3.3 整式的加减【基础•中等•优质】题型过关专练 -2025-2026学年七年级数学上册考点解惑（苏科版2024）

3.3 整式的加减 一、单项式 1.单项式定义：数与字母乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数。 二、多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式，多项式有几项，就叫做几项式。 2.多项式的项：多项式中每个单项式叫做多项式的项。 3.多项式的次数：多项式的次数就是多项式里次数最高项的次数，多项式的次数是几就叫几次多项式。 4.常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项。 5.升、降幂排列：一个多项式按照某个字母的指数从大（小）到小（大）的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母的降（升）幂排列。 三、整式的加减 1.合并同类项：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 2.去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里的各项都不改变正负号；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里的各项都改变正负号。 3.添括号法则：所添括号前面是“+”，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括号前面是“-”，括到括号里的各项都改变正负号。 4.整式的加减步骤：先去括号，再合并同类项。 巩固课内例1:用多项式表示草坪面积 1．学校有一个长为6米，宽为5米的长方形花园，其中在这个花园中有横竖两条如图1所示两条大小相同的长方形通道，现要在剩余两个阴影部分的区域种草坪，并要在草坪四周围上围栏，根据你所学的知识，计算一下共需要多少围栏（　　） A．24米 B．20米 C．22米 D．4米 2．如图，社区有一块长为米，宽为米的长方形空地，物业公司计划在空地内修一条底边密度为米的平行四边形小路，其余部分种植草坪，则草坪面积为 平方米．（用含、的代数式表示） 3．某公园准备修建块长方形草坪，长为30米，宽为20米，并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽米，求：（用含的代数式表示） (1)修建的十字路面积是多少平方米？ (2)草坪（阴影部分）的面积是多少平方米？ 巩固课内例2:写出多项式的次数与项 1．多项式的次数是（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 2．多项式   是 次 项式，常数项是 ． 3．写出同时满足下列个条件的一个多项式： 该多项式含有字母和； 该多项式第一项是常数项； 该多项式是三次四项式； 该多项式各项系数和为零． 巩固课内例3:合并同类项化简 1．合并同类项的结果等于（   ） A． B． C．1 D． 2．写一个可以与合并的单项式 ． 3．合并同类项： (1)； (2)． 巩固课内例4:行程问题 1．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是a千米/时，水流速度为2千米/时，2小时后两船相距（    ）千米． A． B． C．8 D． 2．已知轮船在静水中前进的速度是m千米/时，水流的速度是2千米/时，则这轮船在逆水中航行2小时的路程是 千米． 3．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是akm/h，水流速度是3km/h． （1）甲船速度为 　 　km/h，乙船速度为 　 　km/h； （2）3h后甲船比乙船多航行多少km？ 巩固课内例5:合并同类项后代入求值 1．已知，，则多项式的值为(    ) A．1 B． C．2024 D． 2．当时， ． 3．先化简，再求值．，其中 巩固课内例6:去括号化简 1．下列各式去括号正确的是（  ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．化简： (1)； (2)． 巩固课内例7:去括号后代入求值 1．若，则的值为（    ） A． B． C．8 D．10 2．如果，那么代数式的值为 ． 3．先化简，再求值，，其中． 巩固课内例8:求两个多项式的差 1．若一个长方形的周长为，其中一条边长为，则与其相邻的一条边长为（    ） A． B． C． D． 2．一个长方形的周长为，其中长为，则宽为 ． 3．已知长方形的周长为，其中一边长为，求相邻的另一边长． 巩固课内例9:化简分数形式的多项式 1．多项式与的和为（    ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．计算与化简 (1) (2) 类型一、单项式与多项式的定义 1．下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 3．把下列代数式分别填在相应的括号内．    (1)单项式：｛             …｝ (2)多项式：｛             …｝ 类型二、同类项的认识 1．下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 2．若与是同类项，则 ． 3．若代数式与是同类项，化简并求值：． 类型三、单项式的系数与次数 1．单项式的系数和次数分别是（    ）． A．，12 B．1，12 C．，9 D．1，9 2．若单项式的系数是m，次数是n，则 ． 3．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3，n是单项式的系数． (1)填空：_____，_____，______，______； (2)求的值． 类型四、整式的加减运算 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 3．已知． (1)计算； (2)若、满足，求的值． 类型一、绝对值在数轴中的化简 1．数轴上表示数a，b的点如图所示，则式子化简的结果为（　　） A． B． C． D． 2．有理数，，在数轴上所表示的点的位置如图所示，且，，则化简 ． 3．有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图： (1)用“”或“”填空：　　0，　0，　　0； (2)化简：． 类型二、升幂与降幂排列 1．多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．将多项式按的升幂排列的结果为 ． 3．将多项式按下列要求进行排列： (1)按的降幂排列； (2)按的升幂排列． 类型三、不含某项、与某项无关 1．多项式中不含项，则a的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知关于的整式（为常数）．若整式的取值与无关，则的值为 ． 3．【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 类型四、化简求值 1．已知，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 2．如果代数式的值是0，那么代数式的值是 ． 3．先化简，再求值 (1)其中 (2)已知，求代数式的值 类型五、看错与抄错问题 1．淇淇计算时看错了两个运算符号（看成了，或看成了），得出结果为89，淇淇看错的情况可能共有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．某同学把错抄成，若符合题意的答案为，抄错后的结果为，则 ． 3．[教材复习题17变式]有一道题“先化简，再求值：，其中”小明做题时把“”抄错成了“”．但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因？ 类型六、整式加减的实际应用 1．如图所示，某公司有三个住宅区，、、各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（、、三点共线），已知米，米．为方便职工上下班，该公司接送车打算只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（    ） A．点 B．点 C．、之间 D．、之间 2．如图是两个正方形组成的图形（不重叠无缝隙），用含字母的整式表示出阴影部分的面积为 3．如图所示的是一扇窗户的示意图，上部是半圆形，下部是四个边长相等的小正方形． (1)计算窗户的面积及窗框的总长； (2)当时，窗户的面积及窗框的总长分别是多少？（取） 类型一、数字规律 1．如果有2019名学生排成一列，按1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1…的规律报数，那么第2019名学生所报的数是（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 2．已知，，，，计算的结果的个位数字是 ． 3．观察右边算式的规律：，，，，… (1)用含有字母的式子表示规律：（　　） (2)用规律进行计算：（　　） 类型二、图形规律 1．如图摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒．照这样，摆12个三角形用（　　）根小棒． A．25 B．24 C．36 2．在求的值时，发现：，从而得到．按此方法可解决下面问题．图①有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图②，有5个三角形，记作；再分别连接图②中间的小三角形三边中点得到图③，有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ． 3．【观察思考】 如图某公园围栏是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“”或“第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个． 【规律发现】 （1）请求出第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）现有个“”，按此规律制作围栏，要求“”剩余最少，需要购买多少个“”？ 类型三、新定义问题 1．我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集．同样，如果引进“虚数”，则实数集就扩展到“复数集”．现在我们定义：虚数单位“”，其运算规则是：，，，，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．定义一种新运算“※”，规定：，例如：． （1）则的值 ； （2）若，则的值 ． 3．定义一种新运算“f”：表示n在运算f作用下的结果．若表示n在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，……根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 类型四、整体思想 1．数学思想·整体思想  若代数式的值为8，则代数式的值为（   ） A．14 B．12 C．6 D． 2．“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它广泛应用于数学运算中．例如：已知：，则．利用上述思想方法计算：已知， ． 3．运用整体思想求代数式的值非常重要． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料，解答下列问题． (1)若，求的值； (2)已知当时，代数式的值是6，求当时，代数式的值． 类型五、操作问题 1．在两个整式，之间写上这两个整式之和，得到整式串：、、，看作第一次操作；再在、、每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的，得到一个新的整式串，看作第二次操作；第三次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的；第四次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的，…，则下列说法中： ①第二次操作得到整式串：，，，； ②第四次操作后的整式串的第四个整式为； ③第六次操作后的整式串中共有个整式65； ④当时，第2025次操作后得到的整式串中所有整式之和为2053351．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第25次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 3．宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞”数字，数学兴趣小组在研究“黑洞”数字时，在0到9之间，任取一组不全相等的三个数字，从大到小排列得到最大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，再按照上述方式重新排列，再相减，再得到一个新数…一直重复操作， 例如． 第1组：数字1，2，0，则； 第2组：数字1，9，8，则； 第3组：数字7，9，2，则； 第4组：数字6，9，3，则_________________． (1)根据规律，补充第4组横线的内容； (2)小组成员发现：任取这样一组不全相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个确定的“黑洞”数字，这个数是________________； (3)小组成员发现：在上述“重排求整”操作中，最大数和最小数的差能被99整除，推过程如下： 设一组三个数字为，，，不妨设，且，，不全相等，最大数可表示为__________________，最小数可表示为___________________，则最大数最小数（____________），所以最大数和最小数的差能被99除． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$3.3 整式的加减 一、单项式 1.单项式定义:数与字母乘积组成的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式。 2.单项式的系数:单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 3.单项式的次数:一个单项式中,所有字母指数的和叫做这个单项式的次数。 二、多项式 1.多项式的定义:几个单项式的和叫做多项式,多项式有几项,就叫做几项式。 2.多项式的项:多项式中每个单项式叫做多项式的项。 3.多项式的次数:多项式的次数就是多项式里次数最高项的次数,多项式的次数是几就叫几次多项式。 4.常数项:多项式中不含字母的项叫做常数项。 5.升、降幂排列:一个多项式按照某个字母的指数从大(小)到小(大)的顺序排列,叫做这个多项式按这个字母的降(升)幂排列。 三、整式的加减 1.合并同类项:把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数保持不变。 2.去括号法则:括号前面是“+”,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里的各项都不改变正负号;括号前面是“-”,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里的各项都改变正负号。 3.添括号法则:所添括号前面是“+”,括到括号里的各项都不改变正负号;所添括号前面是“-”,括到括号里的各项都改变正负号。 4.整式的加减步骤:先去括号,再合并同类项。 巩固课内例1:用多项式表示草坪面积 1.学校有一个长为6米,宽为5米的长方形花园,其中在这个花园中有横竖两条如图1所示两条大小相同的长方形通道,现要在剩余两个阴影部分的区域种草坪,并要在草坪四周围上围栏,根据你所学的知识,计算一下共需要多少围栏( ) A.24米 B.20米 C.22米 D.4米 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减的应用,设小长方形的长为x米,宽为y米,根据图形分别表示出左下角和右上角阴影部分的长方形的长和宽,然后根据整式的加减计算法则求和即可得到答案. 【详解】解:设小长方形的长为x米,宽为y米, 由题意得,左下角阴影部分的长方形长为,宽为, 右上角阴影部分的长方形长为,宽为, ∴两个阴影部分的区域的周长为 , ∴共需要多少围栏20米, 故选B. 2.如图,社区有一块长为米,宽为米的长方形空地,物业公司计划在空地内修一条底边密度为米的平行四边形小路,其余部分种植草坪,则草坪面积为 平方米.(用含、的代数式表示) 【答案】/ 【分析】本题考查了整式加减的应用,解题关键是能正确理解题意用、表示出草坪的面积. 根据题意用长方形的面积减去平行四边形的面积,表示出草坪的面积再化简即可解答. 【详解】解:(平方米), 故答案为:. 3.某公园准备修建块长方形草坪,长为30米,宽为20米,并在草坪上修建如图所示的十字路,已知十字路宽米,求:(用含的代数式表示) (1)修建的十字路面积是多少平方米? (2)草坪(阴影部分)的面积是多少平方米? 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】(1)根据修建的十字路面积等于两个小长方形的面积之和减去它们重合的小正方形的面积即可得; (2)根据草坪(阴影部分)的面积等于大长方形的面积减去修建的十字路面积即可得. 【详解】(1)解:由图可知,修建的十字路面积是(平方米), 答:修建的十字路面积是平方米. (2)解:因为修建的十字路面积是平方米, 所以草坪(阴影部分)的面积是(平方米), 答:草坪(阴影部分)的面积是平方米. 【点睛】本题考查了整式加减的应用,正确找出图形面积之间的关系是解题关键. 巩固课内例2:写出多项式的次数与项 1.多项式的次数是( ) A.5 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的概念,几个单项式的和叫做多项式.多项式中的每个单项式都叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项,多项式的每一项都包括前面的符号,多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数,掌握以上知识是解答本题的关键; 本题直接根据多项式次数的定义作答即可. 【详解】解:由题可得:中的次数最高,是3次, 故选:B. 2.多项式 是 次 项式,常数项是 . 【答案】 三 四 【分析】本题考查多项式的项数,次数,根据多项式的性质进行解答.多项式的次数是多项式中最高次项的次数,多项式的项数为组成多项式的单项式的个数.多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数,包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数. 【详解】解:多项式由四个单项式组成,最高次项是,次数是3,常数项是. 故答案为:三;四;. 3.写出同时满足下列个条件的一个多项式: 该多项式含有字母和; 该多项式第一项是常数项; 该多项式是三次四项式; 该多项式各项系数和为零. 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了多项式的相关知识,根据题意正确写出符合要求的多项式是解题的关键. 根据题目的要求可直接写出符合条件的多项式,本题为开放题,答案不唯一. 【详解】解:写出同时满足所给个条件的一个多项式如下: (答案不唯一). 巩固课内例3:合并同类项化简 1.合并同类项的结果等于( ) A. B. C.1 D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了合并同类项,合并同类项时,只对同类项的系数进行加减计算,字母和字母的指数保持不变,据此求解即可. 【详解】解:, 故选:A. 2.写一个可以与合并的单项式 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了同类项,根据同类项的定义即可求解,掌握同类项的定义是解题的关键. 【详解】解:可以与合并的单项式为, 故答案为:. 3.合并同类项: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项,掌握合并法则是关键; (1)按照同类项合并法则进行即可; (2)按照同类项合并法则进行即可; 【详解】(1)解: ; (2)解: . 巩固课内例4:行程问题 1.两船从同一港口同时出发反向而行,甲船顺水,乙船逆水,两船在静水中的速度都是a千米/时,水流速度为2千米/时,2小时后两船相距( )千米. A. B. C.8 D. 【答案】A 【分析】根据顺水的速度=船在静水中的速度+水流速度,逆水的速度=船在静水中的速度-水流速度,表示出顺水速度与逆水速度,再根据题意,利用时间 速度=路程,即可求出两船相距的距离. 【详解】解:由题意可得:顺水的速度为千米/时,逆水速度为千米/时,则2小时后两船相距的路程为. 故选:A. 【点睛】此题考查了列代数式和整式的加减,解题的关键是掌握行船问题的列式方法. 2.已知轮船在静水中前进的速度是m千米/时,水流的速度是2千米/时,则这轮船在逆水中航行2小时的路程是 千米. 【答案】2m-4 【分析】根据“逆流速度=静水速度-水流速度”表示出逆水航行的速度,然后乘以时间即可得出路程. 【详解】∵轮船在静水中前进的速度是m千米/时,水流的速度是2千米/时, ∴轮船在逆水中航行2小时的路程是2(m-2)=2m-4千米. 故答案为:2m-4. 【点睛】本题考查了顺流速度和逆流速度的表示方法:顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度,熟练地运用整式的加减运算是解题的关键. 3.两船从同一港口同时出发反向而行,甲船顺水,乙船逆水,两船在静水中的速度都是akm/h,水流速度是3km/h. (1)甲船速度为 km/h,乙船速度为 km/h; (2)3h后甲船比乙船多航行多少km? 【答案】(1)(a+3);(a﹣3);(2)3h后甲船比乙船多航行18km. 【分析】(1)根据顺水中船的速度=船在静水中的速度+水流速度,逆水中船的速度=船在静水中的速度-水流速度,列式求解即可; (2)根据题意分别表示出甲,乙两船3h后行驶的路程,然后即可求出甲船比乙船多航行的路程. 【详解】解:∵甲船顺水,乙船逆水,两船在静水中的速度都是akm/h,水流速度是3km/h, ∴甲船速度为(a+3);乙船速度为(a﹣3); (2)根据题意,得3(a+3)-3(a-3)=18(km). 答:3h后甲船比乙船多航行18km. 【点睛】此题考查了列代数式,解题的关键是掌握船顺流航行时的速度与逆流航行时的速度公式.顺水中船的速度=船在静水中的速度+水流速度,逆水中船的速度=船在静水中的速度-水流速度. 巩固课内例5:合并同类项后代入求值 1.已知,,则多项式的值为( ) A.1 B. C.2024 D. 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值,熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键.先计算整式的加减,再将的值代入计算即可得. 【详解】解: , 将,代入得:原式, 故选:A. 2.当时, . 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值,解题的关键是先对整式进行化简,再代入求值. 先合并同类项化简整式,再将代入化简后的式子计算结果. 【详解】解: . 然后将代入中: 原式= . 3.先化简,再求值.,其中 【答案】,4 【分析】此题考查了整式加减中的化简求值.先利用合并同类项得到化简结果,再把字母的值代入求值即可. 【详解】解: 当时, 原式 巩固课内例6:去括号化简 1.下列各式去括号正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了去括号法则,根据去括号法则逐一判断即可,解题的关键是正确掌握括号前是“”,去括号后,括号里的各项都不改变符号;括号前是“”,去括号后,括号里的各项都改变符号. 【详解】解:、,原选项运算错误,不符合题意; 、,原选项运算错误,不符合题意; 、,原选项运算错误,不符合题意; 、,原选项运算正确,符合题意; 故选:. 2.化简: . 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减.去括号,即可求解. 【详解】解:, 故答案为:. 3.化简: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减,合并同类项,掌握整式的加减运算法则是解题的关键. ()去括号,再合并同类项即可; ()去括号,再合并同类项即可; 【详解】(1)解:原式 ; (2)解:原式 . 巩固课内例7:去括号后代入求值 1.若,则的值为( ) A. B. C.8 D.10 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性以及整式的加减运算,化简求值,先由非负性,得出,然后去括号合并同类项,得,然后把分别代入计算,即可作答. 【详解】解:∵, ∴, ∴, 则, ∴把分别代入, 得, 故选:B. 2.如果,那么代数式的值为 . 【答案】 【分析】本题考查整式的加减与化简求值,熟练掌握相关运算法则是解题的关键.将原式去括号,合并同类项并整理后代入数值计算即可. 【详解】解:, , 故答案为:. 3.先化简,再求值,,其中. 【答案】; 【分析】本题考查整式化简求值,涉及整式加减运算法则、去括号法则与合并同类项法则,熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键.根据整式加减运算法则化简,先去括号,再合并同类项,然后将代入求值即可得到答案. 【详解】解:; ; ; ; 当时,原式. 巩固课内例8:求两个多项式的差 1.若一个长方形的周长为,其中一条边长为,则与其相邻的一条边长为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减, 根据长方形的周长与边之间的关系得出另一条边长为,再根据整式的加减法法则计算即可. 【详解】解:根据题意得另一条边长为. 故选:C. 2.一个长方形的周长为,其中长为,则宽为 . 【答案】/ 【分析】本题考查整式加减的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的代数式. 【详解】解:长方形的宽为, 故答案为:. 3.已知长方形的周长为,其中一边长为,求相邻的另一边长. 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减的应用,根据长方形周长公式列式求解即可. 【详解】解:∵长方形的周长为,其中一边长为, ∴另一边长. 巩固课内例9:化简分数形式的多项式 1.多项式与的和为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加减运算,根据题意把两式相加,然后去括号,然后合并同类项即可. 【详解】解:根据题意: 故选∶A. 2.化简: . 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键,将式子通分然后合并同类项即可. 【详解】解: 故答案为:. 3.计算与化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减,熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键. (1)先去括号,再计算整式的加减即可得; (2)先通分,再计算整式的加减即可得. 【详解】(1)解:原式 . (2)解:原式 . 类型一、单项式与多项式的定义 1.下列代数式,,,,中,单项式有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的判定,掌握单项式的概念是关键. 数字与字母的积的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也叫单项式,由此即可求解. 【详解】解:不是单项式, 是单项式, 是单项式, 是单项式, 不是单项式, ∴单项式有3个, 故选:C . 2.下列式子:,,,,,,,其中属于单项式的是 ,属于多项式的是 ,属于整式的是 . 【答案】 【分析】本题考查单项式、多项式、整式的概念,解题的关键是准确理解并依据这些概念来对给定式子进行分类. ①依据单项式的定义找出单项式; ②依据多项式的定义找出多项式; ③根据整式包含单项式和多项式确定整式. 【详解】①单项式是数或字母的积组成的代数式,单独的一个数或一个字母也叫做单项式, 是单独的数,是数与字母的积,是单独的数,是数5与字母x,y的积,是数2与字母x,y的积,所以单项式是; ②几个单项式的和叫做多项式,是单项式与的和,所以多项式是,故(2)处填; ③整式为单项式和多项式的统称,所以整式是, 故答案为:① ② ③ 3.把下列代数式分别填在相应的括号内. (1)单项式:{ …} (2)多项式:{ …} 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式、多项式的定义,熟练掌握相关知识是解题关键. (1)根据单项式是数与字母的积可得答案; (2)根据多项式是几个单项式的和可得答案. 【详解】(1)解∶ 单项式:{…} (2)解∶ 多项式:{,…} 类型二、同类项的认识 1.下列式子中,的同类项是( ) A. B. C.2 D. 【答案】D 【分析】本题考查的是同类项的定义,解题的关键在于掌握判断同类项的依据. 根据同类项的定义:所含字母相同,相同字母的次数相同,逐项判断,即可解题. 【详解】解:根据同类项的定义可知,的同类项是, 故选:D. 2.若与是同类项,则 . 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义,根据同类项所含字母相同,相同字母的指数也相等,可得:. 【详解】解:与是同类项, . 故答案为:. 3.若代数式与是同类项,化简并求值:. 【答案】, 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值,以及同类项定义,利用同类项的定义求出x与y的值,原式去括号合并后,把x与y的值代入计算即可求出值,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 【详解】解:原式, 代数式与是同类项, , , 原式. 类型三、单项式的系数与次数 1.单项式的系数和次数分别是( ). A.,12 B.1,12 C.,9 D.1,9 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式,熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数,一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键. 【详解】解:∵, ∴该单项式的系数为,次数为. 故故选A. 2.若单项式的系数是m,次数是n,则 . 【答案】 【分析】本题考查单项式、代数式求值,熟知单项式的系数、次数是解题的关键.数字与字母的积叫做单项式,其中数字因数叫做单项式的系数,所有字母的指数之和叫做单项式的次数,单独的一个数或字母也是单项式,据此求得m,n值即可求解. 【详解】解:由题意,单项式的系数,次数是, ∴, 3.若a、b互为相反数,c、d互为倒数,m的绝对值等于3,n是单项式的系数. (1)填空:_,_,_,_; (2)求的值. 【答案】(1)0,1,, (2) 【分析】本题主要考查代数式的值、相反数、倒数、绝对值及单项式,熟练掌握各个概念是解题的关键; (1)根据相反数、倒数、绝对值及单项式的系数可进行求解; (2)把(1)中的值代入进行求解即可. 【详解】(1)解:由题意得:; 故答案为0,1,,; (2)解:∵,,,, ∴, ∴ . 类型四、整式的加减运算 1.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减.根据合并同类项法则,逐项判断即可求解. 【详解】解:A、和不是同类项,无法合并,故本选项不符合题意; B、,故本选项符合题意; C、,故本选项不符合题意; D、,故本选项不符合题意; 故选:B. 2.若一个多项式加上,结果是,则这个多项式为 . 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算.根据题意“一个多项式加上,结果是”,进行列出式子:,再去括号合并同类项即可. 【详解】解:依题意这个多项式为: , 故答案为:. 3.已知. (1)计算; (2)若、满足,求的值. 【答案】(1) (2)99 【分析】本题主要考查整式的加减运算和非负数的性质以及代数式求值,正确运用去括号法则进行化简是解答本题的关键. (1)原式去括号,合并同类项即可得到答案; (2)根据非负数的性质求出的值,再代入(1)中结果进行计算即可. 【详解】(1)解:∵ ∴ . (2)解:∵, ∴,. 解得:,. 将,代入, 原式. 类型一、绝对值在数轴中的化简 1.数轴上表示数a,b的点如图所示,则式子化简的结果为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和绝对值,利用数轴知识和绝对值的定义解答,解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义. 【详解】解:由数轴图可知,,, ∴,, ∴, 故选:D. 2.有理数,,在数轴上所表示的点的位置如图所示,且,,则化简 . 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简,整式的加减,有理数的乘法,数轴,熟练根据题意判断出数轴原点的位置是解题的关键.由图可知,由,得,再结合,则可知原点的大致位置,则可知,,,再化简绝对值,再进行整式的加减即可. 【详解】解:由图可知, ∵, ∴, 又∵, 则可知原点的位置大致为: 则可知,,, ∴ , 故答案为:. 3.有理数,,在数轴上所对应的点的位置如图: (1)用“”或“”填空: 0, 0, 0; (2)化简:. 【答案】(1);; (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较、数轴以及绝对值,牢记有理数大小比较的法则是解题的关键. (1)观察数轴可知,由此即可得出结论; (2)由、、结合绝对值的定义,即可得出的值. 【详解】(1)解:观察数轴可知:, ,,. 故答案为:;;. (2),,, . 类型二、升幂与降幂排列 1.多项式按的降幂排列正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】把一个多项式按照某一字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按照这个字母降幂排列.本题考查多项式的降幂排列,掌握方法并注意符号不变才能正确求解. 【详解】解:依题意,按字母的降幂排列为 故选:C 2.将多项式按的升幂排列的结果为 . 【答案】 【分析】本题考查了升幂排列的定义:我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列称为按这个字母的升幂排列.多项式能够重新排列的依据是加法的交换律.注意,在排列多项式各项时,要保持其原有的符号.先分清多项式的各项,再把各项按字母x的指数从小到大排列即可. 【详解】解:多项式的各项为,,,, 按字母x的升幂排列是:. 故答案为:. 3.将多项式按下列要求进行排列: (1)按的降幂排列; (2)按的升幂排列. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的有关知识,关键是掌握多项式降幂或升幂排列的概念. (1)把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做多项式按照这个字母降幂排列,由此即可得到答案. (2)把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做多项式按照这个字母升幂排列,由此即可得到答案. 【详解】(1)解:多项式按的降幂排列为: (2)解:多项式按的升幂排列: 类型三、不含某项、与某项无关 1.多项式中不含项,则a的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减无关型问题,熟练运用合并同类项的法则,“多项式中不含某一项即合并同类项后某项的系数为零”是解题的关键.先去括号,合并同类项,然后令项的系数为0,即可求解. 【详解】解: , ∵多项式中不含项, ∴, ∴. 故选:C. 2.已知关于的整式(为常数).若整式的取值与无关,则的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减法则,熟练掌握运算法则是解决本题的关键.列出的式子,令含的式子前的系数为求解即可. 【详解】解:∵, ∴, ∵整式的取值与无关, ∴,, 解得:,, 则, 故答案为:. 3.【阅读理解】已知,若F的值和x的取值无关,则,.所以当时,和x的取值无关. 【知识应用】已知,. (1)用含m,n,x的式子表示; (2)若的值和x的取值无关,求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减,熟练掌握运算法则是解答本题的关键. (1)运用合并同类项法则进行计算即可; (2)判断,,求出的值,再代入计算即可. 【详解】(1)解:∵,, ∴ ; (2)解:∵,且的值和的取值无关, ∴,. ∴,. ∴. 类型四、化简求值 1.已知,,则代数式的值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减,代数式求值,解题的关键关键将整式变形为含有所给数值的代数式及整体思想的应用. 先由等式变形为,再将,代入求值即可. 【详解】解: , ∵,, ∴原式 , 故选:. 2.如果代数式的值是0,那么代数式的值是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值,先根据题意得到,再把所求式子去括号后合并同类项得到,据此利用整体代入法求解即可. 【详解】解:∵代数式的值是0, ∴, ∴, ∴ , 故答案为:. 3.先化简,再求值 (1)其中 (2)已知,求代数式的值 【答案】(1), (2) 【分析】本题考查整式加减运算中的化简求值: (1)去括号,合并同类项后,代值计算即可; (2)根据非负性求出的值,将代数式去括号,合并同类项后,代值计算即可. 【详解】(1)解:原式 ; 当时,原式; (2)∵ ∴, ∴, ∴ . 类型五、看错与抄错问题 1.淇淇计算时看错了两个运算符号(看成了,或看成了),得出结果为89,淇淇看错的情况可能共有( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减运算,熟练掌握相关运算法则是解题关键.原式正确计算结果为95,而算错结果为89,看错符号的两个数差3且减小数和加大数看错,据此分析即可. 【详解】解:, 而算错结果为89,看错符号的两个数差3且减小数和加大数看错, 则看错的情况可能共有:①看成,看成; ②看成,看成; ③看成,看成. 所以,看错的情况可能共有3种. 故选:C. 2.某同学把错抄成,若符合题意的答案为,抄错后的结果为,则 . 【答案】 【分析】本题考查的是整式的加减运算.设框表示的数为,再表示正确的结果为:,抄错后的结果为:,再列式计算即可. 【详解】解:设框表示的数为, 则正确的结果为:, 抄错后的结果为:, . 故答案为:. 3.[教材复习题17变式]有一道题“先化简,再求值:,其中”小明做题时把“”抄错成了“”.但他计算的结果却是正确的,请你说明这是什么原因? 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了整式的化简,代数式求值,熟练掌握合并同类项的运算法则是解题的关键.将代数式去括号,合并同类项得,无论还是,的值都相等. 【详解】解:原式, 和时,的值相等, 他抄错了,但计算的结果是正确的. 类型六、整式加减的实际应用 1.如图所示,某公司有三个住宅区,、、各区分别住有职工30人,15人,10人,且这三点在一条大道上(、、三点共线),已知米,米.为方便职工上下班,该公司接送车打算只设一个停靠点,为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小,那么该停靠点的位置应设在( ) A.点 B.点 C.、之间 D.、之间 【答案】A 【分析】本题主要考查列代数式,不等式的性质.由题意设一个停靠点,求出总路程再比较大小即可. 【详解】解:①以点A为停靠点,则所有人的路程的和(米), ②以点B为停靠点,则所有人的路程的和(米), ③以点C为停靠点,则所有人的路程的和(米), ④当在之间停靠时,设停靠点到A的距离是,则(),所有人的路程的和是:, ⑤当在之间停靠时,设停靠点到B的距离为,则(),则总路程为. ∴该停靠点的位置应设在点; 故选:A. 2.如图是两个正方形组成的图形(不重叠无缝隙),用含字母的整式表示出阴影部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查了正方形的面积,三角形的面积,整式加减的应用,熟练掌握相关知识点是解题的关键. 由图得,即可得到答案. 【详解】解:由图得, 故答案为:. 3.如图所示的是一扇窗户的示意图,上部是半圆形,下部是四个边长相等的小正方形. (1)计算窗户的面积及窗框的总长; (2)当时,窗户的面积及窗框的总长分别是多少?(取) 【答案】(1)窗户的面积为;窗框的总长为; (2)窗户的面积为;窗框的总长为. 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值,整式加减的应用,根据面积公式正确列式是解题关键. (1)根据图形,利用正方形的面积公式,圆的面积和周长公式列式即可; (2)将的值代入计算即可. 【详解】(1)解:窗户的面积为, 窗框的总长为; (2)解:当时, 窗户的面积为, 窗框的总长为. 类型一、数字规律 1.如果有2019名学生排成一列,按1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1…的规律报数,那么第2019名学生所报的数是( ) A.2 B.1 C.3 D.4 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索,观察数列规律,每6个数(1、2、3、4、3、2)为一个周期循环.计算2019除以6的余数,即可确定第2019名学生对应的数. 【详解】解:∵有2019名学生排成一列,按1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1…的规律报数, ∴每6次报数为一个循环,所报的数依次为1,2,3,4,3,2, ∵, ∴第2019名学生所报的数是3, 故选:C. 2.已知,,,,计算的结果的个位数字是 . 【答案】0 【分析】本题主要考查平方差公式,根据将原式变形为得,再判断出的个位数字即可. 【详解】解: ; ∵,个位数字是3; ,个位数字是9; ,个位数字是7; ,个位数字是1; ,个位数字是3; ⋯ 可以发现,3的幂次方的个位数字是以3,9,7,1这4个数依次循环, ∵, ∴的个位数字是1, ∴的个位数字0, 故答案为:0. 3.观察右边算式的规律:,,,,… (1)用含有字母的式子表示规律:( ) (2)用规律进行计算:( ) 【答案】(1) (2)210 【分析】本题考查找规律,有理数的混合运算,观察算式,找到算式的规律,应用发现的规律解决问题是解题的关键. (1)观察算式,发现规律,相邻两个自然数(0除外)的平方差等于这两个数的和,据此规律写出用字母n表示的式子; (2)直接用算式的规律计算出算式的结果即可. 【详解】(1)解: , 所以用含有字母n的式子表示规律:, 故答案为:. (2)解: , 故答案为:. 类型二、图形规律 1.如图摆1个三角形用3根小棒,摆2个三角形用5根小棒,摆3个三角形用7根小棒.照这样,摆12个三角形用( )根小棒. A.25 B.24 C.36 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律探究,找出规律是解题的关键. 根据题意,摆1个三角形用3根小棒,摆2个三角形用5根小棒,摆3个三角形用7根小棒……发现:每增加一个三角形,小棒的数量增加2根,据此找出规律,并按规律解答. 【详解】解:观察图形可知: 摆1个三角形用3根小棒,; 摆2个三角形用5根小棒,; 摆3个三角形用7根小棒,; …… 规律:摆n个三角形用根小棒. 当时,(根) 故选:A. 2.在求的值时,发现:,从而得到.按此方法可解决下面问题.图①有1个三角形,记作;分别连接这个三角形三边中点得到图②,有5个三角形,记作;再分别连接图②中间的小三角形三边中点得到图③,有9个三角形,记作;按此方法继续下去,则 . 【答案】25 【分析】本题考查了图形的变化规律,根据题意得到,即可求解,找到规律是解题的关键. 【详解】解:图①有1个三角形,记作, 图②,有5个三角形,记作, 图③,有9个三角形,记作, , ∴第个图中三角形的个数为:, ∴, 故答案为:. 3.【观察思考】 如图某公园围栏是由圆形构成的图案,每个圆形的边上都有“”或“第个图案中“”有个,“”有个;第个图案中“”有个,“”有个;第个图案中“”有个,“”有个;第个图案中“”有个,“”有个. 【规律发现】 (1)请求出第个图案中“”有_个,“”有_个;(用含的式子表示) 【规律应用】 (2)现有个“”,按此规律制作围栏,要求“”剩余最少,需要购买多少个“”? 【答案】(1),,(2)需要购买个“” 【分析】此题考查了图形个数规律题,发现正确的规律是解题的关键. (1)根据题中的规律进行解答即可; (2)利用(1)中的规律即可得到答案. 【详解】(1)由所给图形可知, 第个图案中“”的个数为:,“”的个数为:; 第个图案中“”的个数为:,“”的个数为:; 第个图案中“”的个数为:,“”的个数为:; , 所以第个图案中“”的个数为个,“”的个数为个. 故答案为:,. (2)由得, , 所以制作成第个图案“”剩余最少, 此时需要购买的“”的个数为:个, 故需要购买个“”. 类型三、新定义问题 1.我们知道,引进了无理数后,有理数集就扩展到实数集.同样,如果引进“虚数”,则实数集就扩展到“复数集”.现在我们定义:虚数单位“”,其运算规则是:,,,,,,,则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了规律性问题,根据运算法则可知个运算一循环,进而即可求解,解题的关键是通过所给的数据发现其中的变化规律,利用发现的规律进行解题. 【详解】解:∵,,,,,,, , ∴根据运算法则可知个运算一循环, ∴, ∴, 故选:. 2.定义一种新运算“※”,规定:,例如:. (1)则的值 ; (2)若,则的值 . 【答案】 【分析】本题主要考查了新运算法则、代数式求值等知识点,掌握新运算法则成为解题的关键. (1)直接根据新的运算法则求解即可; (2)先根据新的运算法则化简,然后将整体代入求值即可. 【详解】解:(1). 故答案为:. (2) . 故答案为:. 3.定义一种新运算“f”:表示n在运算f作用下的结果.若表示n在运算f作用下的结果,它对一些数的运算结果如下:,,,……根据以上定义完成以下问题: (1)计算的值; (2)计算的值. 【答案】(1)39 (2) 【分析】本题考查了数字规律类探索及有理数的混合运算,理解新运算的法则是解题的关键. (1)根据新运算,令即可求得的值; (2)利用新运算可分别求得的值,代入即可求解; 【详解】(1)解:当时,; (2)解:∵, , , , , , , , . 类型四、整体思想 1.数学思想 整体思想 若代数式的值为8,则代数式的值为( ) A.14 B.12 C.6 D. 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值,先求出,然后代入计算即可. 【详解】解:由题意可得, 所以, 所以, 所以. 故选C. 2.“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法,它广泛应用于数学运算中.例如:已知:,则.利用上述思想方法计算:已知, . 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值,熟练掌握“整体代入法求代数式的值”是解题的关键.首先将化简,再将代入求值即可. 【详解】 , 当时, 原式, 故答案为:. 3.运用整体思想求代数式的值非常重要. 例如:已知,则代数式. 请你根据以上材料,解答下列问题. (1)若,求的值; (2)已知当时,代数式的值是6,求当时,代数式的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值,熟练掌握整体代入法是解题的关键. (1)将整体代入求值即可; (2)根据时,代数式的值是6,得出,把代入代数式,并把整体代入求值即可. 【详解】(1)解:因为. 所以. (2)解:因为当时,代数式的值是6, 所以, 所以. 当时,代数式, 所以当时,代数式的值为. 类型五、操作问题 1.在两个整式,之间写上这两个整式之和,得到整式串:、、,看作第一次操作;再在、、每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的,得到一个新的整式串,看作第二次操作;第三次操作就在第二次操作基础上,每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的;第四次操作就在第三次操作基础上,每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的,…,则下列说法中: ①第二次操作得到整式串:,,,; ②第四次操作后的整式串的第四个整式为; ③第六次操作后的整式串中共有个整式65; ④当时,第2025次操作后得到的整式串中所有整式之和为2053351.正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探究,整式的加减运算;根据新定义计算第二次操作得到整式串,即可判断①,同理计算第四次操作得到的整式串,即可判断②,根据规律,每一次是前一次数量的2倍少1个,进而求得总数量,即判断③和④, 【详解】解:第一次操作得到整式串:、、,共有个整式, ①第二次操作得到整式串:,,,,,故①不正确,共有个整式, 第三次操作得到整式串:,,,,,,,,,共有个整式, 第四次操作得到整式串:,,,,,,共有个整式,; ……,第次操作得到整式串共有个整式 ②第四次操作后的整式串的第四个整式为,故②正确; ③第六次操作后的整式串中共有个整式,故③正确 ④第一次操作得到整式串:、、,其和为 第二次操作得到整式串:,,,,,其和为, 第三次操作得到整式串:,,,,,,,,,其和为, ……, 第次操作得到整式和为: 当时,第次操作后得到的整式串中所有整式之和为,故④不正确. 故选:B. 2.有依次排列的3个数:2,9,7,对任意相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:2,7,9,,7,这称为第1次操作;做第2次同样的操作后也可产生一个新数串:2,5,7,2,9,,,9,7,继续依次操作下去,问:从数串2,9,7开始操作第25次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 . 【答案】143 【分析】本题考查了数字类的变化规律,找出每一次操作比前一次操作所增加的数之和是解题的关键.根据题意可知,每一次操作都比前一次操作所增加的数之和为5,据此即可求解. 【详解】解:第一次操作增加的数为7和,增加的数之和为, 第二次操作比第一次操作增加的数为5,2,,9,增加的数之和为, …… 依次操作下去,每一次操作都比前一次操作所增加的数之和为5, 操作第25次以后所产生的那个新数串的所有数之和是. 故答案为:143. 3.宇宙中存在一种神秘的黑洞天体,数学中也有一种神秘的“黑洞”数字,数学兴趣小组在研究“黑洞”数字时,在0到9之间,任取一组不全相等的三个数字,从大到小排列得到最大数,再从小到大排列得到最小数,然后用最大数减去最小数,得到一个新数,再按照上述方式重新排列,再相减,再得到一个新数…一直重复操作, 例如. 第1组:数字1,2,0,则; 第2组:数字1,9,8,则; 第3组:数字7,9,2,则; 第4组:数字6,9,3,则_. (1)根据规律,补充第4组横线的内容; (2)小组成员发现:任取这样一组不全相等的三个数字,经过有限次上述“重排求差”操作后,最终会得到一个确定的“黑洞”数字,这个数是_; (3)小组成员发现:在上述“重排求整”操作中,最大数和最小数的差能被99整除,推过程如下: 设一组三个数字为,,,不妨设,且,,不全相等,最大数可表示为_,最小数可表示为_,则最大数最小数(_),所以最大数和最小数的差能被99除. 【答案】(1) (2)495 (3),, 【分析】此题考查了数字规律问题,列代数式,有理数的减法,整式的加减的应用,解题的关键是正确分析题意. (1)根据题意列式求解即可; (2)根据题意继续写出第5组和第6组数字,进而找到规律求解即可; (3)根据题意得到最大数可表示为,最小数可表示为,然后作差求解即可. 【详解】(1)根据题意得, 第4组:数字6,9,3,则; (2)第5组:数字5,9,4,则; 第6组:数字5,9,4,则; ∴最终会得到一个确定的“黑洞”数字,这个数是495; (3)设一组三个数字为,,,不妨设,且,,不全相等, 最大数可表示为,最小数可表示为, ∴ ∴所以最大数和最小数的差能被99除. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$