精品解析：天津市第二中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2024—2025（二）天津二中高一年级第二次月考 数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共100分，考试用时90分钟． 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1. 设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐项判断向量是否共线，若不共线，则可以作为基底 【详解】解：对于A，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以A不合题意； 对于B，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以B不合题意； 对于C，若共线，则存在唯一实数，使，即，所以且，所以不存在，所以不共线，所以可以作为基底，所以C符合题意； 对于D，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以D不合题意， 故选：C 2. 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间里面的线线、线面、面面关系逐项分析即可得到答案. 【详解】对于选项A：若，，，则或a与b异面，故A错误； 对于选项B：若，，则，又∵，∴，故B正确； 对于选项C：若，，，则不能确定a，b的关系，故C错误； 对于选项D：若，，则或，故D错误. 故选：B. 3. 已知复数z满足：，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的四则运算法则化简求出，再由共轭复数的定义结合复数虚部的概念求解即可. 【详解】，， ，， ，的共轭复数的虚部为，故D正确. 故选： 4. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，，，则实数a的值为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理和题设条件，化简得，进而求得，利用正弦定理求得. 【详解】因为，由正弦定理得， ，化简得， 因为，所以， 可得，又，所以， 由正弦定理得，. 故选：C. 5. 如图，O是的重心，=，=，D是边BC上一点，且=3，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，且，又由3，得：D是BC的四等分点，再利用平面向量的线性运算可得则，故得解 【详解】如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心， 则点E为BC的中点， 且 由3，得：D是BC的四等分点， 则 ， 故选A． 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及重心的特征，属中档题． 6. 在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，构造直角三角形，可求得外接球的半径，从而得到表面积. 【详解】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形，取直角三角形斜边的中点， 直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接AO，,设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r=，则，该直三棱柱外接球的表面积为, 故选：C 7. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图为矩形，其中，则原平面图形的周长为（ ） A. B. 8 C. 14 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图还原原平面图形，确定原图形中线段的长度，再由勾股定理计算可得结果. 【详解】由直观图还原原平面图形，如下图所示： 由四边形为矩形，得，且， 即为等腰直角三角形，则，， 在原图形中，，， 由，，则在原图形中，，， 即四边形为平行四边形，因此，， 所以原平面图形的周长为. 故选：C 8. 已知△ABC的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，进而得到为正三角形，从而得到结论. 【详解】如图，由知O为的中点， 又∵O为的外接圆圆心， 又 为正三角形，， 在上的投影向量为. 故选：A. 9. 如图，正四棱锥的每个顶点都在球的球面上，侧面是等边三角形.若半球的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球的体积与球的体积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易知，则球M的球心是O，其，再由半球O的半径为，由，结合球的体积公式求解. 【详解】如图： 连接PO，BD，取CD的中点E，连接PE，OE， 过O作OH⊥PE于H，易知PO⊥底面ABCD， 设，则，， ， 所以球M的球心是O，设半径为R，则， 半球O的半径为，则， 所以， 故. 故选：A 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡上． 10. 已知i是虚数单位，复数_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的模以及除法运算化简即可. 【详解】. 故答案为： 11. 2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相．某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为_________人． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解. 【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了15人,12人，可得高三年级抽取了9人， 又由高三年级共有900名学生，则每个学生被抽到的概率为， 设该校共有名学生，可得，解得（人）， 即该校共有名学生. 故答案为：. 12. 已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图的知识求得正确答案. 【详解】设圆锥的母线长为，则. 故答案为： 13. 设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由列方程，化简求得的值. 【详解】∵，，， ∴， 又∵A，C，D三点共线，∴， ∵，不共线，∴， ∴，∴. 故答案为： 14. 如图，在正方体中，E是棱BC的中点，G是棱的中点，则异面直线GB与所成的角为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得出向量的坐标，根据向量法即可求出两条异面直线所成角的余弦值. 【详解】设正方体棱长为，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 则，， 则， 所以， 所以，所以直线与直线的夹角为． 故答案为：． 15. 在菱形中，，，，， 已知点M在线段上，且则_____ ，若点N为线段上一个动点，则的最小值为___________ 【答案】 ①. 7 ②. 【解析】 【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值；设，，根据平面向量的运算法则，推出，然后由配方法，得解． 【详解】因为，，所以，， 所以，， 因为点在线段上， 可设， 而，所以，解得，， 所以， 则， 所以， 因为点为线段上一个动点， 可设，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：7，． 三、解答题：本大题共4小题，共40分，将解题过程及答案填写在答题卡上． 16. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）若的面积为，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）4. 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系得，结合已知及余弦定理得，再由平方关系求； （2）应用二倍角正余弦公式、和角余弦公式求函数值； （3）由三角形面积公式得，结合、即可求边长. 【小问1详解】 因为，所以，而， ，， ； 【小问2详解】 由（1），， ； 【小问3详解】 由（1），则，又，则， 又，则. 18. 如图，在三棱柱 中，底面，且为正三角形，，为的中点. （1）求证: 直线平面 （2）求证：平面 平面 （3）求与平面所成的角的正切值. 【答案】（1）证明如下： 设，连接， 在三棱柱中， 底面，且为正三角形， 三棱柱为正三棱柱，侧面为正方形， 为的中点，又为的中点， 在中有， 平面，平面， 平面. （2）证明如下： 连接， 底面，平面， ， 又为正三角形，为的中点， ， 又， 又平面，平面， 平面，又平面， 平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）先利用三角形的中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先证明，，再由线面垂直的判定定理证明平面，再用面面垂直的判定定理证明即可； （3）由（2）可知平面，先找到在平面内的射影，再根据线面角的定义，得到即为与平面所成的角，在中求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知平面，即为在平面内的射影， 即为与平面所成的角， 三棱柱为正三棱柱，且， ，， . 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若平面向量，其中，． （1）求角B的大小； （2）若，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算和正弦定理即可得到，再求解即可； （2）首先利用余弦定理和基本不等式得到，将转化为，再利用换元法求解即可. 【小问1详解】 因为，则，又，， 所以，由正弦定理得， 即，又A是内角，则， 所以，即， 又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得，即， 所以（当且仅当时取等号）， 所以， 又，所以， 所以， 令，， ，则在上单调递增， 所以，即，即， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025（二）天津二中高一年级第二次月考 数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共100分，考试用时90分钟． 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1. 设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（ ） A. B. C. D. 2. 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 3. 已知复数z满足：，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，，，则实数a的值为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 5. 如图，O是的重心，=，=，D是边BC上一点，且=3，则（　　） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图为矩形，其中，则原平面图形的周长为（ ） A. B. 8 C. 14 D. 8. 已知△ABC的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正四棱锥的每个顶点都在球的球面上，侧面是等边三角形.若半球的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球的体积与球的体积的比值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡上． 10. 已知i是虚数单位，复数_____． 11. 2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相．某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为_________人． 12. 已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为________ 13. 设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______. 14. 如图，在正方体中，E是棱BC的中点，G是棱的中点，则异面直线GB与所成的角为______． 15. 在菱形中，，，，， 已知点M在线段上，且则_____ ，若点N为线段上一个动点，则的最小值为___________ 三、解答题：本大题共4小题，共40分，将解题过程及答案填写在答题卡上． 16. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）若的面积为，求的值. 18. 如图，在三棱柱 中，底面，且为正三角形，，为的中点. （1）求证: 直线平面 （2）求证：平面 平面 （3）求与平面所成的角的正切值. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若平面向量，其中，． （1）求角B的大小； （2）若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $