精品解析：河南省济源市实验中学2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

实验中学2025年春学段期中考试试卷 七年级数学 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 如果|a|=|b|，那么a=b B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 相等的角是对顶角 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 2. 若是关于的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　　） A. a+3＞b+3 B. C. 2a+1＞2b+1 D. 5-3a>5-3b 4. 在社团活动中，为培养学生动手操作能力，发展学生思维能力，王老师让学生把长的彩绳截成或的彩绳，用来做手工编织，要求两种规格都有，且不造成浪费，则不同的截法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 5. 如图，已知直线l1l2，直线l与l1，l2分别相交于点A，B，把一块含30°角的直角三角尺按如图位置摆放，若∠1＝130°，则∠ABD的度数为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 6. 如图，下列条件中，能够判定的是（ ） A B. C. D. 7. 如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 35° D. 50° 8. 已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕重量各为多少？设一只 雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是关于的二元一次方程，则______． 12. 已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是______．（填写所有正确的序号） 13. 如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为____． 14. 下列三个日常现象： 其中，可以用“垂线段最短”来解释的是 _____ （填序号）． 15. 健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是_______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）解方程组： （2）解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 17. 阅读理解，补全证明过程及推理依据． 已知：，，．与平行吗？为什么？ 解：． 理由如下； ∵（ ） ∵________°．（ ） 即________° 又∵ 且 ∴________=________（ ） ∴（ ） 18. 如图，已知直线，相交于点O，平分，． （1）如果，求，度数； （2）如果，求的度数； （3）写出图中所有与互余的角：______________． 19. 如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同小长方形，所标尺寸如图所示，请你利用方程组的思想方法解决以下问题： （1）求小长方形的长和宽； （2）求出图中阴影部分面积． 20. 甲、乙两人共同解关于x，y的方程组由于甲看错了方程①的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试求出a，b的正确值，并计算的值． 21. 为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元． （1）求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？ （2）学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，求学校有哪几种购买方案？ 22. 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． （1）方程组的解与_______（“具有”或“不具有”）“友好关系”，并说明理由； （2）若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； （3）未知数为的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 23. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点． 【提出问题】 小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，的数量关系为______；如图③，已知，，则______°．（不需要写解答过程） 拓广提升】 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线分别平分和交直线于点与内部的一条射线交字点，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实验中学2025年春学段期中考试试卷 七年级数学 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 如果|a|=|b|，那么a=b B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 相等的角是对顶角 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的意义对A选项进行判断；根据平行线的性质对B选项进行判断；根据对顶角的定义对C选项进行判断；根据平行线的判定方法对D选项进行判断． 【详解】解：A．如果|a|＝|b|，那么a＝b或a＝﹣b，则原命题是假命题，所以A选项不符合题意； B．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，则原命题是假命题，所以B选项不符合题意； C．相等的角不一定为对顶角，则原命题是假命题，所以C选项不符合题意； D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，则原命题是真命题，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理,解题关键是熟记相交线和平行线的有关性质，准确进行判断． 2. 若是关于二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接把代入方程，即可求出m的值． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的解， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握运算法则，正确求出m的值． 3. 若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　　） A. a+3＞b+3 B. C. 2a+1＞2b+1 D. 5-3a>5-3b 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质进行解答． 【详解】解：A、在不等式a>b的两边同时加上3，不等式仍成立，即，故本选项变形正确，符合题意； B、在不等式a>b的两边同时除以5，不等式仍成立，即，故本选项变形正确，符合题意； C、在不等式a>b的两边同时乘以2再加1，不等式仍成立，即，故本选项变形正确，符合题意； D、在不等式a>b的两边同时乘以−3再加5，不等号方向改变，即5−3a<5−3b，故本选项变形错误，不符合题意； 故选ABC． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 4. 在社团活动中，为培养学生动手操作能力，发展学生思维能力，王老师让学生把长的彩绳截成或的彩绳，用来做手工编织，要求两种规格都有，且不造成浪费，则不同的截法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】设截2m的彩绳x根，1m的彩绳y根，根据彩绳总长为5m，即可得出关于x、y的二元一次方程，再根据x、y均为非负整数，即可找出各不同截法，此题得解． 【详解】解：设截2m的彩绳x根，1m的彩绳y根， 根据题意得：2x+y=5， ∴y=5-2x． ∵x、y均为非负整数， ∴①当x=1时，y=3； ②当x=2时，y=1． ∴有两种不同的截法． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据彩绳的总长度，列出关于x、y的二元一次方程是解题的关键． 5. 如图，已知直线l1l2，直线l与l1，l2分别相交于点A，B，把一块含30°角的直角三角尺按如图位置摆放，若∠1＝130°，则∠ABD的度数为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质求出∠CBA即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵l1l2， ∴∠2+∠CBA＝180°， ∵∠2＝∠1＝130°， ∴∠CBA＝180°－∠2＝50°， ∵∠DBC＝30°， ∴∠ABD＝∠CBA－∠DBC ＝50°﹣30°＝20°， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6. 如图，下列条件中，能够判定的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法，逐一进行判定即可． 【详解】解：A、∵，∴，不能判定，不符合题意； B、∵，∴，不能判定，不符合题意； C、∵，∴，符合题意； D、∵，∴，不能判定，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平行线的判定．熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．注意区分截线． 7. 如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 35° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得∠BCF+∠ABC=180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，再由平行线的性质，即可得出∠CDE的度数． 【详解】解：由题意得，AB∥DE， 如图，过点C作CF∥AB，则CF∥DE， ∴∠BCF+∠ABC=180°， ∴∠BCF=180°-125°=55°， ∴∠DCF=75°-55°=20°， ∴∠CDE=∠DCF=20°． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解． 8. 已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，、的方程组和有相同的解，列出方程组求出、的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 因为两方程有相同的解， 所以将代入， 得， 解得， 所以． 故选：B． 9. 关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．先解不等式组，再根据仅有5个整数解，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解仅有5个， 不等式组的整数解有、、、、， ， ， 故选：B． 10. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只 雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1 (2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y＝5y+x, 故选C. 【点睛】此题考查二元一次方程组应用，解题关键在于列出方程组 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是关于的二元一次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键． 根据二元一次方程定义解答即可． 【详解】解：是关于的二元一次方程， 且， 解得：， 故答案为：． 12. 已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是______．（填写所有正确的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查两直线的位置关系，平行公理，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确； ②如果，，那么，正确； ③如果，，那么，错误，应该； ④如果，，那么，正确． 故答案为：①②④． 13. 如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的平移的性质，先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， ， 阴影部分的周长为． 故本题答案为：12． 14. 下列三个日常现象： 其中，可以用“垂线段最短”来解释的是 _____ （填序号）． 【答案】① 【解析】 【分析】根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论． 【详解】解：可以用“垂线段最短”来解释①， 可以“两点之间线段最短” 来解释②， 可以用“两点确定一条直线” 来解释③， 故答案为：①． 【点睛】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键． 15. 健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是_______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定并灵活运用． 过点作，得出，即可得，结合，得出，然后根据得出，即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）解方程组： （2）解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2）不等式组的解集为，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集等知识．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集是解题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先分别求两个不等式的解集，进而可得一元一次不等式组的解集，最后在数轴上表示解集即可． 【小问1详解】 解：， 得，， 解得， 将①得，， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： ． 17. 阅读理解，补全证明过程及推理依据． 已知：，，．与平行吗？为什么？ 解：． 理由如下； ∵（ ） ∵________°．（ ） 即________° 又∵ 且 ∴________=________（ ） ∴（ ） 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用垂线的定义，结合补角的性质得到，根据平行线的判定求解即可． 【详解】解：． 理由如下； ∵（已知） ∵．（垂线的定义） 即， 又∵， 且， ∴（等角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练运用垂线的定义和补角的性质是解题的关键． 18. 如图，已知直线，相交于点O，平分，． （1）如果，求，的度数； （2）如果，求的度数； （3）写出图中所有与互余的角：______________． 【答案】（1）； （2） （3）图中所有与互余的角，； 【解析】 【分析】此题主要考查了角的计算，对顶角的性质，互为余角的定义，角平分线的定义，理解对顶角 的性质，互为余角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）先由对顶角相等得，根据角平分线的定义得，再由得，最后根据即可求解； （2）根据，，可求出，然后根据平分，即可求解； （3）根据得，再根据和平分即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线，相交于点O， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ 【小问3详解】 ∵ ∴ ∴ ∴与互余； ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴与互余； ∴图中所有与互余的角，； 19. 如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，请你利用方程组的思想方法解决以下问题： （1）求小长方形的长和宽； （2）求出图中阴影部分面积． 【答案】（1）小长方形的长为8 cm，宽为2 cm．（2）44cm2 【解析】 【分析】（1）设小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据题意列二元一次方程组，进而解方程组解决问题； （2）根据（1）的结论，根据阴影部分面积等于大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求得 【详解】（1）解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，由题意得; 解得： ． 答：小长方形的长为8cm，宽为2 cm． （2）由题意可得： =44（） 所以阴影部分面积为44． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出二元一次方程组是解题的关键． 20. 甲、乙两人共同解关于x，y的方程组由于甲看错了方程①的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试求出a，b的正确值，并计算的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，有理数的混合运算等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键，将代入方程组的第二个方程，求出的值；将代入方程组的第一个方程，求出的值；将所求的、的值代入，计算即可． 【详解】解：将代入②，得，解得， 将代入①，得，解得， 当，时，． 21. 为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元． （1）求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？ （2）学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，求学校有哪几种购买方案？ 【答案】（1）每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元 （2）有3种购买方案，分别为：方案一：购买甲种品牌的足球20个，则购买乙种品牌的足球30个；方案二：购买甲种品牌的足球21个，则购买乙种品牌的足球29个；方案三：购买甲种品牌的足球22个，则购买乙种品牌的足球28个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据“购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元”建立方程组求解； （2）设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个，根据“总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个”建立一元一次不等式组求解． 【小问1详解】 解：设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据题意，得： ， 解方程组得， 答：每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元； 【小问2详解】 解：设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个， 根据题意得： 解得： 取正整数为20，21，22． 所以有3种购买方案，分别为： 方案一：购买甲种品牌的足球20个，则购买乙种品牌的足球30个． 方案二：购买甲种品牌足球21个，则购买乙种品牌的足球29个； 方案三：购买甲种品牌的足球22个，则购买乙种品牌的足球28个． 22. 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． （1）方程组的解与_______（“具有”或“不具有”）“友好关系”，并说明理由； （2）若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； （3）未知数为的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【答案】（1）具有，理由见解析 （2）或 （3）具有“友好关系”，， 【解析】 【分析】（）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①-②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； 【小问2详解】 解：， ①+②得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴方程组的解为， 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； 【小问3详解】 解：， ①得，， 解得， 与都是正整数， 当时，， 则， 此时方程组的解具有“友好关系”； 当时，， 则， 此时方程组的解不具有“友好关系”； 当时，（不合，舍去）； 当时，（不合，舍去）； 综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”． 23. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点． 【提出问题】 小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，的数量关系为______；如图③，已知，，则______°．（不需要写解答过程） 【拓广提升】 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线分别平分和交直线于点与内部的一条射线交字点，若，求的度数． 【答案】解决问题：[探究一]；[探究二]，145；[拓广提升] 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由此结论来解决问题． 探究一：由平行线的性质推出，得到即可解决问题； 探究二：如图②，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到； 如图③，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到； 如图④，由探究一的结论得到而，推出又，得到． 【详解】解：[探究一]：，理由如下： 如图①， ∵， ∴， ∴， ∴． [探究二]如图②， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 如图③，延长交于L， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． [拓广提升]∵射线分别平分和， ∴， 如图④， 由探究一的结论得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$