精品解析：江苏省泰州中学2025届高三四模数学试题

江苏省泰州中学2025届高三年级第四次模拟考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某社区为墙面A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ） A B C D A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 84种 4. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在中，，点满足，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙三人各自计划去珠海市旅游，他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达珠海市，他们在哪一天到达珠海市相互独立，且他们各自在5月13日到5月15日到达珠海市的概率如下表所示（，，）. 到达日期 5月13日 5月14日 5月15日 0.4 0.4 0.2 0.3 0.2 0.5 0.7 若甲、乙两人同一天到达珠海市的概率为，乙、丙两人同一天到达珠海市的概率为，甲、丙两人同一天到达珠海市的概率为，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是（ ） A B. 2 C. D. 3 8. 已知个大于2的实数，对任意，存在满足，且，则使得成立的最大正整数为（ ） A. 14 B. 16 C. 21 D. 23 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列说法正确是（ ） A B. C. 若，则为纯虚数 D. 若，为实系数方程的两虚根，则 10. 如图，在棱长为4的正方体中，分别为棱，底面的对角线上的动点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 平面 C. 存在实数，使得 D. 若直线与平面所成角的正弦值为，则 11. 已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（ ） A. 若且，则数列是等比数列 B. 若，则数列是递增数列 C. 若数列是常数列，则 D. 若数列是周期数列，则最小正周期可能为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 13. 的二项展开式中含的项的系数为______（用数字作答）． 14. 已知在四棱锥中，面底面，且，，则四棱锥体积的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前n项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 如图，四棱柱中，底面．四边形为梯形，，且．过三点的平面记为与的交点为． （1）证明：为的中点； （2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； （3）若，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小． 17. 已知椭圆：离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为. （1）求E的方程； （2）设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等. （i）求证：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由. 18. 为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示. 序号 评委甲评分 评委乙评分 初评得分 1 67 82 74.5 2 80 86 83 3 61 76 68.5 4 78 84 81 5 70 85 77.5 6 81 83 82 7 84 86 85 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 （1）从这篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的概率； （2）从这篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过的篇数记为，求的分布列及数学期望； （3）对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，，标准差为，，以作为序号为的论文的标准化得分.对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论文的两种排名结果是否相同?（结论不要求证明） 19. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知，． （1）若曲线和有两个公共点，求a的取值范围； （2）已知B为曲线上一点，其中为的导函数，O为坐标原点，把绕着原点O沿顺时针方向旋转后得到点P，记点P的轨迹为E． （ⅰ）求E的方程； （ⅱ）求曲线E的内接等腰直角三角形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泰州中学2025届高三年级第四次模拟考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算可求，再根据复数的共轭及乘法计算即可. 【详解】由，则， 所以. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为可得， 由可得：或，解得：或 因为或，所以. 故选：C. 3. 如图，某社区为墙面A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ） A B C D A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 84种 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可知，若只用3种颜色，则只有和颜色相同，或只有和颜色相同，所以采用分类和分步计数原理，结合排列组合，即可求解. 【详解】由条件可知，可以分成只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 若只有和颜色相同，则有种方法， 只有和颜色相同，也有24种方法，所以一共有种方法. 故选：C 4. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案. 【详解】由函数，则易知其图象对称中心， 当时，为函数图象的对成中心， 则当时，，充分性成立； 当时，由，可能得到，必要性不成立. 故选：A. 5. 在中，，点满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用，表示，根据，结合已知条件，以及数量积的运算律，求解即可. 【详解】由题可知，， 故， 故，解得. 故选：B. 6. 甲、乙、丙三人各自计划去珠海市旅游，他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达珠海市，他们在哪一天到达珠海市相互独立，且他们各自在5月13日到5月15日到达珠海市的概率如下表所示（，，）. 到达日期 5月13日 5月14日 5月15日 0.4 0.4 0.2 0.3 0.2 0.5 0.7 若甲、乙两人同一天到达珠海市的概率为，乙、丙两人同一天到达珠海市的概率为，甲、丙两人同一天到达珠海市的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式，分别求得，，，结合，比较大小，即可得到答案. 【详解】由题意知：，，，可得， 则， ， ， 因为，所以， 所以. 故选：C. 7. 如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，求得且，进而得到，进而求得点，代入双曲线方程，化简求得，结合，即可求解. 【详解】因为四边形是一个平行四边形，且，可得，即， 由双曲线，可得，渐近线方程为，即， 可得，且， 因为直线，可得， 又因为，所以即， 代入双曲线方程，可得，整理得， 所以，可得，即， 所以离心率. 故选：A. 8. 已知个大于2的实数，对任意，存在满足，且，则使得成立的最大正整数为（ ） A. 14 B. 16 C. 21 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，结合函数单调性可得，则有，即可得解. 【详解】由，且，，故，即， 令，， 故当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 由，即，故，， 又，故，即， 若，则有， 即，由，故. 故最大正整数为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数的性质，结合其单调性得到，从而得到，则有，即可得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则为纯虚数 D. 若，为实系数方程的两虚根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据复数的乘方运算求解，判断；对B，根据复数的乘法运算和复数模计算判断；对C，根据复数的除法运算求解判断；对D，根据实系数的一元二次方程的虚根成对的原理，可判断. 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，由，，得，故B错误； 对于C，由，得，所以为纯虚数，故C正确； 对于D，若为实系数方程的两虚根，则， 所以，，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为4的正方体中，分别为棱，底面的对角线上的动点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 平面 C. 存在实数，使得 D. 若直线与平面所成角的正弦值为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等体积法转化可得选项A正确；作于点，通过证明平面平面可得选项B正确；建立空间直角坐标系，根据可得选项C错误；利用向量法表示线面角的正弦值可得选项D正确. 【详解】A.由题意得，，A正确； B.如图，作于点，连接，则，且， 因为平面，平面，所以平面. 因为，所以，故， 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，平面，，所以平面平面， 因为平面，所以平面，B正确； C.以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以， 若，则，得，与矛盾， 所以不存在实数，使得，C错误； D.由题意得，平面的法向量为，设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍），D正确. 故选：ABD． 11. 已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（ ） A. 若且，则数列是等比数列 B. 若，则数列是递增数列 C. 若数列是常数列，则 D. 若数列是周期数列，则最小正周期可能为2 【答案】AC 【解析】 【分析】当时，得到，两边取对数即可判定A；当时，求得，可判定B；若数列为常数列，得到，结合二次函数的性质，可判定C；假设列是周期数列，且最小正周期为，得到且，结合，得到，化简可判定D. 【详解】对于A，若，可得，即， 当且时，两边取对数，可得，即， 此时数列表示首项为，公比为的等比数列，故A正确； 对于B，当时，可得，即， 例如：当时，由，可得， 又由，可得，此时， 所以当，数列不一定是递增数列，故B错误； 对于C，若数列为常数列，则， 因为，即， 又因为，所以， 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，假设数列是周期数列，且最小正周期为，即且， 因为，可得，所以， 则，即， 又因为数列的各项均为正数，即， 所以，即，这与矛盾， 所以数列的最小正周期不可能是，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据两角和的正弦公式化简分母，再上下同时除以，用正切表示已知式子，即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 的二项展开式中含的项的系数为______（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式来求指定项系数即可. 【详解】展开式中的第二项为， 所以含的项的系数为， 故答案为： 14. 已知在四棱锥中，面底面，且，，则四棱锥体积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可作底面，设，则四边形面积，再设，求导分析函数单调性，利用单调性求最值即可得到四棱锥体积的最大值. 【详解】如图，设中点为，连接， ，是的中点，，则， 又面底面，面底面，所以底面， 设四边形面积为，， 则， ，当时取等， 令， ， 令，解得或（舍），即， 所以当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 即， 底面，， 所以四棱锥体积的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前n项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列通项公式、前n项和求基本量，进而写出等比数列通项公式. （2）等比数列前n项和公式写出，应用裂项相消法求 【小问1详解】 由题知：①， ②， ②÷①得，，解得，代入①式得，， 所以． 【小问2详解】 由（1）知：， 所以， 所以 ． 16. 如图，四棱柱中，底面．四边形为梯形，，且．过三点的平面记为与的交点为． （1）证明：为的中点； （2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； （3）若，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行，证明线线平行，进而得到，进而证明为的中点； （2）连接，四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积为，分别求出和，可得答案； （3）在中，作，垂足为，连接，为平面与底面所成二面角的平面角，然后，计算可得，进而得到. 【小问1详解】 证明：四棱柱中，四边形为梯形，， 平面平面， 平面与面和平面的交线平行， ， ， 为的中点； 【小问2详解】 解：连接，设， 梯形的高为， 四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积为， 设，则， ， ， 棱柱， 四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积之比 【小问3详解】 解：在中，作，垂足为，连接， 则平面， ， 为平面与底面所成二面角的平面角， ， ， 梯形的面积为， ， ， ， 平面与底面所成二面角的大小为． 17. 已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为. （1）求E的方程； （2）设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等. （i）求证：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）设， ， ，， 由题意可知，，，即， 所以； （ⅱ）不存在点，假设存在点，使得， 因为，，， 所以，，， 则， 由（ⅰ）可知，，又，所以三点共线， 如图， 则，所以， 则点与点重合，这与已知矛盾， 所以不存在点，使. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，列方程组，即可求解； （2）（ⅰ）首先利用坐标表示和，利用面积相等，以及点在椭圆上的条件，即可化简斜率乘积的公式，即可证明；（ⅱ）由条件，确定边长和角度的关系，再结合数形结合，即可判断是否存在点满足条件. 【小问1详解】 当点是短轴端点时，的面积最大，面积的最大值为， 则，得，， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 18. 为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示. 序号 评委甲评分 评委乙评分 初评得分 1 67 82 74.5 2 80 86 83 3 61 76 68.5 4 78 84 81 5 70 85 77.5 6 81 83 82 7 84 86 85 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 （1）从这篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的概率； （2）从这篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过的篇数记为，求的分布列及数学期望； （3）对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，，标准差为，，以作为序号为的论文的标准化得分.对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论文的两种排名结果是否相同?（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3）相同 【解析】 【分析】（1）直接利用古典概型的公式求解即可； （2）的可能取值为，，，利用超几何分布分别求出概率，然后再求期望即可； （3）计算序号为2的论文和序号为3的论文的标准化得分的排名即可. 【小问1详解】 设事件为从这10篇论文中随机抽取1篇，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过， 又在这10篇论文中，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的有篇， 所以； 【小问2详解】 由已知的可能取值为，，， ，， 所以的分布列为 所以的数学期望为； 【小问3详解】 根据数据序号为2的论文初评得分排名为第， 由已知， ， 明显序号为7的论文甲乙两评委评分均最高，故初评得分排名为第，标准化得分排名仍然为第， 现在就看初评得分排名为第的序号为的论文其标准化得分排名是否会发生变化， 根据表中数据观察可得评委甲的评分波动大，故， 所以，即， 所以序号为2的论文标准化得分排名为第， 所以序号为2的论文的两种排名结果相同. 19. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知，． （1）若曲线和有两个公共点，求a的取值范围； （2）已知B为曲线上一点，其中为的导函数，O为坐标原点，把绕着原点O沿顺时针方向旋转后得到点P，记点P的轨迹为E． （ⅰ）求E的方程； （ⅱ）求曲线E的内接等腰直角三角形面积的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）将曲线和有两个公共点转化为与直线有两个交点问题，通过讨论的单调性和最值即可得解； （2）（ⅰ）利用已知条件中的与点的坐标之间的关系，即可写出E的方程；（ⅱ）将E的内接等腰直角三角形面积的最小值转化为曲线的内接等腰直角三角形面积的最小值的问题，写出面积，再利用导数即可求出最小值. 【小问1详解】 ，，曲线和有两个公共点， 即有两个不同的正根，即有两个不同的正根， 令，则函数与直线有两个交点， ，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，且， 当时，；当时，， 当时，直线与函数的图象有两个交点， 综上a的取值范围是； 【小问2详解】 （ⅰ）解：设，， 则 则， ，， 又B为曲线上一点，，， 故E的方程为； （ⅱ）由（ⅰ）知E的内接等腰直角三角形面积的最小值等于曲线的内接等腰直角三角形面积的最小值． 设为直角顶点，，， 则AB斜率，AC斜率 ，，即（1） ，， 化简得：， 化简得：， 即：， 显然，所以（2） 由（1）得，代入（2）得， 去分母，得到， 看成关于b的一元二次方程，得到， 因式分解得， 或， ， 令，得到关于的函数，，则， 令，得或，令，得或， 所以在上递减，递增，递减，递增， 又，，，， 所以曲线E的内接等腰直角三角形面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $