专题2.14 有理数的乘方（分层专项练习）-2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.14 有理数的乘方（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（2025·广东广州·一模）的出现，不仅推动了技术的进步，还让更多的开发者能够使用高性能的模型，推动了技术的普惠化．2025年开年，仅用二十天就实现了21600000的日活跃用户（），超过了发布之初的数据表现，展现出巨大的市场潜力．其中用科学记数法表示21600000为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 解：， 故选C． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）下列各式结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了相反数的含义和求法，以及绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数；③当a是零时，a的绝对值是零．根据有理数的乘方运算法则，相反数的含义和求法，以及绝对值的含义和求法，判断出各式结果为负数的是哪个即可． 解：A、是负数，故此选项符合题意； B、是正数，故此选项不符合题意； C、是正数，故此选项不符合题意； D、是正数，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（2021·河北石家庄·一模）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方运算，熟练掌握并理解幂的乘方等于底数不变，指数相乘是解题的关键．根据幂的乘方法则：，即幂的乘方等于底数不变，指数相乘，进行分析即可． 解：表示3个相乘或者表示6个相乘． 故选：A． 4．（24-25七年级上·河北沧州·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法与乘方运算，解题的关键是正确计算分子的和以及分母的乘方结果，再进行除法运算． 先分别计算分子中加法的结果和分母中乘法（乘方形式）的结果，然后进行分数的化简得出答案． 解：， ， 原式． 故选：B． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数：，，，0，在数轴上所对应的点在原点右边的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上点的分布与数的正负性，幂的符号法则．在数轴上，原点右边的点表示的数是正数，原点左边的点表示的数是负数，原点为0．正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂是负数．熟练掌握幂的符号法则是解决本题的关键．确定题目中给出每个数的正负性即可回答此题． 解：，，， ∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的数是，共1个， 故选：A． 6．（22-23七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点拨】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 7．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘方，理解题意列出式子是解本题的关键．根据题意列出算式计算即可得到结果． 解：根据第1次截取后，剩， 第2次截取后，剩， 第3次截取后，剩 第4次后剩下，即（米） 故选B． 8．（2025·河南焦作·二模）音乐中的八度是指相邻的音组中相同音名的两个音（包括变化音级），从某一音级到它上方或下方第一个同名音级之间的音高距离，就是八度．如到、到．以频率来表示，相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为．观察下面的钢琴键盘示意图，可以得出的振动频率是的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】本题考查了音乐中的八度的理解，有理数的乘方，根据所给定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：根据钢琴键盘示意图可知，从到音高依次经过， ∴跨越了个八度， ∵相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为 ∴的振动频率是的， 故选：． 2、 填空题（每小题3分，共18分） 9．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）立方等于的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则，进行计算即可． 解：； ∴立方等于的数是； 故答案为： 10．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习） ． 【答案】 【分析】题目主要考查有理数的乘方运算，理解题意，掌握幂的定义及有理数的乘方运算是解题关键． 解：， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·四川内江·阶段练习）若与互为相反数，则的值为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查的是相反数的定义和非负数性质，根据互为相反数的两个数和为0列式求解即可． 解：与互为相反数， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（2025·安徽蚌埠·三模）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 解：把写成原数为， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·北京·期中）我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 【答案】520 【分析】本题主要考查了乘方的运算， 仿照“十进制”的算法，可知总天数为右面第一个数字加上第二个数字乘以7，依次第三个数字乘以，第四个数字乘以，再相加得出答案. 解：孩子自出生后的天数是：（天）. 故答案为：520. 14．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）阅读材料： 若，则，称b为以a为底N的对数． 例如，则． 根据材料填空： ． 【答案】 【分析】先根据乘方确定，，根据新定义求出，，然后代入计算即可． 解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点拨】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 3、 解答题（4题共计30分） 15.（6分）（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的逆运算，求一个数的绝对值，有理数的加法计算，先计算乘方和绝对值得到，，再由得到或，据此代值计算即可． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， ∴的值为． 16.（8分）（24-25七年级上·广东韶关·期末）已知有理数：，，，0，． （1）这些有理数中，整数有________个，负数有________个； （2）请补充完整数轴，并把上述各数所表示的点画在数轴上； （3）请把以上有理数按从小到大的顺序用“<”连接起来． 【答案】（1）3，3；（2）见分析；（3）． 【分析】本题考查有理数的乘方，数轴上的点表示有理数，有理数的大小比较，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先化简各数，再进行分类即可； （2）把有理数在数轴上表示出来即可； （3）根据数轴上表示的有理数，从左到右，有小于号连接即可． 解：（1）解：，，0，是整数，有3个； ，，，，是负数，有3个， 故答案是：3,3； （2）解：如图所示： （3）解：． 17.（8分）（24-25七年级上·四川眉山·期末）若与互为相反数． （1）求，的值； （2）规定一种新运算：，如 ，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题主要考查了相反数的概念，绝对值和偶次幂的非负性，有理数的运算，掌握运算法则是解题的关键． （）根据相反数的概念和平方，绝对值的非负性即可得出，的值； （）根据新定义运算列式即可求解； 解：（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得：，， ∴ ． 18.（8分）（2024七年级上·全国·专题练习）当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． （1）一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． （2）有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． （3）求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【答案】（1）；（2）32000；（3）32倍 【分析】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． （1）根据每分裂1次，数量是之前的2倍求解可得； （2）由每12分钟分裂一次知1小时分裂5次，据此求解可得； （3）先算出两个小时后的数量是，计算可得答案． 解：（1）解：根据题意：一个细菌在分裂n次后，数量变为个； （2）解：， 1小时后，盘子里有个细菌； （3）解：， 两个小时后的数量是， ∴两个小时后的数量是1小时后的（倍）． 第二卷【拓展培优】 4、 选择题（每小题3分，共12分） 19．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）在，，，，这五个数中，负数共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数、绝对值、乘方、负数等知识点，理解乘方的运算法则成为解题的关键． 先根据相反数、绝对值、乘方化简，然后根据负数的定义即可解答． 解：为正数，为正数，既不是正数、也不是负数，是负数，是负数，综上负数共有2个． 故选D． 20．（2025·宁夏银川·一模）若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用数轴上点表示实数，实数运算，掌握根据数轴上点的位置判断式子的值是解题的关键． 根据数轴得到，结合实数运算法则判断即可得到答案． 解：由数轴得，， ∴A、，此选项不符合题意， B、，此选项不符合题意， C、，，此选项符合题意， D、，此选项不符合题意， 故选：C． 21．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）观察等式：；；；，已知按一定规律排列的一组数：，，．若，用含的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析式子猜想规律，利用规律计算解题． 解：； ； ； ， ， ， ， 原式． 故选：D． 【点拨】本题考查规律问题，找准不变化的量和变化的量是解题关键． 22．（24-25七年级上·北京·期中）若，且，以下结论：①；②；③；④的所有可能取值为和；其中正确结论是（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法法则、绝对值的性质、有理数的乘方，根据几个不相等的数的和为可知正确，根据任何数的平方都是非负数可知故正确，根据绝对值的性质可以判断错误． 解：，且， 有可能，， 故正确； ， ， ， ， 故正确； ，且， 当、时， ， 当、时， ， 的值只能为， 故错误． 故正确结论是． 故选：C． 5、 填空题（每小题3分，共12分） 23．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列数据，按规律在横线上填上适当的数：1，，，，， ． 【答案】 【分析】此题考查数字的变化规律，乘方的运算，熟练掌握乘方的运算法则是解题的关键． 分别从分子、分母和符号来分析数据的变化规律，进而得出答案． 解：由题意得，分子是从开始连续的奇数，分母是从开始连续自然数的平方，奇数位置为正数，偶数位置为负数， ∴第个数为：， 故答案为： 24．（2024七年级上·全国·专题练习）如图一只蚂蚁从点A沿数轴向左爬3个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数轴的特点、绝对值的性质及有理数的乘方等知识点，根据题意得到点表示的数，然后代入求解即可，解答此题的关键是利用数轴的特点，数形结合判断出的取值范围. 解：点表示，一只蚂蚁从点沿数轴向左直爬3个单位到达点， ∴点B所表示的数， ， 故答案为：6． 25．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 【答案】 5 4 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算． （1）直接根据规定的定义解答即可； （2）根据规定的定义先求得a、b的值，再按定义解答即可． 解：（1）∵， ∴． 故答案为：5； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 26．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）利用如图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为，序号为，表示该生为班学生，则图3是 班学生的识别图案． 【答案】5 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据题意，得到图3第一行数字从左到右依次为，运用题目中的计算方法计算即可求解． 解：黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0， ∴图3第一行数字从左到右依次为， ∴， ∴是5班学生的识别图案， 故答案为：5 ． 6、 解答题（12×2=24分） 27.（12分）（23-24七年级上·广东惠州·期末）用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． （1）求的值； （2）定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 【答案】（1）；（2）①；；②乘法交换 【分析】本题考查新定义运算，读懂题意，理解新定义运算法则，代值求解是解决问题的关键． （1）理解新定义运算，按照当时，都有，代值计算即可得到答案； （2）①理解新定义，根据新定义当时，都有；当时，都有分别计算和即可得到答案；②由①中的计算结果即可得到这个运算满足乘法交换律． 解：（1）解：当时，都有， 当时，， ； （2）解：①当时，都有， 当时，， ； 当时，都有， 当时，， ； ②由上述计算结果可知，， 这个计算结果说明了这个运算满足乘法交换律， 故答案为：②乘法交换． 28.（12分）（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有挑食的同学会倒掉整碗米饭．针对这种浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已知称得500粒大米重约10克，请你来计算： （1）一粒大米重约多少克？ （2）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） （3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元千克计算，可卖多少钱？（用科学记数法表示） （4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？ 【答案】（1）；（2）；（3）元；（4） 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，有理数除法的应用，有理数乘除混合运算，科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法是解题的关键． （1）根据500粒大米重约10克，直接列式计算即可； （2）14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，那么一年大约能节约的千克数可列式为，然后计算出答案即可； （3）直接用单价乘以重量即可得到答案； （4）直接用钱数除以每人每年的学费即可． 解：（1）解：500粒大米重约10克，那么一粒大米重约：（克）， 答：一粒大米重约克； （2）解：按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米， 那么一年大约能节约大米：（千克）， 答：一年大约能节约大米千克； （3）解：（元）， 答：可卖元； （4）解：（名）， 答：卖得的钱可供122640名失学儿童上一年学． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.14 有理数的乘方（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（2025·广东广州·一模）的出现，不仅推动了技术的进步，还让更多的开发者能够使用高性能的模型，推动了技术的普惠化．2025年开年，仅用二十天就实现了21600000的日活跃用户（），超过了发布之初的数据表现，展现出巨大的市场潜力．其中用科学记数法表示21600000为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）下列各式结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2021·河北石家庄·一模）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 4．（24-25七年级上·河北沧州·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数：，，，0，在数轴上所对应的点在原点右边的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（22-23七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 7．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．（2025·河南焦作·二模）音乐中的八度是指相邻的音组中相同音名的两个音（包括变化音级），从某一音级到它上方或下方第一个同名音级之间的音高距离，就是八度．如到、到．以频率来表示，相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为．观察下面的钢琴键盘示意图，可以得出的振动频率是的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2、 填空题（每小题3分，共18分） 9．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）立方等于的数是 ． 10．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习） ． 11．（24-25七年级上·四川内江·阶段练习）若与互为相反数，则的值为 ； 12．（2025·安徽蚌埠·三模）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 13．（24-25七年级上·北京·期中）我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 14．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）阅读材料： 若，则，称b为以a为底N的对数． 例如，则． 根据材料填空： ． 3、 解答题（4题共计30分） 15.（6分）（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，，且，求的值． 16.（8分）（24-25七年级上·广东韶关·期末）已知有理数：，，，0，． （1）这些有理数中，整数有________个，负数有________个； （2）请补充完整数轴，并把上述各数所表示的点画在数轴上； （3）请把以上有理数按从小到大的顺序用“<”连接起来． 17.（8分）（24-25七年级上·四川眉山·期末）若与互为相反数． （1）求，的值； （2）规定一种新运算：，如 ，求的值． 18.（8分）（2024七年级上·全国·专题练习）当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． （1）一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． （2）有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． （3）求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 第二卷【拓展培优】 4、 选择题（每小题3分，共12分） 19．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）在，，，，这五个数中，负数共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 20．（2025·宁夏银川·一模）若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 21．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）观察等式：；；；，已知按一定规律排列的一组数：，，．若，用含的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·北京·期中）若，且，以下结论：①；②；③；④的所有可能取值为和；其中正确结论是（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 5、 填空题（每小题3分，共12分） 23．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列数据，按规律在横线上填上适当的数：1，，，，， ． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）如图一只蚂蚁从点A沿数轴向左爬3个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．则 ． 25．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 26．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）利用如图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为，序号为，表示该生为班学生，则图3是 班学生的识别图案． 6、 解答题（12×2=24分） 27.（12分）（23-24七年级上·广东惠州·期末）用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． （1）求的值； （2）定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 28.（12分）（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有挑食的同学会倒掉整碗米饭．针对这种浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已知称得500粒大米重约10克，请你来计算： （1）一粒大米重约多少克？ （2）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） （3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元千克计算，可卖多少钱？（用科学记数法表示） （4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$