专题05：有理数的乘法与除法（3大知识点+10大题型+真题检验） 2025年新六年级暑假班预修提升课程（沪教版2024）

2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题05 有理数的乘法与除法 知识点一、有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． （3）乘积为1的两个数互为倒数 要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 要点诠释： （1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 要点诠释： （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 知识点二、有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点诠释： (1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点诠释： （1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 知识点三、有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 题型1：两个数的乘法运算 【名师点拨】有理数乘法的运算步骤: (1)先确定积的符号 ; (2)再确定积的绝对值; 【例1】计算的结果是（    ） 【例2】计算： ______， ______，______，______， _______，______． 【跟踪训练】 1.计算的结果是（    ） A． B． C． D．6 2.计算： （1）3.7×3 （2）（+5.6）×（﹣1.2） （3）（﹣3.48）×（﹣0.7） 题型2：多个数的乘法运算 【名师点拨】多个有理数相乘时，要根据负因数的个数先确定积的符号，再把绝对值相乘。 （1）当负因数有奇数个时，积为负；(2)当负因数有偶数个时，积为正几个数相乘,如果其中有因数为0，积等于0。 【例3】下列运算结果是负数是（ ） A. B. C. D. 【例4】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【跟踪训练】 1.计算：________． 2.计算的结果的符号为_______． 3.计算： (1) (2) 4．计算： (1)（1）； 题型3：有理数乘法运算律 【名师点拨】（1）乘法的交换律、结合律、分配律用字母表示分别为：ab=ba，(ab)c= a(bc)，a(b＋c)= ab＋ac. （2）在应用乘法分配律时，应注意：①括号外的项要乘以括号内的每一项；②当括号外的项是负数时，一定要注意带上“－”号乘进去. （3）乘法的运算律，可以推广到多个数的情况. 乘法交换律、结合律：abcd=b(ac)d 【例5】在算式：中，运用了（　　） A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．分配律 D．加法交换律 【例6】用简便方法计算： ． ． 【例7】利用运算律做较简便的计算： (1)； (2)； (3)． 【跟踪训练】 1.简便计算： （1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）； （2）（）×（﹣12）； （3）（﹣19）． （4）（﹣48）×0.125+48 2 .用运算律巧算： （1）      （2） （3）            （4） 题型4：倒数 【名师点拨】乘积是1的两个数互为倒数。注：(倒数同正同负) 点拨:用字母表示乘数时,“x”号可以写成“·”或省略, 如axb 【例8】2024相反数的倒数是( ) 【例9】若m，n互为倒数，且满足，则n的值为( ) 【跟踪训练】 1. 的倒数的相反数是(　　) A． B． C．2 D． 2.绝对值等于本身的数是______，倒数等于它本身的数是______． 3．若a、b互为相反数,c、d互为倒数,,则式子的值为____________. 4.下列说法中正确的是（    ） A．两个正数互为倒数，其中一个数必大于1 B．数的倒数是 C．如果一个数的倒数是它本身，那么这个数一定是1 D．如果两个数互为倒数，那么它们的积一定是1【 题型5：除法运算 【名师点拨】除法步骤： ①将除号变为乘号。②将除数变为它的倒数。③按照乘法法则进行计算 【例10】计算 (1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－)； (3)(－0.75)÷(0.25)． 【例11】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【例12】计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.计算的结果是（    ） A． B． C． D．1 2.计算：_____________．3.计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 题型6：乘除法的符号问题 【例13】若，则必有（    ） A．， B．， C．， D．，或者， 【例14】如果a＋b＜0，且＞0，下列结论成立的是(   ) A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 【例15】若，且，异号，则的符号为（ ） A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 【跟踪训练】 1．两个有理数的商是正数，这两个数一定(　　) A．都是负数 B．都是正数 C．至少有一个是正数 D．同号 2．如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 3．已知，，且，则 ． 4．如图所示，实数a，b在数轴上表示的点分别是A、B，下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则的值是（    ） A． B． C．0 D．2 6.已知m的相反数是2，n的绝对值是8，，求的值． 7.若，试求应满足的关系是（    ） A． B． C． D． 题型7：有理数的加减乘除混合运算 【名师点拨】由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【例16】计算： (1)－2.5÷×(－)； (2)(－)÷(－)×(－1)． 【例17】计算： （1）（﹣36 ）÷9 （2）（﹣ ）×（﹣3 ）÷（﹣1 ）÷3． 【跟踪训练】 1．计算： (1)（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）； (2)﹣； (3)； (4)． 2．计算： (1)－2÷×； (2)(－510)÷(＋34)÷(－0.125)； (3)2÷÷； (4)(－81)÷2××．， 3．计算： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 题型8：乘除法运算的代数应用 【例18】a、b为任何非零有理数，则的可能取值是（    ） A．或1 B．3或1或 C．1或3 D．或3 【例19】已知，则 【跟踪训练】 1.计算的取值. 2.已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 题型9：乘除法运算的实际应用 【例20】在一次数学单元测试中，七年级（1）班的平均分为80分，把高于平均分的部分记作正数，低于平均分的部分记作负数，下表是七年级第一小组10名同学的成绩记录情况： 与平均分的差值（分） 0 人数 1 2 1 2 3 1 根据表格数据解答下列问题： （1）第一小组同学的平均分比班级平均分高还是低？高或低多少分？ （2）求第一小组10名同学的总分； （3）若该组10名同学的成绩平均分高于80分，得到奖励，每高一分，奖励1颗薄荷糖（即某同学的分数为85分，可以得到5颗薄荷糖），否则不奖励，那么该组10名同学中共有多少名同学受到奖励？共奖励多少颗薄荷糖？ 【例21】五（1）班要买24本故事书，现在有两家书店可供选择．大众书店：九折出售；求知书店：买5本赠送1本，不满5本不赠送．这两个书店的标价都是每本20元．请你算一算到哪家书店购买合算？ 【跟踪训练】 1．爸爸在银行上班，每天开车到单位，银行附近有两个停车场，收费标准如下： 阳光停车场 2小时内（含2小时） 共收5元 超过2小时部分 每小时收1元 宝源停车场 按月收费，每月200元 (1)在阳光停车场停车5小时收多少钱？ (2)爸爸每周工作5天，4天停车8小时，1天停车12小时，如果每月工作4周，爸爸在哪个停车场停车划算？ 2．李叔叔驾车以75千米/小时的速度在公路上行驶，前方出现限速60千米/小时的标志，如果他保持原速继续行驶，将受到扣几分的处罚？ 《道路交通安全法实施条例》规定： 超速以上扣12分； 超速以上未达扣6分； 超速未达扣3分. 题型10：综合应用 【例22】定义一种新运算：，则的值是______． 【例23】阅读下列材料：计算：． 解法1思路：原式；对吗？答：____________． 解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300． （1）请你用解法2的方法计算：； （2）现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！ 【例24】数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题： 小明的解法：原式＝ ＝ ＝ ＝ 小红的解法：原式的倒数为 ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式＝ （1）你觉得　　的解法更好． （2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题： 计算： 【例25】小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少?答：我抽取的2张卡片是________、________，乘积的最大值为 ．     （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少?答：我抽取的2张卡片是________、________，商的最小值为 ．     （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是？ 答：我抽取的2张卡片是________、________，组成的最大的数为 ． 一、选择题 1.（2024宝山实验学校期末） 的倒数是（　　） A. B. C. D. 3 2．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） ①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； ②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； ③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； ④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个； ⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个； ⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25六年级上·上海·期中）一个数的相反数的倒数是，那么这个数是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）若，，且，则的值为（   ） A．5 B．5或1 C．1 D．1或 5.（2024青浦区期末）如果a＜0＜b，则的值与0的大小关系是（　　） A．＞0 B．＜0 C．＝0 D．不能确定 6．（2024大同中学期末）如果2a+b＝0（a≠0），则|﹣1|+|﹣2|的值为（　　） A．1或2 B．2或3 C．3 D．4 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海奉贤·期中） 的倒数为， 的倒数是它本身． 8．（2024松江中考一模）计算﹣×＝　　． 9．（2022秋•岳麓区校级期末）计算：﹣9÷3÷（﹣3）＝　　． 10．（2022秋•南昌期末）已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a、b、c三数的积为 　　． 11．（2022秋•永年区期中）计算＝　　． 12．（2022秋•新野县期中）计算：＝　　． 13．（2022秋•皇姑区期末）计算：＝　　． 14．（2022秋•湖口县期中）下列说法错误的有 　　． ①两个有理数相加和一定大于每一个加数；②一个有理数的绝对值一定大于它本身；③相反数等于它本身的有理数，只有0；④如果两个有理数的商是负数，那么这两个数的积不一定是负数． 15．用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登高后，气温下降______． 16．绝对值大于1且小于4的所有整数的积为_____，绝对值不大于6的所有负整数的积是_____． 17．（2022秋•林州市期中）对于有理数x，y，若，则的值是 　　． 18．（24-25六年级上·上海虹口·期中）定义一种新运算．例如：．则的值为 ． 3、 解答题 19.直接写出答案： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 20.直接写出答案： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 21.计算下列各题： （1） （2） （3） （4） 22．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）计算：（1）．（2） （3）． 23．（2022秋•朝阳区校级月考）用简便方法计算： （1）； （2）． （3）． （4）； 24．（2022秋•港南区期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 25．（2022秋•亭湖区期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字乘积最大，并说明理由； （2）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字相除的商最小，并说明理由． 27．（2022秋•石楼县期末）请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是（﹣+）÷（） ＝（﹣+）×（﹣30） ＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30） ＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于﹣ 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 28．（2022秋•山西期末）一辆货车从超市出发，向东走3千米到达小李家，继续向东走1.5千米到达小张家，然后又回头向西走9.5千米到达小陈家，最后回到超市． （1）以超市为原点，向东为正，以1个单位长表示1千米，在数轴上表示出上述位置． （2）小陈家距小李家多远？ （3）若货车每千米耗油0.5升，这趟路货车共耗油多少升？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题05 有理数的乘法与除法 知识点一、有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． （3）乘积为1的两个数互为倒数 要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 要点诠释： （1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 要点诠释： （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 知识点二、有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点诠释： (1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点诠释： （1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 知识点三、有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 题型1：两个数的乘法运算 【名师点拨】有理数乘法的运算步骤: (1)先确定积的符号 ; (2)再确定积的绝对值; 【例1】计算的结果是（    ） A． B．5 C． D．80 【答案】B 【分析】利用有理数的乘法法则计算解题即可. 【详解】解：， 故选. 【点睛】本题考查有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键. 【例2】计算： ______， ______，______，______， _______，______． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【跟踪训练】 1.计算的结果是（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】直接根据负数乘以负数的运算法则计算即可． 【详解】， 故选：B． 【点睛】本题考查了负数乘以负数，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 2.计算： （1）3.7×3 （2）（+5.6）×（﹣1.2） （3）（﹣3.48）×（﹣0.7） 【分析】先确定积的符号，再计算积的绝对值． 【解答】解：（1）原式＝11.1； （2）原式＝﹣5.6×1.2 ＝﹣6.72； （3）原式＝3.48×0.7 ＝2.436． 【点评】本题考查了有理数的乘法，比较简单．注意积的符号． 题型2：多个数的乘法运算 【名师点拨】多个有理数相乘时，要根据负因数的个数先确定积的符号，再把绝对值相乘。 （1）当负因数有奇数个时，积为负；(2)当负因数有偶数个时，积为正几个数相乘,如果其中有因数为0，积等于0。 【例3】下列运算结果是负数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解答】、，积为正数，不符合题意； 、，积为负数，符合题意； 、，积为零，不符合题意； 、，积为正数，不符合题意； 故选B 【点评】本题考查多个有理数相乘的符号确定，解题的关键是熟练掌握多个有理数相乘的法则. 【例4】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)1； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查多个有理数的乘法运算，正确计算是解题的关键． 【跟踪训练】 1.计算：________． 【答案】 【分析】依据有理数的乘法法则，先确定结果的符号，把小数化成分数，然后利用乘法交换率和结合律进行简便计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了多个有理数的连乘运算；熟练掌握有理数的乘法运算法则、正确计算是解题的关键． 2.计算的结果的符号为_______． 【答案】负 【分析】根据有理数乘法的运算法则，即可判定结果的符号． 【详解】解：中负因数的个数为3，为奇数， 所以结果为负； 故答案为负． 【点睛】此题考查了有理数乘法的运算法则，掌握有理数乘法的运算法则是解题的关键． 3.计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)−200 【分析】（1）根据乘法交换律和结合律简便计算即可求解． （2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】此题考查了有理数乘法计算法则：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母，并化为最简分数，熟练掌握乘法计算法则是解题的关键． 4．计算： (1)（1）； 【详解】（1）解： ； （2）原式＝×× ＝； 题型3：有理数乘法运算律 【名师点拨】（1）乘法的交换律、结合律、分配律用字母表示分别为：ab=ba，(ab)c= a(bc)，a(b＋c)= ab＋ac. （2）在应用乘法分配律时，应注意：①括号外的项要乘以括号内的每一项；②当括号外的项是负数时，一定要注意带上“－”号乘进去. （3）乘法的运算律，可以推广到多个数的情况. 乘法交换律、结合律：abcd=b(ac)d 【例5】在算式：中，运用了（　　） A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．分配律 D．加法交换律 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握乘法分配律．据此解答即可． 【详解】解：算式中，运用了分配律． 故选：C． 【例6】用简便方法计算： ． 【答案】99900 【分析】本题考查有理数的简便运算．熟练掌握乘法分配律，是解题的关键．逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：99900． 【例7】利用运算律做较简便的计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）将小数化为分数，再利用乘法结合律计算； （2）利用乘法分配律展开计算； （3）利用乘法分配律合并计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） 【点睛】本题主要考查了乘法运算律，解答的关键是掌握乘法结合律和分配律． 【跟踪训练】 1.简便计算： （1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）； （2）（）×（﹣12）； （3）（﹣19）． （4）（﹣48）×0.125+48 【分析】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案； （2）运用乘法分配律进行计算即可． （3）根据乘法分配律逆用简便计算． （4）根据乘法分配律逆用简便计算． 【解答】解：（1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8） ＝[﹣1.25×（﹣8）]×（﹣5×3） ＝10×（﹣15） ＝﹣150； （2）（）×（﹣12） 121212 ＝﹣5﹣8+9 ＝﹣4； （3）（﹣19） ＝（）×19 19 ＝9． （4）（﹣48）×0.125+48 ＝48×（） ＝0； 【点评】考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 2 .用运算律巧算： （1）      （2） （3）            （4） 【答案】（1）；（2）4；（3）；（4）． 【分析】（1）利用加法交换律和结合律，把同分母的分式相结合即可； （2）先利用乘法分配律，再计算加减即可； （3）利用乘法的交换律和结合律即可得出答案； （4）利用乘法分配律的逆运算即可； 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考差了有理数的混合运算，熟练掌握运算律找出简便方法是解题的关键 题型4：倒数 【名师点拨】乘积是1的两个数互为倒数。注：(倒数同正同负) 点拨:用字母表示乘数时,“x”号可以写成“·”或省略, 如axb 【例8】2024相反数的倒数是( ) A. B. C.2024 D. 答案：B 解析：的相反数是， 相反数的倒数是. 故选：B. 【例9】若m，n互为倒数，且满足，则n的值为( ) A. B. C.2 D.4 答案：B 解析：m与n互为倒数， ， ， ， . 故选：B. 【跟踪训练】 1. 的倒数的相反数是(　　) A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据倒数的定义以及相反数的定义解答即可．只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是， 的相反数是． ∴的倒数的相反数是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了倒数以及相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2.绝对值等于本身的数是______，倒数等于它本身的数是______． 【答案】 0和正数 【分析】根据绝对值的性质可知，0和正数的绝对值等于本身；根据倒数的定义可知，1和的倒数等于它本身． 【详解】解：绝对值等于本身的数是0和正数，倒数等于它本身的数是1和． 故答案为：0和正数，． 【点睛】本题考查绝对值和倒数，解题的关键是掌握绝对值和倒数的概念．牢记0和正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，1和的倒数等于它本身． 3．若a、b互为相反数,c、d互为倒数,,则式子的值为____________. 答案：4或 解析：∵a、b互为相反数,c、d互为倒数,, ∴,,, 当时,； 当时, 故答案为：4或. 4.下列说法中正确的是（    ） A．两个正数互为倒数，其中一个数必大于1 B．数的倒数是 C．如果一个数的倒数是它本身，那么这个数一定是1 D．如果两个数互为倒数，那么它们的积一定是1 【答案】D 【分析】根据倒数的定义，性质分别判断． 【详解】解：A、1的倒数是1，故原说法错误； B、若，则a无倒数，故原说法错误； C、如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是1或，故原说法错误； D、如果两个数互为倒数，那么它们的积一定是1，原说法正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了倒数的定义及性质，正确理解倒数的定义及性质是解题的关键． 题型5：除法运算 【名师点拨】除法步骤： ①将除号变为乘号。②将除数变为它的倒数。③按照乘法法则进行计算 【例10】计算 (1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－)； (3)(－0.75)÷(0.25)． 解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5； (2)12÷(－)＝－(12÷)＝－48； (3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3. 【例11】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】①②③根据有理数的除法运算法则计算即可； ④⑤几个数相除，先把除法化为乘法，再按乘法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【例12】计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的乘除混合运算法则解答即可． 【详解】解：原式． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，属于基础题目，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【跟踪训练】 1.计算的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据有理数乘除运算法则和混合运算顺序，依次计算即可 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除运算法则是解题的关键． 2.计算：_____________． 【答案】 【分析】根据有理数的乘除运算法则，从左往右依次计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘除运算．解题的关键在于明确运算顺序．易错点是先计算乘法然后计算除法． 3.计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)0 (2)2 (3) (4) (5) (6)2 (7) (8) 【分析】（1）根据零除以任何数都为零即可解答； （2）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （3）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （4）根据有理数除法法则计算即可； （5）根据有理数除法法则计算即可； （6）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （7）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （8）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． （7）解：． （8）解：． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，灵活运用有理数的除法运算法则成为解答本题的关键． 5.计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． 题型6：乘除法的符号问题 【例13】若，则必有（    ） A．， B．， C．， D．，或者， 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴a与b同号， ∴，或者，， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数乘法法则，解题的关键是掌握：两数相乘，同号得正，异号得负． 【例14】如果a＋b＜0，且＞0，下列结论成立的是(   ) A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 【答案】B 【分析】直接利用有理数的除法和加法运算法则，即可得出a，b的符号． 【解析】解：∵a+b＜0，且＞0， ∴a，b同号，且a＜0，b＜0． 故选B． 【点睛】此题主要考查了有理数的除法，正确得出a，b同号是解题关键． 【例15】若，且，异号，则的符号为（ ） A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 【答案】A 【分析】根据同号得正，异号得负判断即可． 【解析】解：∵，异号， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，除法，熟记同号得正，异号得负是解题的关键． 【跟踪训练】 1．两个有理数的商是正数，这两个数一定(　　) A．都是负数 B．都是正数 C．至少有一个是正数 D．同号 【答案】D 【解析】试题分析：根据有理数的除法法则即可求得结果. 两个有理数的商是正数，那么这两个数一定两数同号，故选D. 考点：本题考查的是有理数的除法 点评：解答本题的关键是熟练掌握有理数的除法法则：两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除. 2．如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，异号得负，即可得到答案． 【解析】解：， ， 故选：B． 【点睛】主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 3．已知，，且，则 ． 【答案】或 【分析】利用绝对值的代数意义，以及除法法则求出与的值，代入计算即可求出的值． 【解析】解：，，且， ，；，， 则或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．如图所示，实数a，b在数轴上表示的点分别是A、B，下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴得出，，再逐项判断即可． 【解析】解：由数轴可知，， 因此，故A选项错误； 点A到0点的距离大于点B到0点的距离，因此，故B选项错误； 由，可得，故C选项错误； 由，可得，故D选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，解题的关键是根据数轴判断出a，b的取值范围． 5．已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则的值是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】先根据数轴上点的位置得到，再化简绝对值即可得到答案． 【解析】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了化简绝对值，有理数与数轴，有理数的除法计算，正确得到是解题的关键． 6.已知m的相反数是2，n的绝对值是8，，求的值． 【答案】 【分析】由绝对值，相反数的概念即可计算． 【详解】解：∵m的相反数是2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查绝对值，相反数的概念，有理数的加法和乘法运算，关键是掌握：绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数；只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 7.若，试求应满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值都是非负数，再由，可得、为异号，或、有一个为0，或同时为0，即当时，成立． 【详解】∵， ∴、为异号，或、有一个为0，或同时为0，即当时，成立 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是掌握绝对值具有非负性，进而分析即可． 题型7：有理数的加减乘除混合运算 【名师点拨】由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【例16】计算： (1)－2.5÷×(－)； (2)(－)÷(－)×(－1)． 解：(1)原式＝－××(－)＝××＝1； (2)原式＝(－)×(－)×(－)＝－(××)＝－4. 【例17】计算： （1）（﹣36 ）÷9 （2）（﹣ ）×（﹣3 ）÷（﹣1 ）÷3． 【答案】 （1）解：原式=﹣（36+ ）× ， =﹣（36× + × ）， =﹣4 （2）解：原式=﹣（ × × × ）， =﹣ 【解析】【分析】（1）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数进行计算即可；（2）首先根据除法法则统一成乘法，然后再确定结果的符号，然后计算即可． 【跟踪训练】 1．计算： (1)（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）； (2)﹣； (3)； (4)． 【答案】(1)-8500 (2)2 (3) (4)11 【分析】（1）先计算（﹣25）×（﹣4），再乘（﹣85）即可得出结果； （2）先将带分数化为假分数，再将除法运算转化为乘法运算； （3）先将括号内通分，再将除法运算转化为乘法运算； （4）利用乘法分配律计算． 【解析】（1）解：（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）， ＝（﹣85）×[（﹣25）×（﹣4）]， ＝﹣85×100， ＝﹣8500； （2）﹣2×2÷（﹣2）， ＝﹣××（﹣）， ＝2； （3）（﹣）÷（1﹣）， ＝（﹣）÷（）， ＝（﹣）÷， ＝（﹣）×， ＝﹣； （4）， ＝×36﹣×36+×36﹣×36， ＝28﹣30+27﹣14， ＝55﹣44， ＝11． 【点睛】本题考查有理数的乘法，有理数的除法，灵活运用相应运算律是解题的关键，其中正负号是易错点． 2．计算： (1)－2÷×； (2)(－510)÷(＋34)÷(－0.125)； (3)2÷÷； (4)(－81)÷2××． 【答案】（1）；（2）120；（3）1；（4）． 【分析】（1）先计算有理数的乘法，再计算有理数的乘法即可得； （2）利用有理数的除法法则计算即可得； （3）先将带分数化为假分数，再计算有理数的除法即可得； （4）先计算有理数的除法，再计算有理数的乘法即可得． 【解析】（1）原式， ， ； （2）原式， ， ， ； （3）原式， ， ， ； （4）原式， ， ． 【点睛】本题考查了有理数的乘除法运算，熟记运算法则是解题关键． 3．计算： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 【答案】（1）16；（2）；（3）；（4）100；（5）；（6）. 【分析】（1）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案； （2）先计算括号内的乘法，再把除法转化成乘法进行计算即可； （3）把除法转化成乘法进行计算即可； （4）先算除法，再算乘法即可得解； （5）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案； （6）把除法转化成乘法进行计算即可. 【解析】（1） = =-2×（-8） =16； （2） = = =； （3） = =； （4） =-20×（-5） =100； （5） = =； （6） = =. 【点睛】此题主要考查了有理数的乘除法，关键是正确确定结果的符号，掌握计算法则． 题型8：乘除法运算的代数应用 【例18】a、b为任何非零有理数，则的可能取值是（    ） A．或1 B．3或1或 C．1或3 D．或3 【答案】D 【分析】分、、和四种情况，再根据绝对值运算、有理数的除法与加减法运算即可得． 【解析】由题意，分以下四种情况： （1）当时，， 则， （2）当时，， 则， （3）当时，， 则， （4）当时，， 则， 综上，的可能取值是或3， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数的除法与加减法运算，依据题意，正确分四种情况讨论，并熟练掌握各运算法则是解题关键． 【例19】已知，则 【答案】1或－3/－3或1 【分析】分两种情况讨论①，②，即可求出答案. 【解析】解：①，时， . ②，时， . 故答案为：1或－3##－3或1 【点睛】本题考查绝对值的性质，熟记绝对值的性质，然后分类讨论是解决本题的关键． 【跟踪训练】 1.计算的取值. 【答案】(1)当a＞0、b＞0时，； (2)当a＜0、b＜0时，； (3)当a＞0，b＜0时，； (4)当a＜0，b＞0时，． 综上，的值为： 2.已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=1+1+1+1=4； ②a、b、c中有两个正数时，设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=1+1﹣1﹣1=0； 设为a＞0，b＜0，c＞0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=1﹣1+1﹣1=0； 设为a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=﹣1﹣1﹣1+1=﹣2； ③a、b、c有一个正数时，设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=1﹣1﹣1+1=0； 设为a＜0，b＞0，c＜0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=﹣1﹣1+1﹣1=﹣2； 设为a＜0，b＜0，c＞0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=﹣1+1﹣1﹣1=﹣2； ④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，则ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=﹣1+1+1+1=2． 综上所述： 的可能值的个数为4． 故选A． 题型9：乘除法运算的实际应用 【例20】在一次数学单元测试中，七年级（1）班的平均分为80分，把高于平均分的部分记作正数，低于平均分的部分记作负数，下表是七年级第一小组10名同学的成绩记录情况： 与平均分的差值（分） 0 人数 1 2 1 2 3 1 根据表格数据解答下列问题： （1）第一小组同学的平均分比班级平均分高还是低？高或低多少分？ （2）求第一小组10名同学的总分； （3）若该组10名同学的成绩平均分高于80分，得到奖励，每高一分，奖励1颗薄荷糖（即某同学的分数为85分，可以得到5颗薄荷糖），否则不奖励，那么该组10名同学中共有多少名同学受到奖励？共奖励多少颗薄荷糖？ 答案：（1）第一小组同学的平均分比班级平均分高，高分 （2）第一小组10名同学的总分是826分 （3）该组10名同学中共有6名同学受到奖励，共奖励59颗薄荷糖 解析：（1） （分）， 则（分）， 即第一小组同学的平均分比班级平均分高，高分； （2） （分）， 即第一小组10名同学的总分是826分； （3）由表格数据可得平均分高于80分的有6人，分别为：成绩超出平均分3分的有2人，超出平均分12分的有3人，超出平均分17分的有1人， 则 （颗）， 即该组10名同学中共有6名同学受到奖励，共奖励59颗薄荷糖. 【例21】五（1）班要买24本故事书，现在有两家书店可供选择．大众书店：九折出售；求知书店：买5本赠送1本，不满5本不赠送．这两个书店的标价都是每本20元．请你算一算到哪家书店购买合算？ 【答案】到求知书店购买合算． 【解析】解：到大众书店购买需要的钱数为：（元）， ∵， ∴到求知书店购买需要的钱数为：（元）， ∵， ∴到求知书店购买合算． 【跟踪训练】 1．爸爸在银行上班，每天开车到单位，银行附近有两个停车场，收费标准如下： 阳光停车场 2小时内（含2小时） 共收5元 超过2小时部分 每小时收1元 宝源停车场 按月收费，每月200元 (1)在阳光停车场停车5小时收多少钱？ (2)爸爸每周工作5天，4天停车8小时，1天停车12小时，如果每月工作4周，爸爸在哪个停车场停车划算？ 答案：(1)8元 (2)宝源停车场 解析：（1）（元）， 答：在阳光停车场停车5小时收8元； （2）阳光停车场：（元）， （元）， 宝源停车场：200元， ， 答：爸爸在宝源停车场停车划算. 2．李叔叔驾车以75千米/小时的速度在公路上行驶，前方出现限速60千米/小时的标志，如果他保持原速继续行驶，将受到扣几分的处罚？ 《道路交通安全法实施条例》规定： 超速以上扣12分； 超速以上未达扣6分； 超速未达扣3分. 答案：如果李叔叔保持原速继续行驶，他将受到扣6分的处罚 解析： ， ， 根据交通条例，如果李叔叔保持原速继续行驶，他将受到扣6分的处罚， 答：如果李叔叔保持原速继续行驶，他将受到扣6分的处罚. 题型10：综合应用 【例22】定义一种新运算：，则的值是______． 【答案】 【分析】根据新定义规定的运算法则列式计算可得． 【详解】解：由题意可得： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则及有理数的混合运算顺序和运算法则． 【例23】阅读下列材料：计算：． 解法1思路：原式；对吗？答：____________． 解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300． （1）请你用解法2的方法计算：； （2）现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！ 【答案】不对；（1）；（2）． 【分析】有理数的除法不满足分配率，故解法1不对； （1）先计算原式的倒数，然后即可求解； （2）先计算出的值，再求出的倒数，即可得到原式的值，然后求和即可求解． 【解析】解：因为有理数的除法不满足分配率，故解法1不对； 故答案为：不对； （1）∵， ∴； （2）∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则． 【例24】数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题： 小明的解法：原式＝ ＝ ＝ ＝ 小红的解法：原式的倒数为 ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式＝ （1）你觉得　　的解法更好． （2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题： 计算： 【分析】两种解法都正确，第一种是一般的解法，按照有理数混合运算的顺序进行计算．第二种先求出代数式的倒数，再求原数，较为简便，所以第二种好． 【解答】解：（1）你觉得小红的解法更好．（2分） （2）原式的倒数为 ＝ ＝﹣7+9﹣28+12 ＝﹣14， 故原式＝． 【点评】本题很有创新，敢大胆的尝试新的解题方法，开拓了学生的解题思路，是一道好题． 【例25】小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少?答：我抽取的2张卡片是________、________，乘积的最大值为 ．     （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少?答：我抽取的2张卡片是________、________，商的最小值为 ．     （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是？ 答：我抽取的2张卡片是________、________，组成的最大的数为 ． 【答案】（1）﹣3；﹣5；15；（2）﹣5；3；；（3）4，3，43． 【分析】（1）根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数和0相乘都得0，取绝对值尽量大且同号的相乘即可得答案； （2）根据两数相除，同号得正，异号得负，从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则取绝对值相距尽量大且异号的两数相除即可得答案； （3）根据组成数字的数的性质即可确定；选出最大的两个正整数，即可得到所求数． 【解析】解：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，应该取﹣3和﹣5，(﹣3)×(﹣5)＝15，即乘积的最大值为15． 故答案为：﹣3；﹣5；15； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，应该取﹣5和3，．即商的最小值为． 故答案为：﹣5；3；． （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，应该取4和3，最大的数是43． 故答案为：4；3；． 【点睛】本题考查了有理数的乘除法及加减法运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 一、选择题 1.（2024宝山实验学校期末） 的倒数是（　　） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．利用倒数的定义，即相乘等于1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） ①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； ②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； ③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； ④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个； ⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个； ⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是熟练使用运算法则进行计算．根据几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数有奇数个，积为负；负因数有偶数个，积为正． 【详解】解：①个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管正因数有多少个，积为0，故原说法错误； ②个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管负因数有多少个，积为0，故原说法错误； ③个不为0有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负，故原说法错误； ④个有理数相乘，当积为负时，则负因数一定有奇数个，故原说正确； ⑤个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误； ⑥个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误； 故正确的有④共1个， 故选：A． 3．（24-25六年级上·上海·期中）一个数的相反数的倒数是，那么这个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了相反数和倒数，关键是正确把握相关定义：乘积为1的两个数互为倒数；只有符号不同的两个数互为相反数． 直接利用相反数以及倒数的定义得出答案． 【详解】解：∵一个数的相反数的倒数是， ∴这个数的相反数为， ∵一个数的相反数是， ∴这个数为， 故选：B． 4．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）若，，且，则的值为（   ） A．5 B．5或1 C．1 D．1或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质及有理数的加法、乘法，解题的关键是根据，即，异号分情况讨论．由绝对值的性质，先求得x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴当，时，； 当，时，． 故选：D． 5.（2024青浦区期末）如果a＜0＜b，则的值与0的大小关系是（　　） A．＞0 B．＜0 C．＝0 D．不能确定 【分析】根据有理数的除法法法则解答即可． 【解答】解：∵a＜0＜b， ∴＜0． 故选：B． 【点评】主要考查的是有理数的除法，熟知两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0是解题的关键． 6．（2024大同中学期末）如果2a+b＝0（a≠0），则|﹣1|+|﹣2|的值为（　　） A．1或2 B．2或3 C．3 D．4 【分析】根据2a+b＝0（a≠0），可以得到a与b的比值，再分别讨论a，b的正负，从而可以解答本题． 【解答】解：∵2a+b＝0（a≠0）， ∴2a＝﹣b ∴， ∴a，b异号， ∴当a＞0，b＜0时，， |﹣1|+|﹣2| ＝||+|﹣| ＝ ＝3； 当a＜0，b＞0时，， |﹣1|+|﹣2| ＝|﹣|+|| ＝ ＝3； 故选：C． 【点评】本题考查有理数的除法和绝对值，解题的关键是明确题意，灵活变化，利用分类讨论的数学思想解答问题． 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海奉贤·期中） 的倒数为， 的倒数是它本身． 【答案】 或 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数，即可求解． 【详解】解：， 的倒数为， 或的倒数是它本身， 故答案为：，或． 8．（2024松江中考一模）计算﹣×＝　　． 【分析】根据有理数的乘法法则计算可得． 【解答】解：﹣×＝﹣， 故答案为：﹣． 【点评】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则． 8．（2024七宝中学期末）计算：＝　　． 【分析】按照有理数乘除混合运算顺序进行计算即可． 【解答】解：原式＝﹣× ＝﹣． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 9．（2022秋•岳麓区校级期末）计算：﹣9÷3÷（﹣3）＝　　． 【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，把除法转化为乘法运算，然后约分即可． 【解答】解：﹣9÷3÷（﹣3） ＝﹣9××（﹣） ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，注意按照从左到右的顺序依次进行运算． 10．（2022秋•南昌期末）已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a、b、c三数的积为 　　． 【分析】根据最小正整数的定义、最大的负整数的定义和绝对值的非负性即可求出a、b、c的值，从而求出结论． 【解答】解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数， ∴a＝1，b＝﹣1，c＝0， ∴abc＝1×（﹣1）×0＝0． 故答案为：0． 【点评】此题考查的是有理数的大小比较，掌握最小正整数为1、最大的负整数为﹣1、绝对值最小的有理数为0和有理数的乘法法则是解题的关键． 11．（2022秋•永年区期中）计算＝　　． 【分析】先确定结果的符号，再计算绝对值． 【解答】解： ＝﹣× ＝﹣， 故答案为：﹣． 【点评】本题考查了有理数的乘除运算，掌握运算法则是解题的关键． 12．（2022秋•新野县期中）计算：＝　　． 【分析】除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0，由此即可计算． 【解答】解：原式＝××2 ＝． 故答案为． 【点评】本题考查有理数的乘除法，关键是掌握有理数的乘除法则． 13．（2022秋•皇姑区期末）计算：＝　　． 【分析】原式变形为（100﹣）×16，再利用乘法分配律展开，进一步计算即可． 【解答】解：原式＝（100﹣）×16 ＝100×16﹣×16 ＝1600﹣2 ＝1598， 故答案为：1598． 14．（2022秋•湖口县期中）下列说法错误的有 　　． ①两个有理数相加和一定大于每一个加数；②一个有理数的绝对值一定大于它本身；③相反数等于它本身的有理数，只有0；④如果两个有理数的商是负数，那么这两个数的积不一定是负数． 【分析】利用有理数的加法、乘除法则，绝对值，相反数的性质判断即可． 【解答】解：①两个有理数相加和不一定大于每一个加数，例如：（﹣2）+（﹣1）＝﹣3，符合题意； ②一个有理数的绝对值不一定大于它本身，例如0的绝对值还是0，符合题意； ③相反数等于它本身的有理数，只有0，正确，不符合题意； ④如果两个有理数的商是负数，那么这两个数的积一定是负数，符合题意． 故答案为：①②④． 【点评】此题考查了有理数的乘除法，有理数的加法，相反数，绝对值，以及有理数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 15．用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登高后，气温下降______． 【答案】9 【分析】根据题意知，气温变化量为乘以攀登高度，即可求解． 【详解】解：根据 “每登高1km气温的变化量为”知： 攀登后，气温变化量为： 下降为负，所以下降， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了分析信息的能力，正负数的意义，有理数的计算，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键． 16．绝对值大于1且小于4的所有整数的积为_____，绝对值不大于6的所有负整数的积是_____． 【答案】 【分析】先求出绝对值大于1且小于4的所有整数，绝对值不大于6的所有负整数，然后根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵绝对值大于1且小于4的所有整数为， ∴绝对值大于1且小于4的所有整数的积为； ∵绝对值不大于6的所有负整数为， ∴绝对值不大于6的所有负整数的积是； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法计算，绝对值的意义，灵活运用所学知识是解题的关键． 17．（2022秋•林州市期中）对于有理数x，y，若，则的值是 　　． 【分析】先判断绝对值里面的代数式的正负再计算． 【解答】解：∵＜0， ∴x，y异号． ∴xy＜0， ∴＝＝﹣1， 当x＞0时，y＜0，则＝＝﹣1，＝＝1， ∴原式＝﹣1+（﹣1）+1＝﹣1． 当x＜0时，y＞0，则则＝＝1，＝﹣＝﹣1， ∴原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查绝对值的计算，正确确定x，y的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键． 18．（24-25六年级上·上海虹口·期中）定义一种新运算．例如：．则的值为 ． 【答案】15 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查定义新运算，根据新定义的运算规则逐步计算是关键． 根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：， ， 故答案为：15． 3、 解答题 19.直接写出答案： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 归纳总结：两个有理数相乘（相除）符号法则：同号得正，异号得负； 两个有理数相乘（相除）法则：先定符号，再把两数的绝对值相乘（相除）。（先定符号再定积） 20.直接写出答案： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 答案：（1）；（2）；（3）；（4）33；（5）；（6） 21.计算下列各题： （1） （2） （3） （4） 22．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）计算：（1）．（2） （3）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘除法计算，先把除法变成乘法，再根据乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，根据有理数的乘除法运算法则计算即可． 【详解】解： 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，先计算括号内的减法，再计算乘除法，最后计算加法即可得到答案． 【详解】解： ． 23．（2022秋•朝阳区校级月考）用简便方法计算： （1）； （2）． （3）． （4）； 【分析】①利用乘法分配律计算即可； ②利用乘法分配律计算即可． 【解答】解：①原式＝（﹣）×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36） ＝3+1﹣6 ＝﹣2． ②原式＝（﹣100+）×24 ＝﹣100×24+×24 ＝﹣2400+2 ＝﹣2398． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘法的分配律a×（b+c）＝a×b+a×c是解答本题的关键． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． 根据有理数的乘法分配律可以解答本题． 【详解】解： ． 【小问3详解】 解： ； 24．（2022秋•港南区期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解． 【解答】解：（1）3*（﹣4）， ＝4×3×（﹣4）， ＝﹣48； （2）（﹣2）*（6*3）， ＝（﹣2）*（4×6×3）， ＝（﹣2）*（72）， ＝4×（﹣2）×（72）， ＝﹣576． 【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键． 25．（2022秋•亭湖区期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字乘积最大，并说明理由； （2）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字相除的商最小，并说明理由． 【分析】（1）根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，取绝对值最大且同号的2张卡片； （2）根据两数相除，同号得正，异号得负，从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，则取绝对值相差越大且异号的两数相除即可得到答案． 【解答】解：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最大，可抽取﹣7和﹣3，﹣7×（﹣3）＝21； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，可抽取﹣7和1，﹣7÷1＝﹣7． 【点评】本题考查有理数的乘、除法运算，同时考查数学运算素质，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 27．（2022秋•石楼县期末）请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是（﹣+）÷（） ＝（﹣+）×（﹣30） ＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30） ＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于﹣ 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【分析】首先看懂例题的做法，先计算出的倒数（﹣+﹣）÷（﹣）的结果，再算出原式结果即可． 【解答】解：原式的倒数是： （﹣+﹣）÷（﹣） ＝（﹣+﹣）×（﹣42） ＝﹣（×42﹣×42+×42﹣×42） ＝﹣（7﹣9+28﹣12） ＝﹣14， 故原式＝﹣． 【点评】此题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 28．（2022秋•山西期末）一辆货车从超市出发，向东走3千米到达小李家，继续向东走1.5千米到达小张家，然后又回头向西走9.5千米到达小陈家，最后回到超市． （1）以超市为原点，向东为正，以1个单位长表示1千米，在数轴上表示出上述位置． （2）小陈家距小李家多远？ （3）若货车每千米耗油0.5升，这趟路货车共耗油多少升？ 【分析】（1）根据数轴与点的对应关系，可知超市在原点，小李家所在的位置表示的数是+3，小张家所在的位置表示的数是+4.5，小陈家所在的位置表示的数是﹣5；（2）3﹣（﹣5）＝8；（3）先算这趟路一共有多少千米，再乘以货车每千米耗油的升数． 【解答】解：（1）如图：点O表示超市，点A表示小李家，点B表示小张家，点C表示小陈家． （2）从图中可看出小陈家距小李家8千米． 故小陈家距小李家8千米． （3）0.5×（|+3|+|+1.5|+|﹣9.5|+|﹣5|）＝0.5×19＝9.5（升）． 故这趟路货车共耗油9.5升． 【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$