精品解析：云南省昭通市市直中学2024-2025学年高一下学期第二次月考（5月）数学试题

昭通市市直中学2025年春季学期高一年级第二次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 2 B. 1 C. i D. 2. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 在空间中，a，b，c是三条不同直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，，，，那么 C. 如果，，，，那么 D. 如果，，，则 4. 柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，则“取出的鞋不成双”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 的内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为（ ） A. B. C. 3 D. 6 6. 已知A，B，C，P为球O的球面上的四个点，△为边长为的等边三角形，以A，B，C，P为顶点的三棱锥的体积的最大值为，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若向量在向量上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱台中，底面，，与底面所成角为，，，则三棱锥的体积为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大 D. 若样本数据的方差为8，则数据的标准差为 10. 抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 与是对立事件 11. 如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线DP与直线所成角的取值范围为 C. 的最小值为 D. P为线段中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知事件互相独立，且，则______. 13. 某校高一（1）班有男生20人，女生30人.已知某次数学测验中，男生成绩的平均数为100，方差为11，女生成绩的平均数为95，方差为16，则这次测验中班级总体成绩的方差为__________. 14. 如图，在平面四边形中，，则的最小值为_______． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求该样本的第75百分位数； （2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)； （3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率． 16. 如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，.点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面. （1）证明：平面； （2）证明：平面. 17. 多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分． （1）考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率； （2）现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率． 18. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，面积为． （1）若三棱柱的体积为，求点C到平面的距离； （2）若且面，求二面角的余弦值． 19. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若，，的平分线交于点，求线段的长； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昭通市市直中学2025年春季学期高一年级第二次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 2 B. 1 C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算及虚部的概念可得结果. 【详解】由，可得， 所以的虚部为1. 故选：B. 2. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出． 【详解】由，得，而， 所以. 故选：A. 3. 在空间中，a，b，c是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，，，，那么 C. 如果，，，，那么 D. 如果，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中直线和平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，在如图所示的正方体中，设，，， 则，，但a不平行于b，所以A选项错误； 对于B，根据面面平行的判定定理知，缺少这个条件，所以B选项错误； 对于C，如图，设为平面，为平面ABCD，，，易知，，，，但a不垂直于，所以C选项错误； 对于D，因为，所以存在，使得，又，，所以，所以，故D选项正确． 故选：D 4. 柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，则“取出的鞋不成双”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按古典概型的概率公式进行计算. 【详解】设柜子里的3双不同的鞋为：，，. 从中随机地取出2只，所有的可能情况有：，，，，，，，，，，，，，，.共15种. 其中“取出的鞋恰好成双”的情况有：，，3种，“取出的鞋不成双”的情况有：种. 所以“取出的鞋不成双”的概率为：. 故选：D 5. 的内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角恒等变形得，再借助正弦定理角化边可得，最后由正弦定理求解. 【详解】根据题意，，， 即， 根据正弦定理，得，可得， 则，所以， 则外接圆的半径为. 故选：A 6. 已知A，B，C，P为球O的球面上的四个点，△为边长为的等边三角形，以A，B，C，P为顶点的三棱锥的体积的最大值为，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三棱锥的体积的最大值为求得球半径，再去求球O的表面积即可解决. 【详解】设为△外接圆的圆心，球的半径为R， 当点P，O，三点共线时，点P到平面ABC的距离h最大， 也就是三棱锥体积最大，此时， 因为，所以， 圆的半径， 所以，即，解得， 所以球O的表面积为. 故选：A 7. 若向量在向量上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量公式得，结合，利用数量积的运算律求得，代入数量积的夹角公式即可得解. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以， 又，所以，即， 所以，所以，所以. 故选：A 8. 如图，在三棱台中，底面，，与底面所成的角为，，，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据棱台的性质求棱台的棱长，再结合锥体体积公式求解即可. 【详解】因为底面，平面，所以平面底面. 所以即为与底面所成的角，为. 因为，所以. 根据棱台的概念，可知：，且，所以. 因为，所以为直角三角形，所以. 所以. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大 D. 若样本数据的方差为8，则数据的标准差为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得样本容量为20，平均数是3，从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于C，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断,对于D，根据方差为8，可求得新数据的标准差即可判断. 【详解】对于A，因为， 所以 ， 又 所以，所以，所以该组数据的平均数是3， 这组样本数据的总和为，故A正确； 对于B，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于， 故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即， 所以第70百分位数是，故B错误； 对于C，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5， 设此时这9个数的平均数为，方差为， 则，故C错误； 对于D，样本数据的方差为8，故数据的标准差为，故D正确. 故选：AD 10. 抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 与是对立事件 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件判断A，应用概率的乘法公式计算判断B，应用互斥事件结合概率性质计算判断C，根据对立事件定义判断D. 【详解】事件与事件能同时发生，故事件A，B不是互斥事件，故A错误； 因为，，，所以，故与互不影响，故B正确； 事件，事件， 不可能同时发生，故事件与互斥，故，故C正确； 表示“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”， ，， 事件与事件不是对立事件，故D错误． 故选:BC． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线DP与直线所成角取值范围为 C. 的最小值为 D. P为线段的中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等体积转化为求三棱锥可判断A选项；B选项过点作，转化为求直线与直线所成角；将侧面和侧面展开至同一平面可判断C选项；D选项作出截面，求截面面积. 【详解】，平面，平面，则平面， 则点到平面的距离为定值，故 为定值，故A正确； 如图，过点作，则直线DP与直线所成角与直线与直线所成角相等，当点运动至点时，角最大为，点运动至点时，角最小为，故B正确； 如图，将侧面和侧面展开至同一平面，当三点共线时，取最小值，故C错误； 如图，过点三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形， 其中上底，下底，腰为，则梯形高为，所以等腰梯形的面积为，故D错误. 故选：AB. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知事件互相独立，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可得结果. 【详解】， . 故答案为： 13. 某校高一（1）班有男生20人，女生30人.已知某次数学测验中，男生成绩的平均数为100，方差为11，女生成绩的平均数为95，方差为16，则这次测验中班级总体成绩的方差为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】根据平均数、方差公式计算可得. 【详解】依题意得这次测验中班级总体成绩的平均数为， 方差为. 故答案为： 14. 如图，在平面四边形中，，则的最小值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知条件求出，再利用余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【详解】在中，由，，，得， 在中，，由余弦定理， 得， 即，当且仅当时取等号， 解得， 所以当，取得最小值2. 故答案为：2 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求该样本的第75百分位数； （2）试估计本次奥运知识能力测试成绩平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)； （3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率． 【答案】（1）分； （2）分； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得，再由百分位数的定义求第75百分位数； （2）由频率直方图的平均数求法求平均分； （3）根据分层抽样确定5人中的人数分布，再应用列举法求古典概型的概率. 【小问1详解】 由题设，可得， 由，， 所以样本的第75百分位数位于区间，设为，则， 所以分. 则其第75百分位数为分. 小问2详解】 由题设分； 则平均分为分. 【小问3详解】 由题设，的频率比为， 故抽取的5人中有2人为、有3人为， 任抽2人有，共10种情况， 其中分数在各一人有，共6种情况， 所以这2名同学分数在各一人的概率. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，.点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面. （1）证明：平面； （2）证明：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）在梯形中，可证，由面面垂直性质得平面； （2）取棱中点为，可证四边形为平行四边形，得到，可证得平面. 【小问1详解】 由条件易得：， 则，， ，在由余弦定理可知： 可得， 则，所以. 又平面平面， 且平面平面， 且平面， 则平面. 【小问2详解】 由（1）可知. 取棱中点为，连接， 因为为的中点，所以，且 又，所以，且 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面， 且平面，则平面. 17. 多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分． （1）考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率； （2）现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设相应事件，利用列举法结合古典概型运算求解； （2）分析得分刚好得18分的可能性情况，根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式运算求解. 【小问1详解】 甲同学所有可能的选择答案有14种：，，，，，，，，，，，，，， 设事件表示“猜对本题至少得2分”， 则，有7个样本点， 所以. 【小问2详解】 由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，乙丙总分刚好得18分的情况包含： 事件E：乙得12分有一种情况，丙得6分有，，三种情况， 则， 事件F：乙得9分有，两种情况，丙得9分有，两种情况， 则 事件G：乙得6分有，，三种情况，丙得12分有一种情况， 则， 故乙丙总分刚好得18分的概率. 18. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，面积为． （1）若三棱柱的体积为，求点C到平面的距离； （2）若且面，求二面角余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，结合棱锥的体积公式求解即可； （2）根据勾股定理可证明，进而以为坐标原点，分别为轴建系，再求解平面的法向量，根据二面角的向量求法求解即可 【小问1详解】 因为三棱柱的体积为，故.设C到平面的距离为，则，故 【小问2详解】 因为，为等边三角形，所以． 由平面，平面平面，得． 在中，由勾股定理易知 又因为，，所以 以为坐标原点，分别为轴建系． ， ， 设平面的法向量，， ， 不妨设，则，，，． 平面的法向量取． 设二面角的平面角为 则 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为 19. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若，，的平分线交于点，求线段的长； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知式展开后逆用和角公式和辅助角公式化简得到，借助于三角形内角范围即可求得角； （2）由三角形面积公式和等面积建立方程，求解即得； （3）方法一：作 于点，过点作，由题可得点在之间，根据图形得，推得，即可代入三角形面积公式求得其范围；方法二：由正弦定理可得，求出利用正切函数的单调性求得，代入三角形面积公式即可求得其范围 【小问1详解】 即 因 ，则，故，解得 【小问2详解】 由（1）已得 由为的平分线，可得 设，由可得 ， 即 解得 ，即. 【小问3详解】 方法一：如图，作 于点，过点作，交直线于点， 当点在之间时， 为锐角三角形 ∴，即，因，则得， 的面积的取值范围为. 方法二：由正弦定理，可得 ∵均为锐角 解得 故 可得 故 又 ，的面积的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$