8.1 《幂的运算》 积的乘方 课件 2024--2025学年沪科版七年级数学下册

8.1幂的运算 —— 积的乘方 复习回顾 1.计算: （1） 10×102× 103 =______ ；（2） (x5 )2=_________. x10 106 2.（1）同底数幂的乘法 ：am·an= ( m，n都是正整数). am+n （2）幂的乘方：(am)n= (m,n都是正整数）. amn 同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 幂的乘方法则： (m，n都是正整数) 1 温故知新 幂的乘方，底数不变，指数相乘. (m，n都是正整数) am×an=am+n (m，n正整数) (m，n正整数) = amn (am)n = =(an)m am+n am×an 同底数幂的乘法和幂的乘方结果符号如何判定？ 1.负数的奇次方为负；偶次方为正 3.判断负号是否在括号内、括号外的次数是偶还是奇 2.负数和分数作为底数要加括号 课堂导入 问题 地球可以近似的看成球体，地球的半径约为6×103km，它的体积大约是多少立方千米? 根据球的体积公式，地球的体积 你会计算(6×103)3吗？ 新知探究 思考 观察(6×103)3这个数，它有什么特点？它又怎样计算？ 知识点 积的乘方 如果把(6×103)看成一个整体，那么这个数的底数是由两个数的积构成的. 对(6×103)3进行计算，我们称为“积的乘方” 若已知一个正方形的棱长为2x103cm,你能计算出它的体积是多少吗？ 情境导入 2x103cm 这个结果是幂的乘方形式吗？ 积的乘方如何运算呢？ (2x103)3 思考下面两道题: (1) (2) 我们只能根据乘方的意义及乘法交换律、结合律可以进行运算. 这两道题有什么特点？ 底数为两个因式相乘，积的形式. 这种形式为积的乘方 我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？ (ab)2 (ab)3 (1) (ab)2 (2) (ab)3 =(ab)·(ab) =(ab)·(ab)·(ab) 乘方的含义 =(a·a)·（b·b) =(a·a·a)·（b·b·b) 交换律、结合律 =a( )b( ) =a( )b( ) 乘方的含义 填空,运算过程用到哪些运算律?运算结果有什么规律? 探究新知 2 2 3 3 你能将上面发现的问题规律推导出来吗？ 即积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 一般地，对于任意底数a,b与任意正整数n， (ab)n=（ab)·(ab)·····(ab) =a·a·····a·b·b·····b =anbn 因此，我们有 (ab)n=anbn (n为正整数） n个ab n个a n个b （乘方的意义） （乘法交换律、结合律） （同底数幂相乘的法则） (ab)2=(ab)(ab) =(aa)(bb) =a2b2 (ab)3=(ab)(ab)(ab) =(aaa)(bbb) =a3b3 猜一猜 (ab)n =? 小组讨论 如何区分同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方这三个运算法则？ 一、注意运算形式：同底数幂相乘是乘法运算，幂的乘方(积的乘方)是乘方运算； 二、注意法则：幂的乘法是指数相加，幂的乘方是指数相乘；积的乘方是先将各个因式先乘方再相乘. 探研时空 计算：(-a2b3)3·（-a2b)4 解:原式=-a6b9·a8b4 =-a14·b13 拓展延伸 三个或三个以上的积的乘方,如 (abc)n如何运算？(n为正整数） (abc)n =anbnc n(n为正整数） 积的乘方法则可以逆用，即anbn =(ab)n (n为正整数） 巩固练习 计算：(-0.25)2013·(-4)2014 解:原式=(-0.25)2013×(-4)2013×(-4) =[(-0.25)×(-4)]2013×(-4) =1×(-4) =-4 (ab) n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab) n个ab =(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b) n个a n个b =anbn 证明： 猜想结论： 因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数). (ab)n=anbn (n为正整数) 推理验证 1. 计算： (1)(3x)2＝32·x2＝____； (2)(－2x)3＝(－2)3·x3＝______； (3)(5x2)2＝______＝_____； (4)(－x2)3＝__________＝_____. 9x2 －8x3 52(x2)2 25x4 (－1)3(x2)3 －x6 先算积的乘方， 再算幂的乘方， 最后按四则混合运算 顺序依次运算. 2. 计算： (1)(4x)2＝_____＝_____； (2)(－3x)2＝__________＝_____； (3)(2x3)3＝_____； (4)(－x3)2＝_____. 42x2 16x2 (－3)2x2 9x2 8x9 x6 先算积的乘方， 再算幂的乘方， 最后按四则混合运算 顺序依次运算. (ab) n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab) n个ab =(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b) n个a n个b =anbn 证明： 猜想结论： 因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数). (ab)n=anbn (n为正整数) (ab)n=anbn (n为正整数). 积的乘方 等于乘方的　 积 积的乘方法则： 知识归纳 计算： 1、(-32)2 2、-(-b4)3 3、-(-a)2.(a2)3.(-a) 4、已知2x+5y=3，求4x×32y 填空,看看运算过程用到哪些运算律?运算结果有什么规律? (1)（2×3)2= (2) (ab)2=(ab) •(ab)=(a•a) •(b•b)=a( )b ( ); (3) (ab)3= = =a ( )b( ). 思考： (ab)n=？ 2 合作探究 对于任意底数a,b与任意正整数n, n个ab n个a n个b (ab)n = (ab)•(ab)…(ab) = a •a• … •a • b•b• … •b = a n b n 我们有 (ab)n=anbn(n为正整数) 即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. (1)（ab2)3=ab6 ( ) × × × (2) (3xy)3=9x3y3 ( ) × (3) (-2a2)2=-4a4 ( ) (4) -(-ab2)2=a2b4 ( ) 1.判断: 巩固练习 2.下列运算正确的是（ ） A. x.x2=x2 B. (xy)2=xy2 C.(x2)3=x6 D.x2+x2=x4 C 3. (0.04)2013×[(-5)2013]2=________. 你有几种解法？ 1 巩固练习 （1） 2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7; （2）(3xy2)2+(-4xy3) · (-xy) ; （3）(-2x3)3·(x2)2. 解：原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7 = 2x9-27x9+25x9 = 0; 解：原式=9x2y4 +4x2y4 =13x2y4; 解：原式= -8x9·x4 =-8x13. 注意：运算顺序是 先乘方，再乘除， 最后算加减. 4.计算: 巩固练习 $$