，如图：连接，由弧的中点、弧与圆周角的关系以及垂径定理可得、、，即，则；再证明是等边三角形即可证明结论． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， 如图：连接、、，则， ∵点是的中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 9．（2025·甘肃·二模）如图，是⊙O的直径，是弦，点是弧的中点，与交于点，是⊙O的切线，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理． （1）连接、，如图，先根据切线的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，再证明，然后利用∠得到，即可得出结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， 即， ∵点D是弧的中点，是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设的半径为r，则， 在中，∵，，， ∴， 解得， 即的半径为3． 10．（2025·甘肃·二模）如图，点、、、都在上，若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆周角定理，根据已知可得，根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2025·甘肃·二模）如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．先证明和都是等边三角形，求得，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，      ∵，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 12．（2025·甘肃·二模）如图，为的直径，为上一点，连接，，过点的直线与相切，与的延长线交于点，点为上一点，且，连接并延长交直线于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据等角对等边可得，等量代换可得，根据内错角相等两直线平行，可证，根据切线的定义可知，从而可证； 设的半径为，则，，根据，可证，根据相似三角形的性质可得，解方程即可求出的半径． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， ， ， ， ， ， ， 为的切线， ， ， ， ； （2）解：， 设，则， ， 设的半径为， 则，， ， ， ， ， ，即的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理，解决本题的关键是根据相似三角形的性质找到边之间的关系，根据边之间的关系求出圆的半径． 13．（2025·甘肃·二模）如图，在中，直径与弦的交点为E，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理．正确运用所学的性质是解题的关键．连接，由可得，则，根据条件可求出的度数，由圆周角定理可得的度数． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：40． 14．（2025·甘肃·二模）如图，点，，在上，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，对顶角相等，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由圆周角定理得，设与相交于点，由三角形的内角和定理和对顶角相等得，求出的度数即可． 【详解】解：由题意得， 设与相交于点， ，， ， 又，， ， 故选：C． 15．（2025·甘肃·二模）如图， 在中， 直径与弦相交于点 P， 连接， ，，若，， 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识． 先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出． 【详解】解：∵， ， ， ， 又 ∵为直径，即， ， 故选：D． ( 题型03 )证明某直线是圆的切线 16．（2025·甘肃武威·二模）如图，已知是的直径，是的弦，，连接交于点E，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的性质、等腰三角形性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．掌握圆中直径所对圆周角为直角、等腰三角形等边对等角，以及利用勾股定理和相似三角形求线段长度等知识点是解题的关键． （1）利用圆中边与角的等量关系，逐步进行角的等量代换，最终证明，证明是圆的切线． （2）先利用勾股定理求出，再通过作辅助线，根据角的关系证明三角形相似，利用相似三角形性质求出，进而求出的长度． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ，所对的弧是同弧， ． 是 的直径， ， ， ， 即， 是 的切线； （2）解：在中，， ，， ， 作， ， ， ， ， ， ∴， ， ，， . 17．（2025·甘肃武威·二模）如图，是的直径，点A，点D在上，且位于的两侧，点C在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ∵，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， ∴， 即的半径为6． 18．（2025·甘肃·二模）如图，是的直径，C是劣弧的中点，与相交于点E．连接与的延长线相交于点F． (1)证明：是的切线； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论； （2）由圆周角定理以及弧与圆心角的关系得到，则，然后证明即可． 【详解】（1）证明：连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）证明：如图： 由上知：， 点C是中点， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查的是圆周角定理、切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，弧，弦，圆心角的性质，正确作出辅助线是解决此题关键． 19．（2025·甘肃·二模）如图，在中；点为边上一点，经过两点，交于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，得到，推出，由为直径，得到，继而得到，即可得到结论； （2）设的半径为，则，得到，利用勾股定理计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， 为直径， ，即， ∴， 为半径， 为的切线； （2）解：设的半径为，则 由（1）得， ，， ， 在中，， ， 解得， ∴的半径为． 20．（2025·甘肃·二模）如图，为半径，点B在上，，连接交于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若 ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出，结合已知和圆周角定理可得，根据三角形内角和定理可求出，，根据平行线的性质可得，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据等边对等角和平行线的性质可得出，结合由（1）中，可求出，根据圆周角定理求出，在中，根据勾股定理可求出，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，弧长公式等知识，明确题意，添加合适辅助线，求出是解题的关键． 21．（2025·甘肃·二模）如图，中，，，平分，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好经过点D． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，欲证明是的切线，只要证明即可； （2）求出，长，可得出，设，则，可得，解方程即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接． 平分， ， ， ， ， ， ， 直线是的切线； （2）解：∵， ∴， 在中，， ， ， ， 在中， ， ， 设，则， ， ， 解之得，或（舍去）， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌切线的判定和性质． 22．（2025·甘肃白银·二模）如图，为的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且． (1)求证：为的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键： （1）连接，等边对等角，得到，直径得到，进而得到，等量代换，推出，即可得证； （2）连接，证明为等边三角形，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：连接，则：，， ∵E为的中点， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，因为于点E，所以，即可证明是的切线； （2）由，得，因为，，所以，由勾股定理得，求得，则的半径长为3． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点E，交的延长线于点F， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的半径长为3． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． ( 题型0 4 )切线的性质定理 24．（2025·甘肃平凉·二模）如图，在中，以为直径的交于点，经过点的切线交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，的半径是2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用切线定理得出垂直，根据已知条件得出，再利用平行线的性质得出相等的角，最后利用等角对等边即可得出结论； （2）连接，利用含角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质得出相关边长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， ， ∵是的直径， ，则， ，根据等腰三角形的性质， ，则， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了圆的切线定理，平行线的判定和性质，等边对等角，等角对等边，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直径定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 25．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，与交于点C，与相切，过点C作，交于点D，M是边上一动点，则当的周长最小时，的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，延长交于点E，连接，交于点M，此时周长最小．设，，证明得到，由正切定义和勾股定理求得，，根据切线性质得，证明，利用相似三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E，连接，交于点M， ∵，， ∴垂直平分，则， ∴，此时周长最小． 设，， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 设于相切于点F，连接， 则，又， ∴， ∴，即， 解得， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质、轴对称求最短路线、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等问题，解题的关键在于正确找到M点位置． 26．（2025·甘肃·二模）如图，，是的直径，点在上，连接交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)过点作的切线交的延长线于点．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）证明，利用垂径定理即可证明； （2）设，则，，证明，推出，，求得，，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴设，则，， ∵是的切线，是的直径， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 整理得， 解得， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， ∵， ∴， ∴，即的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 27．（2025·甘肃·二模）如图1，是的直径，是的弦，连接，过点B作的垂线交于点D，交于点E． (1)若为的中点，求的大小； (2)如图2，过点B作的切线交的延长线于点F，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、圆的切线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理和圆的切线的性质是解题关键． （1）连接，先证出是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得，然后根据圆周角定理可得，由此即可得； （2）连接，先根据圆的切线的性质可得，再证出，根据等腰三角形的判定可得，然后根据圆周角定理可得，最后根据等腰三角形的三线合一即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴（等腰三角形的三线合一）． 28．（2025·甘肃·二模）如图，是半圆的直径，点在的延长线上，切于点，，垂足为，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，等边对等角等等，熟知切线的性质和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）如图所示，连接，由切线的性质得到，则可证明，再由等边对等角和平行线的性质证明，即可证明平分； （2）先证明，求出，进而得到，则，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图所示，连接， ∵是半圆的直径，切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ． 29．（2025·甘肃·二模）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． ( 题型0 5 )切线的性质和判定的综合 30．（2025·甘肃·二模）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为，的长为 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． （1）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得的长；根据全等三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，最后根据求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， 设， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴在中，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴在中，， ∴， 综上，的长为，的长为． 31．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为延长线上一点，延长交于点F，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，由于，得到，根据余角的性质得到，于是得到结论； （2）根据切线的判定定理得到是的切线，求得，连接，得到，根据平行线分线段长比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，   ， ， ， ， 直径， ， ， ∴，， ， 是的切线； （2）解：，为半径， 是的切线，而为的切线， ， 连接，   ， ∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∴是的中位线， ，， ， ∴，而， ∴， ∴， ， ， . 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，切线长定理的应用，圆周角定理，平行线分线段长比例定理，三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 32．（2025·甘肃·二模）如图，是的外接圆，圆心在上，且，是上一点，过作的垂线交于点，交的延长线于点，直线交于点，． （1）求证：是的切线． （2）设的半径为，且，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用∠B＝2∠A可计算出∠B＝60°，∠A＝30°，易得∠E＝30°，接着由EF＝FC得到∠ECF＝∠E＝30°，所以∠FCA＝60°，加上∠OCA＝∠A＝30°，所以∠FCO＝∠FCA＋∠ACO＝90°，于是可根据切线的判定得到FC是⊙O的切线； （2）利用含30度的直角三角形三边的关系．在Rt△ABC中可计算出BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，则CE＝2，所以BE＝BC＋CE＝2＋2，然后在Rt△BEM中计算出BM＝BE＝1＋，再计算AB−BM的值即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的外接圆，圆心在上， 是的直径， ， 又， ，， ， ， 在中，， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：在中，，，， ，， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了含30度的直角三角形三边的关系． ( 题型0 6 )圆内接四边形求角度 33．（2025·甘肃武威·二模）如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接．点为上一点，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形等知识，由角平分定义可设，则，通过圆内接四边形和平角定义可得，则有，，，最后由角度和差求出x的值即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 设，则， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 34．（2025·甘肃·二模）如图所示，A，B是上的两点．，C是上一点，则的度数为 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，在优弧上取一点D，连接，先由圆周角定理得，再由圆内接四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：在优弧上取一点D，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 35．（2025·甘肃·二模）如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，根据圆周角定理得到，圆内接四边形的性质，得到，结合，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是内接四边形，是的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 36．（2025·甘肃·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，连接，根据圆内接四边形的性质，得，再得到，再根据圆周角定理即可求解，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 37．（2025·甘肃·二模）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键； 根据圆内接四边形的性质得到，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． ( 题型0 7 )正多边形和圆 38．（2025·甘肃陇南·二模）如图，作的任意一条直径，分别以为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点和，顺次连接，得到六边形，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的面积转换，等边三角形面积，将不规则图形的面积转换成规则图形的面积是解题关键．可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，然后求解即可． 【详解】解：如图，连接， 根据题意，可知弓形与弓形面积相等，弓形与弓形面积相等， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形，同理可知为等边三角形，且两三角形全等， ∴． 故答案为：． 39．（2025·甘肃·二模）如图，正六边形的边长为，点M是的内心，点N是的外心，则的长度为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形的性质，圆的内心和外心，直角三角形的性质等知识，连接交于点，连接，根据正六边形的性质得，，从而得出，根据对称性得出，是等边三角形，得出，设的内切圆的半径为，根据列式求出，再根据求解即可． 【详解】解：连接交于点，连接，设与交于点，如图， ∴点为正六边形的中心， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵正六边形是轴对称图形， ∴ ∴， ∴，, ∴点为的外心，点在上， ∴， 根据对称性得出是等边三角形，， ∴，， ∴， 设的内切圆的半径为， ∴ ∴ ∴ 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 40．（2025·甘肃·二模）如图，⊙的内接正六边形的边长为6，点P是弧的中点，则弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质、弧长公式等知识点，正确地添加辅助线是解题的关键．连接、、、、，因为⊙的内接正六边形的边长为6，可得，，即可判断是等边三角形，即，由点P是弧的中点，，则，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接、、、、， ⊙的内接正六边形的边长为6， ，， ，， 是等边三角形， ， 点P是弧的中点， ， ， ， 弧的长为：， 故答案为：． 41．（2025·甘肃·二模）如图，的外切正六边形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、正多边形与圆，设与的切点是点，连接，则，首先根据正六边形的性质可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可以求出，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如下图所示，      设与的切点是点，连接， 则， 在正六边形中， ，， 是等边三角形， 正六边形的边长为， ， ， ， ， ； 故答案为：． 42．（2025·甘肃·二模）如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查正多边形与圆，设正六边形的中心是O，一边是，过O作与G，在直角中，根据三角函数即可求得． 【详解】解：如图，过O作与G， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：2． 43．（2025·甘肃·二模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆的综合、等边三角形的判定及性质、含角的直角三角形的特征．连接、，作于，利用正多边形的性质得，再根据等边三角形的判定及性质得，，进而可得，再利用割补法求得正六边形的面积，进而可求解． 【详解】解：连接、，作于，如图： 六边形是正六边形， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， 的估计值为， 故选：B． ( 题型0 8 )求弧长 44．（2025·甘肃·二模）为半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板如图放置，30°角的顶点P在半圆上，斜边经过点B，一条直角边交半圆O于点Q．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的弧长公式，构造扇形求弧长是解题的关键． 连接，根据圆周角定理求的度数，根据扇形的弧长公式求解即可． 【详解】连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：C． 45．（2025·甘肃·二模）古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点A和点B分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，B地在A地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离为800km．当太阳光线在A地直射时，同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是．由此估算地球周长约为 km． 【答案】40000 【分析】本题考查弧长的计算，圆的周长．设地球的半径是，由弧长公式得到：的长，求出，即可得到地球周长． 【详解】解：设地球的半径是， 太阳的光线是平行的， ， 的长， ∴ ， 地球周长约是． 故答案为：40000． 46．（2025·甘肃·二模）小文在假期旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞（如图），她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为2.4m，门洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的，则这个门洞的圆弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长，圆周角定理，先求出圆弧所在圆的半径为，再求出所对的圆心角为，进而根据弧长公式即可得出答案． 【详解】解：∵圆弧上任意两点间的最大距离为 ∴圆弧所在圆的半径为， ∵洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的， ∴所对的圆心角为， ∴这个门洞的圆弧长为， 故选：B． ( 题型0 9 )求扇形和其他不规则图形的面积 47．（2025·甘肃·二模）如图，是的直径，与弦交于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接、，由，，求得，由得，由得，根据三角形内角和求得，进而求得，最后根据即可得解． 【详解】解：连接、， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 48．（2025·甘肃平凉·二模）中国是个重视孝道的国家，“孝”是我国传统的美德．如图①是一块弘扬“孝”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，点、分别在、上，与都是以为圆心，、长分别为半径，圆心角，若，，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式． 利用扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（）， 故答案为：． 49．（2025·甘肃·二模）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， （）， ∵点，分别是，的中点， ∴（）， ∴（）， ∴花窗的面积为 故答案为：． 50．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得，则图中线段扫过的阴影部分的面积为 . 【答案】 【分析】本题考查的是扇形面积计算，旋转的性质，解直角三角形，掌握扇形面积公式是解题的关键．作于F，解直角三角形分别求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作于F， ∵， ∴， 在中，， ∴， ， 由旋转的性质可知，， ∴图中线段扫过的阴影部分的面积=扇形的面积的面积的面积扇形的面积 扇形的面积扇形的面积 ， 故答案为：． ( 题型 10 )圆锥的定义及面积 51．（2025·甘肃·二模）一个圆锥的主视图是边长为的等边三角形，其侧面展开图的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三视图，圆锥的侧面展开图，扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积计算公式是解题关键． 根据视图的意义得知此圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形的面积公式为，为扇形的弧长，为扇形的半径，即扇形的母线长，分别代入即可求解． 【详解】解：根据题意，得：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的半径为，底面圆的周常即弧长为， 这个圆锥的侧面展开图的面积为． 故答案为：． 52．（2025·甘肃·二模）一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算，根据已知得母线长，再利用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积，相加即可得出该几何体的全面积． 【详解】解：由图示可知，该几何体是圆锥，圆锥的高为，底面圆的直径为， ∴圆锥的母线为：， ∴圆锥的侧面积为：， 底面圆的面积为：， ∴该几何体的全面积为：． 故答案为． 53．（2025·甘肃·二模）如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一个物体三视图（主视图，左视图，俯视图）的基本概念，由三视图得到圆锥体的高以及底面圆的半径是解本题的关键． 首先由主视图和左视图可以得到该物体为圆锥体且圆锥体的高为，再由俯视图得到圆锥体的底面圆的半径为，由勾股定理求得圆锥的母线长，最后由求解． 【详解】解：由图可知，该物体为圆锥，侧面展开图为扇形， 该圆锥底面半径， 该圆锥母线长为， 该圆锥底面周长为， ∴该物体侧面展开图的面积， 故答案为：． 54．（2025·甘肃白银·二模）某遮阳伞如图所示，伞面可近似看作一个圆锥，若，，则遮阳伞伞面的面积（圆锥的侧面积）为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的面积．根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，求得圆锥的底面周长就是圆锥的弧长，利用圆锥的面积计算方法求得圆锥的侧面积即可． 【详解】解：如图，过点O作， ， ， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的底面周长， ∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的侧面积， 故答案为：． 55．（2025·甘肃·二模）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【答案】/288度 【分析】本题考查了几何体的三视图，圆锥的侧面展开图的圆心角等知识；由三视图确定出几何体的形状是圆锥，由三视图确定圆锥的底面直径及圆锥母线长，由扇形弧长公式即可求解． 【详解】解：由三视图知，该几何体是圆锥，且底面圆的直径是16，母线长为10； 设圆锥侧面展开图的圆心角为，则有， 解得：； 即该几何体侧面展开图的圆心角的度数为； 故答案为：． 56．（2025·甘肃·二模）如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】根据，得到，结合，得到，，根据侧面积公式计算即可，被看出来圆锥侧面积计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 57．（2025·甘肃·二模）党的二十大提出“发展乡村特色产业，拓宽农民增收致富渠道．”王家庄村民李兴旺看到来村游客越来越多，民宿需求大增，就扩大自己的农家乐经营规模，在新建大厨房时，购买了规格为180cm×120cm的长方形不锈钢铁皮（如图①）用来制作如图②的烟囱帽（圆锥部分），他用铁皮裁下的最大扇形焊成的烟囱帽的高度为 cm．    【答案】 【分析】先找到用铁皮裁下的最大扇形，再根据圆锥的性质即可求解． 【详解】解：如图，扇形面积为，    如图，扇形面积为，    如图，，则， 在中，，，， ∴， ∴， ∴，， 扇形面积为， 最大扇形的弧长为， 圆锥的底面半径为，母线长为， 用铁皮裁下的最大扇形焊成的烟囱帽的高度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 58．（2025·甘肃·二模）如图，圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则圆锥主视图的面积为 ． 【答案】48 【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S=πrl代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】根据圆锥侧面积公式：S=πrl，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π， 故60π=π×10×r， 解得：r=6． 由勾股定理可得圆锥的高==8 ∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形， ∴它的面积=， 故答案为：48 【点睛】本题考查了三视图的知识，圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$