专题2.12 有理数的乘法与除法（分层专项练习）-2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.12 有理数的乘法与除法（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（2025·吉林长春·二模）若的运算结果为正数，则内的数字可以是（    ） A． B．0 C．3 D．5 2．（2025·湖南永州·二模）若5的倒数是x，则5x的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 3．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）的运算结果是（   ） A．1.5 B． C． D． 4．（24-25七年级上·福建莆田·期中）（   ） A．2 B． C．1 D．4 5．（2025·河北·一模）下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）小慧在纸上画了一条数轴后，折叠纸使数轴上表示的点与表示3的点重合，若数轴上A，B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且经上述折叠后A，B两点重合，则A点表示的数为（    ） A． B．1013 C． D．1011 7．（2025·河南开封·二模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2、 填空题（每小题3分，共18分） 9．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）在数，，4，5中任取三个数相乘，所得的积最大的是 ． 10．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： ． 11．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）某同学在计算时，误将“”看成“+”而算得结果是，则的正确结果是 ． 12．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对有理数、定义运算“”如下：，则 ． 13．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 14．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）小刚遇到这样一道题：，觉得直接计算括号内通分较为复杂，经过思考后他采用先计算：的方法．小刚之所以这样计算是发现它们的结果的数量关系是 ，计算的结果是 ． 3、 解答题（4题共计30分） 15.（6分）（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： （1） （2） 16.（8分）（2025·河北邢台·三模）已知四个数：． （1）直接用“”将这四个数连接起来； （2）从中任意选取两个数，设其中乘积最大的结果为，这四个数的和为，求的值． 17.（8分）（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）煤矿井下A点的海拔为． （1）若从A点到B点的水平距离是，每经过水平距离高度上升，已知B点在A点的上方，求B点的海拔； （2）若C点海拔为，每垂直升高用时，已知C点在A点的正上方，求从A点到C点所用的时间． 18.（8分）（24-25七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ （1）上述计算过程，在第_____步出现错误，本题运算的正确结果是______； （2）第①步的变形依据是____，第②步的变形依据是____；（填选项） （依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律） （3）运用上述解法，计算：． 第二卷【拓展培优】 4、 选择题（每小题3分，共12分） 19．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 20．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）已知，，则（   ） A． B． C．1 D．3 21．（24-25七年级上·云南·期中）下列算式中，（1），（2），（3），（4），（5），正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 22．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 5、 填空题（每小题3分，共12分） 23．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）小安和小何玩猜数字的游戏，小安心里想好了一个数并描述说：“这个数的绝对值等于它的相反数．”小何说：“我猜不到．”小安继续说：“它的倒数等于它本身．”小何说“我知道了！”，小安心里想的这个数是 ． 24．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0，则的值为 ． 25．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 ． 26．（24-25七年级下·江苏南京·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ． 6、 解答题（12×2=24分） 27.（12分）（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列各式： ，，，…，， ， ， ， ． 阅读以上解题过程，解答下列问题： （1）计算：； （2）计算：． 28.（12分）（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，． （1）探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． （2）性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.12 有理数的乘法与除法（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（2025·吉林长春·二模）若的运算结果为正数，则内的数字可以是（    ） A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据两数相乘，同号为正，异号为负即可得到答案． 解：∵两数相乘，同号为正，异号为负， ∴内的数字一定要是负数， ∴四个数字中只有符合题意， 故选：A． 2．（2025·湖南永州·二模）若5的倒数是x，则5x的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，求解即可． 解：∵5的倒数是x， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）的运算结果是（   ） A．1.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则判断即可．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 解：， ， ， 故选：C． 4．（24-25七年级上·福建莆田·期中）（   ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法混合计算，先把除法变成乘法，再根据有理数乘法计算法则求解即可． 解：， 故选：D． 5．（2025·河北·一模）下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘法运算．根据有理数运算法则分别计算并比较大小即可． 解：A、； B、； C、； D、； ∵， ∴得数最小的是D选项， 故选：D． 6．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）小慧在纸上画了一条数轴后，折叠纸使数轴上表示的点与表示3的点重合，若数轴上A，B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且经上述折叠后A，B两点重合，则A点表示的数为（    ） A． B．1013 C． D．1011 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的减法，数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 先求出表示的点与表3的点的中点表示的数，再根据A、B两点之间的距离为2024且折叠后重合，则A、B关于1对称，又A在B的左侧，则A点表示的数为∶，即可得到答案。 解：折叠纸使数轴上表示的点与表示3的点重合， 表示的点与表示3的点的中点表示的数是． 由题意可知点A、B关于1对称， A、B两点之间的距离为2024且折叠后重合， 则A、B关于1对称， 又A在B的左侧， A点表示的数为：． 故选：A． 7．（2025·河南开封·二模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴与绝对值，有理数的运算，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断，且，再进一步分析即可． 解：由数轴上的点位置得：，且， ∴，，，， 故选：B． 8．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 根据乘法分配律逐个判定即可 解：①，故①适合运用分配律来简化计算； ②不适合运用分配律来简化计算； ③，故③适合运用分配律来简化计算； ④，故④适合运用分配律来简化计算； 故选：D． 2、 填空题（每小题3分，共18分） 9．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）在数，，4，5中任取三个数相乘，所得的积最大的是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了有理数的乘法及有理数大小比较，关键要明确当负因数为奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正，且正数大于一切负数．找积最大的应取偶数个负数，据此分析求解即可． 解：∵， ∴所得的积中最大的是30． 故答案为：30． 10．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，去绝对值，带分数化为假分数，除法变乘法，约分即可． 解：原式； 故答案为：． 11．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）某同学在计算时，误将“”看成“+”而算得结果是，则的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，有理数的加法．根据题意得出，即可求出a的值，然后写出正确算式计算即可． 解：根据题意得， 解得， 所以， 故答案为：． 12．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对有理数、定义运算“”如下：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算法则、有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 根据新定义列算式计算即可． 解：． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 解：， ，输出； 故答案为：128． 14．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）小刚遇到这样一道题：，觉得直接计算括号内通分较为复杂，经过思考后他采用先计算：的方法．小刚之所以这样计算是发现它们的结果的数量关系是 ，计算的结果是 ． 【答案】 互为倒数 / 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可知，与互为倒数，然后计算出的结果，即可求得的结果． 解：与互为倒数， ， 的结果是， 故答案为：互为倒数；． 3、 解答题（4题共计30分） 15.（6分）（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则，是解题的关键： （1）通分计算括号内，除法变乘法，约分即可； （2）先去括号，去绝对值，再进行加减运算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）原式 ． 16.（8分）（2025·河北邢台·三模）已知四个数：． （1）直接用“”将这四个数连接起来； （2）从中任意选取两个数，设其中乘积最大的结果为，这四个数的和为，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算、有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键． （1）根据有理数的大小比较法则：异号两数比较大小，要考虑它们的正负，根据“正数大于负数”，同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值，特别是两个负数大小比较，先各自求出它们的绝对值，然后依法则：两个负数，绝对值大的反而小，比较绝对值大小后，即可得出结论； （2）根据有理数运算法则计算即可． 解：（1）解：由题意可得：． （2）解：根据（1）可知， ， ． 17.（8分）（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）煤矿井下A点的海拔为． （1）若从A点到B点的水平距离是，每经过水平距离高度上升，已知B点在A点的上方，求B点的海拔； （2）若C点海拔为，每垂直升高用时，已知C点在A点的正上方，求从A点到C点所用的时间． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键． （1）根据每经过水平距离高度上升列式计算即可； （2）根据每垂直升高用时列式计算即可． 解：（1）解：， 答：B点的海拔为； （2）解：， 答：从A点到C点所用的时间为． 18.（8分）（24-25七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ （1）上述计算过程，在第_____步出现错误，本题运算的正确结果是______； （2）第①步的变形依据是____，第②步的变形依据是____；（填选项） （依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律） （3）运用上述解法，计算：． 【答案】（1）⑤，；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，乘方分配律的逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算即可求解； （2）运用运算律分析即可； （3）根据材料提示，运用乘法分配律的逆运算计算即可． 解：（1）解：根据题意，可得第⑤步出现错误， ∵， ∴正确结果是， 故答案为：⑤，； （2）解：第①步的变形依据是加法交换律，第②步的变形依据乘法分配律， 故答案为：，； （3）解： ． 第二卷【拓展培优】 4、 选择题（每小题3分，共12分） 19．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法、有理数的加法，首先根据，，可得：，，又因为，可知、同号，然后分情况求出的值即可． 解：，， ，， 又， 、同号， 当，时， ， 当，时， ， 综上所述，的值是或， 故D选项符合题意． 故选：D ． 20．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）已知，，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数相关运算法则是解题的关键； 根据题意，分别计算，的值，最后求解值，即可求解； 解：， ， ； 故选：D 21．（24-25七年级上·云南·期中）下列算式中，（1），（2），（3），（4），（5），正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，利用有理数的减法运算法则进行计算可判断（1）（2），利用有理数的乘除运算法则进行计算可判断（3）（4）（5）．熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：（1），不符合题意； （2），不符合题意； （3），符合题意； （4），不符合题意； （5），不符合题意， ∴正确的个数是个． 故选：A． 22．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，有理数的运算等知识点，根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，…，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按4，，，重复出现是解题的关键． 解：由题意知， ∵， ∴，，，，…， 由此可知，从开始，这列数按4，，，重复出现， ∵， ∴， 故选：C． 5、 填空题（每小题3分，共12分） 23．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）小安和小何玩猜数字的游戏，小安心里想好了一个数并描述说：“这个数的绝对值等于它的相反数．”小何说：“我猜不到．”小安继续说：“它的倒数等于它本身．”小何说“我知道了！”，小安心里想的这个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值以及倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据绝对值等于相反数以及倒数等于本身即可得到答案． 解：负数和0的绝对值等于它的相反数，的倒数等于它本身， 故小安心里想的这个数是， 故答案为：． 24．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的乘法、有理数的加法，由题意可得、、中两个数为负数，一个数为正数，再分三种情况：当为正数，、为负数时；当为正数，、为负数时；当为正数，、为负数时；分别求解即可得解． 解：∵、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0， ∴、、中两个数为负数，一个数为正数， 当为正数，、为负数时，此时， 当为正数，、为负数时，此时； 当为正数，、为负数时，此时； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 25．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，有理数的运算，根据数轴，易知，，再逐一判断每个选项即可． 解：根据数轴可知，， 则：，故选项①正确，符合题意； ，故选项②正确，符合题意； ∵，， ∴，故选项③正确，符合题意； ∵， ∴，故选项④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①②③④． 故答案为：①②③④． 26．（24-25七年级下·江苏南京·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，再逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 解：第一组所有数的和为， 第二组所有数的和为， 第一组数中取与第二组数中任取一个数相乘，所有乘积的总和是， 同理可得从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是， 故答案为：． 6、 解答题（12×2=24分） 27.（12分）（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列各式： ，，，…，， ， ， ， ． 阅读以上解题过程，解答下列问题： （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，按照例题将分数裂项为两个分数的差的形式是解答本题的关键． （1）仿照例题，将分数裂项为两个分数的差的形式，进行计算即可求解； （2）仿照例题，将分数裂项为两个分数的差的形式，原式化为，进行计算即可求解． 解：（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式， ， ， ． 28.（12分）（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，． （1）探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． （2）性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 【答案】（1）①；；②；；（2）①；② 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解． （1）①根据定义即可求解； ②举例，，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解； ②由已知可知：要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的，从而得到：这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、，从而得出结论． 解：（1）解：①， ， ， 故答案为：；． ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为． 故答案为：；． （2）解：①； ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的， 这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、， 这个值的和的最小值是， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$