精品解析：湖南省岳阳市湘阴县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

长仑垸2025年春八年级数学科期中学情调研 （总分：120分 时量：120分钟） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　） A. AB，BC＝4，AC＝5 B. AB：BC：AC＝3：4：5 C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. ∠A∠B∠C 【答案】C 【解析】 【分析】依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算，即可得出结论． 【详解】解：A．∵52+42＝25+16＝41＝（）2， ∴△ABC是直角三角形，不合题意； B．∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝252＝（5x）2， ∴△ABC是直角三角形，不合题意； C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴∠C180°＝75°≠90°， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； D．∵∠A∠B∠C， ∴∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°， ∴△ABC是直角三角形，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 2. 已知a，b，c为的三边长，若满足，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据非负数的性质可得，，进而得到，，根据勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 故选：C． 【点睛】此题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理，关键是根据非负数的性质得出，． 3. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 4. 已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ） A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可. 【详解】设这个多边形的边数为n， 则（n－2）×180°＝4×360°， 解得：n＝10， 故选C. 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键.n变形的内角和为：(n-2) ×180°， n变形的外角和为：360°；然后根据等量关系列出方程求解． 5. 在中，的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质；根据平行四边形对角相等即可判断选择哪一个． 【详解】解：由于平行四边形对角相等，所以对角的比值数应该相等， 其中A，B，C都不满足，只有D满足． 故选：D． 6. 如图，在中，，为的中位线，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. 32° D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的性质以及等腰三角形的性质等知识，掌握中位线的性质是解答本题的关键． 根据为的中位线，可得，，即，结合，可得，即，即可解答． 【详解】∵为的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（　　） A. 30 B. 24 C. 18 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ P、Q分别是AD、AC的中点， ∴PQ是△ADC的中位线， ∴DC=2PQ=6. 又∵在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD， ∴菱形ABCD的周长为6+6+6+6=24. 故选：B. 8. 如图，在中，，将的顶点E放在矩形的一边上，使得，其中与交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求出，再利用矩形的性质求出可得结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 下列判断错误的是（    ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 一条对角线平分内角的平行四边形是菱形 C. 四个内角都相等的四边形是矩形 D. 两对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项正确，不符合题意； B、 在平行四边形中，对角线平分，， ，， ， ， 四边形是菱形， 故选项正确，不符合题意； C、四个内角都相等的四边形是矩形，故选项正确，不符合题意； D、两对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故选项错误，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定，熟记矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解题的关键． 10. 如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易得第二个矩形的面积为（）2，第三个矩形的面积为（）4，依此类推，第n个矩形的面积为（）2n-2． 【详解】已知第一个矩形的面积为1； 第二个矩形的面积为原来的（）2×2-2=； 第三个矩形的面积是（）2×3-2=； … 故第n个矩形的面积为：= ． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处．树折断之前有______米． 【答案】8 【解析】 【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可． 【详解】解：，，， 树折断之前的高度为8米． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是善于观察题目的信息，利用勾股定理求解． 12. 已知菱形的周长是20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的另一条对角线长为_____ 【答案】6cm 【解析】 【分析】根据菱形的周长求出边长，再根据菱形的对角线互相垂直平分求出已知对角线的一半，然后利用勾股定理列式求出另一条对角线的一半，从而得解． 【详解】如图，∵菱形的周长为20cm， ∴菱形的边长AB=20÷4=5cm， ∵一条对角线AC长为8cm， ∴AO=×8=4cm， ∵菱形的对角线互相垂直， ∴△AOB是直角三角形， ∴BO===3cm， ∴另一条对角线BD的长为2BO=2×3=6cm， 故答案为6cm． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分的性质是解题的关键.注意作出图形更形象直观，有助于问题的理解． 13. 如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】在直角中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得，依据中心对称可得，据此即可求解． 本题主要考查了直角三角形的性质：的锐角所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵与关于中心对称， ∴， 故答案为：． 14. 如图，一个正五边形和一个正方形各有一边在直线上，且只有一个公共顶点B，则的度数为__________度． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查正四边形和五边形的外角，三角形内角和性质，利用正多边形的性质求出每个内角，和的度数即可，掌握正多边形的内角和及正确理解多边形内角和与外角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：正五边形的一个内角，正方形的一个内角， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，O，E分别为的中点．若，则的长为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，易得是的中位线，进而得到，矩形的性质得到，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在矩形中，O，E分别为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴； 故答案为：8． 16. 如图，正方形的边长为4，点E是的中点，，点P为对角线 上一动点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 如图，取中点G，连接与交于点，连接，由正方形的性质则可得的最小是的长度，过点F作交于点M，结合正方形的性质，利用勾股定理进行求解即可得； 【详解】解：取中点G，连接与交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴直线是正方形的对称轴， ∴点与点关于对称， ∴ ，， ∴， ∴当点P与点Q重合时线段的最小值是线段的长， ∵正方形 的边长为4， ，点E是的中点，中点为G， ∴， 过点F作交于点M，则四边形为矩形， ∴， ∴， 在中， ，根据勾股定理得 ∴的值最小是. 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 在△ABC中，，，试求出三个角的度数及的长度． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和与直角三角形的所对边等于斜边一半．设 ，则，可得，依次求出，根据，在中，可求出 . 【详解】解：∵， ∴设 ，则， ∴， 解得：， ∴， 在中， ∵， ∴． 18. 作图题．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （1）如图，在直线上找一点O修建加油站，使加油站到公路和公路的距离相等，请用尺规作图法确定这个加油站O的位置． （2）如图，作出关于点A成中心对称的图形． 【答案】（1） 如图，点O即为所求． （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图-角平分线以及旋转旋转，掌握角平分线的性质，中心旋转的性质是解决本题的关键． （1）作的角平分线与交于点O，根据角平分线的性质可得点O到公路和公路的距离相等． （2）根据中心对称变换的性质分别作出的对应点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，于点，于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）利用三角函数求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，∵，， ∴． 在中，∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 20. 如图，四边形中，，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求的面积． 【答案】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形； （2）15． 【解析】 【分析】（1）先证，再由，即可得出结论； （2）先由平行四边形的性质得，再由角平分线的性质得，最后利用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，如图： 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ． 21. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3 m，BC＝4 m，CD＝12 m，DA＝13 m，∠B＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米30元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】1080元 【解析】 【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积，进而可得出需要的费用． 【详解】解：连接AC， 则由勾股定理得AC==5m， ∴AC2+DC2= ， 又∵AD2= =169， ∴AC2+DC2=AD2， ∴∠ACD=90°． 这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD= . 故需要的费用为36×30=1080元． 答：铺满这块空地共需花费1080元． 【点睛】此题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式，解答本题的关键是作出辅助线，求出图形的总面积，难度一般． 22. 如图，将一张矩形纸片进行折叠，已知该纸片宽为，长为，折叠时顶点D落在边上的点F处（折痕为）． （1）求的面积； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形和折叠的性质，可得，在中，利用勾股定理求出的长，即可求解； （2）第（1）问中已求解出的长，从而得出的长，由折叠的性质，可得， 设，则，，在中，利用勾股定理可求得x的长，从而得出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵是折叠得到的， ∴， ∴在中， ， ∴的面积为； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵四边形是矩形，， ∴，，， 由折叠的性质得：， 设，则，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查矩形中折叠问题，解题关键是在直角三角形中利用勾股定理求解边长． 23. 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质得到，然后证明即可； （2）首先根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【小问1详解】 如图，∵四边形为菱形， ∴；而，， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 ∵四边形为菱形， ∴，，， 由勾股定理得： ，而， ∴， ∴四边形的周长． 【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 24. 如图1，在正方形中，是对角线，点在上，是等腰直角三角形，且，点F是的中点，连接与． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，若等腰直角三角形绕点B按顺时针旋转45°，其他条件不变，请判断的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵，点F是的中点， ∴， ∵正方形中，，点F是的中点， ∴， ∴； （2） 证明：，， ，， ， 在正方形ABCD中，， ， ； （3） CEF是等腰直角三角形． 证明：如图，延长交于H， ，， ， ， ， ∵点F是的中点， ， 在和中，， ∴（ASA）， ，， ，， ∴， 即， ∴（等腰三角形三线合一），， ∴是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得， ，从而得证； （2）根据等边对等角可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据正方形的对角线平分一组对角求出，求出，从而得证； （3）延长交于H，先求出，再根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的判定，熟记各性质是解题的关键，（3）作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长仑垸2025年春八年级数学科期中学情调研 （总分：120分 时量：120分钟） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　） A. AB，BC＝4，AC＝5 B. AB：BC：AC＝3：4：5 C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. ∠A∠B∠C 2. 已知a，b，c为的三边长，若满足，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 3. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ） A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形 5. 在中，的值可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，为的中位线，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. 32° D. 7. 如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（　　） A. 30 B. 24 C. 18 D. 6 8. 如图，在中，，将的顶点E放在矩形的一边上，使得，其中与交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 下列判断错误的是（    ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 一条对角线平分内角的平行四边形是菱形 C. 四个内角都相等的四边形是矩形 D. 两对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 10. 如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为(　　) A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处．树折断之前有______米． 12. 已知菱形的周长是20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的另一条对角线长为_____ 13. 如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为________． 14. 如图，一个正五边形和一个正方形各有一边在直线上，且只有一个公共顶点B，则的度数为__________度． 15. 如图，在矩形中，O，E分别为的中点．若，则的长为_________． 16. 如图，正方形的边长为4，点E是的中点，，点P为对角线 上一动点，则的最小值是________． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 在△ABC中，，，试求出三个角的度数及的长度． 18. 作图题．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （1）如图，在直线上找一点O修建加油站，使加油站到公路和公路的距离相等，请用尺规作图法确定这个加油站O的位置． （2）如图，作出关于点A成中心对称的图形． 19. 如图，在中，于点，于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 20. 如图，四边形中，，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求的面积． 21. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3 m，BC＝4 m，CD＝12 m，DA＝13 m，∠B＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米30元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 22. 如图，将一张矩形纸片进行折叠，已知该纸片宽为，长为，折叠时顶点D落在边上的点F处（折痕为）． （1）求的面积； （2）求的长． 23. 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 24. 如图1，在正方形中，是对角线，点在上，是等腰直角三角形，且，点F是的中点，连接与． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，若等腰直角三角形绕点B按顺时针旋转45°，其他条件不变，请判断的形状，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $