第10讲 双曲线（6个知识点8大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第10讲 双曲线 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二：双曲线的标准方程 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当时，双曲线的焦点在x轴上； 当时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 3、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 4、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2． 5、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 6、对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三：求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点四：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 范围 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a． 对称性 对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率． 由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点五：双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 知识点六：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； 题型一：双曲线的定义及标准方程 【典例1-1】（2025·高二·内蒙古赤峰·期中）设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若， 则等于（    ） A． B．11 C．15 D．5 【典例1-2】已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高二·天津·期中）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·新疆克孜勒苏·期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2025·高二·天津河北·期末）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 题型二：焦点三角形周长问题 【典例2-1】（2025·高二·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【典例2-2】（2025·全国·模拟预测）已知点，，动点P满足，圆E：与点P的轨迹的一个交点为M，圆E与x轴的交点为B，C，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高二·四川绵阳·期中）已知双曲线 的左焦点为为坐标原点，右焦点为，点为双曲线右支上的一点，且的周长为为线段的 中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（2025·高二·浙江绍兴·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，若左支上的两点与左焦点三点共线，且的周长为8，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2-3】（2025·高二·辽宁锦州·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，若的周长为72，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（　　） A．16 B．18 C．21 D．26 题型三：双曲线上点到焦点和定点距离的和差最值 【典例3-1】已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【变式3-1】（2025·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【变式3-2】已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【变式3-4】（2025·高二·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 题型四：轨迹问题—双曲线 【典例4-1】M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为 . 【典例4-2】已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ． 【变式4-1】如图，已知点，，从点同时出发的两个质点，均以每秒2个单位长度的速度做匀速直线运动，从运动到A，从运动到B，且到达A的时间比到达B的时间晚3秒，则的轨迹方程为 . 【变式4-2】过点，且与圆外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ． 【变式4-3】（2025·高二·湖南益阳·期末）的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为 . 【变式4-4】（2025·高二·江苏南京·期中）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的左焦点为，过双曲线右支上任意一点作其切线，过点作直线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为 . 题型五：双曲线的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则（   ） A． B．的渐近线方程是 C．的焦距为 D．的离心率为 【典例5-2】（多选题）已知曲线，则下列选项正确的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则 C．若，则的离心率为 D．若，则的一个顶点为 【变式5-1】（多选题）（2025·高二·广西南宁·开学考试）已知，且，双曲线与，则下列结论错误的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 【变式5-2】（多选题）（2025·高二·吉林四平·期末）已知双曲线：，则（   ） A．点在上 B．的焦点只能在轴上 C．直线与有2个交点 D．的离心率的取值范围为 【变式5-3】（多选题）（2025·高二·贵州黔东南·期末）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2.若是面积为8的直角三角形，则（    ） A．点必落在第四象限 B． C． D．是双曲线的一条渐近线 【变式5-4】（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知曲线C由双曲线和椭圆组合而成，P是曲线C上任意一点，，则（   ） A．曲线C是中心对称图形 B． C．满足的点P有2个 D．满足的点P有8个 题型六：双曲线的离心率取值及范围问题 【典例6-1】（2025·高二·广西·期中）已知，是双曲线E：（，）的左，右焦点，点M在E上，且垂直x轴，若，则E的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【典例6-2】（2025·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线与直线交于点，若的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C．4 D．2 【变式6-1】已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知双曲线的离心率，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·高二·江西·开学考试）双曲线的左焦点为，，为双曲线右支上一点，若存在，使得，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2025·高二·四川成都·期中）已知双曲线（a＞0，b＞0）与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A．（1，） B．（1，] C．（，＋∞） D．[ ，＋∞） 【变式6-5】（2025·高二·湖北咸宁·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且 .若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七：焦点三角形面积及其它问题 【典例7-1】设，分别是双曲线的下、上焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．12 B．24 C． D． 【典例7-2】（2025·高二·浙江嘉兴·期中）若椭圆和双曲线的共同焦点为是两曲线的一个交点，则的面积值为 （    ） A． B． C． D．8 【变式7-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·高二·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（   ） A． B．2 C． D．4 【变式7-3】（2025·高二·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在C上，的内心为I.若，，的面积满足，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7-4】（2025·高二·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 题型八：双曲线的综合问题 【典例8-1】（多选题）（2025·高二·贵州黔南·期中）已知椭圆，双曲线，双曲线，若三条曲线有相同的焦点，，且，设三条曲线的离心率分别为，，，则下列选项中正确的是（    ） A． B．曲线图象和上述三条曲线的图象都是轴对称图形 C．若双曲线N的两条渐近线与椭圆E的四个交点及椭圆E的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则 D．若点P是椭圆E与双曲线M的一个交点，且，则 【典例8-2】（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D．存在直线与交于，两点，且为的中点 【变式8-1】（多选题）已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上的动点，的内切圆的圆心为，到渐近线的距离为1，则（   ） A． B．当点P异于顶点时，的内切圆的圆心为M总在定直线上 C．过作直线PM的垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程为 D．为定值，定值是 【变式8-2】（多选题）（2025·高二·湖北·期中）设双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且不与双曲线的顶点重合，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则双曲线的两条渐近线的方程是 B．若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 C．若，则的面积等于 D．若双曲线为等轴双曲线，且，则 【变式8-3】（多选题）（2025·高二·江西赣州·期中）已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上的点到轴的距离的最大值为1 C．若，且点在上，则 D．若曲线与圆只有2个公共点，则的取值范围为 1．（2025·高二·河南濮阳·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为k的直线l交E的两条渐近线于A，B两点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足，，的重心分别为，的外心为．记直线的斜率为．若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C．3 D． 3．已知是双曲线的左、右焦点，是的渐近线上位于第一象限内的一点，且，则的离心率为（    ） A． B． C．3 D． 4．（2025·高二·广西南宁·期中）费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出双曲线的一些性质，例如，若点是双曲线（、为的两个焦点）上的一点，则在点处的切线平分.双曲线的左、右焦点分别为、，右顶点到一条渐近线的距离为，右支上一动点处的切线记为，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．当轴时，则内切圆圆心横坐标为 C．当轴时，则与轴交点横坐标为 D．过点作，垂足为， 5．（2025·高二·海南海口·期中）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 6．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 7．双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（    ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 8．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）在平面直角坐标系中，已知曲线，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是椭圆 B．若，则是焦点在轴的椭圆 C．若，则是焦点在轴的双曲线 D．若，则是直线 10．（多选题）（2025·高二·广西来宾·开学考试）已知方程表示的曲线为.给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．当时，曲线表示椭圆 B．当或时，曲线表示双曲线 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 11．（多选题）（2025·高二·陕西西安·期末）设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，且不与双曲线C的顶点重合，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则双曲线C的两条渐近线的方程是 B．若点P的坐标为，则双曲线C的离心率大于3 C．若，则的面积等于 D．若双曲线C为等轴双曲线，且，则 12．（2025·北京西城·模拟预测）若双曲线的一条渐近线方程为，则 ；离心率 ． 13．（2025·高二·河南洛阳·期末）与椭圆有公共焦点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程为 . 14．（2025·湖南长沙·二模）已知双曲线的右焦点为，以（为坐标原点）为直径的圆与的渐近线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为 ． 15．（2025·高二·广东深圳·期中）（1）已知和为椭圆上两点．求C的离心率； （2）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，求双曲线C的方程． 16．（2025·高二·湖南株洲·开学考试）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点 (1)求； (2)求的面积 (3)求证： 17．（2025·高二·广东肇庆·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．点为双曲线右支上的一点， (1)若点到轴的距离为2，的面积为，求双曲线的标准方程； (2)若，求的值． 18．（2025·高二·四川乐山·期末）已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. (1)求双曲线C的离心率； (2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 双曲线 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二：双曲线的标准方程 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当时，双曲线的焦点在x轴上； 当时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 3、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 4、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2． 5、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 6、对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三：求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点四：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 范围 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a． 对称性 对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率． 由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点五：双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 知识点六：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； 题型一：双曲线的定义及标准方程 【典例1-1】（2025·高二·内蒙古赤峰·期中）设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若， 则等于（    ） A． B．11 C．15 D．5 【答案】B 【解析】由知，， 由双曲线定义知：， 故或，，故舍去. 故选：B. 【典例1-2】已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得, 由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即， 所以. 又因为焦点在轴上，所以曲线方程为. 故选:A. 【变式1-1】（2025·高二·天津·期中）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为椭圆的焦点坐标为，即，所以， 记，所以， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为， 故选：C. 【变式1-2】（2025·高二·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为. 设双曲线的方程为， 故，解得， 故双曲线的标准方程为. 故选:A. 【变式1-3】（2025·高二·新疆克孜勒苏·期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设点在第一象限. 设，， 根据题意：， 所以，即，所以，， 所以双曲线的方程为：. 故选：D 【变式1-4】（2025·高二·天津河北·期末）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 题型二：焦点三角形周长问题 【典例2-1】（2025·高二·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【解析】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A 【典例2-2】（2025·全国·模拟预测）已知点，，动点P满足，圆E：与点P的轨迹的一个交点为M，圆E与x轴的交点为B，C，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，根据可知直线的斜率存在且不为0，故P不与A，重合. 所以由得，得，故点P的轨迹方程为． 第二步：设，由题意不妨令，，则B，C分别为双曲线的左、右焦点． 不妨设M在第一象限，，则，根据圆的性质可知， 所以，得. 故，所以的周长为． 故选：D. 【变式2-1】（2025·高二·四川绵阳·期中）已知双曲线 的左焦点为为坐标原点，右焦点为，点为双曲线右支上的一点，且的周长为为线段的 中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为右焦点为， 所以， 又因为 ， 则 ， 又因为 ， 则 ， 所以为坐标原点，且为线段的中点， 所以， 故选：B 【变式2-2】（2025·高二·浙江绍兴·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，若左支上的两点与左焦点三点共线，且的周长为8，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解析】因为双曲线， 所以a=1， 由双曲线的定义得：， 两式相加得 ， 又因为的周长为8，即 ， 两式相减得 ， 故选：A 【变式2-3】（2025·高二·辽宁锦州·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，若的周长为72，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，， 所以直线为，设，， 由，得，则，， 所以，因为，， 所以， 因为的周长为72，所以， 所以，得，所以双曲线方程为. 故选：C. 【变式2-4】已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（　　） A．16 B．18 C．21 D．26 【答案】D 【解析】如图所示，由双曲线的定义知， ，(1)，(2)又，(3)所以由(1)，(2)，(3)得， 故的周长为. 故选：D. 题型三：双曲线上点到焦点和定点距离的和差最值 【典例3-1】已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 【典例3-2】已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】B 【解析】 由，得，，则， 则双曲线的两个焦点，， 又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径， 所以，， 则 ， 即的最大值为． 故选：B. 【变式3-1】（2025·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【解析】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径， 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接， 所以， 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：C. 【变式3-2】已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设C为双曲线右焦点，则，， 而，故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 故选：D． 【变式3-3】已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线的右焦点为， 由可知，，则， 因为P是双曲线右支上的一动点，根据双曲线的定义可知： ， 所以， 因为， 当且仅当，，三点共线时，达到最小值， 因为，，所以， 即的最小值为． 故选：C． 【变式3-4】（2025·高二·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可设双曲线的方程为， 则，即，得到，所以， 由双曲线的定义可得， 则， 当三点共线时，取得等号，则的最大值为， 故选：C． 题型四：轨迹问题—双曲线 【典例4-1】M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，由题意在、相交的右侧部分，如下图， 则有，，， 所以到直线、的距离分别为、， 由题设，整理得，即为动点M的轨迹方程. 故答案为： 【典例4-2】已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由椭圆的定义可知， 所以， 因此点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， 故它的轨迹方程为． 故答案为：. 【变式4-1】如图，已知点，，从点同时出发的两个质点，均以每秒2个单位长度的速度做匀速直线运动，从运动到A，从运动到B，且到达A的时间比到达B的时间晚3秒，则的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】由题意得， 所以的轨迹是以A，B为焦点，且实轴长为6的双曲线的下支. 由，，得， 所以的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式4-2】过点，且与圆外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】点，且圆的圆心，半径为2， 由题意，即， 所以点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，且，， 得，故圆心P的轨迹方程为． 故答案为：. 【变式4-3】（2025·高二·湖南益阳·期末）的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，， 由于动点的轨迹方程为 则， 故点M到定点与到定点的距离差的绝对值为8， 则动点的轨迹是以为焦点的双曲线， 由于，，则， 故M的轨迹方程为：， 故答案为：. 【变式4-4】（2025·高二·江苏南京·期中）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的左焦点为，过双曲线右支上任意一点作其切线，过点作直线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为 . 【答案】其中 【解析】由双曲线，可得，其右焦点为，且渐近线方程为， 设双曲线右支上任意一点，过点作直线的垂线，垂足为， 则过点的切线为， 根据双曲线的光学性质，可得为的平分线， 延长，设的延长线与的延长线交于点，如图所示， 则垂直平分，即点为的中点， 又因为的中点，所以， 可得点的轨迹表示以原点为圆心，以为半径的圆， 可得点的轨迹方程为， 联立方程组，可得， 因为在双曲线的右支上，且为双曲线的切线，则， 所以点的轨迹方程为其中. 故答案为：其中. 题型五：双曲线的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则（   ） A． B．的渐近线方程是 C．的焦距为 D．的离心率为 【答案】ABD 【解析】对于A，由双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，得，解得，A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程是，B正确； 对于C，的焦距为，C错误； 对于D，的离心率为，D正确. 故选：ABD 【典例5-2】（多选题）已知曲线，则下列选项正确的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则 C．若，则的离心率为 D．若，则的一个顶点为 【答案】BD 【解析】对于A：若曲线表示椭圆，则， 解得，故A错误； 对于B：若曲线表示双曲线，则，解得或，即，故B正确； 对于C：若，则，，离心率，故C错误； 对于D：若，则，焦点在轴上，令得，，顶点为，故D正确. 故选：BD. 【变式5-1】（多选题）（2025·高二·广西南宁·开学考试）已知，且，双曲线与，则下列结论错误的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 【答案】BD 【解析】对于A，由题意可知双曲线的长轴长均为，所以它们的实轴长相等，故A正确； 对于B，双曲线的焦点分别在轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误； 对于C，双曲线的焦距均为，所以它们的离心率均为，即它们的离心率相等，故C正确； 对于D，双曲线的渐近线分别为和， 因为，所以它们的渐近线不相同，故D错误. 故选：BD 【变式5-2】（多选题）（2025·高二·吉林四平·期末）已知双曲线：，则（   ） A．点在上 B．的焦点只能在轴上 C．直线与有2个交点 D．的离心率的取值范围为 【答案】BC 【解析】对于A，，故不在双曲线上，A错误， 对于B，双曲线的焦点位于轴上，B正确， 对于C，由于的一条渐近线方程为，由于，故直线与有2个交点，C正确， 对于D，，故D错误， 故选：BC 【变式5-3】（多选题）（2025·高二·贵州黔东南·期末）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2.若是面积为8的直角三角形，则（    ） A．点必落在第四象限 B． C． D．是双曲线的一条渐近线 【答案】AC 【解析】 对于A，如图，直线的斜率为2，且是直角三角形，故点必落在第四象限，故A正确； 对于B，由题可知设， 则则故，故В错误； 对于C，如B项所设，得， 则即， 由双曲线的定义可得：则 故，即C正确； 对于D，由上分析，双曲线的方程为， 所以双曲线的渐近线方程为故D错误. 故选：AC. 【变式5-4】（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知曲线C由双曲线和椭圆组合而成，P是曲线C上任意一点，，则（   ） A．曲线C是中心对称图形 B． C．满足的点P有2个 D．满足的点P有8个 【答案】ABC 【解析】曲线C是由以，为焦点的等轴双曲线和长轴长为4，，为焦点的椭圆组合而成， 所以曲线C是关于原点O的中心对称图形，故A正确； 若P是曲线C上任意一点，必然，故B正确； ，为双曲线和椭圆的公共焦点， 若，则，， 由双曲线和椭圆的定义可知，点P为右支和的交点，有两个，故C正确； 若，则点P在以为直径的圆上，此时点P为圆与曲线C的交点， 因为圆与有4个公共点，与有2个公共点，且易知曲线和的交点不在圆上， 所以满足的点P有6个，故D错误． 故选：ABC． 题型六：双曲线的离心率取值及范围问题 【典例6-1】（2025·高二·广西·期中）已知，是双曲线E：（，）的左，右焦点，点M在E上，且垂直x轴，若，则E的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】因为垂直轴，则M点横坐标为， 所以，解得，即，即， 所以，得， 所以，解得（负根舍去）. 故选：A. 【典例6-2】（2025·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线与直线交于点，若的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】不妨取的渐近线，与联立，得点的坐标为， 由，所以，故离心率为. 故选：D 【变式6-1】已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的方程为， ，，，其中为半焦距， 由余弦定理得， 故即，故离心率， 故选：D. 【变式6-2】已知双曲线的离心率，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，，， 所以，所以，且， 所以. 故选：D 【变式6-3】（2025·高二·江西·开学考试）双曲线的左焦点为，，为双曲线右支上一点，若存在，使得，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取双曲线的右焦点，由双曲线定义，如图所示， 故存在点使得等价为存在点使得，所以，当且仅当三点共线时等号成立， 则，由，解得，而，故离心率. 故选：B 【变式6-4】（2025·高二·四川成都·期中）已知双曲线（a＞0，b＞0）与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A．（1，） B．（1，] C．（，＋∞） D．[ ，＋∞） 【答案】C 【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得， 所以双曲线的离心率． 故选：C. 【变式6-5】（2025·高二·湖北咸宁·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且 .若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为， 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义， 可得，， 又，由余弦定理得， 可得， 得，即， 可得，即， 又时，可得， 即，亦即， 得. 故选：B 题型七：焦点三角形面积及其它问题 【典例7-1】设，分别是双曲线的下、上焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线得， 又，且， 得到， 所以， 即为直角三角形， 所以. 故选：B. 【典例7-2】（2025·高二·浙江嘉兴·期中）若椭圆和双曲线的共同焦点为是两曲线的一个交点，则的面积值为 （    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【解析】对于椭圆可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则， 设点，则，解得， 所以的面积值为. 故选：A. 【变式7-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为. 故选：C. 【变式7-2】（2025·高二·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】由题得，所以， 因为，所以， 则，所以即， 又，所以即. 故选：B. 【变式7-3】（2025·高二·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在C上，的内心为I.若，，的面积满足，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，设圆I的半径为r，由，得， 化简可得，即，得，即C的渐近线方程为. 故选：C. 【变式7-4】（2025·高二·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 题型八：双曲线的综合问题 【典例8-1】（多选题）（2025·高二·贵州黔南·期中）已知椭圆，双曲线，双曲线，若三条曲线有相同的焦点，，且，设三条曲线的离心率分别为，，，则下列选项中正确的是（    ） A． B．曲线图象和上述三条曲线的图象都是轴对称图形 C．若双曲线N的两条渐近线与椭圆E的四个交点及椭圆E的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则 D．若点P是椭圆E与双曲线M的一个交点，且，则 【答案】BCD 【解析】因为三条曲线有相同的焦点，，且，所以，故A错误； 将曲线方程中的x换为，方程不变，所以该图象关于y轴对称，故B正确； 由正六边形性质知，双曲线N中一条渐近线的倾斜角为，所以其斜率为，即， 可得双曲线的离心率为，故C正确； 不妨设在右支上，，， 由椭圆和双曲线定义可得，又， 所以，故D正确. 故选：BCD． 【典例8-2】（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D．存在直线与交于，两点，且为的中点 【答案】ABD 【解析】由双曲线的方程可知：，，，且焦点在x轴上， 则，，双曲线的渐近线方程为， 对于选项A：由双曲线的定义可得，故A正确； 对于选项B：由选项A可得：， 因为在双曲线的渐近线上方， 则， 当且仅当，，三点共线时，取得等号，故B正确； 对于选项C：当过的直线与双曲线相切时，有两条与双曲线只有一个公共点； 当过的直线与渐近线平行时，也有两条与双曲线只有一个公共点， 所以过点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； 对于选项D：设，， 若为的中点，可得，， 因为，两式相减可得， 即为，可得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立方程，消去y可得， 则， 即直线与双曲线相交，可得直线存在，故D正确； 故选：ABD. 【变式8-1】（多选题）已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上的动点，的内切圆的圆心为，到渐近线的距离为1，则（   ） A． B．当点P异于顶点时，的内切圆的圆心为M总在定直线上 C．过作直线PM的垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程为 D．为定值，定值是 【答案】ACD 【解析】由题意， A项，在双曲线中，渐近线：，即， 到渐近线的距离为1， ∴，解得：，故A正确； B项，如图，的内切圆的圆心为M，分别与，，切于点，，， 则，，， 由双曲线的定义可得，故， 故，即， 又，故，故 ∴的内切圆的圆心为M总在定直线上，故B错误； C项，过作直线PM的垂线，垂足为D，延长交于点E， 由内切圆及垂线性质可知，， 则D为中点且， 连接OD， 由中位线定理可知，， 故点D的轨迹在以O为圆心，半径a为的圆上， 则点D的轨迹方程为，故C正确； D项，∵， 又∵，，， ∵，， ∴，故D正确； 故选：ACD. 【变式8-2】（多选题）（2025·高二·湖北·期中）设双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且不与双曲线的顶点重合，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则双曲线的两条渐近线的方程是 B．若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 C．若，则的面积等于 D．若双曲线为等轴双曲线，且，则 【答案】BCD 【解析】对于A：双曲线的渐近线方程为， 当，时，双曲线的渐近线方程是，故A错误； 对于B：因为点在上，则，得， 所以双曲线的离心率，故B正确； 对于C：因为，若，则， 即，即， 得，所以，故C正确； 对于D：若为等轴双曲线，则，从而， 若，结合，则，， 在中，由余弦定理，得，故D正确， 故选：BCD. 【变式8-3】（多选题）（2025·高二·江西赣州·期中）已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上的点到轴的距离的最大值为1 C．若，且点在上，则 D．若曲线与圆只有2个公共点，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】把点关于轴对称的点代入轨迹方程成立，A正确． 因为，所以，所以曲线上的点到轴的距离的最大值为1，正确． 因为，所以． 当时，因为点在上， 所以． 因为，所以，即． 当时，因为点在上，所以． 因为，所以．故1，C正确． 联立得． 当时，，当时，，即是曲线与圆的2个公共点． 因为曲线与圆只有2个公共点，所以方程除外没有其他解． 因为，所以4，所以，D错误． 故选：ABC. 1．（2025·高二·河南濮阳·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为k的直线l交E的两条渐近线于A，B两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，由可得双曲线的渐近线方程为， 不妨设，的中点为，则， 两式相减，得：，即， 即（*），因，则，在中，， 设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 则由（*）可得，即，解得， 即，也即. 故选：B. 2．斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足，，的重心分别为，的外心为．记直线的斜率为．若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】取的中点为，因为的重心为，且在中线上， 所以，由中点弦有， 所以，所以，又因为， 所以，所以， 又由，得的外心为为的中点， 所以由中点弦有,所以，即， 由有，所以， 所以， 故选：A. 3．已知是双曲线的左、右焦点，是的渐近线上位于第一象限内的一点，且，则的离心率为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】如图， 记到渐近线的距离， 又，所以，所以， 延长至，使得， 连接，则，所以， 因为，所以， 则， 所以，则， 所以. 故选：A. 4．（2025·高二·广西南宁·期中）费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出双曲线的一些性质，例如，若点是双曲线（、为的两个焦点）上的一点，则在点处的切线平分.双曲线的左、右焦点分别为、，右顶点到一条渐近线的距离为，右支上一动点处的切线记为，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．当轴时，则内切圆圆心横坐标为 C．当轴时，则与轴交点横坐标为 D．过点作，垂足为， 【答案】ACD 【解析】对于A选项，双曲线的渐近线方程为，即， 则点到渐近线的距离为，解得， 所以，双曲线的离心率为，A对； 对于B选项，如下图所示： 设的内切圆圆分别切三边于点、、， 由切线长定理可得，，， 所以， 所以，解得，即内切圆圆心横坐标为，B错； 对于C选项，设直线交轴于点，由题意，，则， 易知点，将代入双曲线的方程得，解得，即， 由双曲线的定义可得，故， 由角平分线定理得，故， 即，故，C对； 对于D选项，延长、交于点， 因为，且，故，即为的中点，， 又因为为的中点，所以，D对. 故选：ACD. 5．（2025·高二·海南海口·期中）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【解析】椭圆；双曲线则双曲线和椭圆的焦点重合. 根据双曲线的定义有 所以 根据椭圆的定义由 所以路程 故选：B. 6．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】根据椭圆、双曲线的对称性，不妨设焦点分别为左、右焦点，点在第一象限， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 根据椭圆及双曲线的定义，得，， ∴，， 设，在中，∵， 由余弦定理，得， 化简得，两边同除以，得. 又∵，∴，解得，当且仅当， 即时等号成立， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为， 故选：B. 7．双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（    ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 【答案】C 【解析】对于双曲线，可得，则. 设双曲线的左右焦点分别为，已知点到右焦点的距离为19，即. 根据双曲线的定义，则有. 可得或. 当时，； 当时，. 所以点到左焦点的距离为或. 故选：C. 8．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以以、为邻边的平行四边形的以点为起点的对角线对应的向量与共线， 又，为的角平分线， 以、为邻边的平行四边形为菱形，， 由双曲线定义知：，，， 在中， 由余弦定理， 即，即， 双曲线的离心率. 故选：C. 9．（多选题）在平面直角坐标系中，已知曲线，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是椭圆 B．若，则是焦点在轴的椭圆 C．若，则是焦点在轴的双曲线 D．若，则是直线 【答案】BC 【解析】由题意曲线， 若,则,为两条平行直线,若，则曲线为，是直线，D错误. 当且时，曲线，即， 当时，即且时，曲线为椭圆，所以A错误； 若，，是焦点在轴的椭圆，B正确； 若，则，是焦点在轴的双曲线，C正确； 故选：BC 10．（多选题）（2025·高二·广西来宾·开学考试）已知方程表示的曲线为.给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．当时，曲线表示椭圆 B．当或时，曲线表示双曲线 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【答案】BD 【解析】A选项，方程表示的曲线为. 当即或时，曲线表示椭圆， 当时，曲线表示圆，所以A不正确； B选项，若曲线表示双曲线，令，解得或， 故当或时，曲线是双曲线，所以B正确； C选项，曲线表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，C错误； D选项，曲线表示焦点在轴上的双曲线，可得，，解得，所以D正确 故选：BD. 11．（多选题）（2025·高二·陕西西安·期末）设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，且不与双曲线C的顶点重合，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则双曲线C的两条渐近线的方程是 B．若点P的坐标为，则双曲线C的离心率大于3 C．若，则的面积等于 D．若双曲线C为等轴双曲线，且，则 【答案】BCD 【解析】对于A：当，时，双曲线的两条渐近线的方程是，故A错误； 对于B：若点，则，故B正确； 对于C：若，则有，根据双曲线的定义有， 所以有 ， 所以的面积为，故C正确； 对于D：若双曲线C为等轴双曲线，则，所以，因为，，， 在中，由余弦定理有，故D正确. 故选：BCD. 12．（2025·北京西城·模拟预测）若双曲线的一条渐近线方程为，则 ；离心率 ． 【答案】 【解析】标准方程的一条渐近线方程为, 则,, 故. 故答案为：，. 13．（2025·高二·河南洛阳·期末）与椭圆有公共焦点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【解析】由题知，焦点落在轴， 又渐近线方程为，则，所以， 又，解得，故双曲线的方程为. 故答案为：. 14．（2025·湖南长沙·二模）已知双曲线的右焦点为，以（为坐标原点）为直径的圆与的渐近线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】连接，因为双曲线的一条渐近线的方程为，即. 因为，所以. 由已知，. 根据勾股定理得，即， 所以，所以. 所以双曲线的离心率． 故答案为：. 15．（2025·高二·广东深圳·期中）（1）已知和为椭圆上两点．求C的离心率； （2）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，求双曲线C的方程． 【解析】（1）由题意得，解得， 所以． （2）由一条渐近线的斜率为，可得， 可得：，又在双曲线上， 所以， 解得， 所以双曲线方程为：． 16．（2025·高二·湖南株洲·开学考试）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点 (1)求； (2)求的面积 (3)求证： 【解析】（1）易知右焦点为，直线l的方程为．如图所示： 设，， 由得， 所以，， 可得. （2）原点到直线l：的距离, 所以． （3）证明：由（2）知直线l双曲线的右支相交于A，B两点， 由双曲线的定义得，． 所以， 整理得． 17．（2025·高二·广东肇庆·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．点为双曲线右支上的一点， (1)若点到轴的距离为2，的面积为，求双曲线的标准方程； (2)若，求的值． 【解析】（1）设点，由题意知． 则，解得． 由题意知，所以， 所． 所以双曲线的方程为． （2）设，则由双曲线定义得，则． 由勾股定理得，则． 由题意知，代入上式得， 解得或（舍去）， 所以． 18．（2025·高二·四川乐山·期末）已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. (1)求双曲线C的离心率； (2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 【解析】（1），，，. ，. 双曲线的离心率. （2）直线与双曲线交于A，B两点， 如图： 两点关于原点为O对称，设，. 又，三角形的面积为. ，. 又点在双曲线上，则. 所以， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$