精品解析：天津市天津中学2024-2025学年高一下学期第二次阶段性检测（6月）数学试题

2024-2025学年第二学期天津中学高一年级第二次阶段性检测 数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 某人打靶时连续射击两次，设事件“只有一次中靶”，“两次都中靶”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. “至少一次中靶” D. 与互为对立事件 【答案】BC 【解析】 【分析】根据事件的相互关系确定正确选项. 【详解】事件“只有一次中靶”，“两次都中靶”，所以是互斥但不是对立事件，所以A D选项错误，B选项正确. “至少一次中靶”，C选项正确. 故选：BC 2. 为了宣传今年月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”），组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动. 在活动中，组委会对会议举办地参与活动的岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如下： 组号 分组 各组人数 第组 第组 第组 组 第组 根据以上图表中的数据可知图表中和的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由题意算出总人数后乘以对应频率即可求得，利用各组频率和为1即可求得，即可得解. 【详解】由题意可得总人数为人，则， 由各组频率和为1可得，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题. 3. 若，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，，得，，化简后再结合两向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】设与的夹角是，，，即 ①， 又，，即 ②， 由①②知，， ，所以与的夹角为. 故选：B 4. 在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出三棱台的上下底面的面积，再根据底面边长与侧棱长求解三棱台的高，进而计算出三棱台的体积． 【详解】正三棱台中，已知，， 所以的面积为，的面积为， 设，分别是，的中心， 设，分别是，的中点， ，，三点共线，，，三点共线， ，， ，， ， 过作，垂足为，则， ， 三棱台的高为， 三棱台的体积为． 故选：C． 5. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若为异面直线且，，，则l与m，n中至少一条相交 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由线面平行、面面平行关系判断ABD；由反证法结合题意推理判断C. 【详解】对于A，当，时，或相交或者是异面直线，A错误； 对于B，当，时，或，B错误； 对于C，假设均不与l相交，由，得，又， 则，因此，与为异面直线相矛盾，则l与中至少一条相交，C正确； 对于D，若，，，则或，D错误. 故选：C 6. 某校举行“勇士杯”学生篮球比赛，统计高一年级部分班级的得分数据如下： 班级 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 28 34 34 30 26 28 28 32 则下列说法正确的是（ ） A. 得分的众数为34 B. 得分的中位数为28 C. 得分的75%分位数为33 D. 得分的极差为6 【答案】C 【解析】 【分析】将数据从小到大重新排列，由众数、中位数、百分位数的定义计算即可得C正确，再根据极差的概念可得D错误. 【详解】根据表格中数据可知，出现次数最多的是28，所以得分的众数为28，即A错误； 将8个数据从小到大排列为26，28，28，28，30，32，34，34， 所以中位数为，可知B错误； 易知为整数，所以第75%分位数为第6个和第7个数的平均值，即C正确； 得分的极差为，即D错误. 故选：C 7. 将直径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到折成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径，圆锥的高，由此能求出圆锥的外接球的表面积． 【详解】∵圆心角为，半径为3，∴扇形的弧长为， ∴折成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为，底面半径，圆锥的高， 易知圆锥外接球的球心在圆锥的高线上，设球的半径为， 则，解得． ∴外接球的表面积为． 故选：D 8. 一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别列举选球的可能性，再根据互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】从标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，则所有可能结果有，，，，，， 选到3号球有两种可能：第二次摸出为3号球，或第一次摸出2号球，第二次摸出1号球， 则满足第二次摸出的为3号球的有，，所以第二次摸出的为3号球的概率； 第一次摸出2号球，第二次摸出1号球的概率； 所以选到3号球的概率. 故选：C. 9. 在中，为的角平分线，若，，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，利用面积公式可得，再利用余弦定理求解即可. 【详解】由可得， ， 所以 ， 所以， 所以， 所以， 故选：C 10. 如图，四边形ABCD为正方形平面ABCD记三棱锥的体积分别为有如下的结论，其中正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，根据三棱锥的体积公式，转化三棱锥的顶点，即可求解． 【详解】如图，设连接分别延长EG，FB交于点I， 则根据题意可得G为DB中点，又从而可得又 所以 所以所以所以①错误，③正确； 又且 所以所以又 所以所以②错误，④正确． 故选：B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 放风筝是一项有益的运动，现对高一和高二共1500名同学进行按比例分层抽样调查，统计近两年放过风筝的人数，有如下数据：高一学生抽取有效样本40，放过风筝的人数为19，高二学生抽取有效样本60，放过风筝的人数为，由此估计两个年级近两年放过风筝的人数约为540，则__________. 【答案】17 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 解得， 即高二学生抽取有效样本60，放过风筝的人数为17. 故答案为：17 12. 已知，复数，，且，若，则最小值______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数加减法则运算可得，再由二次函数性质计算可得当时取得最小值. 【详解】由可得，即可得； 因此； 当时，取得最小值. 故答案为： 13. 已知向量，，在方向上的投影向量坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合数量积及模坐标运算，利用投影向量的公式即可求解． 【详解】∵，，∴， ∵，， 设向量，的夹角为，∴． 则在方向上的投影向量是． 故答案为： 14. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD，则在三棱锥A﹣BCD中，下列判断正确的是_____．（写出所有正确的序号） ①平面ABD⊥平面ABC ②直线BC与平面ABD所成角是45° ③平面ACD⊥平面ABC ④二面角C﹣AB﹣D余弦值为 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①反证法，假设平面平面，容易推出垂直于平面，从而，出矛盾； ②利用几何法找到其平面角为，求解即可判断； ③证明平面，从而得到平面平面； ④证明为二面角的平面角，求解三角形得二面角的余弦值判断． 【详解】在四边形ABCD中，由已知可得∠DBC＝45°，假设平面ABD⊥平面ABC， 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BDC＝BC，可得BC⊥平面ABD， 有∠DBC＝90°，与∠DBC＝45°矛盾，则假设错误，故①错误； 在四边形ABCD中，由已知可得BD⊥DC， 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，则DC⊥平面ABD， ∠DBC为直线BC与平面ABD所成角是45°，故②正确； 由判断②时可知，DC⊥平面ABD，则DC⊥AB，又BA⊥AD，AD∩DC＝D，则AB⊥平面ADC， 而AB⊂平面ABC，则平面ACD⊥平面ABC，故③正确； 由判断③时可知，AB⊥平面ADC，则∠DAC为二面角C﹣AB﹣D的平面角， 设AD＝AB＝1，则BD＝DC，由DC⊥AD，得AC，得cos∠DAC，故④正确． ∴判断正确的是②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查空间中平面与平面垂直、线面角与二面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题． 15. 如图所示，边长为的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】连接，以点为坐标原点，、所在直线别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量数量积的坐标运算、辅助角公式以及正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】连接，因为为等边三角形，且为的中点，则， 以点为坐标原点，、所在直线别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、，设点，其中， 则，， 所以，， 因为，则，所以，， 故. 因此，的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共55分． 16. 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数） （1）求实数及； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出的值，即可求出，从而求出其模； （2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 ∵，∴， ， 为纯虚数， ，解得， 故，则 【小问2详解】 ， ， 复数所对应的点在第二象限， ，解得， 故实数的取值范围为. 17. 设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是. （1）试分别求出事件B和事件C发生的概率； （2）试求A、B、C只有一个发生的概率. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式列出方程组，求出事件B和事件C发生的概率；（2）在第一问的基础上利用独立事件和对立事件概率公式进行求解. 【小问1详解】 由题意得：， ，即， 解得：或 【小问2详解】 设A、B、C只有一个发生的概率为P， 当时， 则； 当时，同理可得：， 综上：A、B、C只有一个发生的概率为 18. 设A，B，C，D为平面内的四点，且，，． （1）若A，B，C，D逆时针围成平行四边形ABCD，求D点的坐标； （2）设向量，，若与平行，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合平行四边形的性质，根据向量相等的坐标运算列式求解即可. （2）先根据向量的线性运算求得与的坐标，然后利用向量共线的坐标运算列式求解即可. 小问1详解】 设，则，， 因为，所以，解得． 所以D点的坐标为． 【小问2详解】 由题意得，， 所，． 因为，所以，解得. 19. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）若，，求的面积； （2）若，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将角化为边，利用余弦定理可求出角A，再利用已知条件即可求出，的值，结合三角形面积公式即可求解； （2）利用正弦定理可分别将边，用角B，C来表示，进而利用两角差的正弦公式、辅助角公式等即可求解范围. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得，，即， 由余弦定理可得， ，，解得， ； 【小问2详解】 由（1）可知，由正弦定理可得， ， ， 为锐角三角形，∴，解得， 所以，所以， 所以， 所以， 即的周长的取值范围. 20. 如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，． （1）求证：； （2）若四边形ACEF为矩形，且，求直线DF与平面DCE所成角的正弦值； （3）若四边形ACEF为正方形，在线段AF上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得AC⊥CD,然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得CD⊥平面ACEF,从而证得结论； （2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AF,AB,AD两两垂直，以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.然后利用空间向量运算求得； （3）与（2）同样建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解. 【小问1详解】 ∵，，∴四边形ABCD为直角梯形， 又∵，∴∠BAC=45°，AC=，∴∠CAD=45°， 又∵AD=2,∴CD=． ∴,∴, 又∵平面ACEF⊥平面ABCD, 平面ACEF∩平面ABCD=AC,CD⊂平面ABCD, ∴CD⊥平面ACEF, 又∵AF⊂平面ACEF, ∴CD⊥AF 【小问2详解】 ∵四边形ACEF为矩形，∴AF⊥AC, 又∵平面ACEF⊥平面ABCD, 平面ACEF∩平面ABCD=AC,AF⊂平面ACEF, ∴AF⊥平面ABCD,CE⊥平面ABCD ∴AF,AB,AD两两垂直， 以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示. ∵AF⊥平面ABCD,AF//CE,∴CE⊥平面ABCD， 又∵，∴CE=CDtan30°=, ∴A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),F(0,0,),E(1,1,), ,由AC⊥CE,AC⊥CD,CE∩CD=C,∴AC⊥平面CDE, ∴平面CDE的法向量为, ∴直线DF与平面CDE所成的角的正弦值为 【小问3详解】 若ACEF正方形，则与（2）同理可得AF,AB,AD两两垂直，以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系. ∴A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),F(0,0,),E(1,1,), 设,平面PBD的法向量为 ,则,令,则,, 平面ABD的法向量为, ∴,解得， 在线段AF上存在点P，使得二面角的余弦值为，线段AP的长为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期天津中学高一年级第二次阶段性检测 数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 某人打靶时连续射击两次，设事件“只有一次中靶”，“两次都中靶”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. “至少一次中靶” D. 与互为对立事件 2. 为了宣传今年月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”），组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动. 在活动中，组委会对会议举办地参与活动的岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如下： 组号 分组 各组人数 第组 第组 第组 组 第组 根据以上图表中的数据可知图表中和的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 4. 在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若为异面直线且，，，则l与m，n中至少一条相交 D. 若，，，则 6. 某校举行“勇士杯”学生篮球比赛，统计高一年级部分班级的得分数据如下： 班级 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 28 34 34 30 26 28 28 32 则下列说法正确的是（ ） A. 得分的众数为34 B. 得分的中位数为28 C. 得分的75%分位数为33 D. 得分极差为6 7. 将直径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 一个不透明袋子中有大小和质地均相同3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，为的角平分线，若，，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形ABCD为正方形平面ABCD记三棱锥的体积分别为有如下的结论，其中正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 放风筝是一项有益的运动，现对高一和高二共1500名同学进行按比例分层抽样调查，统计近两年放过风筝的人数，有如下数据：高一学生抽取有效样本40，放过风筝的人数为19，高二学生抽取有效样本60，放过风筝的人数为，由此估计两个年级近两年放过风筝的人数约为540，则__________. 12. 已知，复数，，且，若，则最小值______. 13. 已知向量，，在方向上的投影向量坐标是______． 14. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD，则在三棱锥A﹣BCD中，下列判断正确的是_____．（写出所有正确的序号） ①平面ABD⊥平面ABC ②直线BC与平面ABD所成角是45° ③平面ACD⊥平面ABC ④二面角C﹣AB﹣D余弦值为 15. 如图所示，边长为正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为______. 三、解答题：本题共5小题，共55分． 16. 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数） （1）求实数及； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 17. 设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是. （1）试分别求出事件B和事件C发生的概率； （2）试求A、B、C只有一个发生的概率. 18. 设A，B，C，D为平面内的四点，且，，． （1）若A，B，C，D逆时针围成平行四边形ABCD，求D点的坐标； （2）设向量，，若与平行，求实数k的值． 19. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）若，，求的面积； （2）若，求的周长的取值范围. 20. 如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，． （1）求证：； （2）若四边形ACEF为矩形，且，求直线DF与平面DCE所成角的正弦值； （3）若四边形ACEF为正方形，在线段AF上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$