精品解析：四川省绵阳中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题

绵阳中学2024-2025学年度高一下期第二次月考数学试题 命题人：蒙斌 审题人： 丁胜杰 王雨洋 一、选择题（每题5分，每题只有一个正确答案） 1. 已知平面向量，且，则λ的值为（ ） A. -2 B. C. 2 D. 2. 在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 0个 D. 无法确定 3. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 若不共线非零向量满足=0，且，则为（ ） A. 三边均不等的三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 底边和腰不等的等腰三角形 5. 已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在测量河对岸塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 7. 正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量是平面向量，，若非零向量与的夹角为， 向量满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，每题不止一个正确选项） 9. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角的余弦值为 D. 向量在上的投影向量为 10. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在无数个点P，使得平面 B. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C. 三棱锥体积为定值 D. 三棱锥的外接球表面积为36π 11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，则（ ） A. B. 若b＝4，则△ABC的周长的最大值为 C. 若D为AC的中点，且BD＝2，则△ABC的面积的最大值为 D. 若角B平分线BD与边AC相交于点D，且，则a+4c的最小值为9 三、填空题（每题5分） 12 已知，则 ___________. 13. 在平面四边形ABCD中，若，且，则____________ 14. 在中，分别是边的中点，已知，，则的面积为___________________ 四、解答题（写出必要的解题过程） 15. 如图，在梯形中，，，. （1）用，表示，； （2）若，，，求； （3）若与交于点，，求. 16. 为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为2千米的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为2千米，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园成四边形OACB，如图所示． （1）若OB⊥OA时，C与出入口O的距离为多少千米？ （2）B设计在什么位置时，公园OACB的面积最大？并求出公园OACB的面积最大值. 17. 如图所示正四棱锥，，，P为侧棱SD上的点，且，求： （1）正四棱锥的外接球表面积； （2）若M为SA的中点，求证：平面； （3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 18. 已知圆锥顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为. （1）求该圆锥的侧面积； （2）求圆锥的内切球的表面积； （3）求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值. 19. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． （1）求角A和边b； （2）若为锐角三角形，且外接圆圆心为O． （i）求的取值范围； （ii）求和面积之差的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绵阳中学2024-2025学年度高一下期第二次月考数学试题 命题人：蒙斌 审题人： 丁胜杰 王雨洋 一、选择题（每题5分，每题只有一个正确答案） 1. 已知平面向量，且，则λ的值为（ ） A. -2 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，及向量垂直的坐标表示求出. 【详解】依题意，，由，得， 因此，所以. 故选：D 2. 在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 0个 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】应用正弦定理判断满足条件的三角形个数即可. 【详解】． 满足条件的三角形有2个． 故选：B. 3. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线、线面、面面关系逐项判断可得答案. 【详解】对于A，若，则，或与相交，或与异面，故A错误； 对于B，若，则，或，故B错误； 对于C，若，则，或与相交，故C错误； 对于D，若，则，所以，故D正确. 故选：D 4. 若不共线非零向量满足=0，且，则为（ ） A. 三边均不等三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 底边和腰不等的等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】先应用向量的数量积公式计算得出，再应用减法结合数量积的运算律计算得出，即可判断三角形形状. 【详解】由，则，所以， 由， 则 ， 所以，所以为等边三角形； 故选：C. 5. 已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设球的半径及圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为，再根据球与圆锥的表面积公式求得，根据勾股定理求得，再结合球与圆锥的体积公式分析体积比即可 【详解】设球的半径及圆锥的底面半径均为， 圆锥的母线长为， 则，所以， 球的体积为，圆锥的高， 圆锥的体积为， 所以圆锥的体积与球的体积的比值为． 故选：C． 6. 如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和锐角三角函数定义求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得，则， 在中，，所以. 故选：A 7. 正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，结合圆的切线性质求得到正三棱台的高. 【详解】由正三棱台的上、下底边长分别为和， 得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 为侧面等腰梯形上下底边中点，则， 设内切球半径为r，所以正三棱台的高. 故选：B 8. 已知向量是平面向量，，若非零向量与的夹角为， 向量满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】让向量共起点，根据给定条件，结合向量数量积的运算律，确定向量终点所在图形，再利用几何意义求出最小值. 【详解】作向量，由非零向量与的夹角为， 得，点在直线上（除点外）， 由，得，即，则， 作向量，因此，点在以为圆心，1为半径的圆上， 因此表示圆上的点与直线（除点外）上的点间距离， 所以. 故选：B 二、多选题（每题6分，每题不止一个正确选项） 9. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角的余弦值为 D. 向量在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求出的坐标，再利用向量坐标运算逐项判断. 【详解】依题意，， 对于A，，因此，A正确； 对于B，，因此，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，向量在上的投影向量为，D正确. 故选：AD 10. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在无数个点P，使得平面 B. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥的外接球表面积为36π 【答案】ACD 【解析】 【分析】平面平面，在线段上时，平面，即可判断A，根据平行关系作出截面图，即可判断B，根据锥体的体积公式判断C，转化为求长方体的外接球，即可判断D. 【详解】对于A：因为是的中点，是的中点，所以， 平面，平面， 所以平面， 取中点，因为是的中点，所以， 平面，平面， 所以平面，平面，所以平面平面， 所以在线段上时，平面， 平面，故A正确； 对于B：因为，分别是，的中点，所以， 在正方体中，，所以， 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形，故B错误； 对于C：因为，所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体（长为，宽为，高为）的外接球， 所以外接球的半径，所以外接球的表面积，故D正确； 故选：ACD. 11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，则（ ） A. B. 若b＝4，则△ABC的周长的最大值为 C. 若D为AC的中点，且BD＝2，则△ABC的面积的最大值为 D. 若角B的平分线BD与边AC相交于点D，且，则a+4c的最小值为9 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用差角公式求解判断B；利用余弦定理，结合基本不等式求出最大值判断B；利用数量积运算律，结合基本不等式求出最大值判断C；利用三角形面积公式，结合“1”的妙用求出最小值判断D. 【详解】对于A，在△ABC中，由及正弦定理，得， 而，则，整理得，，因此，A错误； 对于B，由余弦定理得， ，当且仅当时取等号，所以△ABC的周长的最大值为，B正确； 对于C，，两边平方得，则， 当且仅当时取等号，因此△ABC的面积的最大值，C正确； 对于D，由，得， 整理得，即，所以 ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 三、填空题（每题5分） 12. 已知，则 ___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式计算得解. 【详解】由，得，解得， 所以. 故答案为： 13. 在平面四边形ABCD中，若，且，则____________ 【答案】12 【解析】 【分析】根据条件可得，，利用向量的线性运算表示，结合数量积的运算律可得结果. 【详解】 由，，得，， 所以 . 故答案为：12 14. 在中，分别是边的中点，已知，，则的面积为___________________ 【答案】12 【解析】 【分析】作出几何图形，利用余弦定理、三角形面积公式计算得解. 【详解】连接，延长至，使得，连接， 由分别是边的中点，得， 则四边形为平行四边形，， 在中，，则， 所以的面积. 故答案为：12 四、解答题（写出必要的解题过程） 15. 如图，在梯形中，，，. （1）用，表示，； （2）若，，，求； （3）若与交于点，，求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合图形，运用向量的加法、减法和数乘运算即可； （2）利用（1）的结论，运用数量积的运算律和定义即可求得； （3）（方法一），利用三角形相似，将用表示出来，再由（1）即可求得；（方法二），利用向量共线，将用两种形式表示出来，列出方程组，求解即得. 【小问1详解】 由图， ； . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 （方法一）延长，交的延长线于. 易证，则，得， 易证，则， 设，则，，得， 得， 所以. 故. （方法二）设，则 ， 设，则， 则解得 所以. 故. 16. 为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为2千米的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为2千米，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园成四边形OACB，如图所示． （1）若OB⊥OA时，C与出入口O的距离为多少千米？ （2）B设计在什么位置时，公园OACB的面积最大？并求出公园OACB的面积最大值. 【答案】（1）千米 （2）时，. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到,，，利用两角差的余弦得到，再利用余弦定理求解即可. （2）首先根据面积公式得到，，从而得到，再利用三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 连接，如图所示： 因为,，则. 又因为为等腰直角三角形，为直角，所以, 所以，. . , 所以千米. 【小问2详解】 ， ，所以. . 所以. 当时，即，时，. 17. 如图所示正四棱锥，，，P为侧棱SD上的点，且，求： （1）正四棱锥的外接球表面积； （2）若M为SA的中点，求证：平面； （3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥的结构求出外接圆半径，即可求出正四棱锥的外接球表面积. （2）利用线面平行的判定推理得证. （3）取的中点Q，过Q作的平行线交于E，得，，根据线面平行的判定定理可得平面、平面，结合面面平行的判定定理与性质即可下结论. 【小问1详解】 在正四棱锥，，，则， 由对称性知，正四棱锥外接球球心在平面内， 因此正的外接圆是该外接球的截面大圆，外接球半径， 所以正四棱锥的外接球表面积. 【小问2详解】 在正四棱锥中，连接，连接，则O为AC的中点， 由M为SA的中点，得，又平面平面， 所以平面. 【小问3详解】 在侧棱上存在点E，使得平面，满足. 理由如下： 取的中点Q，由，得， 过Q作的平行线交于E，连接，， 由于O是的中点，则， 又平面，平面，于是平面， 由，得， 又，又平面，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，而平面， 所以平面，即侧棱SC上存在一点E，使得平面，. 18. 已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为. （1）求该圆锥的侧面积； （2）求圆锥的内切球的表面积； （3）求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，依题意可得，再由的面积求出，即可得到，从而求出侧面积； （2）作出轴截面，利用三角形相似求出内切球的半径，即可求出球的面积； （3）令正四棱柱底面边长为，高为，由三角形相似得到，再由侧面积公式及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 设圆锥母线长、底面半径分别为、， 由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得， 又，所以， 又因为面积为， ，解得（负值舍去）， 又，所以， 圆锥的侧面积. 【小问2详解】 作出轴截面如图所示： 根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点， 设内切球半径为，即，则， 所以， 由（1）可知，圆锥的高，， 则有，解得， 所以圆锥内切球的表面积； 【小问3详解】 由（1）知圆锥的高， 令正四棱柱的底面边长为，高为， 则， 由得， ， 所以正四棱柱的侧面积 ，当且仅当，即时等号成立， 所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为. 19. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． （1）求角A和边b； （2）若为锐角三角形，且外接圆圆心为O． （i）求的取值范围； （ii）求和面积之差的最大值． 【答案】（1）， （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边角互化及余弦定理求解. （2）（ⅰ）根据平面向量的运算、数量积的性质及余弦定理可得，再利用正弦定理及两角和的正弦公式、正切函数的性质求解即；（ⅱ）设外接圆半径为，由正弦定理可得，结合三角形的面积公式及二倍角公式可得，进而根据二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 在中，及正弦定理，得， 整理得，由余弦定理得，而， 所以；由及正弦定理得，而，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）依题意，， 由为外接圆圆心，得，， 由余弦定理得，， 因此， 由正弦定理得，则， 由，得，，则， 所以. （ⅱ）设外接圆半径为，则，且，即， 而，，， ， 因此， 由（ⅰ）知，，，则当时，， 所以当时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$