精品解析：四川省德阳市第五中学2024-2025学年高一下学期期末模拟考试数学试题

高2024级高一下期期末模拟考试数学试题 本试卷19小题，满分150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用补集的运算进行求解. 【详解】因为，集合， 则集合或. 故选：A. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平面向量平行的坐标表示得出；再根据平面向量模的坐标求法即可求解. 【详解】因为向量，， ， 所以，解得：， 则， 所以. 故选：C. 3. 已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的性质确定D正确，根据直线和平面的位置关系确定ABC错误，得到答案. 【详解】对选项A：若，，则或为异面直线，错误； 对选项B：若，，则和可以是任何位置关系，错误； 对选项C：若，，则和可以是任何位置关系，错误； 对选项D：若，，，则，正确； 故选：D. 4. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则所有的数据都为0 B. 若，则的平均数为6 C. 若，则的方差为12 D. 若该组数据的分位数为90，则可以估计总体中至少有的数据不小于90． 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数和方差公式可判断选项A、B、C；根据百分位数的定义可判断选项D. 【详解】对于选项A：当时，有， 则，但不一定为0，故选项A错误； 对于选项B：因为，所以， 则 ，故选项B错误； 对于选项C：由选项B可知的平均数为. 所以的方差为 ，故选项C错误； 对于选项D：根据百分位数的定义可判断选项D正确. 故选：D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件，必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由可得，， 根据正切函数的性质得，，不能推出， 反过来，当时，， ，则， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出的图象，由题意知有两个根再结合二次方程有两个不同的根即可求得的范围. 【详解】令，则令 即有4个不同的实数根. 则要有两个解， 由图知，. ，得. 则. 令，得，则，，得，. 则. 故选：D. 7. 《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件找出外接球的球心，求出半径，再利用球的体积公式即可求解. 【详解】连接,交于点,取的中点，则平面,,取的中点,连接,作,垂足为，如图所示 由题意可知，，所以, 所以,,所以,又, 所以，即这个几何体的外接球的球心为，半径为， 所以这个几何体的外接球的体积为. 故选：B. 8. 若的角，，所对边，，，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式及正弦定理，同角三角函数的基本关系式将化简得，再将用和来表示，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】，，即， 由正弦定理得，， ，即， ，① 当时，，，， 此时，不满足题意，， ①式两边同时除以得，， 不妨设，则， ， 当且仅当，即，时等号成立， 的最大值为. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，部分选对得2分或3分，有选错的得0分） 9. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在复平面内对应点位于第三象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用复数乘法运算得，结合各项的描述和复数的性质、几何意义判断各项的正误. 【详解】A选项，由， 若是纯虚数，则，可得，A错； B选项，若，即，可得，B对； C选项，若，则，，故，C对； D选项，若，则，故，对应点坐标为， 在复平面内对应点在第三象限，D对. 故选：BCD 10. 如图，在正方形中，为上一点，交于，且，为的两个三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量的线性运算以及三角形相似的性质对选项逐一计算即可求解. 【详解】由题意，， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； 因为为上靠近的三等分点，所以， 利用可得； 所以，故D错误. 故选：ABC 11. 如图，正方体中，M，N，Q分别是AD，，的中点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面MPN B. 若，则平面MPN C. 若平面MPQ，则 D. 若，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线线平行即可判断A，根据线面平行的性质即可得矛盾判断B,根据线面线面垂直的性质即可判断C，根据平行关系，即可由线段成比例得线线平行，即可求解截面. 【详解】对于A,连接,在正方体中，可知， 当时，是的中点，则,所以 ，由于平面,平面,所以平面MPN，故A正确， 对于B, 当时，与点重合，连接交于点 ,连接, 若平面MPN,则平面,且平面平面,则， 由于是的中点，则为中点，这显然不符合要求，故B错误， 对于C, 若平面MPQ，则,由于 平面平面,又, 平面, 所以平面,平面,则, 显然 与平面不垂直，故,则, 由于为中点，所以为中点，故 ，C正确， 对于D，取中点,在 上取点,使得，在棱取,使得，在棱上取 由于分别为的中点，所以 , 同理 连接即可得到截面多边形，故D正确， 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求值：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算法则，以及三角恒等变换的公式，准确运算，即可求解. 【详解】由 . 故答案为：. 13. 已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式和表面积公式列式即可求解. 【详解】设圆柱与圆锥的底面半径分别为，，母线长分别为，，高均为， 由题意可得：，即，化简可得：. 故答案为： 14. 已知函数，则的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】分和讨论化简，解三角不等式得解. 【详解】当，即，时， ， 所以，即，解得，， 当，即，时， ， 所以，即，解得，， 综上，的解集为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，满足：，． （1）若，求． （2）若，求当为何值时，． （3）若，求在方向上的投影向量的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的运算律和数量积公式计算求解即可； （2）利用垂直关系的向量表示求解作答； （3）利用投影向量的计算公式求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以. 【小问2详解】 因为，即，即，则， 由，得， 解得，所以当时，． 【小问3详解】 . 16. 后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策．某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得2000位在职员工的个人所得税（单位：百元）数据，按，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图： （1）求直方图中t的值： （2）根据频率分布直方图估计该市的70%职工年个人所得税不超过m（百元），求m的最小值； （3）已知该地区有20万在职员工，规定：每位在职员工年个人所得税不超过5000元的正常收取，若超过5000元，则超出的部分退税20%，请估计该地区退税总数约为多少． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1计算得到答案. （2）根据前5组的频率之和与前4组的频率之和得到，根据比例关系解得答案. （3）各区间分别超出元，计算平均值得到答案. 【小问1详解】 ，解得. 【小问2详解】 前5组的频率之和为：； 前4组的频率之和为：； 故，，解得. 【小问3详解】 区间在，，，内的个人所得税分别取作为代表. 则分别超出元， 则退税总数约为： . 17. 如图，是半径为1，的扇形，是弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，记，，当时，四边形的面积取得最大值，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，，且，化简得到，得到，最大，即，求得，即可求解. 【详解】在直角中，，，在直角中，， 因为，且，所以，所以， 所以， 其中，， 所以当，即时，最大，即， 所以， 即，可得，所以. 18. 如图，在圆锥中，已知底面，，的直径，是的中点，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 连接，，是的中点， ， 又底面，底面，， ，平面， 平面，而平面， 平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据是等腰直角三角形证出中线，再结合证出，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面平面； （2）依题意可得，则，再根据计算可得. （3）过分别作于，于，再连接，根据三垂线定理证明为二面角的平面角，最后分别在、、中计算出、和，最后求出所求二面角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是的中点，是的直径，所以， 所以， 所以. 【小问3详解】 在平面中，过作于，由（1）知，平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 又平面， ， 在平面中，过作于，连接，，平面， 所以平面，又平面，从而． 故为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 所以， 故二面角的余弦值为. 19. 将函数的图象向左平移个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图象． （1）设，，当时，求的值域； （2）在中，，，分别是角，，所对的三条边且．在内一点满足条件，称为的布洛卡点，若． 求证： ①（为的面积）； ②若，求的周长 【答案】（1）； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数图象变换得，再由题意表示函数，令，结合函数单调性即可求解； （2）①由（1）求出，由及余弦定理即可得证；②设，利用正弦定理求得，进而可判断为等边三角形，利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 的图象向左平移个单位得， ， 再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到， 即， 又因，，故，，，， 故， 因，， 所以， 设， ，， ， ， 因为在上单调递减， 所以在上单调递增，则， 所以的值域为； 【小问2详解】 ①且， ，又因为，所以，即， 则 ， 所以， 在，，中，分别由余弦定理得： ， ， ， 三式相加整理得， 即， 故； ②在中，设， 由正弦定理得，所以， 在中，由上可知，，， 所以， 由正弦定理，得，所以， 所以，则，整理，得， 所以，解得． 又，所以， 则，因此为等边三角形， 在中，由余弦定理得，， 所以，故的周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高一下期期末模拟考试数学试题 本试卷19小题，满分150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 3. 已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则所有的数据都为0 B. 若，则的平均数为6 C. 若，则的方差为12 D. 若该组数据的分位数为90，则可以估计总体中至少有的数据不小于90． 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 若的角，，所对边，，，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，部分选对得2分或3分，有选错的得0分） 9. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在复平面内对应点位于第三象限 10. 如图，在正方形中，为上一点，交于，且，为的两个三等分点，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方体中，M，N，Q分别是AD，，的中点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面MPN B. 若，则平面MPN C. 若平面MPQ，则 D. 若，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求值：________． 13. 已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为______． 14. 已知函数，则的解集是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，满足：，． （1）若，求． （2）若，求当为何值时，． （3）若，求在方向上的投影向量的坐标． 16. 后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策．某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得2000位在职员工的个人所得税（单位：百元）数据，按，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图： （1）求直方图中t的值： （2）根据频率分布直方图估计该市的70%职工年个人所得税不超过m（百元），求m的最小值； （3）已知该地区有20万在职员工，规定：每位在职员工年个人所得税不超过5000元的正常收取，若超过5000元，则超出的部分退税20%，请估计该地区退税总数约为多少． 17. 如图，是半径为1，的扇形，是弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，记，，当时，四边形的面积取得最大值，求的值． 18. 如图，在圆锥中，已知底面，，的直径，是的中点，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 19. 将函数的图象向左平移个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图象． （1）设，，当时，求的值域； （2）在中，，，分别是角，，所对的三条边且．在内一点满足条件，称为的布洛卡点，若． 求证： ①（为的面积）； ②若，求的周长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $