第02讲 五种直线方程（7个知识点9大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第02讲 五种直线方程 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 知识点六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 直线方程的五种形式的比较如下表： 知识点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 题型一：点斜式直线方程 【例1】过点且倾斜角为的直线方程为 . 【答案】/ 【解析】由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为. 故答案为：. 【变式1-1】一条直线经过点，倾斜角为，则这条直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【解析】因为所求直线得倾斜角为，所以，该直线的斜率为， 又因为该直线过点，所以直线的点斜式方程为． 故答案为：． 【变式1-2】若直线经过点、倾斜角为，则直线的点斜式方程是 . 【答案】 【解析】由直线的倾斜角为，得直线的斜率，又直线过点， 所以直线的点斜式方程是. 故答案为： 【变式1-3】过点且斜率为的直线的点斜式方程为 . 【答案】 【解析】由题意直线过点且斜率为，则其点斜式方程为. 故答案为：. 题型二：斜截式直线方程 【例2】（2025·高二·上海松江·期中）过点斜率为的直线的斜截式方程是 . 【答案】 【解析】由题知，该直线在轴上截距为， 则该直线斜截式方程为. 故答案为： 【变式2-1】（2025·高二·河北石家庄·期末）过点与的直线的斜截式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：直线的斜率为，且纵截距为7， 所以直线的斜截式方程是. 故选：A. 【变式2-2】（2025·高二·天津滨海新·期中）直线的倾斜角30°，过点，则直线的斜截式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵直线的倾斜角30°，∴直线的斜率， ∵直线过点，∴直线的斜截式方程为. 故选：A. 【变式2-3】（2025·高二·重庆南岸·期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】斜率， 点斜式方程为， 斜截式方程为. 故选：A 题型三：两点式直线方程 【例3】过点和点的直线的两点式方程是 ． 【答案】 【解析】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 【变式3-1】已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 【答案】 【解析】原方程即为，此即，所以的斜率为． 故答案为：. 【变式3-2】过点，直线的两点式方程为 ． 【答案】 【解析】过点，直线的两点式方程为 故答案为： 【变式3-3】（2025·高二·广东·期中）写出一个过和的直线的两点式方程 . 【答案】（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 【解析】经过点和点直线两点式方程是：或. 故答案为：（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 题型四：截距式直线方程 【例4】直线的截距式方程为 . 【答案】 【解析】直线的截距式方程为：. 故答案为： 【变式4-1】（1）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为 . （2）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是 . 【答案】 或 或 【解析】（1）设直线方程为，因为直线过点， 所以，整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． （2）由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为－2， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或－5， 则所求直线方程为或 故答案为：（1）或；（2）或. 【变式4-2】（2025·高二·广东广州·期中）直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【解析】当截距均为0时，即过，此时直线l的方程为； 当截距不为0时，设直线l的方程为， 满足，解得，此时直线l的方程为； 综上可得直线l的方程为或. 故答案为：或 【变式4-3】经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的3倍的直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】若直线经过原点，则的方程为， 即． 若直线不经过原点，设的方程为， 把代入方程可解得， 直线的方程为，即． 直线的方程为或． 故答案为：或． 题型五：中点坐标公式 【例5】若点与的中点为，则直线必定经过点 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由中点坐标公式可得，所以直线化为，令，定点 【变式5-1】直线l过点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点（A､B不重合），若点M恰为线段的中点，则直线l的方程为 . 【答案】. 【解析】由题意，设，由中点坐标公式得，则，则直线l的方程为：. 故答案为：. 【变式5-2】（2025·高一·内蒙古包头·期末）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】设直线与和，分别交于点和， 因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得， 所以和，则， 可得直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式5-3】若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，0），直线l的一般式方程是 ． 【答案】 【解析】由题意，设P（x，1），Q（7，y）， ∵线段PQ的中点坐标为（1，0）， ∴，解得x＝﹣5，y＝﹣1，∴P（﹣5，1）， ∴直线l的斜率， 故直线l的方程为y﹣0（x﹣1），即， 故答案为：． 题型六：直线的一般式方程 【例6】根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【解析】（1）因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的斜率为，则直线方程为， 所以直线的一般方程为； （2）因为直线经过点和点， 所以直线斜率为，直线方程为， 所以直线的一般式方程为； （3）当直线在x，y轴上截距都为0时， 设直线方程为，则，得， 设直线方程为，即； 当直线在x，y轴上截距都不为0时， 由题设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为, 综上所述，所求直线为或. 【变式6-1】（2025·高二·云南文山·期末）写出满足下列条件的直线的方程． (1)在y轴上的截距是2，且与x轴平行； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率是，在y轴上的截距是7； 【解析】（1）在y轴上的截距是2，且与轴平行， 则所求直线方程为，即 （2）经过点，且与轴垂直， 则直线方程为，即 （3）斜率是，在轴上的截距是7， 则直线方程为，即 【变式6-2】（2025·高二·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 【解析】（1）由题意可设直线的方程为， 代入有，又由题意得，则， 联立解得或， 则直线的方程为或， 即或. （2）当直线经过原点时，则，则，即； 当直线不经过原点时，设，代入，则有，解得， 即. 综上所述直线的方程为或. 【变式6-3】写出下列直线的方程，并化为一般式方程． (1)经过点，倾斜角是30°； (2)经过两点； 【解析】（1）由已知直线的斜率为， 直线方程为，即； （2）由题意直线的斜率为， 直线方程为，即． 题型七：直线方程的综合应用 【例7】（2025·高二·上海浦东新·期中）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【解析】（1）设交于，则为的中点，设， 因为点是三角形的重心， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以 ， 故，解得. 边所在直线的方程为，即. （2）当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：， 当截距不为0时， 设直线方程为：，因为点在直线上， 所以，可得， 即直线方程为：； 综上所述：直线方程为或. 【变式7-1】已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为． (1)求边所在直线的斜率和倾斜角； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 【解析】（1）设直线的斜率为，倾斜角为， 因为， 所以，倾斜角为. （2）因为， 所以中点为， 所以BC边上的中线所在直线的斜率为， 所以BC边上的中线所在直线方程为，即. 【变式7-2】已知直线过定点，根据下列条件求直线l的方程. (1)若直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16； (2)若直线l被两条直线和所截得的线段的中点恰好为P，求直线l的方程. 【解析】（1）由题意可知直线斜率存在，设直线截距方程为， 则，与联立可得或. 故直线l的方程为或. （2）设直线l与交点为，与交点为， 所以①，② 因为点是线段中点，所以③，④ 将①代入③可得将之代入②，可得， 解之可得，再根据直线两点式可得， 化简可得. 故直线l的方程为. 【变式7-3】  设直线l的方程为，根据下列条件分别求m的值． (1)直线l在x轴上的截距为2； (2)直线l的斜率为1． 【解析】（1）令，， 由题；将代入直线方程满足题意，则； （2） ，令 得或. 当时，直线l的方程为：，不满足题意； 当，直线l的方程为：，满足题意.则. 题型八：判断动直线所过定点 【例8】（2025·高二·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 【答案】 【解析】由直线，化简可得对任意实数都成立， 所以，所以定点为. 故答案为：. 【变式8-1】已知直线（）恒过定点M，则点M的坐标为 . 【答案】 【解析】直线，即， 联立，解得， 即点M的坐标为， 故答案为：. 【变式8-2】无论为何值，直线过定点 . 【答案】 【解析】直线方程可化为， 由得， 所以直线过定点， 故答案为：． 【变式8-3】（2025·高二·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 【例9】（2025·高二·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【解析】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积， 由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 【变式9-1】设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【解析】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线l的方程为:. 综上所述，直线l的方程为或. （2）, ∵l不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. （3）令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 【变式9-2】直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点. (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最小值. 【解析】（1）设直线的方程为，则，， 所以， 由，得，解得， 所以直线的方程为，即. （2）设直线的方程为， 将点代入得，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，. 所以的面积最小值为12. 【变式9-3】过点作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点． (1)求面积的最小值及此时直线l的方程； (2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程； (3)求的最小值及此时直线l的方程． 【解析】（1）方法一：由题意可知：直线l的斜率存在，且为负数， 设直线l的方程为，可得，， 则， 当且仅当，即时，面积有最小值为4， 此时直线l的方程为，即； 方法二：设， 则所求直线l的方程为，可得． 则，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以面积有最小值为4， 此时直线l的方程是，即. （2）方法一：因为，（）， 则截距之和为． 当且仅当，即时，等号成立， 所以截距之和的最小值为， 此时l的方程为，即； 方法二：因为， 则截距之和， 当且仅当，时，等号成立． 此时，直线l的方程为，即． （3）因为，（）， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4，此时，直线l的方程为. 1．（2025·高二·四川内江·开学考试）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于直线方程，得到,斜率. 设直线的倾斜角为，，根据直线倾斜角与斜率的关系， 已知斜率，所以. 在这个范围内，正切值等于的角只有，所以. 故选：B. 2．已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 3．（2025·高二·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解析】由题意直线经过第一、二、四象限， 所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式：， 所以斜率且纵截距， 所以且， 故选：B. 4．若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率， 所以直线方程为，化简可得. 故选：A 5．（2025·高二·湖南·开学考试）直线在轴的截距为（    ） A．-3 B． C． D．3 【答案】C 【解析】令，得，所以直线在轴的截距为． 故选：C． 6．直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】直线， 令，解得，令，解得， 由题意得：，解得． 故选：B 7．若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由题意可知 ，故直线的方程可化为 ， 由 ， 可得 ， 由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限． 故选：C． 8．（2025·高二·河北张家口·开学考试）已知直线l与直线夹角为45°，则l的倾斜角为（    ） A．°或75° B．15°或105° C．75°或165° D．30°或60° 【答案】C 【解析】直线的斜率，则其倾斜角为， 由直线与直线夹角为，得的倾斜角为或. 故选：C 9．（2025·高二·新疆乌鲁木齐·期末）已知直线的方程，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线：的斜率，所以直线l的倾斜角. 故选：D 10．已知直线，则l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，可知直线为，故倾斜角， 当时，由直线方程可知斜率， 所以，即倾斜角， 综上可知：， 故选：C. 11．（多选题）（2025·高二·甘肃金昌·期中）已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 【答案】AC 【解析】对于A，因为，所以不过原点，故A正确； 对于B，令，得，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，把化为，所以的斜率为，故C正确； 对于D，把化为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故D错误. 故选：AC. 12．（多选题）已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】AC 【解析】当时，不满足题设，故， 令，则；令，则， 所以，可得或. 故选：AC 13．（多选题）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】 设直线的斜率为， 如图，过定点的直线经过点时，直线在轴上的截距为3，此时； 过定点的直线经过点时，直线在轴的截距为，此时， 满足条件的直线的斜率范围是． 故选：BD 14．已知直线过定点，若直线在两坐标轴上的截距相等，则的斜率的值为 ；若直线不经过第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 -1或 【解析】因为直线过定点，且直线在两坐标轴上的截距相等，所以， 设直线为：，令，得，令，得， 依题意可得，即，解得或； 由直线可得：， 若不经过第三象限，则． 故答案为：-1或， 15．（2025·高二·上海嘉定·期中）已知点、，则直线的方程是 . 【答案】 【解析】设直线的斜率为，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 16．（2025·高二·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【解析】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为： 17．过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 . 【答案】或 【解析】当直线过原点时，在坐标轴上的截距都为0， 此时直线的斜率为：； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 则，即， 则直线的方程为，斜率为. 故答案为：或. 18．（2025·高二·四川南充·期中）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 【解析】（1）因为直线的方程，即， 令，解得， 所以直线恒过定点； （2）因为直线的方程，依题意，即， 令，得到；令，得到； 令，解得， 可得， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立 此时直线的方程为， 且，，， 所以当的面积最小时，的周长为，直线的方程. 19．直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点，点是坐标原点. （ⅰ）若的面积为16，求的值； （ⅱ）当的面积最小时，求直线的方程. 【解析】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴，轴上的截距分别为，， 所以，解得， 所以的面积， （ⅰ）由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． （ⅱ），令，则，且， 则， 当且仅当，即，时，的面积取最小值， 此时直线的方程为． 20．（2025·高二·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【解析】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 21．已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 【解析】（1）由题意可知直线不经过原点， 又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 故直线的方程为，即. （2）依题意，设直线的方程为， 则，且， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为， 此时直线的方程为，即. 22．分别求满足下列条件的直线的方程： (1)直线过点，且与轴和直线围成的三角形的面积为2，求直线的方程． (2)直线的倾斜角为，另一直线的倾斜角，且过点，求的点斜式方程； (3)直线过点，当原点到直线的距离最大时，求直线的方程． 【解析】（1）当直线的斜率不存在时，的方程为，经检验符合题目的要求． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即． 令得，，由三角形的面积为2，得．解得． 可得直线的方程为， 综上可知，直线的方程为或．即或． （2）由题意得：，又由，所以，故， 所以的斜率为，的点斜式方程为；即． （3）由题意知，，，所以直线的斜率， 所以直线的方程为：，即． 23．已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【解析】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为，即； （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立， 的点斜式方程为， 所以的斜截式方程为. 24．（2025·高二·贵州黔东南·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知三个顶点是. (1)求BC边所在直线的方程； (2)若BC边上中线AD的方程为，求点的坐标. 【解析】（1）， 直线BC的斜率为， 根据点斜式方程得， 边所在直线的一般方程为. （2）由题知，线段BC的中点，                                                                                         代入中线AD方程，得，解得.                                                                                         点在中线AD上， ， 解得，                                                                                                                                             点的坐标是. 25．在平面直角坐标系中，已知直线过点. (1)若直线又过点，求直线的方程； (2)若直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值. 【解析】（1）因为过点，，所以斜率为， 所以：，即； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设：， 代入得，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以面积的最小值是8. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 五种直线方程 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 知识点六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 直线方程的五种形式的比较如下表： 知识点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 题型一：点斜式直线方程 【例1】过点且倾斜角为的直线方程为 . 【变式1-1】一条直线经过点，倾斜角为，则这条直线的点斜式方程为 ． 【变式1-2】若直线经过点、倾斜角为，则直线的点斜式方程是 . 【变式1-3】过点且斜率为的直线的点斜式方程为 . 题型二：斜截式直线方程 【例2】（2025·高二·上海松江·期中）过点斜率为的直线的斜截式方程是 . 【变式2-1】（2025·高二·河北石家庄·期末）过点与的直线的斜截式方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高二·天津滨海新·期中）直线的倾斜角30°，过点，则直线的斜截式方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高二·重庆南岸·期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 题型三：两点式直线方程 【例3】过点和点的直线的两点式方程是 ． 【变式3-1】已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 【变式3-2】过点，直线的两点式方程为 ． 【变式3-3】（2025·高二·广东·期中）写出一个过和的直线的两点式方程 . 题型四：截距式直线方程 【例4】直线的截距式方程为 . 【变式4-1】（1）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为 . （2）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是 . 【变式4-2】（2025·高二·广东广州·期中）直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 【变式4-3】经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的3倍的直线的方程为 ． 题型五：中点坐标公式 【例5】若点与的中点为，则直线必定经过点 A． B． C． D． 【变式5-1】直线l过点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点（A､B不重合），若点M恰为线段的中点，则直线l的方程为 . 【变式5-2】（2025·高一·内蒙古包头·期末）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为 ． 【变式5-3】若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，0），直线l的一般式方程是 ． 题型六：直线的一般式方程 【例6】根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【变式6-1】（2025·高二·云南文山·期末）写出满足下列条件的直线的方程． (1)在y轴上的截距是2，且与x轴平行； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率是，在y轴上的截距是7； 【变式6-2】（2025·高二·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 【变式6-3】写出下列直线的方程，并化为一般式方程． (1)经过点，倾斜角是30°； (2)经过两点； 题型七：直线方程的综合应用 【例7】（2025·高二·上海浦东新·期中）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【变式7-1】已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为． (1)求边所在直线的斜率和倾斜角； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 【变式7-2】已知直线过定点，根据下列条件求直线l的方程. (1)若直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16； (2)若直线l被两条直线和所截得的线段的中点恰好为P，求直线l的方程. 【变式7-3】  设直线l的方程为，根据下列条件分别求m的值． (1)直线l在x轴上的截距为2； (2)直线l的斜率为1． 题型八：判断动直线所过定点 【例8】（2025·高二·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 【变式8-1】已知直线（）恒过定点M，则点M的坐标为 . 【变式8-2】无论为何值，直线过定点 . 【变式8-3】（2025·高二·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 【例9】（2025·高二·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【变式9-1】设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【变式9-2】直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点. (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最小值. 【变式9-3】过点作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点． (1)求面积的最小值及此时直线l的方程； (2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程； (3)求的最小值及此时直线l的方程． 1．（2025·高二·四川内江·开学考试）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·湖南·开学考试）直线在轴的截距为（    ） A．-3 B． C． D．3 6．直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数（   ） A． B． C． D．2 7．若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2025·高二·河北张家口·开学考试）已知直线l与直线夹角为45°，则l的倾斜角为（    ） A．°或75° B．15°或105° C．75°或165° D．30°或60° 9．（2025·高二·新疆乌鲁木齐·期末）已知直线的方程，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 10．已知直线，则l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2025·高二·甘肃金昌·期中）已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 12．（多选题）已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（    ） A．1 B． C．2 D． 13．（多选题）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 14．已知直线过定点，若直线在两坐标轴上的截距相等，则的斜率的值为 ；若直线不经过第三象限，则的取值范围是 ． 15．（2025·高二·上海嘉定·期中）已知点、，则直线的方程是 . 16．（2025·高二·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 17．过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 . 18．（2025·高二·四川南充·期中）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 19．直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点，点是坐标原点. （ⅰ）若的面积为16，求的值； （ⅱ）当的面积最小时，求直线的方程. 20．（2025·高二·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 21．已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 22．分别求满足下列条件的直线的方程： (1)直线过点，且与轴和直线围成的三角形的面积为2，求直线的方程． (2)直线的倾斜角为，另一直线的倾斜角，且过点，求的点斜式方程； (3)直线过点，当原点到直线的距离最大时，求直线的方程． 23．已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 24．（2025·高二·贵州黔东南·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知三个顶点是. (1)求BC边所在直线的方程； (2)若BC边上中线AD的方程为，求点的坐标. 25．在平面直角坐标系中，已知直线过点. (1)若直线又过点，求直线的方程； (2)若直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$