第03讲 两条直线的平行与垂直（2个知识点7大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第03讲 两条直线的平行与垂直 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：两条直线相交、平行与重合 1、代数方法判断 两条直线的位置关系，可以用方程组 的解进行判断（如下表所示） 方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件 无解 平行 无交点 而或 或 有唯一解 相交 有一个交点 或 有无数个解 重合 无数个交点 或 2、几何方法判断 （1）若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行． （2）若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设， （1）与相交； （2）且； （3）与重合且． 简记表： 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 知识点二：两条直线的垂直 1、两条直线垂直的几何方法判断 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2、两条直线垂直的代数方法判断 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0） （1）若 （2）若 题型一：由斜率可以判断两条直线是否平行 【例1】判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【变式1-1】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【变式1-2】已知经过，经过，，求证：． 【变式1-3】在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 题型二：两条直线相交、平行、重合的判定 【例2】已知：，：，求当m为何值时，与相交、平行或重合． 【变式2-1】已知直线，直线，求：当m为何值时，直线与分别有如下位置关系：相交、平行、重合． 【变式2-2】（2025·高二·上海·期中）已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 【变式2-3】已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行. 题型三：两条直线垂直的判定 【例3】判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【变式3-1】判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【变式3-2】（2025·高二·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． 【变式3-3】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为，其中.试判断四边形OPQR是否为矩形. 题型四：直线平行与垂直的综合应用 【例4】已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 【变式4-1】已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 【变式4-2】（2025·高二·北京大兴·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【变式4-3】（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 题型五：两直线的夹角 【例5】已知直线与直线的夹角为30°，则的倾斜角为（   ） A．15°或75° B．15°或105° C．75°或165° D．105°或165° 【变式5-1】已知两条直线的斜率分别为，设的夹角（锐角）为，，则直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高二·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】直线与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 题型六：已知直线平行求参数 【例6】（2025·高二·山西忻州·开学考试）已知直线与平行，则实数的取值是 . 【变式6-1】（2025·高二·上海宝山·期中）已知直线，若，则实数 【变式6-2】（2025·高二·广东广州·期末）已知直线，，若，则的值为 ． 【变式6-3】已知直线与直线相互平行，则实数的值是 . 题型七：已知直线垂直求参数 【例7】（2025·高二·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则 ． 【变式7-1】（2025·高二·上海杨浦·期中）若两条直线 与 垂直，则 的值为 . 【变式7-2】已知两直线，，则，则 . 【变式7-3】（2025·高二·北京密云·期末）已知直线和直线垂直，则实数的值为 ． 1． “”是“直线和直线不重合而平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·高二·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 4．（2025·高二·上海青浦·期中）若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 5．（2025·高二·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（   ） A． B． C．或1 D．或1 6．已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与，则下列说法不正确的是（ ） A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 8．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 9．（多选题）（2025·高二·江西上饶·期中）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 10．（多选题）（2025·高二·福建福州·期末）已知点，，，则（    ） A．是直角三角形 B．边上的高所在直线的方程是 C．的面积是1 D．边上的中线所在直线的方程是 11．（多选题）（2025·高二·云南曲靖·期末）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 12．设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为 . 13．（2025·高二·湖南·开学考试）已知，设直线，，若，则 ． 14．（2025·高二·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 15．已知的三个顶点． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 16．（2025·高一·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 17．已知顶点、、. (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 18．（2025·高二·山东威海·期中）如图，在菱形中，. (1)求所在直线的方程； (2)求所在直线的倾斜角； (3)求所在直线的方程. 19．菱形的顶点A，的坐标分别为，，边所在直线过点. (1)求，边所在直线的一般式方程； (2)求对角线所在直线的一般式方程. 20．（2025·高二·福建福州·期中）在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)判断的形状. 21．（2025·高二·福建·期中）已知直线过点，且的一个法向量是. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 两条直线的平行与垂直 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：两条直线相交、平行与重合 1、代数方法判断 两条直线的位置关系，可以用方程组 的解进行判断（如下表所示） 方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件 无解 平行 无交点 而或 或 有唯一解 相交 有一个交点 或 有无数个解 重合 无数个交点 或 2、几何方法判断 （1）若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行． （2）若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设， （1）与相交； （2）且； （3）与重合且． 简记表： 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 知识点二：两条直线的垂直 1、两条直线垂直的几何方法判断 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2、两条直线垂直的代数方法判断 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0） （1）若 （2）若 题型一：由斜率可以判断两条直线是否平行 【例1】判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【解析】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 【变式1-1】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【解析】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 【变式1-2】已知经过，经过，，求证：． 【解析】证明：由题意得直线的斜率为， 直线的斜率为， 又，, 即不共线，即不重合， 因为，∴. 【变式1-3】在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 【解析】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率，直线的斜率， 显然，，在四边形中，，， 因此四边形为平行四边形，又，则， 所以四边形为矩形. 题型二：两条直线相交、平行、重合的判定 【例2】已知：，：，求当m为何值时，与相交、平行或重合． 【解析】若直线与相交，则，即，解得且且； 若直线与平行或重合，则，解得或或． 当时，：，：，满足与平行； 当时，：，：，满足与平行； 当时，：，：，满足与重合； 综上，当且且时，与相交；当或时，与平行；当时，与重合． 【变式2-1】已知直线，直线，求：当m为何值时，直线与分别有如下位置关系：相交、平行、重合． 【解析】当时，，，l1与l2相交； 当时，两直线的斜截式方程为：，． ①当时，即m≠3，m≠﹣1且时，两直线相交， ②当，且，即m＝﹣1时，两直线平行． ③当，且，即m＝3时，两直线重合． 综上：当m≠3，m≠﹣1时，两直线相交； 当m＝﹣1时两直线平行； 当m＝3时两直线重合． 【变式2-2】（2025·高二·上海·期中）已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 【解析】（1）当时，的斜率不存在，此时与相交，符合题意； 当时，的斜率为，需满足， 解得且； 所以当且时，与相交； （2）若与重合，需满足，且， 解得， 即时，与重合. 【变式2-3】已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行. 【解析】（1）已知，直线， 若与相交，则，即，解得且. （2）已知，直线， 若与平行，则，即，解得. 题型三：两条直线垂直的判定 【例3】判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【解析】（1）由题意知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为，所以． （2）由题意知，直线的斜率为，直线的斜率为， 而，所以与不垂直． （3）记的斜率为，因为，所以， 解得或， 又因为为锐角，所以． 因为的斜率为，且，所以． （4）由题意，直线的斜率一定存在，直线的斜率可能存在或不存在． ①当直线的斜率不存在时，，即，此时，满足． ②当直线的斜率存在时，，由斜率公式，得，． 若，则，即，解得． 综上所述，当或时，直线，当且时，与不垂直． 【变式3-1】判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【解析】（1）两直线的斜率，，由，则． （2）两直线的斜率，，由，则． （3）的斜率为0，的斜率不存在，． 【变式3-2】（2025·高二·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． 【解析】（1）直线的斜率，直线的斜率，因为，所以与垂直． （2）直线的斜率不存在，故与轴垂直，直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直． （3）因为，所以与的法向量垂直，所以与垂直． 【变式3-3】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为，其中.试判断四边形OPQR是否为矩形. 【解析】由斜率公式得， , 所以，， 从而OP∥RQ，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形. 又,所以， 故四边形OPQR为矩形. 题型四：直线平行与垂直的综合应用 【例4】已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 【解析】（1）设，因为四边形为平行四边形， 所以 所以解得，所以 （2）因为 所以， 所以.所以为菱形. （3）由于则直线AD方程为：，化简得到直线AD方程为:. 【变式4-1】已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 【解析】（1）由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形； （2）根据题意，设的内角平分线所在直线的斜率为k， 则有，即， 整理得，，解得或， 又由的内角平分线所在直线的斜率k应在、的斜率之间， 所以， 则的平分线所在的直线方程为， 即． 【变式4-2】（2025·高二·北京大兴·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【解析】（1）因为点，点，所以边所在直线斜率， 所以边上的高所在直线的斜率，且过点． 所以边上的高所在直线的方程为． （2）由得，所以角平分线的倾斜角为， 所以角平分线所在直线的斜率． 又因为角平分线过点， 所以角平分线所在直线的方程为． 【变式4-3】（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 【解析】（1），解得或 当时，：，：满足； 当时，：，：,即，两直线重合，舍去； 故. （2）由直线：， 即，令，可得， 所以定点， 由：，令，可得， 可知定点， 当时，联立与的方程得， 解得， ，从而， 又直线过点， 故直线的方程为，即. 题型五：两直线的夹角 【例5】已知直线与直线的夹角为30°，则的倾斜角为（   ） A．15°或75° B．15°或105° C．75°或165° D．105°或165° 【答案】D 【解析】直线的斜率，则倾斜角为135°， 直线与直线夹角为30°，则的倾斜角为105°或165°. 故选：D． 【变式5-1】已知两条直线的斜率分别为，设的夹角（锐角）为，，则直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率，直线的斜率， 满足，则，所以锐角为. 故选：B 【变式5-2】（2025·高二·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 【变式5-3】直线与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角满足， 又因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角满足， 所以， 设两直线夹角为，则， 又因为两直线夹角的范围为， 所以两直线夹角为. 故选：B. 题型六：已知直线平行求参数 【例6】（2025·高二·山西忻州·开学考试）已知直线与平行，则实数的取值是 . 【答案】或2 【解析】因为直线与平行 所以，解得或， 当和时，两直线都不重合，符合题意. 故答案为：或2. 【变式6-1】（2025·高二·上海宝山·期中）已知直线，若，则实数 【答案】 【解析】将直线化成一般式，， 根据一般式下直线的平行判定，知道，且，解得. 故答案为：. 【变式6-2】（2025·高二·广东广州·期末）已知直线，，若，则的值为 ． 【答案】 【解析】两直线平行，故且， 由得或， 由得，因此 故答案为：2 【变式6-3】已知直线与直线相互平行，则实数的值是 . 【答案】 【解析】因为直线与直线相互平行， 则，解得. 故答案为：. 题型七：已知直线垂直求参数 【例7】（2025·高二·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则 ． 【答案】 【解析】由题知，斜率为， 若，则，，不垂直； 若，则，，不垂直； 若，则斜率为， 所以，解得. 故答案为： 【变式7-1】（2025·高二·上海杨浦·期中）若两条直线 与 垂直，则 的值为 . 【答案】/ 【解析】根据题意，直线． 若与垂直，必有，解得. 故答案为： 【变式7-2】已知两直线，，则，则 . 【答案】或 【解析】因为，，且 所以，解得或. 故答案为：或 【变式7-3】（2025·高二·北京密云·期末）已知直线和直线垂直，则实数的值为 ． 【答案】/ 【解析】因为直线和直线垂直， 所以，解得. 故答案为： 1． “”是“直线和直线不重合而平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，直线和直线是不重合而平行关系，即满足充分性， 当直线和直线不重合而平行时， 有，解得，故满足必要性， 故选：C. 2．（2025·高二·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 则， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即， 所以线段中垂线方程为：，即. 故选：C． 3．（2025·高二·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知直线的斜率， 当时，直线的斜率不存在，不满足； 当时，直线的斜率， 由，得，即，解得． 故选：B 4．（2025·高二·上海青浦·期中）若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】若直线与直线平行，则且， 因为“”“且”， 但“”“且”， 因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（2025·高二·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（   ） A． B． C．或1 D．或1 【答案】D 【解析】由直线与直线平行，得，解得或， 所以实数a的值为或1. 故选：D 6．已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为， 即， 故选：A. 7．已知直线与，则下列说法不正确的是（ ） A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 【答案】B 【解析】对于A，当时，， 即，则，故A正确； 对于B，当时，， 即，则与不重合，故B错误； 对于C，当时，， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，，即， 由，得，所以与交于点，故D正确. 故选：B. 8．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【解析】直线过定点，直线过定点， ①当时，过定点的直线方程为，过定点的直线方程为， 两直线垂直，此时，所以， ②当时，直线的斜率为，直线0的斜率为， 因为，所以两直线垂直，即点可视为以为直径的圆上的点， 因为点不与点或点重合，为直角三角形，且， 所以 当且仅当时等号成立， 因为，故的最小值为. 故选：C. 9．（多选题）（2025·高二·江西上饶·期中）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】AD 【解析】由斜率的定义，直线的斜率， 因为，则，解得或， 代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在， 故或均满足题意， 故选：AD. 10．（多选题）（2025·高二·福建福州·期末）已知点，，，则（    ） A．是直角三角形 B．边上的高所在直线的方程是 C．的面积是1 D．边上的中线所在直线的方程是 【答案】ABC 【解析】根据题意，，， 则，所以，是直角三角形，A正确； 由，所以边上的高斜率为0， 边上的高则所在直线的方程是，B正确； 由，所以，C正确； 由点，中点，则， 所以边上的中线所在直线的方程是， 即，D错误. 故选：ABC. 11．（多选题）（2025·高二·云南曲靖·期末）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，直线恒过定点，故A正确， 对于B，因为，所以直线恒过定点，故B错误； 对于C，又因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，在直角三角形中， 由勾股定理可得：， 所以，当且仅当时取等，故D正确. 故选：ACD. 12．设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为 . 【答案】 【解析】因为，所以线段的中点， 且， 所以与垂直的直线的斜率为， 所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即. 故答案为：. 13．（2025·高二·湖南·开学考试）已知，设直线，，若，则 ． 【答案】 【解析】因为直线，，， 所以，即， 当时，直线重合，舍去， 当时，符合题意； 故； 故答案为： 14．（2025·高二·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 【答案】 【解析】方程组无解， 等价于直线与直线平行， 可得：， 解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行， 故， 故答案为： 15．已知的三个顶点． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 【解析】（1）由题意得，边的中点， 则中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即． （2）由题意得，，则边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的方程为，即． 16．（2025·高一·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 【解析】（1）由题知直线的斜率存在且， 若，则直线的斜率也存在，由， 得，解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时， 此时，斜率存在，不符合题意； 当时，直线的斜率存在且不为0， 则直线的斜率也存在，且， 即， 解得或， 所以当或时，． 17．已知顶点、、. (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【解析】（1）由、可知中点为，且， 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或. 18．（2025·高二·山东威海·期中）如图，在菱形中，. (1)求所在直线的方程； (2)求所在直线的倾斜角； (3)求所在直线的方程. 【解析】（1）， 所以直线的方程为， 即或）； （2）因为在菱形中，， 所以，由（1）知直线的倾斜角为， 所以直线的倾斜角为， 因为对角线互相垂直，所以直线的倾斜角为； （3）直线的方程为， 即， 直线的方程为， 即， 联立可得的坐标为， 所以直线的方程为， 即（或）. 19．菱形的顶点A，的坐标分别为，，边所在直线过点. (1)求，边所在直线的一般式方程； (2)求对角线所在直线的一般式方程. 【解析】（1）由菱形的性质可知，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. （2）线段的中点为，， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 20．（2025·高二·福建福州·期中）在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)判断的形状. 【解析】（1）设， 因为边的高线所在直线方程是，所以， 又，所以①， 又点在直线上，所以②， 由①②解得，所以点的坐标为； （2）设，因为点在上，所以， 因为边上的中线所在直线方程是， 所以，解得，所以， 所以，， 所以，所以， 又，， 所以是直角三角形. 21．（2025·高二·福建·期中）已知直线过点，且的一个法向量是. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 【解析】（1）因为直线的一个法向量是， 又过点所以可得直线的方程为， 化简得，所以所求直线的方程为. （2）因为直线与轴交于点，由（1）知的方程为，所以， 因为，所以， 将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为， 则，所以. 由点可知直线方程为，即. （3）设直线的倾斜角为，因为， 所以，，则， 所以，的角平分线所在直线的倾斜角为， 则的角平分线所在直线的斜率为 ， 因此，的角平分线所在直线的方程为，即. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$