第05讲 平面上的距离（4个知识点6大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第05讲 平面上的距离 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：中点坐标公式 若两点、，且线段的中点坐标为，则，，则此公式为线段的中点坐标公式． 知识点二：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点三：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点四：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 题型一：利用两点距离公式求两点的距离 【典例1-1】已知点A(a,3)和B(3,3a＋3)间的距离为5，则a的值为 【典例1-2】直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知两平行直线分别过点和，并且各自绕点A，B旋转，但始终保持平行，则平行直线间的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 题型二：线段和差最值问题 【典例2-1】（2025·高二·四川成都·期中）设点，在轴上，在直线上，则的周长的最小值为 ． 【典例2-2】（2025·高二·浙江杭州·期中）已知，及轴上的动点，则的最小值为 . 【变式2-1】已知函数，则的最小值为 ． 【变式2-2】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线. 在平面直角坐标系中，动点到两个定点的距离之积等于1，化简得曲线. 则的最大值为 . 【变式2-3】（2025·高二·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 题型三：利用公式直接求解点到直线的距离 【典例3-1】（2025·高二·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【典例3-2】点到直线：（为任意实数）的距离的最大值是 ． 【变式3-1】点到直线的距离为 . 【变式3-2】（2025·吉林·模拟预测）平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为 ． 【变式3-3】（2025·高二·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 题型四：点线、线点、线线对称问题的求解 【典例4-1】（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2025·高二·上海·期末）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【变式4-2】已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 【变式4-3】与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2025·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 题型五：利用公式求解两平行线间的距离问题 【典例5-1】（2025·高二·陕西西安·期末）平行直线与之间的距离是（   ） A．1 B．4 C．3 D． 【典例5-2】（2025·高二·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 【变式5-1】（2025·高二·北京怀柔·期末）若直线与直线平行，则两平行线间的距离（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高二·上海杨浦·期中）已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ． 【变式5-3】（2025·高二·上海浦东新·期中）直线与直线的距离为 . 题型六：数学文化与新定义问题 【典例6-1】（2025·高二·北京·期中）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．若点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2025·高二·广东深圳·期末）“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为 ． 【变式6-1】在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为 ，的最小值为 . 【变式6-2】（多选题）（2025·高二·吉林·开学考试）“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线和的方程分别是和，则下列叙述正确的是（    ） A． B．点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2 C．若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32 D．若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2 1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 2．（2025·高二·广东汕头·期末）两条平行线：，：之间的距离等于（   ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·四川自贡·期末）已知直线，，两直线之间的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·高二·广东东莞·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A．4 B． C．2 D．1 6．（多选题）（2025·高二·云南曲靖·期中）已知两条直线，的方程分别为与，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．过点 7．（多选题）（2025·高二·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的有（   ） A．直线过定点 B．点关于直线的对称点为 C．两条平行直线与之间的距离为 D．当实数时，直线和互相垂直 8．（多选题）（2025·高二·四川泸州·期末）已知点，点是曲线上任意一点，直线与直线的斜率之和为常数，则（    ） A．曲线经过点 B．曲线关于原点对称 C．直线与曲线无交点 D．点到原点的距离有最小值 9．（多选题）（2025·高二·福建漳州·期末）已知直线：与：，则（   ） A．当时， B．当时，与重合 C．当时， D．当时，与间的距离为 10．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为 内一点，记，则的最小值为 . 11．已知点的坐标，线段中点的坐标为，则B点坐标为 ，为 . 12．已知点，直线：，为直线上一动点，则的最小值为 ． 13．已知点是直线上一点，点与点间的距离为5，则点的坐标为 ． 14．已知直线与交于点，若点到坐标原点的距离为，则点的坐标为 ． 15．过点且和原点距离是2的直线方程是 . 16．已知，两点到直线的距离相等，则 ． 17．已知点到直线的距离比为，则 . 18．（2025·高二·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 19．（2025·高二·上海杨浦·期中）已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 20．（2025·高二·江苏泰州·期末）已知直线：（a为实数），与相交于点M． (1)若过点M，求a的值； (2)设直线过定点N，求． 21．（2025·高二·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 22．（2025·高二·江苏南通·期中）已知三个顶点分别是． (1)当时，求边的高所在的直线方程； (2)若的面积为，求点的坐标满足的关系． 23．（2025·高二·北京·期中）已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 24．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)若关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 25．（2025·高二·四川凉山·期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 26．（2025·高二·浙江·期中）已知的顶点在直线上运动，点为，点为. (1)求直线的方程； (2)的面积是否为定值？若是，求出该值.若不是，说明理由. 27．（2025·高二·重庆巫溪·期中）已知三角形ABC的顶点坐标为． (1)求过点C且与边AB平行的直线的一般方程； (2)求三角形ABC的面积． 28．（2025·高二·山东泰安·期中）已知直线与轴交于点， 与轴交于点，与交于点． (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求的面积． 29．（2025·高二·河南许昌·期中）已知直线过点且过直线和直线的交点，直线过一定点. (1)求直线的方程. (2)求，的值. (3)若，分别求点到直线和的距离. 30．（2025·高二·安徽合肥·期中）已知直线：与直线：的交点为. (1)求点关于直线的对称点； (2)求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程. 31．（2025·高二·北京平谷·期中）求下列直线方程 (1)已知，，，在中： （ⅰ）求BC边所在的直线方程 （ⅱ）求BC边上的垂直平分线所在直线的方程， (2)已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程. 32．（2025·高二·江苏镇江·期中）已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程. (1)过点且与直线平行； (2)过点且到原点的距离等于2； (3)直线关于直线对称的直线. 33．（2025·高二·四川成都·期中）已知直线经过点， (1)若点到直线的距离为，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程. (3)直线与，轴的正半轴交于A，B两点，求的最小值． 34．（2025·高二·陕西咸阳·期末）已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 35．已知直线：与直线：的交点为M． (1)求点M关于直线的对称点N； (2)求点到经过点M的直线l距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程． 36．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． (1)求点坐标、直线的方程、点的坐标； (2)求的面积． 37．已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 38．（2025·高二·河北石家庄·期中）已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 39．（2025·高二·浙江台州·期中）已知，． (1)若直线l过点，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程； (2)在y轴上存在一点P，使得的值最小，求出点P的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平面上的距离 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：中点坐标公式 若两点、，且线段的中点坐标为，则，，则此公式为线段的中点坐标公式． 知识点二：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点三：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点四：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 题型一：利用两点距离公式求两点的距离 【典例1-1】已知点A(a,3)和B(3,3a＋3)间的距离为5，则a的值为 【答案】-1或 【解析】∵点和间的距离为5， ∴， 即，解得或， 故答案为：或. 【典例1-2】直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线过定点， 直线， 则，可得过定点， 所以. 故选：A 【变式1-1】已知两平行直线分别过点和，并且各自绕点A，B旋转，但始终保持平行，则平行直线间的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当两直线都与垂直时，它们之间的距离达到最大， 此时， 当两直线重合时其距离为0. 所以． 故选：B. 【变式1-2】（2025·高二·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【解析】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B 题型二：线段和差最值问题 【典例2-1】（2025·高二·四川成都·期中）设点，在轴上，在直线上，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【解析】设关于的对称点为，关于轴的对称点为， 则，解得，故， 连接交轴于点，交直线于点，连接， 则， 此时的周长最小，最小值为. 故答案为： 【典例2-2】（2025·高二·浙江杭州·期中）已知，及轴上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图，过点作轴的对称点， 此时，即为所求最小值， 又，，所以， 所以. 故答案为：. 【变式2-1】已知函数，则的最小值为 ． 【答案】5 【解析】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 【变式2-2】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线. 在平面直角坐标系中，动点到两个定点的距离之积等于1，化简得曲线. 则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为，所以， ，两边平方得，即， 解得， 故， 则，的最大值为. 故答案为： 【变式2-3】（2025·高二·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】表示两点与之间的距离， 表示两点与之间的距离， 又点是直线上的动点，点是直线上的动点， 且直线与直线平行， 所以的最小值即为直线与直线之间的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 题型三：利用公式直接求解点到直线的距离 【典例3-1】（2025·高二·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 【典例3-2】点到直线：（为任意实数）的距离的最大值是 ． 【答案】 【解析】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于， 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故答案为： 【变式3-1】点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】 故答案为： 【变式3-2】（2025·吉林·模拟预测）平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为 ． 【答案】/0.08 【解析】设整点，则， ，，， ，是5的倍数， ，，． 故答案为： 【变式3-3】（2025·高二·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【解析】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 题型四：点线、线点、线线对称问题的求解 【典例4-1】（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得， 解得． 则点到直线：的距离为． 故选：C． 【典例4-2】（2025·高二·上海·期末）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，，, 所以， 所以的周长为. 故选：A． 【变式4-1】已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【解析】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 【变式4-2】已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 【解析】（1）因为直线：与：平行，所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得或（舍去）， 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得或7（舍去）， 故所求直线方程为， （2）设直线关于直线对称的直线为， 由，解得，所以直线经过点， 在上取一点关于对称的点设为， 则有，解得，所以直线经过点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即：. 【变式4-3】与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 【变式4-4】（2025·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为， 因为点在直线上， 所以，化简得， 所以所求直线方程为， 故选：B 题型五：利用公式求解两平行线间的距离问题 【典例5-1】（2025·高二·陕西西安·期末）平行直线与之间的距离是（   ） A．1 B．4 C．3 D． 【答案】D 【解析】因为直线与平行， 所以且不是，所以， 则直线与的距离为. 故选：D. 【典例5-2】（2025·高二·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 【答案】或 【解析】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 【变式5-1】（2025·高二·北京怀柔·期末）若直线与直线平行，则两平行线间的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线与直线平行， 所以， 所以， 此时两直线方程为，，两直线平行， 直线与直线的距离为. 故选：D. 【变式5-2】（2025·高二·上海杨浦·期中）已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ． 【答案】 【解析】由题意，直线，则且，所以. 所以：与直线：之间的距离. 故答案为：. 【变式5-3】（2025·高二·上海浦东新·期中）直线与直线的距离为 . 【答案】/ 【解析】直线的方程可化为，由题意可知，， 所以，直线与直线的距离为. 故答案为：. 题型六：数学文化与新定义问题 【典例6-1】（2025·高二·北京·期中）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．若点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大， 点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：C. 【典例6-2】（2025·高二·广东深圳·期末）“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为 ． 【答案】10 【解析】由可得，即， 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 根据，对称性可知，只需讨论，即可． 此时，所以， 可得轨迹在第一象限内与轴和轴所围成的面积为， 所以的面积为． 故答案为：10. 【变式6-1】在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 /0.5； 4. 【解析】设，则， 当时，；当时，；当时，， 因此对任意，，所以当，即点时，取得最小值； 设，则，令，于是， 显然，当时，；当时，； 当时，，因此对任意，， 所以当，即时，如点，取得最小值4. 故答案为：；4. 【变式6-2】（多选题）（2025·高二·吉林·开学考试）“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线和的方程分别是和，则下列叙述正确的是（    ） A． B．点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2 C．若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32 D．若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2 【答案】CD 【解析】对于A，，A错误； 对于B，令直线a上任意点为， 则， 则当时，的最小值为1，B错误； 对于C，设，则， 当时，则；当时，则； 当时，则；当时，则； 则M点轨迹为上述四条线段围城的封闭曲线，如图示正方形： 则的轨迹围成图形的面积是，C正确； 对于D，，设，当M与直线b上的点连线垂直于b时曼哈顿距离最小， 由此可得， 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 则M点轨迹如图示： 则的轨迹与直线围成的封闭图形面积为，D正确， 故选：CD 1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】为直线上的点到原点距离的平方， 所以的最小值为原点到直线的距离的平方， 又原点到直线的距离， 所以的最小值为1． 故选：D. 2．（2025·高二·广东汕头·期末）两条平行线：，：之间的距离等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线：，即，而与直线：平行， 所以所求距离. 故选：A 3．（2025·高二·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上， 显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上. 故选：A 4．（2025·高二·四川自贡·期末）已知直线，，两直线之间的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】直线，， 根据平行线间的距离公式得. 故选：C 5．（2025·高二·广东东莞·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】两条平行直线与间的距离 为. 故选：C. 6．（多选题）（2025·高二·云南曲靖·期中）已知两条直线，的方程分别为与，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．过点 【答案】AD 【解析】对于A，由可得，解得，经检验两直线不重合，所以A正确； 对于B，由A可知时，此时的方程为， 此时两条平行直线之间的距离为，可知B错误； 对于C，若，可得，解得，即C错误； 对于D，将整理可得， 所以恒过定点，即D正确. 故选：AD 7．（多选题）（2025·高二·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的有（   ） A．直线过定点 B．点关于直线的对称点为 C．两条平行直线与之间的距离为 D．当实数时，直线和互相垂直 【答案】BCD 【解析】对于A，，，故直线过定点，故A错误； 对于B，设点关于直线的对称点为,则 即点关于直线的对称点为，B正确； 对于C， ，，故C正确； 对于D， 时，，故直线和互相垂直，故D正确； 故选：BCD. 8．（多选题）（2025·高二·四川泸州·期末）已知点，点是曲线上任意一点，直线与直线的斜率之和为常数，则（    ） A．曲线经过点 B．曲线关于原点对称 C．直线与曲线无交点 D．点到原点的距离有最小值 【答案】BCD 【解析】由题意可得，因为，所以，则可化简为，， 对于，把代入， 得 ，故曲线经过点， 故错误； 对于，设是曲线上的点，代入可得化为， 则也在曲线上，故曲线 关于原点对称，故 正确； 对于 ，联立 ，得 ，无解， 故直线 与曲线无交点，故 正确； 对于 ， ， 当时等号成立； 故 的最小值为 ，故 正确. 故选： . 9．（多选题）（2025·高二·福建漳州·期末）已知直线：与：，则（   ） A．当时， B．当时，与重合 C．当时， D．当时，与间的距离为 【答案】BC 【解析】对于A，当时，对于直线即，直线即.根据两直线平行的判定条件，，所以与不平行，A选项错误. 对于B，当时，直线，直线. 因为且，所以与重合，B选项正确. 对于C，当时，直线，直线. 根据两直线垂直的判定条件， 成立，所以与垂直，C选项正确. 对于D，当时，由，对于直线和，有，即，解得. 当时两直线重合， 当时，即，. 根据两平行直线间的距离公式，则，D选项错误. 故选：BC. 10．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为 内一点，记，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】设为坐标原点，由， 可得，且为锐角三角形， 所以费马点在线段上，如图所示，设， 则为顶角是的等腰三角形，可得， 又由， 则， 所以的最小值为. 故答案为：. 11．已知点的坐标，线段中点的坐标为，则B点坐标为 ，为 . 【答案】 25 【解析】设B点的坐标为， ∵点A的坐标，线段中点的坐标为， ∴，解得， 即点的坐标为，所以 故答案为：；25. 12．已知点，直线：，为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设关于的对称点为， 则解得，即． 因为， 所以的最小值为． 故答案为： 13．已知点是直线上一点，点与点间的距离为5，则点的坐标为 ． 【答案】或 【解析】因为点是直线上一点， 可设，则，解得或， 所以点的坐标为或． 故答案为：或. 14．已知直线与交于点，若点到坐标原点的距离为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【解析】由，解得，即， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 故答案为：或 15．过点且和原点距离是2的直线方程是 . 【答案】或 【解析】依题意，当斜率不存在时，直线方程为：，此时原点到直线的距离为2，满足题意， 当斜率存在时， 所以设直线方程为，即，又原点到直线的距离等于2， 所以，解得． 所以直线方程为或． 故答案为：或． 16．已知，两点到直线的距离相等，则 ． 【答案】1或2 【解析】由题意可得：，即， 可得或，解得或. 故答案为：1或2. 17．已知点到直线的距离比为，则 . 【答案】或18 【解析】点和到直线的距离分别为， 则，解得或18. 故答案为：或18 18．（2025·高二·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【解析】（1）直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为. （2）依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 19．（2025·高二·上海杨浦·期中）已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 【解析】（1）因为，所以直线的方程为，即. 所以点到直线的距离. 因为， 所以. （2）因为，所以AC边上的高的斜率为， 所以AC边上的高线的方程为，即. 因为、的中点为，又，所以边上的中线方程为， 由，解得， 所以边上的中线与AC边上的高的交点坐标为. 20．（2025·高二·江苏泰州·期末）已知直线：（a为实数），与相交于点M． (1)若过点M，求a的值； (2)设直线过定点N，求． 【解析】（1）由，得，即， 因为过点，所以，即． （2）因为，所以直线过定点， 所以. 21．（2025·高二·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【解析】（1）因为直线的斜率为，且这条直线经过点， 所以，直线的方程为，化为一般方程即为. （2）直线的方程可化为， 由，解得，即点， 所以，点到直线的距离为. 22．（2025·高二·江苏南通·期中）已知三个顶点分别是． (1)当时，求边的高所在的直线方程； (2)若的面积为，求点的坐标满足的关系． 【解析】（1）因为，所以， 当时，所以边的高所在直线的斜率， 所以边的高所在的直线方程为，即； （2）因为直线的方程为，即， 又， 设点到直线的距离为，因为的面积为，所以，即，解得； 又，则或，即或， 所以点的坐标满足的关系为或. 23．（2025·高二·北京·期中）已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 【解析】（1）由题设，令是关于的对称点， 则，可得，故， 由题意，反射光线过和原点， 所以反射光线所在直线方程为. （2）由直线可改写为，联立，可得， 将点代入原直线方程，显然成立，故直线恒过定点，得证. （3）当原点到直线的距离最大，即点到点的距离，此时， 由，则，故，整理得. 24．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)若关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 【解析】（1）根据题意作出示意图如图，作出边上的高，边上的高， 即直线方程为，直线方程为, 联立，解得； 故垂心的坐标为 （2）连接并延长交于点， 由（1）可知，； 易知，设直线的方程为， 将代入可得，即直线的方程为； 联立，解得，即； 所以直线的方程为，即； 设点的对称点，则，且的中点在直线上， 又，所以，整理得，解得； 即; 所以点到直线的距离为. 25．（2025·高二·四川凉山·期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 【解析】（1）由题可得，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即； （2）∵直线化简得：， 令，解得，∴定点， 则点到直线的距离， ∴到直线的距离为. 26．（2025·高二·浙江·期中）已知的顶点在直线上运动，点为，点为. (1)求直线的方程； (2)的面积是否为定值？若是，求出该值.若不是，说明理由. 【解析】（1）由，得， 由点斜式方程，化简得. （2）的面积为定值， 由于，故， 又点在直线上运动， 故点到直线的距离为定值，即为两平行直线的距离， ， ， . 27．（2025·高二·重庆巫溪·期中）已知三角形ABC的顶点坐标为． (1)求过点C且与边AB平行的直线的一般方程； (2)求三角形ABC的面积． 【解析】（1）如图： 因为，因为所求直线与平行， 所以所求直线为：，即. （2）因为. 点到直线的距离为：. 所以. 28．（2025·高二·山东泰安·期中）已知直线与轴交于点， 与轴交于点，与交于点． (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求的面积． 【解析】（1）由得，即点. 因为所求直线与直线平行，所以，所求直线斜率为， 故所求直线方程为，即. （2）直线与轴交点的坐标为，直线与轴交点的坐标为， 则，点到的距离， 所以，的面积. 29．（2025·高二·河南许昌·期中）已知直线过点且过直线和直线的交点，直线过一定点. (1)求直线的方程. (2)求，的值. (3)若，分别求点到直线和的距离. 【解析】（1）联立，解得，即交点为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）由， 即， 令，解得， 则直线过定点，即. （3）若，则， 又， 则点到直线的距离为， 点到直线的距离为. 30．（2025·高二·安徽合肥·期中）已知直线：与直线：的交点为. (1)求点关于直线的对称点； (2)求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程. 【解析】（1）联立方程 ,解得 所以两直线，的交点为. 设，则的中点为. 联立方程，解得 所以. （2）因为， 所以点到经过点的直线距离的最大值为. 由题意，与垂直，则，故的斜率为. 所以直线的方程为，即 所以当距离最大时，直线的方程为. 31．（2025·高二·北京平谷·期中）求下列直线方程 (1)已知，，，在中： （ⅰ）求BC边所在的直线方程 （ⅱ）求BC边上的垂直平分线所在直线的方程， (2)已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程. 【解析】（1）（i），则BC边所在的直线方程为， 即, （ii）线段的中点坐标为，即，由（i）知， 则其垂直平分线的斜率为， 则BC边上的垂直平分线所在直线的方程为，即. （2）当直线l的斜率不存在时，此时，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设，即， 则有，解得，此时. 综上所述直线的方程为或. 32．（2025·高二·江苏镇江·期中）已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程. (1)过点且与直线平行； (2)过点且到原点的距离等于2； (3)直线关于直线对称的直线. 【解析】（1）联立方程，解得，． 设与直线平行的直线为， 由题意得：，， 故满足要求的直线方程为：． （2）①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2； ②当所求直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 原点到该直线的距离为， 解得， 直线方程为，                       综上所述，符合题意的直线方程为或． （3）在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则 ，解得，，      又，则直线的方程即所求直线方程，为， 化简得，. 故所求的直线方程为：． 33．（2025·高二·四川成都·期中）已知直线经过点， (1)若点到直线的距离为，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程. (3)直线与，轴的正半轴交于A，B两点，求的最小值． 【解析】（1）当直线斜率不存在时，，此时点到直线的距离为1，符合要求； 当直线斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为，解得， 故； 综上所述，直线的方程为或； （2）当直线在两坐标轴上截距都为0时，设直线的方程为， 因为直线过点，所以，解得，此时直线的方程为. 当直线在两坐标轴上截距不为0时，由已知设直线的方程， 因为直线过点，所以，解得， 此时直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. （3）如图，设，则，， 即， 由，则， 故当，即时，有. 34．（2025·高二·陕西咸阳·期末）已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 【解析】（1）由题意可知， 直线在轴的截距为，在轴的截距为， 则，解得． （2）若，则，得， 此时直线，即， 又直线， ∴直线与之间的距离． 35．已知直线：与直线：的交点为M． (1)求点M关于直线的对称点N； (2)求点到经过点M的直线l距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程． 【解析】（1）由，解得，则点， 设点关于直线的对称点，则，解得， 所以点. （2）由（1）知，点，则，直线斜率， 以点为圆心，为半径的圆与直线始终有公共点， 当时，直线与该圆相切，点到直线的距离； 当与直线不垂直时，直线与该圆相交，点到直线的距离， 因此点到直线的距离的最大值为，此时直线的斜率为， 方程为，即， 所以点到经过点M的直线l距离的最大值为，此时直线的方程为. 36．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． (1)求点坐标、直线的方程、点的坐标； (2)求的面积． 【解析】（1）由点在上，设点，则中点在直线上， 于是，解得，即点， 设A关于直线的对称点为，则，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以，直线的方程为，点的坐标为． （2）由（1）得， 点A到直线的距离， 所以的面积． 37．已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【解析】因为，所以，所以交点是， 设直线的方程为，代入，则，所以， 因为直线与直线关于点对称，设直线上任意一点的坐标为， 关于的对称点为，且在直线上， 所以，即， 所以直线的方程为. 38．（2025·高二·河北石家庄·期中）已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 【解析】（1）当时，直线的方程为， 所以点到直线的距离为. （2）当时，直线的方程为， 设点关于直线的对称点，如图所示， 则，解得，即， 所以， 故的最小值为. 39．（2025·高二·浙江台州·期中）已知，． (1)若直线l过点，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程； (2)在y轴上存在一点P，使得的值最小，求出点P的坐标． 【解析】（1）当直线l过线段AB中点时，则线段AB的中点C的坐标为， ∵直线l过点，且点A，B到l的距离相等， ∴直线l的方程为， 当直线l与线段AB平行时，则， 得直线l的方程为：，即， ∴综上所知：所求的直线l的方程为和； （2）点关于y轴对称的点为，则， 当且仅当，P，B三点共线时，的最小值为5. 由两点式可知，直线的方程为， 化简，得，当时，， 所以点P的坐标为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$