预习11 函数的单调性（4知识点+9题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习11 函数的单调性 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3.复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 知识点 2 ：最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 知识点 3 ：直线的斜率及平均变化率 1.直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，当时，称为直线的斜率；当时，称直线AB的斜率不存在． （1）直线AB的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度． （2）若记，相应的，则当时，斜率可记为． 2.平均变化率 一般地，当时，称为函数在区间时)或时)上的平均变化率． （1）在上是增函数的充要条件是在上恒成立； （2）在上是减函数的充要条件是在上恒成立． 【题型1 利用函数图象求单调区间】 1．（多选）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 3．已知函数. (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)写出其单调区间（不用证明）. 4．函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是    A．和 B．和 C．和 D．和 【题型2 函数单调性的判断与证明】 5．若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 7．已知函数，不等式的解集为或. (1)求函数的解析式； (2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 8．根据定义，研究函数在区间上的单调性． 9．已知函数，图象经过点，且. (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. 【题型3 复合函数的单调性】 10．已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在区间上单调递增，在区间上单调递减 D．在区间上单调递减，在区间上单调递增 11．已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 12．已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 13．函数的单调递减区间为 . 14．函数的单调递增区间为 ． 【题型4 由函数的单调性求参数】 15．“”是函数在上是增函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 17．已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为 ． 18．已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 . 19．若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 【题型5 利用单调性解不等式】 20．已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（    ） A． B． C． D． 22．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 24．定义在上的函数满足，函数在上单调递 ；若，则满足的解集是 ． 25．已知函数的定义域为R，对任意的且，总有，则的解集是 ． 【题型6 利用单调性比较大小】 26．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 28．已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 29．若是定义在上的增函数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 30．已知函数. (1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增； (2)若，试比较，的大小. 【题型7 利用单调性求函数的最值】 31． 的值域为（   ） A． B． C． D． 32．若，则（    ） A．最大值为6 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为2 33．设函数在区间上的最大值和最小值分别为，则 . 34．已知函数＝，求的最小值，并求此时x的值. 【题型8 根据函数的最值求参数】 35．若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 36．已知函数在区间上的最大值为5，则 . 37．若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 38．若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 39．已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．已知函数存在最小值，则的取值范围是 . 【题型9 不等式的恒成立、能成立问题】 41．若关于的不等式在区间上恒成立，则的值可能是（   ） A． B．1 C．2 D．4 42．已知函数，其中．对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为 ． 43．若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为 . 44．已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 45．已知函数（其中） (1)解关于x的不等式(2)若不等式在内恒成立，求实数n的取值范围． 一、单选题 1．已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 2．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．函数的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 4．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 7．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（   ） A． B．函数在区间为增函数 C．函数在区间为增函数 D． 三、填空题 11．设，则的单调递减区间为 ． 12．设都是单调函数，有如下四个命题： （1）若单调递增，单调递增，则单调递增； （2）若单调递增，单调递减，则单调递增； （3）若单调递减，单调递增，则单调递减； （4）若单调递减，单调递减，则单调递减． 其中为真命题的是 （填序号）． 13．已知函数，其中a，．若对任意的，不等式在上恒成立，则b的取值范围为 ． 四、解答题 14．已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 15．已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最大值． 16．已知二次函数，． (1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围． 17．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习11 函数的单调性 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3.复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 知识点 2 ：最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 知识点 3 ：直线的斜率及平均变化率 1.直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，当时，称为直线的斜率；当时，称直线AB的斜率不存在． （1）直线AB的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度． （2）若记，相应的，则当时，斜率可记为． 2.平均变化率 一般地，当时，称为函数在区间时)或时)上的平均变化率． （1）在上是增函数的充要条件是在上恒成立； （2）在上是减函数的充要条件是在上恒成立． 【题型1 利用函数图象求单调区间】 1．（多选）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于选项A：反比例函数在上单调递减，符合题意； 对于选项B：函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，符合题意； 对于选项C：二次函数图象开口向上，对称轴为，其在单调递减，在单调递增，故在不单调，不符题意； 对于选项D：一次函数为上的增函数，故不符题意. 故选：AB. 2．函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，函数的单调递增区间为. 故选：C 3．已知函数. (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)写出其单调区间（不用证明）. 【答案】(1)，图象见解析； (2)增区间为，减区间为 【详解】（1）当时，，当时，， 故. 图象如下图: （2）由图可知：的单调递增区间：； 单调递减区间：. 4．函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】定义域是函数自变量的取值范围，为， 函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即. 故选：D 【题型2 函数单调性的判断与证明】 5．若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误． 6．已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，解得. 所以的定义域为. （2），，且， 则. 因为，所以，，，， 所以，即，所以， 故在上的单调递减. 7．已知函数，不等式的解集为或. (1)求函数的解析式； (2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1) (2)在区间上单调递增，证明见解析 【详解】（1）由题意得：是的两根， 故，解得， ； （2）在上单调递增，证明如下： ， 任取，且， ， 又，， ， ， ， 在区间上单调递增. 8．根据定义，研究函数在区间上的单调性． 【答案】单调递增 【详解】任取，则，，，所以 . 故在区间上恒成立，即. 所以函数在区间上单调递增． 9．已知函数，图象经过点，且. (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）由（1）知，，函数在上单调递增. 任意，则， 由，得，即，因此， 所以函数在上单调递增. 【题型3 复合函数的单调性】 10．已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在区间上单调递增，在区间上单调递减 D．在区间上单调递减，在区间上单调递增 【答案】D 【详解】，令，解得， 则的定义域为， 令，当时，， 则在时单调递增， 当时，单调递减，单调递减； 当时，单调递增，单调递增． 故选：D. 11．已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增， 设， 由，解得或， 所以在上单调递减， 所以的单调减区间为. 故选：B. 12．已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 【答案】BCD 【详解】设，则必有，所以，所以选项A一定成立；其余三项不一定成立，如当时，B，C不成立；当时，D不成立． 13．函数的单调递减区间为 . 【答案】 【详解】由，解得或， 则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 14．函数的单调递增区间为 ． 【答案】， 【详解】令，解得且， 所以的定义域为， 又是一个复合函数，它由与复合而成． 由下表可知，的单调递增区间为，． 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 故答案为：， 【题型4 由函数的单调性求参数】 15．“”是函数在上是增函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为在上是增函数，可得，即， 显然“”能推出“”，反之则不成立， 所以“”是函数在上是增函数的充分不必要条件. 故选：A. 16．若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 【答案】 【详解】由已知可得：，又由已知可得函数是单调递增函数， 所以有：，解得， 故答案为：；． 17．已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】依题意，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 18．已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 19．若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【题型5 利用单调性解不等式】 20．已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得． 21．已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式等价或， 又是函数图象上两点，即，， 且是定义在上的减函数，故或， 所以或，即不等式解集为. 故选：A 22．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，函数的定义域为，且在上单调递增， ∵， ∴，解得或. 故选：C. 23．已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，得解得①．因为是定义在区间上的增函数，且，所以，解得②．综合①②得．所以的取值范围是． 24．定义在上的函数满足，函数在上单调递 ；若，则满足的解集是 ． 【答案】 减 【详解】因为函数满足，所以在上单调递减，且，所以当时，，当时，，所以由，得或解得． 25．已知函数的定义域为R，对任意的且，总有，则的解集是 ． 【答案】 【详解】依题意，不妨设，则，即， 因此函数是定义在R上的增函数，由，得，解得， 所以的解集为. 故答案为： 【题型6 利用单调性比较大小】 26．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】令，在上都为增函数，在单调递增， 又a，，所以， 即“”是“”的充要条件， 故选：C 27．已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 28．已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】因为，函数在区间上单调递减，所以． 29．若是定义在上的增函数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为是定义在上的增函数， 若，则，即充分性成立； 若，假设存在满足， 则，这与相矛盾， 所以，即必要性成立； 综上所述：“”是“”的充要条件. 故选：C. 30．已知函数. (1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增； (2)若，试比较，的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由题目条件得：， 任取， 则. 因为， 所以，， 则，即. 故在上单调递增. （2）解：因为， 所以. 又因为，当且仅当时，等号成立，而. 所以. 因为在上单调递增， 所以. 【题型7 利用单调性求函数的最值】 31． 的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即．又在上单调递增，故当时，函数取最大值为，即的值域为． 故选：A. 32．若，则（    ） A．最大值为6 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为2 【答案】C 【详解】任取， 则， 因为，所以，，故， 所以即， 所以在单调递增；同理可证在单调递减， 所以. 故选：C. 33．设函数在区间上的最大值和最小值分别为，则 . 【答案】 【详解】因为， 因为时，，随着的增大，函数的值越来越小，即函数在上单调递减. 所以，. 所以. 故答案为： 34．已知函数＝，求的最小值，并求此时x的值. 【答案】； 【详解】＝＝＝＋ 令，则 ∵在单调递增， ∴当时， 此时，，. 综上，的最小值为，此时x的值为0. 【题型8 根据函数的最值求参数】 35．若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【详解】函数， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 36．已知函数在区间上的最大值为5，则 . 【答案】3 【详解】因为在区间上是减函数，所以，解得. 故答案为：3 37．若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】①当时，由题可得不符合题意；②当时，由题可得解得．综上，． 38．若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 综上所述，. 故选：D 39．已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 当时，函数在上单调递减， . 的最小值为0， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 40．已知函数存在最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，在上单调递增， 且当时，显然不存在最小值，故舍去； 当时，，则当时， 所以的最小值为，符合题意； 当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，， 当时，则在上单调递减， 要使函数存在最小值，则，解得，此时； 综上可得的取值范围是. 故答案为： 【题型9 不等式的恒成立、能成立问题】 41．若关于的不等式在区间上恒成立，则的值可能是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【详解】由题意可得，在区间上恒成立， 因，则，故ABC错误，D正确. 故选：D 42．已知函数，其中．对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意知， 的对称轴为， 所以在上单调递减，， 在上单调递减，， 所以，解得. 故实数的取值范围是． 故答案为：. 43．若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 设函数，，都是减函数， 所以在上是单调递减函数， 所以， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 44．已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键. 45．已知函数（其中） (1)解关于x的不等式 (2)若不等式在内恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 (2) 【详解】（1）不等式，即， 当时，，不等式的解集为， 当时，，可得， 当，则，所以不等式的解集为， 若，则，所以不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）不等式在内恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， 所以在内恒成立， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， ， 所以，所以实数n的取值范围. 一、单选题 1．已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 【答案】B 【详解】由图象知，该函数的单调递增区间为和， 故选：B． 2．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 3．函数的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 【答案】C 【详解】函数在区间上单调递减，把6，3分别代入得． 4．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和． 5．已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是单调递减函数， 若在上是单调函数，则是减函数， 所以或，所以. 故选：D. 6．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】有意义，则，解得．设，其图象开口向下，对称轴为直线，当时，单调递增，当时，单调递减．又在定义域内单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，当单调递增时，单调递增． 7．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①当时，不等式化为，显然恒成立，满足题意； ②当时，令，则在上恒成立， 函数的对称轴为， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：A. 8．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题 9．函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由在区间上单调递增，则，即，故A正确，B错误； 又在区间上单调递增，则，即，故D正确，C错误. 故选：BD. 10．已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（   ） A． B．函数在区间为增函数 C．函数在区间为增函数 D． 【答案】ABD 【详解】依题意，当时，恒有， 令则， 即，所以，故A正确； 不妨设，设， 则， 因为，所以， 所以， 所以在为增函数，故B正确； 设，的符号无法判断， 所以的单调性无法判断，故C错误； 由上述判断可知，函数在为增函数， 所以，所以， 所以， 同理，所以， 所以， 所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 11．设，则的单调递减区间为 ． 【答案】 【详解】因为 所以，函数的图象如下： 由图象可知，函数的单调递减区间为 故答案为： 12．设都是单调函数，有如下四个命题： （1）若单调递增，单调递增，则单调递增； （2）若单调递增，单调递减，则单调递增； （3）若单调递减，单调递增，则单调递减； （4）若单调递减，单调递减，则单调递减． 其中为真命题的是 （填序号）． 【答案】（2）（3） 【详解】由单调函数的性质知（2）（3）正确． 13．已知函数，其中a，．若对任意的，不等式在上恒成立，则b的取值范围为 ． 【答案】 【详解】先将a看作主元，记关于a的一次函数， 则对任意的，不等式恒成立． 由于，故单调递增，则只要， 因此不等式在上恒成立． 分离变量得不等式在上恒成立， 故， 由对勾函数的单调性知在上单调递减， 所以，所以，即． 故答案为： 四、解答题 14．已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为4，最小值为 【详解】（1）任取， 函数， 则， ，故， 所以函数在上为减函数. （2）在上单调递减， ∴﹒ 15．已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最大值． 【答案】(1) (2)当时，函数的最大值为；当时，的最大值为 【详解】（1）由题意有函数，可得二次函数的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为． （2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为； 综上，当时，函数的最大值为； 当时，的最大值为． 16．已知二次函数，． (1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围． 【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为． (2)． 【详解】（1）由题意知， 解得，所以， 由知， 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题意知，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令， 由，知在区间上是减函数， 则，所以， 即的取值范围是． 17．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由， 故此令，则， 则； （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以，故，即， 故此函数为R上增函数； （3）由已知条件得：， 故，，， ，由（2）可知在R上为增函数， ，即， 时，可得恒成立， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 所以， 所以 综上，. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$