第11讲 抛物线（3个知识点7大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第11讲 抛物线 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点二：抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 知识点三：抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 题型一：抛物线的定义及标准方程 【典例1-1】已知抛物线上的点M与焦点F的距离为6，则M到y轴的距离为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由抛物线可知准线为， 设， 根据抛物线的定义可知，即， 由抛物线方程可得，即， 所以M到y轴的距离为. 故选：B. 【典例1-2】（2025·辽宁·一模）若抛物线上一点到准线和对称轴的距离均为4，则的值为（    ） A．18 B．4 C．2或18 D．4或9 【答案】B 【解析】因为抛物线的准线方程为， 因为抛物线上一点到准线和对称轴的距离均为4， 所以点的坐标为， 代入抛物线方程得，解得. 故选：B. 【变式1-1】顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知抛物线开口向上，，故抛物线的标准方程是：． 故选：B 【变式1-2】（2025·高二·宁夏吴忠·期末）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线上的点到其焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于椭圆，， 则，则椭圆的右焦点为， 即抛物线的焦点为，故， 所以抛物线上的点到其焦点的距离为. 故选：C. 【变式1-3】（2025·高二·江苏淮安·期中）过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【解析】由题意，可设抛物线为，又点在抛物线上， 所以，故所求抛物线为. 故选：D 【变式1-4】（2025·高三·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，设抛物线的方程为， 可得焦点坐标，准线方程为， 设焦点关于准线的对称点为，可得，解得， 因为点关于其准线的对称点为，可得，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：A. 题型二：焦半径问题 【典例2-1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一点，则（    ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】B 【解析】由，可得，则. 故选：B 【典例2-2】（2025·高二·安徽合肥·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，设， ， 因为， 所以，整理 得，又，所以， 解得，（负值舍去）， 所以 故选：A. 【变式2-1】（2025·高二·广东·期末）设为抛物线的焦点，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，由抛物线的定义可得，所以，； 不妨设，则,所以. 故选：B 【变式2-2】（2025·高二·辽宁抚顺·期末）已知，抛物线：的焦点为，为上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的焦点的坐标为，又，， 所以，， 因为， 所以，即， 又，所以， 解得，， 所以． 故选：C. 【变式2-3】（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）设点为抛物线上一点，F为焦点，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】在抛物线中，，则，所以焦点的坐标为，准线方程为. 已知点到焦点的距离，则点到准线的距离也为，即，解得. 因为点在抛物线上，且，所以. 又因为，所以. 故选：A. 【变式2-4】（2025·高二·贵州贵阳·期末）抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与此抛物线交于，两点，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由，则焦点，且准线方程为直线，即， 设过点的直线方程为，联立抛物线可得：， 消去可得：，化简得：， 因为，且直线过点，所以， 即点位于以线段为直径的圆上， 易知以线段为直径的圆的方程为， 将代入上式，可得，解得，（舍去）， 则点的横坐标，设点的横坐标， 由韦达定理可得：，则， 根据抛物线的定义，可得，， 则， 故选：B. 题型三：抛物线上点到焦点和定点距离的和差最值 【典例3-1】（2025·高二·上海宝山·期末）已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为 . 【答案】 【解析】设为抛物线的焦点，则， 如图，设，为到准线的距离且为垂足， 则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【典例3-2】（2025·高二·甘肃兰州·开学考试）点M为抛物线上任意一点，点N为圆上任意一点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】抛物线的焦点为，抛物线的准线为， 圆变形为， 则圆心为抛物线的焦点，半径为. 点为抛物线上任意一点，当三点共线，取最小值，最小值为. 所以取最小值时，即取最小值， 如图，过点作于点，由抛物线定义可知，， 所以，当三点共线，当时，等号成立. 则的最小值为. 故答案为：. 【变式3-1】（2025·高二·北京昌平·期末）已知抛物线的焦点为，准线为.则焦点到准线的距离为 ；若点在抛物线上，过点作准线的垂线，垂足为，，则 的最小值为 . 【答案】 1 【解析】①由抛物线知，， 所以抛物线的焦点到准线的距离是， ②如图所示，过点，则， 当点在线段上时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：①；②. 【变式3-2】（2025·高二·福建福州·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任一点，过点作动直线的垂线，垂足为，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题意抛物线的焦点为，准线为直线， 方程整理为， 由得， 所以动直线过定点， 过点作动直线的垂线，垂足为，则点在以为直径的圆上， 中点为，， 所以圆方程为， 过作抛物线的准线的垂线，垂足为，则，又， 所以， 当且仅当三点共线且是线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值是， 故答案为：. 【变式3-3】已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点（异于点）在上，且，则取最小值时，直线的斜率为 ． 【答案】/或 【解析】 因为点是抛物线上的一点，所以，解得； 所以，由题意可知直线的斜率存在且都不为0， 设直线的方程为，由， 得，所以，解得， 所以， 又，则设直线的方程为，由， 得，所以，解得， 所以， 所以， 所以当，即时，有最小值，且最小值为. 故答案为：. 题型四：轨迹问题—抛物线 【典例4-1】（2025·高二·上海·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设线段的中点为，点的坐标为. 因为是的中点，所以可得，即. 因为点在曲线上，所以将代入曲线方程可得.化简得： 故答案为：. 【典例4-2】（2025·高二·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得， 所以所求轨迹方程为. 故答案为： 【变式4-1】给出下列结论：①方程表示斜率为1，在轴上的截距为的直线；②到轴距离为2的点的轨迹方程为；③方程表示两个点．其中正确结论的序号是 ． 【答案】③ 【解析】对于①，方程表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，但， 所以去掉点，故①错误； 对于②，到轴距离为2的点的轨迹方程为或，所以②错误； 对于③，方程，表示两个点，所以③正确． 故答案为：③． 【变式4-2】（2025·全国·模拟预测）已知抛物线：上存在两点，，，直线与轴交于点，抛物线：上存在两点，，，从点向直线作垂线，则垂足的轨迹方程为 ． 【答案】, 【解析】设直线：，由，得， 需有， 所以，所以，则直线：， 故点的坐标为． 若直线的斜率为0，，故， 若直线的斜率存在，设直线：（）． 由，得，， 所以，即，得， 所以直线的方程为或， 综上，直线必过点或点. 若直线过， 因为，， 所以点的轨迹是以为直径的圆（去除原点），圆心坐标为，半径为， 所以点的轨迹方程为（）． 若直线过， 设：，由可得， 由可得， 当：时，过的垂线方程为， 此时. 同理当：时，此时. 故此时点的轨迹是以为直径的圆（去除部分），圆心坐标为，半径为， 所以点的轨迹方程为： （或）． 故答案为：（）或（或）． 【变式4-3】已知点是曲线上任意一点，，连接并延长至，使得，求动点Q的轨迹方程 ． 【答案】 【解析】设动点的坐标，点P坐标，， 因为，所以，， 可得，， 代入，得，整理得， 所以动点Q的轨迹方程为． 故答案为： 【变式4-4】（1）已知抛物线定点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－y＋2＝0上，则抛物线方程为 . （2）动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 y2＝－8x或x2＝8y y2＝4x 【解析】（1）易得直线x－y＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－2，0)和(0，2)， 当焦点为(－2，0)时，抛物线焦点在x轴负半轴上，且p＝4，则抛物线方程为y2＝－8x； 当焦点为(0，2)时，抛物线焦点在y轴正半轴上，且p＝4，则抛物线方程为x2＝8y； 综上：抛物线方程为y2＝－8x或x2＝8y. （2）设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等， 根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹为抛物线，其中，故轨迹方程为y2＝4x. 故答案为：y2＝－8x或x2＝8y；y2＝4x. 【变式4-5】（2025·高二·全国·课前预习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为， 所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为． 故答案为： 题型五：抛物线的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）（2025·河北·模拟预测）已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（    ） A．，点的轨迹为椭圆 B．，点的轨迹为双曲线 C．，点的轨迹为抛物线 D．，点的轨迹为圆 【答案】AD 【解析】因为平面内点，，所以， 又，所以由椭圆的定义知点的轨迹为椭圆，故A正确； 线段的长度与线段的长度的差为，则点的轨迹应为双曲线靠近点的一支，故B错误； 设点，由得， 整理得，即， 当时，，得或， 故曲线与轴有三个交点，轨迹不为抛物线，故C错误； 由，得， 整理得 ， 即轨迹是以为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：AD. 【典例5-2】（多选题）下列四个结论，其中正确的为（    ） A．动点P到点，的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是双曲线 B．过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条 C．双曲线与双曲线有相同的渐近线 D．点在圆内 【答案】BD 【解析】对于A，因为动点P到点，的距离之差的绝对值为2，但，所以点P的轨迹不是双曲线，故A错误； 对于B，由于在抛物线外，所以过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有三条， 一条平行于轴，一条与轴重合，另外一条与抛物线相切，故B正确； 对于C，双曲线渐近线为，双曲线渐近线为，故C错误； 对于D，因为，所以点在圆内，故D正确. 故选：BD 【变式5-1】（多选题）若直线与抛物线只有一个公共点，则实数k的值可以为（　　） A． B．0 C．8 D．-8 【答案】AB 【解析】联立与得，， 若，直线与抛物线只有一个交点，满足要求， 若，则，所以，综上可知或. 故选：AB 【变式5-2】（多选题）已知抛物线，焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C相交于两点，则下列说法一定正确的是（    ） A．AB的最小值为2 B．线段AB为直径的圆与直线相切 C．为定值 D．若，则 【答案】BCD 【解析】对A，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过焦点的弦中通径最短，所以AB最小值，故A不正确； 对B，如图，设线段AB的中点为D，过点A，B，D作准线的垂线，垂足分别为，，，由抛物线的定义可知， 所以, 所以以线段AB为直径的圆与直线相切，故B正确； 对C，设AB所在的方程为， 由消去得， 所以，，故C正确； 对D，由C得， ，故D正确． 故选:BCD 【变式5-3】（多选题）（2025·高三·安徽·开学考试）若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题意得，点在抛物线上或其内部，则，解得， ∴其准线为. 故选:BD． 题型六：抛物线的实际应用问题 【典例6-1】（2025·高二·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【答案】B 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则点, 设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以, 当时，，所以水面宽度为． 故选：B 【典例6-2】有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．则水位上涨1米后，水面宽为（    ） A．米 B．2米 C．米 D．4米 【答案】C 【解析】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系， 依题意可设抛物线方程为，代入点， ∴，， 将代入可得，所以水面宽度为． 故选：C． 【变式6-1】（2025·高二·天津滨海新·期末）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意可知在抛物线上，故， 因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为， 故选：D. 【变式6-2】（2025·高二·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 【变式6-3】（2025·高二·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B 题型七：抛物线的综合问题 【典例7-1】（多选题）（2025·高二·江苏苏州·期末）设平面直角坐标系中，双曲线的左焦点为，且与抛物线有公共的焦点.若是上的一点，下列说法正确的是（    ） A．和不存在交点 B．若，则直线与相切 C．若是等腰三角形，的坐标是 D．若，则的横坐标为 【答案】BD 【解析】对于A，联立：，消去得， 由，解得，双曲线与抛物线有交点，A错误； 对于B，由，，则直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得，判别式，则直线与抛物线相切，B正确； 对于C，不在抛物线上，故C错误； 对于D，是抛物线上的一点，设，则有，，， 若，有，因此，即，解得，D正确. 故选：BD 【典例7-2】（多选题）（2025·高二·河南濮阳·期末）已知F是抛物线的焦点，D，E是C上的两点且满足，点G的坐标为，直线GA，GB分别与C相切于点A，B，直线l过点G且与C相交于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．DE的中点到C的准线的距离等于DE长度的一半 B．直线GA，GB的斜率之积为 C．若直线GA，GB都与以F为圆心的圆相切，则圆的半径为 D．，，成等比数列 【答案】ABC 【解析】 对于A，，准线为直线， 三点共线，设过的直线斜率为， 方程为，与抛物线联立可得， 所以，， ， ， 设中点为，， 到准线距离为， 因为， 所以，， ， 所以的一半为， 与到准线的距离相等， 当时直线为轴，与抛物线相切于一点， 所以不考虑，故A正确； 对于B，抛物线在点的切线方程为， 因为，所以， 代入可得， 代入抛物线可得， 所以切点， ，， 所以斜率之积为，故B正确； 对于C，直线方程为， 直线方程为， 到的距离为， 由对称性到的距离相同，故C正确； 对于D，设直线方程为， 与抛物线联立可得， 所以，， 设， ，， ， 因为， 所以， 所以，因为， 所以，所以， 仅当时成立，非任意直线均成立. 故选：ABC. 【变式7-1】（多选题）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】对于A，焦点到抛物线的准线的距离为，故A错误； 设， 对于B，当直线垂直于轴，可得， 所以，得； 当直线不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， ，B正确； 对于C，的中点的纵坐标为，则，可得：， ， 又， 所以，C错误； 对于D， 不妨设点在第一象限，分别过点作垂直于准线，垂足分别为， 直线与准线交于点，准线与轴交于点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得， 解得， 所以，可得：， 所以，D正确. 故选：BD 【变式7-2】（多选题）已知抛物线：的准线为，焦点为，为抛物线上的动点，过点作：的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为，则（   ） A．准线与圆相切 B．过点，的直线与抛物线相交的弦长为5 C．当，，三点共线时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】BD 【解析】 对于A，抛物线的准线为，圆A的圆心在轴上，半径，准线l与圆A相离，A错误； 对于B，直线的方程为，代入得，弦长为，B正确； 对于C．当时，，C错误； 对于D，由抛物线的定义得，直线的垂直平分线方程为，代入得，点P有且仅有2个，D正确． 故选：BD. 【变式7-3】（多选题）已知与都是大于零的常数，经过点的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的是（   ） A．的面积有最大值 B．的面积有最小值 C．为锐角的充要条件是 D．若，取的中点，则 【答案】BCD 【解析】设，代入得，， 设，，则，， ， 当时，的面积取最小值，当时，，A错，B对； 因为、、三点不共线，所以为锐角， ，C对； 当时，，所以，D对. 故选：BCD 1．设为坐标原点，为抛物线：的焦点，点在抛物线上.若，则（   ） A． B．9 C．3 D． 【答案】D 【解析】因为抛物线：，所以焦点，准线方程为. 设，因为，所以由抛物线定义可知，解得， 因为点在抛物线上，所以，所以， 所以. 故选：D 2．（2025·高二·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的任意点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，若是等边三角形，则（    ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由是等边三角形，如下图知， 则，故. 故选：B 3．（2025·高二·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，是抛物线上的点，设， 则， 对于函数，当时，， 所以的最小值是， 即的最小值为. 故选：C 4．（2025·高三·广东·开学考试）设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如下图，设， 则，，当且仅当时取等号，此时， ，因此， 故选：B． 5．（2025·高二·广东深圳·期末）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】在抛物线 中， , ∴, 又 , 故 在抛物线 的外部, ∴, ∵抛物线 的焦点为 , 准线方程为 , ∴， ， ∵, 当三点共线（ 在之间）时， 取到最小值 , ∴ 的最小值为 , 故选: C 6．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（      ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】根据题意，可知， 因为，所以由抛物线的定义可得点的横坐标为，故， 所以的面积为， 故选：B. 7．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，直线是抛物线上点处不与轴垂直的切线，过作的垂线，垂足为.则的轨迹是（    ） A．两条射线 B．一条抛物线 C．一个椭圆 D．双曲线一支 【答案】A 【解析】由，由于抛物线关于轴对称， 我们可不妨设点在第一象限，则有， 求导得：，设， 则切线方程：， 由垂直关系可知：，所以， 上面两式消可得：， 由于原点不符合题意，所以垂足的轨迹是两条射线.   故选：A. 8．已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设过点分别向准线和作垂线，垂足分别为， 因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：， 所以只需要求最小即可. 当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即. 故选：B. 9．（2025·高二·重庆·期中）过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，设、的斜率为、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知抛物线的焦点为，则直线的方程为，设点、， 联立可得，则， 由韦达定理可得，， 所以，因为，解得. 故选：B. 10．（2025·高二·上海·期中）若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，此时曲线为开口向右的抛物线， 由于曲线关于轴对称，因此可作出曲线图象如下： 直线恒过定点, 当直线与相切时，则， 故，解得或， 结合图形可知此时，故， 同理直线与相切时，， 故当与直线没有公共点，则或， 故选：B 11．（2025·高二·浙江·期中）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点（其中点在第一象限），点到抛物线的准线的距离为，则的值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解析】抛物线：的焦点为，准线方程为， 因为点到抛物线的准线的距离为，所以，解得，所以，解得（负值舍去）， 即，所以直线的方程为， 由，解得或，所以， 所以. 故选：D 12．已知抛物线 的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段 的中点 在上的射影为，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，在准线上的射影点分别为、， 连接、, 由抛物线定义，得且， 在梯形中根据中位线定理，得． 由余弦定理得， 配方得， 又因为 ， 所以 ， 得到． 所以， 即的最大值为． 故选：C. 13．（2025·河南鹤壁·二模）已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由题意得，设直线， 联立得， ， 由韦达定理得， 故， 圆心O到直线的距离为， 所以，解得， 所以或 故选：C. 14．（多选题）（2025·安徽·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的横坐标为3，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】抛物线的焦点为，准线，， 所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误； 设 当直线垂直于轴，可得， 所以,得 当直线不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， ，B正确； 对于C，由的中点的横坐标为3，可得：， ， 又， 所以，C正确； 对于D， 过点作，直线与轴分别交与点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得， 解得， 所以， 可得：， 所以，D正确 故选：BCD 15．（多选题）（2025·高二·广西南宁·期中）已知曲线，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线C表示双曲线 B．当时，曲线C表示椭圆 C．曲线C不可能表示两条直线 D．曲线C可能表示抛物线 【答案】AC 【解析】对于A，曲线，当时，表示双曲线， 即时，曲线C表示双曲线，A正确； 对于B，曲线，即曲线， 当，即时，曲线C表示椭圆，B错误； 对于C，由B的分析可知，时，曲线C表示圆， 当，此时m不存在， 结合以上分析可知无论m如何取值，方程都不能化为两个一次因式积等于0形式， 故曲线C不可能表示两条直线，C正确； 对于D，方程不含一次项，故曲线C不可能表示抛物线，D错误， 故选：AC 16．（多选题）抛物线上有A，B，C三点，且直线AB的斜率大于零，，点G为三角形ABC的重心，则直线AB横截距的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由题意知，设，则， 又为的重心，所以， 得，代入方程，得①. 设直线AB方程为， ，消去y，得， ，得，， 代入①，得，即，则，解得， 所以，解得. 对于，令，得， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 当时，，故A，D选项不正确； 故B，C选项正确. 故选：BC . 17．（多选题）（2025·河北·模拟预测）已知点是抛物线上的一点，过C的焦点F的两条互相垂直的直线，分别与C交于点A，B和点D，E，其中点A，D均在x轴的上方，过点P分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则直线的倾斜角为 C．为定值 D．四边形的周长的最大值为 【答案】ACD 【解析】由题意有，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B：设直线的方程为，所以， 设，则，由得， 所以，即，设直线的倾斜角，则,故B错误； 对于C：由，由直线与直线垂直， 则可设直线的方程为，则有， 所以，故C正确； 对于D：由，所以， 即，当且仅当时，等号成立， 又得， 所以四边形的周长的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 18．（多选题）已知抛物线的焦点为，圆，圆上存在动点，过作圆的切线，直线与抛物线相切于点，抛物线上任意一点到直线与直线的距离分别为.若点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的最小值为 D．圆上的点到直线的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】由圆，可得圆心， 因为点，所以直线的斜率， 因为直线为圆的切线，所以，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以，解得（舍去）， 所以抛物线的方程为， 当时，方程，可得， 解得，所以，解得，所以切点， 所以，所以A错误，B正确； 设点到直线的距离为， 因为，所以， 当且仅当直线，且在垂线段上时，等号成立， 因为点到直线的距离，所以，所以C正确. 因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 因为圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为，所以D正确. 故选：BCD. 19．已知为坐标原点，是抛物线的准线，是与轴的交点，若是上的一点，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】易知，当直线与相切时，取得最大值， 设此时直线的方程为，联立，得， 解得，即的斜率为，倾斜角为或，所以的最大值为． 故答案为：. 20．（2025·江西新余·模拟预测）在平面直角坐标系中，，为轴上一点，经过的直线与垂直且与轴交于点，关于的对称点为．为一曲线，若对于任意固定点，的最小值总为3，则的方程为： ． 【答案】 【解析】延长到使，由，得四边形为平行四边形， 又，则为菱形，过作轴，垂足为，直线， 则，又，，于是的轨迹为抛物线：， ①在内部，过作轴交于点，而轴， ，为定值，则当共线时，有最小值， 设，，而，整理得； ②在及外部，当共线时，有最小值3，即， 设，则，而，整理得 所以曲线的方程为：． 故答案为： 21．（2025·高二·上海青浦·期末）已知是抛物线上三点，其中，直线是圆的两条切线，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】 点在抛物线上，，解得，所以抛物线的方程为， 又直线，是圆的两条切线， 设切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离等于半径，则， 所以，解得，则直线的方程为，直线的方程为， 联立直线和抛物线的方程，得，由， 得，得，直线的方程为. 22．（2025·高二·四川成都·期中）已过抛物线C：的焦点为，且抛物线的焦点到准线的距离为2． (1)求抛物线的方程 (2)过点的直线与抛物线交于两点，且为的中点，求直线的方程． 【解析】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故， 所以． （2）设，，如下图： 则， 由，得， 若，则A、B关于x轴对称，为AB中点不符合题意； 若，则， 所以直线的方程为，即． 23．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【解析】（1）设，则由题意可得， 化简得，故的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为0， 故设直线，， ，得， 则， 则， 因线段的中点坐标为， 则，， 解得，经检验，满足， 则直线的方程为. 24．（2025·高二·山西晋中·开学考试）已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若． (1)求点的坐标以及抛物线方程； (2)若点与关于点对称，求． 【解析】（1）因为抛物线过点，则①，又， 且焦点为，即②， 结合①②解得(舍)，或， 即； （2）当时，，则， 所以． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 抛物线 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点二：抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 知识点三：抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 题型一：抛物线的定义及标准方程 【典例1-1】已知抛物线上的点M与焦点F的距离为6，则M到y轴的距离为（   ） A． B． C．2 D．4 【典例1-2】（2025·辽宁·一模）若抛物线上一点到准线和对称轴的距离均为4，则的值为（    ） A．18 B．4 C．2或18 D．4或9 【变式1-1】顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·宁夏吴忠·期末）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线上的点到其焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·江苏淮安·期中）过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 【变式1-4】（2025·高三·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 题型二：焦半径问题 【典例2-1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一点，则（    ） A．50 B．100 C．150 D．200 【典例2-2】（2025·高二·安徽合肥·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高二·广东·期末）设为抛物线的焦点，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高二·辽宁抚顺·期末）已知，抛物线：的焦点为，为上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）设点为抛物线上一点，F为焦点，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【变式2-4】（2025·高二·贵州贵阳·期末）抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与此抛物线交于，两点，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型三：抛物线上点到焦点和定点距离的和差最值 【典例3-1】（2025·高二·上海宝山·期末）已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为 . 【典例3-2】（2025·高二·甘肃兰州·开学考试）点M为抛物线上任意一点，点N为圆上任意一点，且，则的最小值为 ． 【变式3-1】（2025·高二·北京昌平·期末）已知抛物线的焦点为，准线为.则焦点到准线的距离为 ；若点在抛物线上，过点作准线的垂线，垂足为，，则 的最小值为 . 【变式3-2】（2025·高二·福建福州·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任一点，过点作动直线的垂线，垂足为，则的最小值是 ． 【变式3-3】已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点（异于点）在上，且，则取最小值时，直线的斜率为 ． 题型四：轨迹问题—抛物线 【典例4-1】（2025·高二·上海·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为 ． 【典例4-2】（2025·高二·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【变式4-1】给出下列结论：①方程表示斜率为1，在轴上的截距为的直线；②到轴距离为2的点的轨迹方程为；③方程表示两个点．其中正确结论的序号是 ． 【变式4-2】（2025·全国·模拟预测）已知抛物线：上存在两点，，，直线与轴交于点，抛物线：上存在两点，，，从点向直线作垂线，则垂足的轨迹方程为 ． 【变式4-3】已知点是曲线上任意一点，，连接并延长至，使得，求动点Q的轨迹方程 ． 【变式4-4】（1）已知抛物线定点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－y＋2＝0上，则抛物线方程为 . （2）动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【变式4-5】（2025·高二·全国·课前预习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ． 题型五：抛物线的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）（2025·河北·模拟预测）已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（    ） A．，点的轨迹为椭圆 B．，点的轨迹为双曲线 C．，点的轨迹为抛物线 D．，点的轨迹为圆 【典例5-2】（多选题）下列四个结论，其中正确的为（    ） A．动点P到点，的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是双曲线 B．过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条 C．双曲线与双曲线有相同的渐近线 D．点在圆内 【变式5-1】（多选题）若直线与抛物线只有一个公共点，则实数k的值可以为（　　） A． B．0 C．8 D．-8 【变式5-2】（多选题）已知抛物线，焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C相交于两点，则下列说法一定正确的是（    ） A．AB的最小值为2 B．线段AB为直径的圆与直线相切 C．为定值 D．若，则 【变式5-3】（多选题）（2025·高三·安徽·开学考试）若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（    ）． A． B． C． D． 题型六：抛物线的实际应用问题 【典例6-1】（2025·高二·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【典例6-2】有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．则水位上涨1米后，水面宽为（    ） A．米 B．2米 C．米 D．4米 【变式6-1】（2025·高二·天津滨海新·期末）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·高二·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·高二·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 题型七：抛物线的综合问题 【典例7-1】（多选题）（2025·高二·江苏苏州·期末）设平面直角坐标系中，双曲线的左焦点为，且与抛物线有公共的焦点.若是上的一点，下列说法正确的是（    ） A．和不存在交点 B．若，则直线与相切 C．若是等腰三角形，的坐标是 D．若，则的横坐标为 【典例7-2】（多选题）（2025·高二·河南濮阳·期末）已知F是抛物线的焦点，D，E是C上的两点且满足，点G的坐标为，直线GA，GB分别与C相切于点A，B，直线l过点G且与C相交于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．DE的中点到C的准线的距离等于DE长度的一半 B．直线GA，GB的斜率之积为 C．若直线GA，GB都与以F为圆心的圆相切，则圆的半径为 D．，，成等比数列 【变式7-1】（多选题）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【变式7-2】（多选题）已知抛物线：的准线为，焦点为，为抛物线上的动点，过点作：的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为，则（   ） A．准线与圆相切 B．过点，的直线与抛物线相交的弦长为5 C．当，，三点共线时， D．满足的点有且仅有2个 【变式7-3】（多选题）已知与都是大于零的常数，经过点的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的是（   ） A．的面积有最大值 B．的面积有最小值 C．为锐角的充要条件是 D．若，取的中点，则 1．设为坐标原点，为抛物线：的焦点，点在抛物线上.若，则（   ） A． B．9 C．3 D． 2．（2025·高二·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的任意点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，若是等边三角形，则（    ） A．5 B．4 C．2 D．1 3．（2025·高二·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 4．（2025·高三·广东·开学考试）设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·广东深圳·期末）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（      ） A．1 B． C．2 D． 7．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，直线是抛物线上点处不与轴垂直的切线，过作的垂线，垂足为.则的轨迹是（    ） A．两条射线 B．一条抛物线 C．一个椭圆 D．双曲线一支 8．已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·高二·重庆·期中）过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，设、的斜率为、，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·高二·上海·期中）若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．（2025·高二·浙江·期中）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点（其中点在第一象限），点到抛物线的准线的距离为，则的值为（   ） A．2 B． C． D．4 12．已知抛物线 的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段 的中点 在上的射影为，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 13．（2025·河南鹤壁·二模）已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（     ） A． B． C．或 D．或 14．（多选题）（2025·安徽·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的横坐标为3，则 D．若，则 15．（多选题）（2025·高二·广西南宁·期中）已知曲线，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线C表示双曲线 B．当时，曲线C表示椭圆 C．曲线C不可能表示两条直线 D．曲线C可能表示抛物线 16．（多选题）抛物线上有A，B，C三点，且直线AB的斜率大于零，，点G为三角形ABC的重心，则直线AB横截距的取值可能是（    ） A． B． C． D． 17．（多选题）（2025·河北·模拟预测）已知点是抛物线上的一点，过C的焦点F的两条互相垂直的直线，分别与C交于点A，B和点D，E，其中点A，D均在x轴的上方，过点P分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则直线的倾斜角为 C．为定值 D．四边形的周长的最大值为 18．（多选题）已知抛物线的焦点为，圆，圆上存在动点，过作圆的切线，直线与抛物线相切于点，抛物线上任意一点到直线与直线的距离分别为.若点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的最小值为 D．圆上的点到直线的距离的最小值为 19．已知为坐标原点，是抛物线的准线，是与轴的交点，若是上的一点，则的最大值为 ． 20．（2025·江西新余·模拟预测）在平面直角坐标系中，，为轴上一点，经过的直线与垂直且与轴交于点，关于的对称点为．为一曲线，若对于任意固定点，的最小值总为3，则的方程为： ． 21．（2025·高二·上海青浦·期末）已知是抛物线上三点，其中，直线是圆的两条切线，则直线的方程为 . 22．（2025·高二·四川成都·期中）已过抛物线C：的焦点为，且抛物线的焦点到准线的距离为2． (1)求抛物线的方程 (2)过点的直线与抛物线交于两点，且为的中点，求直线的方程． 23．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 24．（2025·高二·山西晋中·开学考试）已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若． (1)求点的坐标以及抛物线方程； (2)若点与关于点对称，求． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$