精品解析：河北省邢台市七县多校2024-2025学年高一下学期6月质量检测数学试题

2024~2025学年度高一年级6月质量检测 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5节~第7节，必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法结合虚部的定义可得. 【详解】，所以虚部为7. 故选：A. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B. 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C. 抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D. 某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查的概念判断，再根据频率与概率关系，抽样的概念的，再根据概率的定义求解. 【详解】抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确； 根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确； 抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确； 独立事件的概率互不影响，治愈率为10%意味每次治疗结果独立，前人未治愈不影响第人的概率，治愈率仍为10%，故D错误. 故选：D. 3. 在平行四边形中，为的中点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量的加法减法及线性关系计算求解. 【详解】因为平行四边形中，为的中点，点在上，且， 所以， 则. 故选：B. 4. 已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，为异面直线，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】借助正方体中的空间关系，来举反例，判断ABD是错误的，故C正确. 【详解】 在正方体中，由于平面，平面， 但平面与平面不平行，故A错误； 同理，由于平面，平面，且 但平面与平面不平行，故B错误； 同理，由于平面，平面，且与是异面直线， 但平面与平面不平行，故D错误； 对于C，由，得，而，因此，C正确. 故选：C. 5. 若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积来计算投影向量即可. 【详解】因为，，由可得：， 以向量在向量上的投影向量为． 故选：C． 6. 甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出三个事件然后根据题意及独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式列方程求对应三个事件的概率，再根据公式算出甲命中乙也命中的概率. 【详解】设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“丙命中”， 由题意解得 故甲命中乙也命中的概率为. 故选D. 7. 如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽在同一垂直平面内的两个观测点，，利用无人机在点处测得河岸点的俯角为，河岸点的俯角为，无人机沿方向飞行千米到达点，测得河岸点的俯角为，则（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】由题目中条件分别在和中利用正弦定理解方程组可得. 【详解】根据题意可知， 在中，利用正弦定理可得，所以； 又易知， 在中，利用正弦定理可得，所以； 又，因此可得， 因此. 故选：D 8. 某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据圆台的结构特征和边角关系求出圆台上下底面的半径，然后求出圆台的高，然后将等腰梯形补成等边三角形求出内切圆半径，即可求出球的表面积的最大值. 【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，，则， 易知圆台的轴截面是一个等腰梯形，又母线与底面所成的角为，则等腰梯形的底角为． 由于，即，解得，， 则圆台的高为，将梯形补成边长为10的等边三角形， 所以该等边三角形的内切圆的半径为， 又，所以圆台加工成一个球体的半径最大值为， 所以球的表面积最大值为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（ ） A. 众数为65 B. 极差为7 C. 平均数为65.4 D. 80%分位数为67.5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据众数、极差、平均数以及百分位数的概念，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意知样本数据从小到大排列如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69， 65出现次数最多，故众数为65，故A正确； 极差为，故B正确； 平均数，故C错误； ，所以80%分位数为，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数运算公式，以及概念，即可判断选项. 【详解】因为，又，所以，A正确； 设，则，所以为实数，B正确； 设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确； 若，，则满足，而，D错误. 故选：ABC. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点，下列结论正确的是（ ） A. EF与垂直 B. 平面ABCD C. 异面直线与所成的角为 D. 点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据，但AC与不垂直，即可判断A，根据线面平行的判定即可求解B，根据线线平行可得就是异面直线与所成的角或其补角，利用三角形的边角关系即可求解C，根据线面平行，结合等体积法即可求解D. 【详解】对A：连接，，则交于， 又为中点，可得，即，但AC与不垂直，故A错误； 对B：由，平面，平面，故平面；故B正确. 对C：由于，故就是异面直线与所成的角或其补角， 由正方体可知，即为等边三角形， 故，即异面直线与所成的角为，故C正确； 对D：由于，平面，平面，故平面， 所以点E到平面的距离等于点A到平面的距离，设为d， 由体积法可知，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用斜二测画法作出水平放置的正方形的直观图如图所示，则正方形与直观图的周长之比__________. 【答案】 【解析】 【分析】设正方体的棱长，再利用画直观图的规则求出直观图的周长即可. 【详解】设正方形的边长为，则正方形的周长为， 直观图中,，则其周长为， 所以正方形与直观图的周长之比为. 故答案为：. 13. ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简即得. 【详解】. 故答案为： 14. 在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为________；若，则的值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用表示向量，再利用共线向量定理的推论求得；利用表示向量，再利用数量积的运算律求得. 【详解】中，由，得，则， 令，又D是的中点，则， 而共线，因此，解得，所以； ，于是，所以. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】依据向量平行和垂直的坐标表示形式来求得的值即可. 【小问1详解】 由题知，. 若，则， 解得，故实数的值为. 【小问2详解】 若，则，整理得， 解得或. 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由边的关系代入余弦定理可求角； （2）由已知条件结合余弦定理化角为边化简得，求解三角形进而判断形状. 【小问1详解】 在中，因为， 所以由正弦定理得， 由余弦定理得， 由，所以. 【小问2详解】 因为， 故，即，又，则， 所以为等腰三角形. 17. 函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）取到最小值为；取到最大值为 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的最值，周期和“五点法”，求解析式中的系数，即可求解； （2）首先求平移后函数的解析式，再利用代入法，结合三角函数的图象和性质，即可求解. 【小问1详解】 由最值得， 由相邻两个对称中心之间的距离得，则，即， 此时， 图象的一个最高点坐标为，代人得， 则，即， 又因为，所以， 故. 小问2详解】 由题意得， 因为，所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以当，即时，取到最小值，为； 当时，即时，取到最大值，为. 18. 用分层随机抽样从某校高一年级1000名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本容量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）由频率分布直方图，求出图中的值； （2）为了进一步分析学生的成绩，按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从中抽取2人，求这2人中男生女生各1人的概率； （3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为66和40，求总样本的平均数和方差. 【答案】（1） （2） （3）平均数和方差分别为68和105.1 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1计算可得； （2）先根据分层抽样求出男女生人数，再由古典概率计算可得； （3）求出总样本的平均数，利用整体方差和局部方差的相关公式求出答案. 【小问1详解】 由图形可得，解得. 【小问2详解】 男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人， 则抽取男生人数为，女生人数为3人， 设男生，女生为， 抽取两人的情况为：，共10种， 再从中抽取2人，这2人中男生女生各1人的情况为： 所以概率为. 【小问3详解】 设男生成绩样本平均数为，方差为， 女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为， ． ． 所以总样本的平均数和方差分别为68和105.1． 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得到，即可求证； （2）取的中点，证明是二面角的平面角，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，证明点到平面的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，分析的最大、最小值，即可求解． 【小问1详解】 证明：在中，，，，所以，所以， 在中，，，，所以，所以， 又，平面，，所以平面． 【小问2详解】 如图，连接，取的中点，连接． 因为平面，平面平面，平面，所以， 因为，，所以， 因为，，是的中点，所以，， 所以是二面角的平面角． 在等边中，，，所以， 在中，因为，，所以， 在平行四边形中，， 所以，， 在中，， 所以， 故二面角的正弦值为． 【小问3详解】 如图，过点作，交的延长线于点． 因为，，，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 又，，，平面， 所以平面，， 所以． 因为，平面，平面，所以平面． 又因为点在棱上，所以点到平面的距离为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 当时，最短，为， 可得直线与平面所成角的正弦值的最大值为， 当点与重合时，最长，4， 可得直线与平面所成角的正弦值的最小值为， 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度高一年级6月质量检测 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5节~第7节，必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 7 B. C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B. 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C. 抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D. 某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 3. 在平行四边形中，为的中点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，为异面直线，，，则 5. 若向量，满足，，且，则向量在向量上投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽在同一垂直平面内的两个观测点，，利用无人机在点处测得河岸点的俯角为，河岸点的俯角为，无人机沿方向飞行千米到达点，测得河岸点的俯角为，则（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 8. 某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（ ） A. 众数为65 B. 极差为7 C. 平均数为65.4 D. 80%分位数为67.5 10. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则实数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则 11. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点，下列结论正确的是（ ） A. EF与垂直 B. 平面ABCD C. 异面直线与所成的角为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用斜二测画法作出水平放置的正方形的直观图如图所示，则正方形与直观图的周长之比__________. 13. ________. 14. 在中，D是中点，点E满足，与交于点O，则的值为________；若，则的值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数值. 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，判断形状并说明理由． 17. 函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值. 18. 用分层随机抽样从某校高一年级1000名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本容量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）由频率分布直方图，求出图中的值； （2）为了进一步分析学生的成绩，按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从中抽取2人，求这2人中男生女生各1人的概率； （3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为66和40，求总样本的平均数和方差. 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$