第14讲 抛物线（七大考点）-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第14讲 抛物线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程． 2、掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）． 3、了解抛物线的简单应用．． 知识点一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释: （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线. （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化. 知识点二：抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。 知识点三：抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 考点一：抛物线的定义 【典例1-1】（2024·高二·吉林长春·阶段练习）已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【典例1-2】（2024·高二·江西景德镇·期末）动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式1-1】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ） A．4 B． C．2 D．3 【变式1-2】（2024·高二·广东·期末）已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 考点二：求抛物线的标准方程 【典例2-1】（2024·高二·全国·专题练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点； (2)关于y轴对称，且过点； (3)焦点在直线上. 【典例2-2】（2024·高二·江苏·专题练习）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为； (2)过点； (3)焦点在直线上． 【变式2-1】（2024·高二·全国·课堂例题）已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点，求这个抛物线的标准方程． 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为； (2)准线方程为：； (3)焦点到准线的距离为6. 【变式2-3】（2024·高二·全国·课堂例题）分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程： (1)抛物线的焦点到x轴的距离是2，而且焦点在y轴的正半轴上． (2)抛物线的焦点是双曲线的焦点之一． 考点三：抛物线的综合问题 【典例3-1】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点（点A在第一象限）． (1)若，求直线l的方程； (2)求面积的最小值． 【典例3-2】（2024·高二·四川成都·开学考试）已知动点到定点的距离与动点P到定直线的距离之比为1，若动点P的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)不过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，且，若AB的垂直平分线交x轴于点N，求点N的坐标. 【变式3-1】（2024·高二·四川广元·阶段练习）已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 【变式3-2】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点． (1)求的值； (2)若上存在点，使的重心恰为，求的值及点的坐标． 考点四：轨迹方程 【典例4-1】（2024·高二·全国·课堂例题）已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状． 【典例4-2】（2024·高二·全国·课后作业）一圆经过点，且和直线相切，求圆心的轨迹方程，并画出图形. 【变式4-1】（2024·高二·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）动点P（x，y）到y轴的距离比到点（2，0）的距离小2，求点P的轨迹方程． 【变式4-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程； 【变式4-4】（2024·高二·上海·课后作业）已知曲线和定点，点为曲线上任意一点，若，当点在曲线上运动时，求点的轨迹方程． 【变式4-5】（2024·高二·全国·课后作业）若动圆与圆外切，又与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程. 考点五：抛物线的几何性质 【典例5-1】（多选题）（2024·高二·浙江嘉兴·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【典例5-2】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【变式5-1】（多选题）（2024·高三·辽宁抚顺·期末）直线过抛物线的焦点，且与交于M，N两点，则（    ） A． B． C．的最小值为6 D．的最小值为12 【变式5-2】（多选题）（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是（  ） A． B． C． D． 【变式5-3】（多选题）（2024·高二·湖北襄阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 考点六：抛物线中的范围与最值问题 【典例6-1】（2024·高二·上海宝山·期末）抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 . 【典例6-2】（2024·高二·山西·期末）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为 . 【变式6-1】（2024·高二·广东潮州·期末）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为 ． 【变式6-2】（2024·高三·全国·阶段练习）抛物线上任意一点P到点的距离的最小值为 . 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为 . 【变式6-4】（2024·高二·河南周口·阶段练习）已知抛物线上有一动点，则与点距离的最小值为 ． 【变式6-5】（2024·高二·江苏·假期作业）抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，且（ 为坐标原点），，垂足为，则的面积是 . 考点七：焦半径问题 【典例7-1】（2024·云南昆明·模拟预测）设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为的重心，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【典例7-2】（2024·高二·安徽淮北·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 【变式7-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·高二·山东临沂·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，点为抛物线的焦点，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式7-4】（2024·高二·广东深圳·期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，若直线的斜率为，则（    ） A．4 B．或4 C．4或 D． 1．（2024·高二·安徽合肥·期末）已知抛物线上有两个点A，B，焦点为F，若，则线段AB的中点到x轴的距离是（    ） A． B．2 C． D．3 2．（2024·高二·天津宁河·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·吉林四平·期末）已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（    ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 4．（2024·高二·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 5．（2024·高二·浙江绍兴·期末）下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 6．（2024·高二·湖南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限交于点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·上海·期中）抛物线的方程为，焦点为，点为上一点，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 8．（2024·高二·全国·专题练习）已知点P是抛物线上的动点，，则的最小值是 . 9．（2024·高二·上海松江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 . 10．（2024·高二·河南信阳·期末）已知点，抛物线的焦点为为抛物线上的点，则周长的最小值为 ． 11．（2024·高二·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则 . 12．（2024·高二·河北邢台·期末）已知点分别是抛物线和圆上的动点，到的准线的距离为，则的最小值为 . 13．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则周长的最小值是 . 14．（2024·高二·江苏·假期作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程： (1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在轴的正半轴上； (2)抛物线的焦点是. 15．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从，上分别取两个点，将其坐标记录于下表中： (1)求和的标准方程； (2)若和交于不同的两点，求的值. 16．（2024·高二·吉林长春·开学考试）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程． 17．（2024·高二·江苏·课后作业）已知圆，直线，求与直线l相切且与圆F外切的圆的圆心M的轨迹方程． 18．（2024·高二·江苏·课后作业）已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程． 19．（2024·高二·江苏·课后作业）已知直线和圆．若圆与直线相切，与圆外切，求圆的圆心的轨迹方程． 20．（2024·高三·全国·专题练习）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 抛物线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程． 2、掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）． 3、了解抛物线的简单应用．． 知识点一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释: （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线. （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化. 知识点二：抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。 知识点三：抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 考点一：抛物线的定义 【典例1-1】（2024·高二·吉林长春·阶段练习）已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】因为抛物线的焦点准线方程为， 点M在C上，所以M到准线的距离为. 又M到直线的距离为4，故. 故选：D. 【典例1-2】（2024·高二·江西景德镇·期末）动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】由于动圆经过定点，且与轴相切， 所以到定点的距离，等于到轴的距离， 根据抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线. 故选：D 【变式1-1】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ） A．4 B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】由抛物线定义可知等于点到准线的距离， 故点到轴的距离为. 故选：C. 【变式1-2】（2024·高二·广东·期末）已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【解析】由题意知抛物线的准线为， 因为点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，即A点纵坐标为4， 所以,解得. 故选：D 考点二：求抛物线的标准方程 【典例2-1】（2024·高二·全国·专题练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点； (2)关于y轴对称，且过点； (3)焦点在直线上. 【解析】（1）设抛物线方程为,或， 把点分别代入抛物线方程，可得或； 所求抛物线方程为,或. （2）设抛物线方程为，由过点，可得， 所以所求抛物线方程为. （3）焦点在直线上， 可得抛物线的焦点坐标为,或， 所以所求抛物线方程为,或. 【典例2-2】（2024·高二·江苏·专题练习）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为； (2)过点； (3)焦点在直线上． 【解析】（1）准线方程为，即，则抛物线的焦点坐标为， 所以所求抛物线的标准方程为. （2）设所求抛物线的标准方程为或， 于是，解得，或，解得， 所以所求抛物线的标准方程为或. （3）直线交y轴于点，则以为焦点的抛物线标准方程为； 直线交x轴于点，则以为焦点的抛物线标准方程为， 所以所求抛物线的标准方程为或. 【变式2-1】（2024·高二·全国·课堂例题）已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点，求这个抛物线的标准方程． 【解析】根据已知条件可设抛物线的标准方程为， 因为点在抛物线上，所以，因此． 从而可知所求方程为． 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为； (2)准线方程为：； (3)焦点到准线的距离为6. 【解析】（1）因为焦点为，故抛物线焦准距为， 则抛物线标准方程为； （2）抛物线准线方程为：，则， 焦点在y轴正半轴上，则抛物线标准方程为； （3）焦点到准线的距离为6，即， 焦点位置不确定， 故抛物线标准方程为或或或. 【变式2-3】（2024·高二·全国·课堂例题）分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程： (1)抛物线的焦点到x轴的距离是2，而且焦点在y轴的正半轴上． (2)抛物线的焦点是双曲线的焦点之一． 【解析】（1）由已知可得焦点坐标为，因此抛物线的标准方程具有的形式，且， 从而所求抛物线的标准方程是． （2）因为双曲线中，， 又因为双曲线的焦点在y轴上，所以的焦点坐标为或． 如果抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程具有的形式，且， 此时抛物线的标准方程是； 如果抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程具有的形式，且10， 此时抛物线的标准方程是． 考点三：抛物线的综合问题 【典例3-1】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点（点A在第一象限）． (1)若，求直线l的方程； (2)求面积的最小值． 【解析】（1）法一：抛物线的焦点为，设直线l的方程是． 设，，，由 得，显然， ，， 由可得：，则， 由于，，所以，． l的方程为：即 法二：作出抛物线的准线，设A，B在l上的射影分别是C，D，连接AC，BD， 过B作于E．，设，， 由点A，B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得，． 因此，中，， ，则l的方程为： （2） 当时即l的方程为：，此时的面积最小值为2． 【典例3-2】（2024·高二·四川成都·开学考试）已知动点到定点的距离与动点P到定直线的距离之比为1，若动点P的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)不过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，且，若AB的垂直平分线交x轴于点N，求点N的坐标. 【解析】（1）由题可知：动点P的轨迹为焦点在x轴，开口朝右的抛物线，且，曲线C的方程为：； （2）设直线AB的方程为，，， 直线与抛物线联立：， ，，，即， ，，     又，即， 又， ，即，         又记点M为AB的中点，则，直线MN的方程为， 令，则，故点N为定点，坐标为. 【变式3-1】（2024·高二·四川广元·阶段练习）已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 【解析】（1）因为双曲线E的渐近线方程为. 所以，解得，从而，即， 所以右焦点为，从而，解得， 抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为，. （2） 由题意直线，它过抛物线的焦点， 联立抛物线方程得，化简并整理得， 显然，， 所以， 点到直线的距离为， 所以，即的面积为. 【变式3-2】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点． (1)求的值； (2)若上存在点，使的重心恰为，求的值及点的坐标． 【解析】（1）联立方程：和， 消去得得， 则． （2）设点，易知，如下图所示： 由（1）可得， 由的重心恰为可得，即； 且，可得 由点在上，满足，可得， 解得， 所以，， 即点为． 考点四：轨迹方程 【典例4-1】（2024·高二·全国·课堂例题）已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状． 【解析】由条件可知，直线l的方程为，因此点A的横坐标为4． 设P的坐标为，则点A的坐标为．因此 因为的充要条件是，所以，即动点P的轨迹方程为． 从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线． 【典例4-2】（2024·高二·全国·课后作业）一圆经过点，且和直线相切，求圆心的轨迹方程，并画出图形. 【解析】设动圆的圆心，于是，其中是点到直线的距离， 因此，化简得， 所以圆心的轨迹方程是，其图形为抛物线，图形为： 【变式4-1】（2024·高二·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 【解析】（1）由抛物线的定义得， 故． （2）由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点， 设，，， ∴，， 当M，F不重合时，相减整理得，， ∴，即， 当M，F重合时，满足上式． ∴点M的轨迹方程为． 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）动点P（x，y）到y轴的距离比到点（2，0）的距离小2，求点P的轨迹方程． 【解析】依题意可得， 两边平方得，即， 当时，； 当时，. 所以点P的轨迹方程为：或. 【变式4-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程； 【解析】由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等， 所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为； 【变式4-4】（2024·高二·上海·课后作业）已知曲线和定点，点为曲线上任意一点，若，当点在曲线上运动时，求点的轨迹方程． 【解析】设点的坐标，点的坐标为， 又， 所以，， ，， ， ， ， 点在抛物线上，，， 整理得， 所以点的轨迹方程为． 【变式4-5】（2024·高二·全国·课后作业）若动圆与圆外切，又与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程. 【解析】设动圆圆心为，半径为， 由已知可得圆的圆心为，半径． 因为两圆外切，所以． 又动圆与已知直线相切， 所以圆心到直线的距离， 所以， 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 且，故动圆圆心的轨迹方程为. 考点五：抛物线的几何性质 【典例5-1】（多选题）（2024·高二·浙江嘉兴·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【答案】AD 【解析】对选项A，，开口向左，故A正确； 对选项B，，焦点为，故B错误； 对选项C，，准线方程为，故C错误； 对选项D，，对称轴为轴，故D正确. 故选：AD 【典例5-2】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】AC 【解析】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为． 故选：AC 【变式5-1】（多选题）（2024·高三·辽宁抚顺·期末）直线过抛物线的焦点，且与交于M，N两点，则（    ） A． B． C．的最小值为6 D．的最小值为12 【答案】BD 【解析】对于A，B，由直线与轴的交点坐标为，则，即，故A错误，B正确； 对于C，D，当直线垂直于轴，即时，取得最小值，且最小值为．故C错误，D正确． 故选：BD． 【变式5-2】（多选题）（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】关于轴的对称点为，关于轴的对称点为， 同时满足方程、、，ACD选项正确. ，是开口向上的抛物线，关于轴对称，不关于轴对称，B选项错误. 故选：ACD 【变式5-3】（多选题）（2024·高二·湖北襄阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 【答案】AB 【解析】设，则，，又抛物线的焦点为， 对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错； 对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错； 对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确； 对D，记抛物线的准线为，准线方程为， 过作于，过作于，则，， 所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确． 故选：AB． 考点六：抛物线中的范围与最值问题 【典例6-1】（2024·高二·上海宝山·期末）抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 . 【答案】 【解析】由，得，所以，准线为， 不妨设点在第一象限，过作于，则，得， 则，得，所以， 设点关于直线对称点为，则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 【典例6-2】（2024·高二·山西·期末）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为 . 【答案】 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点作垂直准线交于点，则， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号， 即平行于轴时取最小值，此时，则，即， 所以. 故答案为： 【变式6-1】（2024·高二·广东潮州·期末）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为 ． 【答案】5 【解析】抛物线的焦点，准线方程为，如图所示： 设点M在准线上的射影为D， 由抛物线的定义知， 所以使得的最小值，则求的最小值， 当D，M，P三点共线时，最小，即点到准线的距离， 则最小值为. 故答案为：5. 【变式6-2】（2024·高三·全国·阶段练习）抛物线上任意一点P到点的距离的最小值为 . 【答案】 【解析】设（），则，显然， 则，当时取等号， 所以所求的最小值为. 故答案为： 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设，则， 故当时，取最小值. 又由圆的切线性质可得此时. 故答案为： 【变式6-4】（2024·高二·河南周口·阶段练习）已知抛物线上有一动点，则与点距离的最小值为 ． 【答案】 【解析】设， 则， 当时，取得最小值12， 故． 【变式6-5】（2024·高二·江苏·假期作业）抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，且（ 为坐标原点），，垂足为，则的面积是 . 【答案】 【解析】由抛物线方程可知，准线的方程为，如图所示， 设，其中，过作轴于， 在直角中，， 由，可得，故， 所以点的坐标为， 将此代入抛物线方程可得，解得或（舍去） 所以点的坐标为，所以. 故答案为：. 考点七：焦半径问题 【典例7-1】（2024·云南昆明·模拟预测）设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为的重心，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解析】由题意可知，点的坐标为， 设点，，的坐标分别为，，， 又为的重心，则，即， 由抛物线方程可得， 所以由抛物线的定义可知， 故选：D. 【典例7-2】（2024·高二·安徽淮北·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 【答案】C 【解析】依题意，焦点，准线，设点,， 由得或， ， 当时，，即，则； 当时，，，即，则. . 综上所述，的值为或. 故选：C. 【变式7-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示：   为准线与轴的交点， 因为，且，所以， 因为，所以， 而，所以， 所以. 故选：A. 【变式7-2】（2024·高二·山东临沂·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由焦半径公式可得，解得， 故抛物线， 故， 当时，， 直线的斜率为， 当时，， 直线的斜率为， 综上，直线的斜率为. 故选：D 【变式7-3】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，点为抛物线的焦点，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】抛物线的焦点坐标为，设， 因为，所以，得，所以或， 当时，直线的斜率为，所以直线：， 联立，解得或，所以，所以； 当时，直线的斜率为，所以直线：， 联立，解得或，所以，所以； 综上，. 故选：C. 【变式7-4】（2024·高二·广东深圳·期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，若直线的斜率为，则（    ） A．4 B．或4 C．4或 D． 【答案】C 【解析】抛物线：的，所以抛物线的准线方程为，焦点为， 直线的方程为， 由消去并化简得， 解得或， 所以或，C选项正确. 故选：C 1．（2024·高二·安徽合肥·期末）已知抛物线上有两个点A，B，焦点为F，若，则线段AB的中点到x轴的距离是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】由已知可得抛物线的准线方程为， 设点A，B的坐标分别为和， 由抛物线的定义得，即， 线段AB中点的纵坐标为， 故线段AB的中点到x轴的距离是3， 故选：D 2．（2024·高二·天津宁河·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由抛物线定义，知，故，则焦点为. 故选：B 3．（2024·高二·吉林四平·期末）已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（    ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】B 【解析】对于①：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，矛盾.故①错误； 对于②：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：异号，符合要求.故②成立； 对于③：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，符合要求.故③成立； 对于④：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，矛盾.故④错误； 故选：B 4．（2024·高二·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 5．（2024·高二·浙江绍兴·期末）下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于对于抛物线的标准方程中， 开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小， 观察四个选项发现：A选项平方项的系数的绝对值最小， 本题选择A选项. 6．（2024·高二·湖南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，， 直线与抛物线在第一象限交于点 ，解得或， 由于在第一象限，故的横坐标为1，则. 故选：B 7．（2024·高二·上海·期中）抛物线的方程为，焦点为，点为上一点，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】对，其焦点坐标为，，解得. 故选：C. 8．（2024·高二·全国·专题练习）已知点P是抛物线上的动点，，则的最小值是 . 【答案】 【解析】抛物线的焦点，当时，，因此点与点在该抛物线的两侧， 则，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，而， 所以的最小值是. 故答案为： 9．（2024·高二·上海松江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 . 【答案】5 【解析】抛物线的准线方程为， 则的最小值为到准线的距离，即为. 故答案为：. 10．（2024·高二·河南信阳·期末）已知点，抛物线的焦点为为抛物线上的点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【解析】依题意，，设抛物线的准线为， 分别过点作，为垂足，则，如图， 则， 所以周长. 故答案为：. 11．（2024·高二·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则 . 【答案】3 【解析】根据题意画图，过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，，由于为上的一动点，则当三点共线时即， 则，解得. 故答案为：3. 12．（2024·高二·河北邢台·期末）已知点分别是抛物线和圆上的动点，到的准线的距离为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】抛物线的焦点为，则， 圆的圆心为，半径为 所以. 故答案为：. 13．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则周长的最小值是 . 【答案】/ 【解析】抛物线的焦点，准线的方程为， 过点作，垂足为，则， 所以的周长为，当且仅当，，三点共线时，等号成立. 所以周长的最小值是， 故答案为： 14．（2024·高二·江苏·假期作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程： (1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在轴的正半轴上； (2)抛物线的焦点是. 【解析】（1）根据题意可知，抛物线的标准方程具有的形式，而且， 因此所求标准方程为，准线方程为. （2）因为抛物线的焦点坐标是，所以抛物线的标准方程具有的形式， 而且因此，从而所求抛物线的标准方程是，准线方程为. 15．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从，上分别取两个点，将其坐标记录于下表中： (1)求和的标准方程； (2)若和交于不同的两点，求的值. 【解析】（1）设抛物线的标准方程为，则， 结合表格数据，因为， 所以点在抛物线上，且，解得， 所以抛物线的标准方程为. 将点代入椭圆的标准方程中， 得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）根据对称性，可设两点坐标分别为， 联立方程组，消得， 解得，， 因为， 所以. 所以. 16．（2024·高二·吉林长春·开学考试）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程． 【解析】（1）抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中， 因为椭圆的离心率为，即， 所以，， 所以椭圆方程为 （2）当直线斜率不存在时，易知此时，不合题意； 所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为，如下图所： 联立得， 设，则， 根据焦点弦公式可得， 解得，， 所以直线方程为或 17．（2024·高二·江苏·课后作业）已知圆，直线，求与直线l相切且与圆F外切的圆的圆心M的轨迹方程． 【解析】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 18．（2024·高二·江苏·课后作业）已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程． 【解析】由题意知：点P到圆心A(－2, 0)的距离和到定直线x＝2的距离相等， 所以点P的轨迹为抛物线，且焦点为A，准线为x＝2， 故点P的轨迹方程为y2＝－8x. 19．（2024·高二·江苏·课后作业）已知直线和圆．若圆与直线相切，与圆外切，求圆的圆心的轨迹方程． 【解析】设圆为半径为，圆的圆心为，半径为，则， 由题意可知，圆心到直线的距离为， 所以，圆心到直线的距离和它到点的距离相等， 故圆心的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线， 设该抛物线的标准方程为，则，可得， 因此，圆心的轨迹方程为. 20．（2024·高三·全国·专题练习）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程． 【解析】∵动点M到y轴的距离比它到定点的距离小2， ∴动点M到定点的距离与它到定直线的距离相等． ∴动点M到轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且． ∴抛物线的方程为， 又∵x轴上点左侧的点到y轴的距离比它到点的距离小2， ∴M点的轨迹方程为②． 综上，得动点M的轨迹方程为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$