57 正态分布重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 57 正态分布重难点专题 常考结论及公式 结论一：随机误差分布的解析式 已知 ( ) 2 22 1 ( ) 2 x f x e     − − = ， x R ，其中 R ， 0  为参数， ( )f x 为正态 密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.若随机变量 X 的概率密度函数 为 ( )f x ，则称随机变量 X 服从正态分布，记作 2~ ( , )X N   .其中参数是正态分布 的均值，参数 是正态分布的标准差.特别地，当 0, 1 = = 时，称随机变量 X 服从 标准正态分布. 结论二：正态曲线的特点与性质 （1）曲线是单峰的，它关于直线 x = 对称； （2）曲线在 x = 处达到峰值 1 2  ； （3）当 | |x 无限增大时，曲线无限接近 x 轴； （4）曲线与 x 轴围成的面积总为 1； （5）当 一定时，正态曲线的位置由确定，随着的变化而沿 x 轴平移； （6）当一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”， 越大，曲线越 “矮胖”，这反映了总体分布的集中与分散的程度. 结论三：正态分布的对称性 若随机变量 X 服从正态分布，即 2~ ( , )X N   ，且 ( ) ( )P X a P X b =  ，则正 态分布密度曲线关于直线 2 a b x + = 对称. 题型一 正态密度函数的考查 【例 1】（多选）已知随机变量 X的概率密度函数为 ( ) ( ) 2 22 1 e 2π x b ax a  − − = ( 0a  ， 0b  )， 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 且 ( )x 的极大值点为 2x a= ，记 ( ) ( )f k P X k=  ， ( ) ( )g k P X k a=  + ，则（ ） A． ( )~ ,X N b a B． ( )2~ 2 ,X N a a C． ( ) ( )2f a g a= D． ( ) ( ) ( ) ( )2 2f a g a f a g a+ = + 【跟踪训练 1】在一次调研测试后，经统计发现数学成绩服从正态分布，其密度函数 2( 100) 200 1 ( ) e 2π 10 x P x − − =  ，x∈R，则下列结论中正确的是_________．（写出所有满足要求 的结论序号） ①这次测试的数学平均成绩为 100； ②分数在 120 分以上的人数与分数在 90 分以下的人数相同； ③分数在 130 分以上的人数与分数在 70 分以下的人数大致相同； ④这次测试的数学成绩的方差为 10． 题型二 正态曲线特征数相关问题 【例 2】（多选）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为 X，Y）均服从正态分布，即 2 1 1( )X N  ～ ， ， 2 2 2( )Y N  ～ ， ，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正 确的有（ ） 参考数据：若 2( )N  ～ ， ，则 ( ) 0.6827P     −   +  ， ( 2 2 ) 0.9545P     −   +  A． 1 1 1 1( 2 X ) 0.8186P    −   +  B． 1 2( ) ( )P X P Y    C． 2 21 2( ) ( )P X P X    D． 1 2( ) ( )P Y P Y    武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【跟踪训练 2】设 2 1 1~ ( , )X N   ， 2 2 2~ ( , )Y N   ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下 列结论中正确的是（ ） A． 2 1( ) ( )P Y P Y    B． 2 1( ) ( )P X P X    C．对任意正数 t ， ( ) ( )P X t P Y t   D．对任意正数 t ， ( ) ( )P X t P Y t   题型三 正态密度曲线的性质运用 【例 3】已知两个连续型随机变量 X，Y满足条件2 2X Y+ = ，且Y 服从标准正态分布．设 函数 ( ) ( 2 1)F x P X x= −  ，则 ( )F x 的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练 3】若随机变量 ( )2~ 3,2019N ，且 ( 1) ( )P P a  =  .已知F 为抛物线 2 4y x= 的焦点，O为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，若点A 在抛物线上，且 | |AF a= ， 则 | | | |PA PO+ 的最小值为（ ） A． 5 B． 13 C．2 5 D．2 13 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型四 “3σ”原则及其应用 【例 4】某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检 了该设备在一个生产周期中的 100 件产品的关键指标（单位：cm），经统计得到下面的 频率分布直方图： (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指 标的平均数 x 和方差 2s ．（用每组的中点代 表该组的均值） (2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布 ( )2,N   ，用直方图的 平均数估计值 x 作为的估计值，用直方图的标准差估计值 s作为 估计值 ． （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测 10 个零件的关键指标， 如果关键指标出现了 ( )3 , 3   − + 之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需 停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的 10 个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和 判断该生产周期是否需停止生产并检查设备． （ii）若设备状态正常，记 X表示一个生产周期内抽取的 10 个零件关键指标在 ( )3 , 3   − + 之外的零件个数，求 ( )1P X  及 X的数学期望． 参考公式：直方图的方差 ( ) 2 2 1 n i i i s x x p = = − ，其中 ix 为各区间的中点， ip 为各组的频率． 参考数据：若随机变量 X服从正态分布 ( )2,N   ，则 ( )3 3 0.9973P X   −   +  ， 0.011 0.105 ， 0.012 0.110 ， 90.9973 0.9760 ， 100.9973 0.9733 ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【跟踪训练 4】（多选）老张每天 17：00 下班回家，通常步行 5 分钟后乘坐公交车再 步行到家，公交车有 ,A B两条线路可以选择.乘坐线路A 所需时间（单位：分钟）服从 正态分布 ( )44,4N ，下车后步行到家要 5 分钟；乘坐线路 B 所需时间服从正态分布 ( )33,16N ，下车后步行到家要 12 分钟.下列说法从统计角度认为合理的是（ ） （参考数据： ( )2,Z N   ，则 ( ) 0.6827, ( 2P Z P Z      −   +  −   + 2 ) 0.9545, ( 3 3 ) 0.9973)P Z     −   +  A．若乘坐线路 B，18：00 前一定能到家 B．乘坐线路 A比乘坐线路 B在 17：58 前到家的可能性更小 C．乘坐线路 B比乘坐线路 A在 17：54 前到家的可能性更大 D．若乘坐线路 A，则在 17：48 前到家的可能性会超过 1% 题型五 正态分布在实际生活中的应用 【例 5】某水表制造有限公司，是一家十分优质的水表制 造公司，该公司有 3 条水表表盘生产线. (1)某检验员每天从其中的一条水表表盘生产线上随机 抽取 100 个表盘进行检测，根据长期生产经验，可以认 为该条生产线正常状态下生产的水表表盘尺寸服从正态 分布 N（μ， 2 ）.记 X表示一天内抽取的 100 个表盘中 其尺寸在 ( )3 , 3   − + 之外的个数，求 P ( 1)x  及 X的数学期望； (2)该公司的 3 条水表表盘生产线其次品率和生产的表盘所占比例如下表： 现从所生产的表盘中随机抽取一只，若已知取到的是次品，试求该次品分别由三条生产 线所生产的概率，并分析该次品来自哪条生产线的可能性最大（用频率代替概率）. 附：若随机变量 Z服从正态分布 N（ 2 2  ），则 ( )3 3 0.9973P Z   −   + = ， 1000.9973 0.7631 生产线编号 次品率 所占比例 1 0.02 35% 2 0.01 50% 3 0.04 15% 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 【跟踪训练 5】2022年卡塔尔世界杯采用的“半自动越位定位技术”成为本届比赛的一大 技术亮点，该项技术的工作原理是将若干个传感器芯片内置于足球中，每个传感芯片都 可以高频率定位持球球员，以此判断该球员是否越位．为了研究该技术的可靠性，现从 生产的传感芯片中随机抽取100个，将抽取到的传感芯片的最高频率（单位：Hz）统计 后，得到的频率分布直方图如图所示： (1)求这批芯片的最高频率的平均值 x（同一组中的数据用 该组区间的中点值作代表）和方差 2s ； (2)根据频率分布直方图，可以近似认为这批传感芯片的最 高频率服从正态分布 ( )2,N   ．用样本平均数 x 作为 的估计值，用样本标准差 s作为 的估计值 ，试估计， 从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于80Hz的概率； (3)若传感芯片的最高频率大于80Hz，则该传感志片是可精确定位的，现给每个足球内 置 ( )1,2,3,4k k = 个传感芯片，若每个足球中可精确定位的芯片数不少于一半，则该足球 可以满足赛事要求，能够精确判定球员是否越位，否则就需要增加裁判数量，通过助理 裁判指证、慢动作回放等方式进行裁定．已知每个传感芯片的生产和维护费用约为1万 元/场，因足球不可精确定位而产生的一次性人力成本为12万元/场，从单场比赛的成本 考虑，每个足球内置多少个芯片，可以让比赛的总成本最低？ 附： ( ) 2 3 P x   −   +  ， ( ) 19 2 2 20 P x   −   +  ， ( ) 399 3 3 400 P x   −   +  ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 课后突破训练 1．2012 年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了 2021 年 中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量 2100( , )0N ～ ，若 ( ) (1200 , 80 )0 1200P a P b  =   = ，则当8 2ab b a + 时下列说法正确的是（ ） A． 1 2 a = B． 1 4 b = C． 3 4 a b+ = D． 1 2 a b− = 2．过正态分布曲线 ( ),y x = 上非顶点的一点 ( )0 0,x y 作切线，若切线与曲线仅有一个 交点，则 0x − =（ ） A． B． π e  C．e D．π 3．已知 ( )2,X N   ， ( ) 0.6827P X   −   +  ， ( )2 2 0.9545P X   −   +  ， ( )3 3 0.9973P X   −   +  .今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指 标引单位：毫米）服从正态分布 ( )25.40,0.05N ，现从中随机抽取 N个，这 N个零件中 恰有 K个的质量指标 ξ位于区间 ( )5.35,5.55 .若 45K = ，试以使得 ( )45P K = 最大的 N值 作为 N的估计值，则 N为（ ） A．45 B．53 C．54 D．90 4．下列命题中，下列命题正确的个数是（ ） ①已知随机变量 2 , 3 X B n        ，若 (3 1) 6D X − = ，则 3n = ． ②已知随机变量 ( )2,N   ，且函数 ( ) ( 1 4)f x P x x= +   + 为偶函数，则 2 = ． ③函数 π ( ) tan 2 3 f x x   = −    的图象的对称中心为 π π ,0 2 6 k  +    ， kZ． ④已知函数 3( )f x x kx k= − + 在 (1, )+ 上单调递增，则 k的取值范围是 ( 3),− ． ⑤已知函数 ( )f x 的定义域为R，若 (3 1) 3f x x+ − 为偶函数，则函数 ( 1)f x x + 的图象关于 点(0,1)对称． A．1 B．2 C．3 D．4 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 5．设随机变量M服从正态分布，且函数 ( ) 2 6f x x x M= − + 没有零点的概率为 1 2 ，函数 ( ) 22 4 2g x x x M= − + 有两个零点的概率为 1 5 ，若 ( ) 1 5 P M m = ，则m =（ ） A．17 B．10 C．9 D．不能确定 6．（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的 包装食盐质量服从正态分布 ( )2500,5N （单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装 食盐质量为 xg，随机变量 x服从正态密度函数 ( ) 2 200 ( 1000) 1 10 2 x x e   − − = ，其中 x R，则 （ ） 附：随机变量 2( , )N  − ，则 ( ) 0.683P     −   + = ， ( )2 2 0.954P     −   + = ， ( )3 3 0.997P     −   + = ． A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于 485g 的概率为 0.15% B．生产线乙的食盐质量 ( )2~ 1000,100x N C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于 515g，于是判断出 该生产线出现异常是合理的 7．（多选）工厂生产某零件，其尺寸 X（单位：cm）服从正态分布 ( )210,0.01N k ．其中 k由零件的材料决定，且 0k  ．当零件尺寸大于 10.3cm 或小于 9.7cm 时认为该零件不 合格，当零件尺寸大于 9.9cm 且小于 10.1cm 时认为该零件为优质零件，其余时候认为 是普通零件．已知当随机变量 ( )2X N   时， ( ) ( )0.159, 2 0.023P X P X    +   +  ， ( )3 0.001P X   +  ，则下列说法中正 确的有（ ） A．k越大，预计生产出的优质零件与不合格零件的概率之比越小 B．k越大，预计生产出普通零件的概率越大 C．若 1.5k = ，则生产 200 个零件约有 9 个零件不合格 D．若生产出优质零件、普通零件与不合格零件的盈利分别为3 ,2 , 5a a a− ，则当 1k = 时， 每生产 1000 个零件预计盈利 2668a 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 8．（多选）为了解决传统的 3D 人脸识别方法中存在的问题，科学家提出了一种基于视 频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统．规定：某区域内的m 个点 ( ), ,i i i iP x y z 的深度 iz 的均值为 1 1 m i i z m  = =  ，标准偏差为 ( ) 2 1 1 m i i z m   = = − ，深度 [ 3 , 3 ]iz     − + 的点 视为孤立点．则根据下表中某区域内 8 个点的数据，下列结论正确的是（ ） iP 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7P 8P ix 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.4 15.4 13.4 iy 15.1 14.2 14.3 14.4 14.5 15.4 14.4 15.4 iz 20 12 13 15 16 14 12 18 A． 16 = B． 29 2  = C． 1P 不是孤立点 D． 8P 是孤立点 9．已知 ( )24,5N  ，且 ( 3) ( 1)P P a  =  + ，则 1 4 (0 )x a x a x +   − 的最小值为 ___________． 10．柯西分布(Cauchydistribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变 量 X 服从柯西分布为 ( )0~ ,X C x ，其中当 1 = ， 0 0x = 时的特例称为标准柯西分布， 其概率密度函数为 ( ) ( )2 1 1 f x x = + ．已知 ( )~ 1,0X C ， ( ) 23 3 P X  = ， ( ) 11 3 12 P X  = ，则 ( )1P X  − = ________. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 11．在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况， 进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷 调查的 100 人的得分统计结果如表所示： 组别 [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数 2 13 21 25 24 11 4 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ( ),198Z N  ，近似为这 100 人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）， ①求的值； ②利用该正态分布，求 ( )74.5 88.5P Z  ； （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于的可以获赠 2 次随机话费，得分低于的可以获赠 1 次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额（单位：元） 20 50 概率 3 4 1 4 现有市民甲参加此次问卷调查，记 X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费， 求 X 的分布列与数学期望． 参考数据与公式： 198 14 ．若 2~ ( , )X N   ，则 ( ) 0.6826P X   −   + = ， ( 2 2 ) 0.9544P X   −   + = ， ( 3 3 ) 0.9974P X   −  + =≤ . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 12．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包， 该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是 1000g，上下浮动不超过 50g， 这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为 1000g，标准差为 50g 的正 态分布. (1)已知如下结论：若 ( )2,X N   ，从 X 的取值中随机抽取 ( ), 2k k k N 个数据，记 这 k 个数据的平均值为Y ，则随机变量 2 ,Y N k          .利用该结论解决下面问题. ①假设面包师的说法是真实的，随机购买 25 个面包，记随机购买 25 个面包的平均值 为Y ，求 ( )980P Y  ； ②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25 天后，得到的数据都落在 ( )950,1050 上 并经计算 25 个面包质量的平均值为 978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率 角度说明庞加菜举报该面包师的理由； (2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有 6 个面包，其 中黑色面包有 2 个；第二箱中共装有 8 个面包，其中黑色面包有 3 个.现随机挑选一箱， 然后从该箱中随机取出 2 个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望. 附： ①随机变量服从正态分布 ( )2,N   ，则 ( ) 0.6827P     −   + = ， ( )2 2 0.9545P     −   + = ， ( )3 3 0.9973P     −   + = ； ②通常把发生概率小于 0.05 的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 57 正态分布重难点专题 常考结论及公式 结论一：随机误差分布的解析式 ( ) 2 22 1 ( ) 2 x f x e     − − = ，x R ，其中 R ， 0  为参数， ( )f x 为正态密度函数， 称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.若随机变量 X 的概率密度函数为 ( )f x ，则 称随机变量 X 服从正态分布，记作 2~ ( , )X N   .其中参数是正态分布的均值，参 数 是正态分布的标准差.特别地，当 0, 1 = = 时，称随机变量 X 服从标准正态分 布. 结论二：正态曲线的特点与性质 （1）曲线是单峰的，它关于直线 x = 对称； （2）曲线在 x = 处达到峰值 1 2  ； （3）当 | |x 无限增大时，曲线无限接近 x 轴； （4）曲线与 x 轴围成的面积总为 1； （5）当 一定时，正态曲线的位置由确定，随着的变化而沿 x 轴平移； （6）当一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”， 越大，曲线越 “矮胖”，这反映了总体分布的集中与分散的程度. 结论三：正态分布的对称性 若随机变量 X 服从正态分布，即 2~ ( , )X N   ，且 ( ) ( )P X a P X b =  ，则正 态分布密度曲线关于直线 2 a b x + = 对称. 题型一 正态密度函数的考查 【例 1】（多选）已知随机变量 X的概率密度函数为 ( ) ( ) 2 22 1 e 2π x b ax a  − − = ( 0a  ， 0b  )， 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 且 ( )x 的极大值点为 2x a= ，记 ( ) ( )f k P X k=  ， ( ) ( )g k P X k a=  + ，则（ ） A． ( )~ ,X N b a B． ( )2~ 2 ,X N a a C． ( ) ( )2f a g a= D． ( ) ( ) ( ) ( )2 2f a g a f a g a+ = + 【答案】BCD 【分析】利用随机变量 X的概率密度函数可得到 ,b a = = ，可判断 A；利用复合函数 单调性可得 ( )x 在 ( ),b− 上递增，在 ( ),b + 上递减，即 ( )x 的极大值点为 2x b a= = ， 故可判断 B；根据密度曲线关于 2x a= = 对称，可判断 CD 【详解】对于A，由随机变量X的概率密度函数为 ( ) ( ) 2 22 1 e 2π x b ax a  − − = 可得 2 2,b a = = ， 因为 0a  ，所以 a = ，所以随机变量 X服从正态分布 ( )2~ ,X N b a ，故错误； 对于 B，因为二次函数 ( ) 2 22 x b y a − = − 在 ( ),b− 上递增，在 ( ),b + 上递减， 由函数 exy = 在R上单调递增，根据复合函数的单调性可得 ( ) ( ) 2 22 1 e 2π x b ax a  − − = ( 0a  ， 0b  )在 ( ),b− 上递增，在 ( ),b + 上递减， 所以 ( )x 的极大值点为 x b= ，所以2a b= ，所以随机变量 X服从正态分布 ( )2~ 2 ,X N a a ， 故正确； 对于 C，因为 ( ) ( )f a P X a=  ， ( ) ( )2 3g a P X a=  ，又 3 2 2a a a+ =  ， 所以 ( ) ( )3P X a P X a=  ，即 ( ) ( )2f a g a= ，故正确； 对于 D，因为 ( ) ( ) 1 2 2 2 f a P X a=  = ， ( ) ( ) 1 2 2g a P X a= = ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 f a g a f a g a f a=+ = + + ，故正确； 故选：BCD 【跟踪训练 1】在一次调研测试后，经统计发现数学成绩服从正态分布，其密度函数 2( 100) 200 1 ( ) e 2π 10 x P x − − =  ，x∈R，则下列结论中正确的是_________．（写出所有满足要求 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 的结论序号） ①这次测试的数学平均成绩为 100； ②分数在 120 分以上的人数与分数在 90 分以下的人数相同； ③分数在 130 分以上的人数与分数在 70 分以下的人数大致相同； ④这次测试的数学成绩的方差为 10． 【答案】①③ 【分析】根据题意可得： ( )2100,10X N ，根据正态分布的性质逐项分析判断. 【详解】由题意可得： ( )2,X N   ，其中 100, 10 = = ，即正态分布的对称轴为 100x = ， 对①：这次测试的数学平均成绩为 100，①正确； 对②：分数在 120 分以上的人数与分数在 80 分以下的人数相同，②错误； 对③：分数在 130 分以上的人数与分数在 70 分以下的人数大致相同，③正确； 对④：这次测试的数学成绩的方差为 100，④错误． 故答案为：①③. 题型二 正态曲线特征数相关问题 【例 2】（多选）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为 X，Y）均服从正态分布，即 2 1 1( )X N  ～ ， ， 2 2 2( )Y N  ～ ， ，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正 确的有（ ） 参考数据：若 2( )N  ～ ， ，则 ( ) 0.6827P     −   +  ， ( 2 2 ) 0.9545P     −   +  A． 1 1 1 1( 2 X ) 0.8186P    −   +  B． 1 2( ) ( )P X P Y    C． 2 21 2( ) ( )P X P X    D． 1 2( ) ( )P Y P Y    【答案】AD 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【分析】由 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 2 X + ) ( 2 X ) ( X + )P P P           −   = −   − + −   计算可判断 A； 由 1 2( ) ( )P X P Y  =  可判断 B； 由图可知 Y分布更集中，有 2 21 2  ，由此可判断 C； 由图可知 1 2  ，由此可判断 D. 【详解】解：由正态分布， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 2 X 2 ) ( X ) ( 2 X ) 2 P P P             −   + − −   + −   − = 0.1359 ， 则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 2 X + ) ( 2 X ) ( X + )P P P           −   = −   − + −   0.1359 0.6827 0.8186 + = ，故 A 正确； 1 2( ) ( ) 0.5P X P Y  =  = ，故 B 错误； 由图可知 Y分布更集中，所以 2 21 2  ，则 2 2 1 2( ) ( )P X P X    ，所以 C 错误； 由图可知 1 2  ，所以 1 2( ) ( )P Y P Y    ，则 D 正确， 故选：AD. 【跟踪训练 2】设 2 1 1~ ( , )X N   ， 2 2 2~ ( , )Y N   ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下 列结论中正确的是（ ） A． 2 1( ) ( )P Y P Y    B． 2 1( ) ( )P X P X    C．对任意正数 t ， ( ) ( )P X t P Y t   D．对任意正数 t ， ( ) ( )P X t P Y t   【答案】C 【分析】根据正态分布的密度曲线的性质及意义判断即可 【详解】解：由正态密度曲线的性质可知， 2 1 1( , )X N   、 2 2 2( , )Y N   的密度曲线分别关于 1x = 、 2x = 对称， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 因此结合所给图像可得 1 2  ， 2 1( ) ( )P Y P Y   < ； 又 2 1 1( , )X N   的密度曲线较 2 2 2( , )Y N   的密度曲线“瘦高”， 所以 1 20    ， 2 1( ) ( )P X P X   > ； 故 A、B 错误． 由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数 t ， ( ) ( )P X t P Y t   ． 故 C 正确，D 错误． 故选：C． 题型三 正态密度曲线的性质运用 【例 3】已知两个连续型随机变量 X，Y满足条件2 2X Y+ = ，且Y 服从标准正态分布．设 函数 ( ) ( 2 1)F x P X x= −  ，则 ( )F x 的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算 ( )1F x− ，可判断函数的对称性，再计算 1 2 F       ，即可排除选项. 【详解】 ( ) ( 2 1) ( 2 1F x P X x P X x= −  =  + 或 2 1)X x − ，因为 1 2 Y X = − ， 所以 ( ) (1 2 1 2 Y F x P x= −  + 或1 2 1) 2 Y x−  − ，即 ( ) ( 4F x P Y x=  − 或 4 4 )Y x − ， ( ) ( )1 [ 4 1F x P Y x− =  − − 或 ( )4 4 1 ]Y x − − ( 4 4P Y x=  − + 或 4 )Y x 因为Y 服从标准正态分布，所以根据对称性可知 ( ) ( )1F x F x= − ，所以函数 ( )F x 关于 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 1 2 x = 对称，故排除 AC； 当 1 2 x = 时， ( ) 1 1 1 2 F P X   = −     ， 1 2 Y X = − ，所以 ( ) 1 1 1 1 ( 2 2 2 Y F P X P P Y    = −  =  =         或 2)Y  − ,因为 ( )0,1Y N ，其中 0, 1 = = ， 2 2 − = − ，2 2 = + ，根据3 原则可知， 1 1 0.9545 0.0455 2 F   = − =    ，所以排除 B； 故选：D 【跟踪训练 3】若随机变量 ( )2~ 3,2019N ，且 ( 1) ( )P P a  =  .已知F 为抛物线 2 4y x= 的焦点，O为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，若点A 在抛物线上，且 | |AF a= ， 则 | | | |PA PO+ 的最小值为（ ） A． 5 B． 13 C．2 5 D．2 13 【答案】D 【分析】根据已知条件先得到a 的值即得到了 AF 的值，再利用抛物线的定义由 AF 的 值可得到A 点的坐标为 ( )4,4A ，要求 | | | |PA PO+ 的最小值即要在准线上找一点到两个 定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值. 【详解】 随机变量 ( )2~ 3,2019N ，且 ( 1) ( )P P a  =  ， 1 和a 关于 3x = 对称，  5a = 即 | | 5AF = ， 设A 为第一象限中的点， ( ),A x y ， 抛物线方程为： 2 4y x= ， ( )1,0F ，  1 5AF x= + = 解得 4x = 即 ( )4,4A ，  ( )4,4A 关于准线 = 1x − 的对称点为 ( )6,4A − ， 根据对称性可得： PA PA=  ( ) 2 2| | | | | | 6 4 52 2 13PA PO PA PO A O + = +  = − + = = 当且仅当 , ,A P O 三点共线时等号成立.如图 故选：D 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 【点睛】本题考查了利用抛物线的定义求解距离，定直线上的动点到两个定点的距离之 和的最小值，关键是利用对称性把距离之和最小值转化为三点共线问题，属于较难题. 题型四 “3σ”原则及其应用 【例 4】某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检 了该设备在一个生产周期中的 100 件产品的关键指标（单位：cm），经统计得到下面的 频率分布直方图： (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数 x 和方差 2s ．（用每组的中点代表 该组的均值） (2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布 ( )2,N   ，用直方图的 平均数估计值 x 作为的估计值，用直方图的标准差估计值 s作为 估计值 ． （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测 10 个零件的关键指标， 如果关键指标出现了 ( )3 , 3   − + 之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需 停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的 10 个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和 判断该生产周期是否需停止生产并检查设备． （ii）若设备状态正常，记 X表示一个生产周期内抽取的 10 个零件关键指标在 ( )3 , 3   − + 之外的零件个数，求 ( )1P X  及 X的数学期望． 参考公式：直方图的方差 ( ) 2 2 1 n i i i s x x p = = − ，其中 ix 为各区间的中点， ip 为各组的频率． 参考数据：若随机变量 X服从正态分布 ( )2,N   ，则 ( )3 3 0.9973P X   −   +  ， 0.011 0.105 ， 0.012 0.110 ， 90.9973 0.9760 ， 100.9973 0.9733 ． 【答案】(1)1 0.011； (2)（i）需停止生产并检查设备；（ii） ( )1 0.0267P X   ，0.027 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的计算公式，即可求得 x ，继而结合方差 的计算公式求得 2s ； （2）（i）根据 1 = ， 0.011 0.105 =  ，确定 3 − ， 3 + ，判断抽查的零件关键 指标有无在 ( )3 , 3   − + 之外的情况，即可得结论；（ii）求出抽测一个零件关键指标 在 ( )3 , 3   − + 之外的概率，确定 ( )10,0.0027X B ，根据二项分布的概率公式以及 期望公式，即可求得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图，得 0.8 0.1 0.9 0.2 1 0.35 1.1 0.3 1.2 0.05 1x =  +  +  +  +  = ． ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 0.8 1 0.1 0.9 1 0.2 1 1 0.35 1.1 1 0.3 1.2 1 0.05 0.011s = −  + −  + −  + −  + −  = ． （2）（i）由（1）可知 1 = ， 0.011 0.105 =  ， 所以 3 1 0.315 0.685 − = − = ， 3 1 0.315 1.315 + = + = ， 显然抽查中的零件指标1.33 1.315 ，故需停止生产并检查设备． （ii）抽测一个零件关键指标在 ( )3 , 3   − + 之内的概率为0.9973， 所以抽测一个零件关键指标在 ( )3 , 3   − + 之外的概率为1 0.9973 0.0027− = ， 故 ( )10,0.0027X B ，所以 ( ) ( ) 101 1 0 1 0.9973 1 0.9733 0.0267P X P X = − = = −  − = ， X的数学期望 ( ) 10 0.0027 0.027E X =  = ． 【跟踪训练 4】（多选）老张每天 17：00 下班回家，通常步行 5 分钟后乘坐公交车再 步行到家，公交车有 ,A B两条线路可以选择.乘坐线路A 所需时间（单位：分钟）服从 正态分布 ( )44,4N ，下车后步行到家要 5 分钟；乘坐线路 B 所需时间服从正态分布 ( )33,16N ，下车后步行到家要 12 分钟.下列说法从统计角度认为合理的是（ ） （参考数据： ( )2,Z N   ，则 ( ) 0.6827, ( 2P Z P Z      −   +  −   + 2 ) 0.9545, ( 3 3 ) 0.9973)P Z     −   +  A．若乘坐线路 B，18：00 前一定能到家 B．乘坐线路 A比乘坐线路 B在 17：58 前到家的可能性更小 C．乘坐线路 B比乘坐线路 A在 17：54 前到家的可能性更大 D．若乘坐线路 A，则在 17：48 前到家的可能性会超过 1% 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 【答案】BC 【分析】由已知，设乘坐线路 A所需时间为 (At 单位：分钟 )，到家所需时间为 ( )+ 10At 分 钟，乘坐线路 B所需时间为 (Bt 单位：分钟 )，到家所需时间为 ( )+ 17Bt 分钟，进而再根 据正态分布依次考虑各选项即可得答案. 【详解】由已知，设乘坐线路 A所需时间为 (At 单位：分钟 )，则 At 满足条件： (44,4)At N ， 到家所需时间为 ( )+ 10At 分钟， 乘坐线路 B所需时间为 (Bt 单位：分钟 )，则 Bt 满足条件： ( )~ 33,16Bt N ，到家所需时间 为 ( )+ 17Bt 分钟. 对于 A，若乘坐线路 B，则到家所需时间大于 17 分钟，“18:00前一定能到家”是随机事 件，可能发生，也可能不发生，所以 A 错误； 对于 B，由 + 10 58At ，知  48At ，由 + 17 58Bt ，知  41Bt ， 因为 ( ) ( ) =  +  = + 148 44 2 2 0.5 0.9545 2A A P t P t ， ( ) ( ) =  +  = + 141 33 2 4 0.5 0.9545 2B B P t P t ， 可见 ( ) ( ) 48 = 41A BP t P t ，所以乘坐线路A在17 : 58前到家的可能性一样，所以B正确； 对于 C，由 + 10 54At ，知  44At ，由 + 17 54Bt ，知  37Bt ， 因为 ( ) =44 0.5AP t ， ( ) ( ) =  + = +  137 33 4 0.5 0.6827 2B B P t P t ， 可见 ( ) ( )  44 37A BP t P t ， 所以乘坐线路 B比乘坐线路 A在17 : 54前到家的可能性更大，所以 C 正确； 对于 D，由 + 10 48At ，知：  38At ，因为 = −38 44 6，所以 ( ) ( ) =  −  = −  = 138 44 3 2 0.5 0.9973 0.00135 1% 2A A P t P t ，所以若乘坐线路 A，则在 17 : 48前到家的可能性不超过1%，所以 D 错误. 故选：BC. 题型五 正态分布在实际生活中的应用 【例 5】某水表制造有限公司，是一家十分优质的水表制造公司，该公司有 3 条水表表 盘生产线. (1)某检验员每天从其中的一条水表表盘生产线上随机抽取 100 个表盘进行检测，根据长 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 期生产经验，可以认为该条生产线正常状态下生产的水表表盘尺寸服从正态分布 N（μ， 2 ）.记 X表示一天内抽取的 100 个表盘中其尺寸在 ( )3 , 3   − + 之外的个数，求 P ( 1)x  及 X的数学期望； (2)该公司的 3 条水表表盘生产线其次品率和生产的表盘所占比例如下表： 生产线编号 次品率 所占比例 1 0.02 35% 2 0.01 50% 3 0.04 15% 现从所生产的表盘中随机抽取一只，若已知取到的是次品，试求该次品分别由三条生产 线所生产的概率，并分析该次品来自哪条生产线的可能性最大（用频率代替概率）. 附：若随机变量 Z服从正态分布 N（ 2 2  ），则 ( )3 3 0.9973P Z   −   + = ， 1000.9973 0.7631 【答案】(1) ( )1 0.2369P X   ， ( ) 0.27E X = ；(2)答案见解析 【分析】（1）根据题意得到抽取的一个表盘的尺寸在 ( 3 , 3 )   − + 之内的概率为 0.9973，从而零件的尺寸在 ( 3 , 3 )   − + 之外的概率为 0.0027，判断 X 服从二项分布 ~ (100,0.0027)X B ，结合参考数据，即可求解； （2）设 A表示“取到的是一只次品”， iB ( )1,2,3i = 表示“所取到的产品是由第 i条生产线 生产”，根据题目所给数据结合全概率公式得到 ( )P A ，再分别求出次品分别由三条生产 线所生产的概率，比较大小即可. 【详解】（1）抽取的一个表盘的尺寸在 ( 3 , 3 )   − + 之内的概率为 0.9973，从而零件 的尺寸在 ( 3 , 3 )   − + 之外的概率为 0.0027， 由题可知 ~ (100,0.0027)X B ， 所以 ( ) ( ) 1001 1 0 1 0.9973 0.2369P X P X = − = = −  ， 且 X的数学期望为 100 0.0027 0.27E X =  =（ ） ， （2）设 A表示“取到的是一只次品”， iB ( )1,2,3i = 表示“所取到的产品是由第 i条生产线 生产”， 由题意得： ( )1 0.35P B = ， ( )2 0.5P B = ， ( )3 0.15P B = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 ( ) ( ) ( )1 2 3| 0.02 | 0.01 | 0.04P A B P A B P A B= = =， ， ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3| | | 0.018P A P A B P B P A B P B P A B P B= + + = ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 | 0.02 0.35 7 | 0.018 18 P A B P B P B A P A  = = = ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 | 0.01 0.5 5 | 0.018 18 P A B P B P B A P A  = = = ， ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 | 0.04 0.15 1 | 0.018 3 P A B P B P B A P A  = = = ， 故该次品来自第 1 条生产线的可能性最大. 【跟踪训练 5】2022年卡塔尔世界杯采用的“半自动越位定位技术”成为本届比赛的一大 技术亮点，该项技术的工作原理是将若干个传感器芯片内置于足球中，每个传感芯片都 可以高频率定位持球球员，以此判断该球员是否越位．为了研究该技术的可靠性，现从 生产的传感芯片中随机抽取100个，将抽取到的传感芯片的最高频率（单位：Hz）统计 后，得到的频率分布直方图如图所示： (1)求这批芯片的最高频率的平均值 x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和 方差 2s ； (2)根据频率分布直方图，可以近似认为这批传感芯片的最高频率服从正态分布 ( )2,N   ．用样本平均数 x 作为的估计值，用样本标准差 s作为 的估计值 ，试 估计，从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于80Hz的概率； (3)若传感芯片的最高频率大于80Hz，则该传感志片是可精确定位的，现给每个足球内 置 ( )1,2,3,4k k = 个传感芯片，若每个足球中可精确定位的芯片数不少于一半，则该足球 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 可以满足赛事要求，能够精确判定球员是否越位，否则就需要增加裁判数量，通过助理 裁判指证、慢动作回放等方式进行裁定．已知每个传感芯片的生产和维护费用约为1万 元/场，因足球不可精确定位而产生的一次性人力成本为12万元/场，从单场比赛的成本 考虑，每个足球内置多少个芯片，可以让比赛的总成本最低？ 附： ( ) 2 3 P x   −   +  ， ( ) 19 2 2 20 P x   −   +  ， ( ) 399 3 3 400 P x   −   +  ． 【答案】(1) 86x = ， 2 36s = (2)约为 5 6 (3) 2k = ，成本最低． 【分析】（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得 结果全部相加，可得出 x ，利用方差公式可求得 2s 的值； （2）求出、 的值，利用3 原则可求得 ( ) ( )80P X P X   =  − 的值，即为所求； （3）对 k 的取值进行分类讨论，求出每种情况下比赛的总成本，比较大小后可得出结 论. 【详解】（1）解：由题意可得 72.5 0.045 77.5 0.105 82.5 0.25 87.5 0.385 92.5 0.135 97.5 0.08 86x =  +  +  +  +  +  = ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 72.5 86 0.045 77.5 86 0.105 82.5 86 0.25 87.5 86 0.385s = −  + −  + −  + −  ( ) ( ) 2 2 92.5 86 0.135 97.5 86 0.08 36+ −  + −  = . （2）解：由题意可得 86 = ， 6 = ，则 ( ) ( ) ( )1 5 80 2 2 6 P X P X P X       −   +  =  − = +  . 因此，从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于80Hz的概率约为 5 6 . （3）解：（i） 1k = 时，足球可以满足赛事要求的概率为 1 5 6 p = ， 期望成本 ( ) 5 1 17 1 1 12 6 6 6 W =  +  = ； （ii） 2k = 时，足球可以满足赛事要求的概率为 2 1 2 2 1 35 C 36 5 5 6 6 6 p   = +   =    ， 期望成本 ( ) 35 1 82 41 2 2 12 36 36 36 18 W =  +  = = ； （iii） 3k = 时，足球可以满足赛事要求的概率为 3 2 2 3 3 7 5 1 5 6 6 6 25 C 2 p     = +   =        ， 期望成本 ( ) 25 2 99 11 3 3 12 27 27 27 3 W =  +  = = ； （iv） 4k = 时，足球可以满足赛事要求的概率为 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 4 3 2 2 3 2 4 4 4 1 1 425 C C 432 5 5 5 6 6 6 6 6 p         = +   +   =                ， 期望成本 ( ) 425 7 223 4 4 12 432 432 54 W =  +  = . 所以， ( )( )1,2,3,4W i i = 中， ( )2W 最小. 综上， 2k = ，成本最低． 课后突破训练 1．2012 年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了 2021 年 中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量 2100( , )0N ～ ，若 ( ) (1200 , 80 )0 1200P a P b  =   = ，则当8 2ab b a + 时下列说法正确的是（ ） A． 1 2 a = B． 1 4 b = C． 3 4 a b+ = D． 1 2 a b− = 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式，再结合不等式8 2ab b a + 求解 作答. 【详解】因 2100( , )0N ～ ，且 ( ) (1200 , 80 )0 1200P a P b  =   = ，则有 1 2 2 b a+ = ， 即 2 1a b= − ， 不等式8 2ab b a + 为： 24 (1 ) 1 (2 1) 0b b b−   −  ，则 1 2 b = ， 1 4 a = ， 所以 3 4 a b+ = ， 1 4 a b− = − ，A，B，D 均不正确，C 正确. 故选：C 【点睛】关键点睛：涉及正态分布概率问题，运用正态密度函数曲线的对称性是解题的 关键. 2．过正态分布曲线 ( ),y x = 上非顶点的一点 ( )0 0,x y 作切线，若切线与曲线仅有一个 交点，则 0x − =（ ） A． B． π e  C．e D．π 【答案】A 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 【分析】由题意可得正态函数二次求导之后在 ( )0 0,x y 处的导数为 0 ，计算可得答案. 【详解】因为正态分布曲线 ( ) 2 2 ( ) 2 , 1 e 2π x y x      − − = = 在拐点处切线穿过曲线，与曲线 有且仅有一个交点 令 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2( ) 1 ( ) ( ) e ( )e 22π 2π x x x f x x x          − − − −−  = = − = − −    2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )2 2 2 2 23 3 1 1 ( ) ( ) ( )e e e 2π 2π x x x x f x x           − − − − − −    −  = − − = − −           2 2 ( )2 2 23 1 ( ) 1 e 2π x x     − − − = − −    0( ) 0f x = 即 ( ) 2 0 02 1 0, x x     − − =  − = 故选：A 3．已知 ( )2,X N   ， ( ) 0.6827P X   −   +  ， ( )2 2 0.9545P X   −   +  ， ( )3 3 0.9973P X   −   +  .今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指 标引单位：毫米）服从正态分布 ( )25.40,0.05N ，现从中随机抽取 N个，这 N个零件中 恰有 K个的质量指标 ξ位于区间 ( )5.35,5.55 .若 45K = ，试以使得 ( )45P K = 最大的 N值 作为 N的估计值，则 N为（ ） A．45 B．53 C．54 D．90 【答案】B 【分析】由已知可推得， ( )5.35 5.55P   ( )3P X   = −   + ，根据已知以及正 态分布的对称性，可求得 ( )5.35 5.55P   0.84 .则 ( ),0.84K B N ， ( ) 45 45 4545 C 0.84 0.16NNP K −= =   ，设 ( ) 45 45 45C 0.84 0.16xxf x −=   ，求出函数的最大整数值， 即可得出答案. 【详解】由已知可得， ( ) ( )5.35 5.55 5.40 0.05 5.40 3 0.05P P   = −   +  ( )3P X   = −   + . 又 ( ) ( ) ( )3 3 3 2 P X P X P X             −   + + −   + −   + = 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 0.6827 0.9973 0.84 2 +  = ， 所以， ( ),0.84K B N ， ( ) 45 45 4545 C 0.84 0.16NNP K −= =   . 设 ( ) 45 45 45C 0.84 0.16xxf x −=   ， 则 ( ) ( ) 45 45 44 1 45 45 45 1 C 0.84 0.16 C 0.84 0.16 x x x x f x f x − + − +   =   ( ) ( ) ( ) 1 ! 44 !45! 1 0.16 0.16 1 ! 44 45 !45! x x x x x x + − + =  =   − − ， 所以， 1104 52.5 21 x  = ，所以 ( ) ( )53 52f f . ( ) ( ) 45 45 45 45 45 46 1 C 0.84 0.16 1 C 0.84 0.16 x x x x f x f x − − −   = −   ( ) ( ) ( ) ! 45 !45! 0.16 0.16 1 1 ! 45 46 !45! x x x x x x − =  =   − − − ， 所以， 375 4 53 7 7 x  = + ，所以 ( ) ( )53 54f f . 所以，以使得 ( )45P K = 最大的 N值作为 N的估计值，则 N为53 . 故选：B. 【点睛】思路点睛：由正态分布求出概率，然后根据已知，可得 ( ),0.84K B N ，得出 ( ) 45 45 4545 C 0.84 0.16NNP K −= =   ，利用函数求出N 的最大值. 4．下列命题中，下列命题正确的个数是（ ） ①已知随机变量 2 , 3 X B n        ，若 (3 1) 6D X − = ，则 3n = ． ②已知随机变量 ( )2,N   ，且函数 ( ) ( 1 4)f x P x x= +   + 为偶函数，则 2 = ． ③函数 π ( ) tan 2 3 f x x   = −    的图象的对称中心为 π π ,0 2 6 k  +    ， kZ． ④已知函数 3( )f x x kx k= − + 在 (1, )+ 上单调递增，则 k的取值范围是 ( 3),− ． ⑤已知函数 ( )f x 的定义域为R，若 (3 1) 3f x x+ − 为偶函数，则函数 ( 1)f x x + 的图象关于 点(0,1)对称． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由二项分布的方差性质即可判断①；由正态分布密度曲线的性质即可判断②； 利用正切型函数的对称性可判断③；函数 3( )f x x kx k= − + 在 (1, )+ 上单调递增，即 2( ) 3 0f x x k = −  在 (1, )+ 上单调递增，分离参数求解即可判断④；由函数对称轴和对 称中心的性质可判断⑤. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 【详解】对选项①， 2 ~ , 3 X B n       ，则 ( ) ( ) 1 2 3 1 9 9 2 6 3 3 D X D X n n− = =    = = ， 因此 3n = ，故①正确； 对选项②， ( )2,N   ，函数 ( ) ( 1 4)f x P x x= +   + 为偶函数， 则 ( ) ( )( 1 4) ( 1 4)f x P x x f x P x x − = − +   − + = = +   + ， 区间 ( )1, 4x x− + − + 与 ( )1,4x x+ + 关于 x = 对称， 故 4 1 1 4 5 2 2 2 x x x x  − + + + − + + + = = = ，故②不正确； 对选项③，由 ( ) π π 2 3 2 k x k− = Z 可得 ( ) π π 6 4 k x k= + Z ， 所以，函数 ( ) π tan 2 3 f x x   = −    的图象的对称中心坐标为 ( ) π π ,0 6 4 k k   +     Z ，③不正确； 对选项④，函数 3( )f x x kx k= − + 在 (1, )+ 上单调递增， 2( ) 3 0f x x k = −  在 (1, )+ 上单调递增， 即 ( )2 min 3k x ，即 3k  ，故④不正确； 对选项⑤，令 ( ) (3 1) 3g x f x x= + − ，若 ( )g x 为偶函数， ( ) ( )g x g x− = ，即 (3 1) 3 ( 3 1) 3f x x f x x+ − = − + + ， 令 3t x= ，所以 ( 1) ( 1)f t t f t t+ − = − + + ， ( 1) ( 1)f t t f t t t t + − − + + = ， 即 ( 1) ( 1) 2 f t f t t t + − + − = ，所以令 ( ) ( )1f x h x x + = ， ( ) ( ) 2h x h x+ − = ， 所以函数 ( 1)f x x + 的图象关于点(0,1)对称，故⑤正确.故①⑤正确. 故选：B. 5．设随机变量M服从正态分布，且函数 ( ) 2 6f x x x M= − + 没有零点的概率为 1 2 ，函数 ( ) 22 4 2g x x x M= − + 有两个零点的概率为 1 5 ，若 ( ) 1 5 P M m = ，则m =（ ） A．17 B．10 C．9 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据函数 ( ) 2 6f x x x M= − + 没有零点的概率为 1 2 ，可求得M 的范围，及正态 曲线的对称轴，再根据函数 ( ) 22 4 2g x x x M= − + 有两个零点的概率为 1 5 ，求得此时M 的 范围，再结合正态曲线的对称性即可得解. 【详解】解：因为函数 ( ) 2 6f x x x M= − + 没有零点， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 所以36 4 0M−  ，解得 9M  ， 又因随机变量M服从正态分布，且 ( ) 1 9 2 P M  = ， 所以正态曲线关于 9x = 对称， 因为函数 ( ) 22 4 2g x x x M= − + 有两个零点， 所以16 16 0M−  ，解得 1M  ，则 ( ) 1 1 5 P M  = ， 又 ( ) 1 5 P M m = ， 所以1与m 关于 9x = 对称， 所以 17m = . 故选：A. 6．（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的 包装食盐质量服从正态分布 ( )2500,5N （单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装 食盐质量为 xg，随机变量 x服从正态密度函数 ( ) 2 200 ( 1000) 1 10 2 x x e   − − = ，其中 x R，则 （ ） 附：随机变量 2( , )N  − ，则 ( ) 0.683P     −   + = ， ( )2 2 0.954P     −   + = ， ( )3 3 0.997P     −   + = ． A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于 485g 的概率为 0.15% B．生产线乙的食盐质量 ( )2~ 1000,100x N C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于 515g，于是判断出 该生产线出现异常是合理的 【答案】AD 【分析】根据正态分布的参数，以及结合3 原则的参考数据，即可判断选项. 【详解】由条件可知，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为 X ， 其中 ( )2500,5X N ，其中 500 = ， 5 = ， 则 ( ) ( ) 1 0.997 485 3 0.0015 0.15% 2 P X P X   −  =  − = = = ，故 A 正确； B. 随机变量 x服从正态密度函数 ( ) 2 200 ( 1000) 1 10 2 x x e   − − = ，可知， 1000 = ， 10 = ， 所以生产线乙的食盐质量 ( )2~ 1000,10x N ，故 B 错误； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 C.不一定，可能小概率事件发生，生产线乙产出的包装食盐比生产线甲产出的包装食盐 质量轻，故 C 错误； D. ( ) ( ) 1 0.997 515 3 0.0015 0.15% 2 P X P X   −  =  + = = = ，说明生产线甲抽到质量大 于 515g 的可能性很低，所以随机抽取两包质量均大于 515g，说明判断出该生产线出现 异常是合理的，故 D 正确. 故选：AD 7．（多选）工厂生产某零件，其尺寸 X（单位：cm）服从正态分布 ( )210,0.01N k ．其中 k由零件的材料决定，且 0k  ．当零件尺寸大于 10.3cm 或小于 9.7cm 时认为该零件不 合格，当零件尺寸大于 9.9cm 且小于 10.1cm 时认为该零件为优质零件，其余时候认为 是普通零件．已知当随机变量 ( )2X N   时， ( ) ( )0.159, 2 0.023P X P X    +   +  ， ( )3 0.001P X   +  ，则下列说法中正 确的有（ ） A．k越大，预计生产出的优质零件与不合格零件的概率之比越小 B．k越大，预计生产出普通零件的概率越大 C．若 1.5k = ，则生产 200 个零件约有 9 个零件不合格 D．若生产出优质零件、普通零件与不合格零件的盈利分别为3 ,2 , 5a a a− ，则当 1k = 时， 每生产 1000 个零件预计盈利 2668a 【答案】ACD 【分析】依题意得 2 210, 0.01k = = ，则 0.1k = ，再根据 对正态曲线的影响即可判 断 AB；先利用3 原则求出不合格零件的概率，即可判断 C；先利用3 原则求出优质 零件，不合格零件及普通零件的概率，进而可判断 D. 【详解】依题意得 2 210, 0.01k = = ，则 0.1k = ， 对于 A， k 越大， 越大，则零件尺寸的正态曲线越扁平， 所以预计生产出优质零件的概率越小，不合格零件的概率越大，则其比越小，故 A 正 确； 对于 B，由选项 A 可知，预计生产出普通零件的概率越小，故 B 错误； 对于 C，当 1.5k = 时， 0.1 0.15k = = ， 则 ( ) ( ) ( )9.7 10.3 2 0.023P X P X P X   =  =  +  ， 所以预计生产出不合格零件的概率为 ( ) ( )10.3 9.7 0.046P X P X +   ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 故生产 200 个零件约有不合格零件的个数为200 0.046 9.2 9 =  ，故 C 正确； 对于 D，当 1k = 时， 0.1 0.1k = = ， 则 ( ) ( ) ( )9.7 10.3 3 0.001P X P X P X   =  =  +  ， ( ) ( ) ( )9.9 10.1 1 2 0.682P X P X P X       = −   + = −  +  ， 所以预计生产出优质零件的概率为 0.682，不合格零件的概率为 0.002， 普通零件的概率为1 0.682 0.002 0.316− − = ， 故每生产1000个零件预计盈利 ( )1000 0.682 3 0.316 2 0.002 5 2668a a a a  +  +  − =   ， 故 D 正确． 故选：ACD． 8．（多选）为了解决传统的 3D 人脸识别方法中存在的问题，科学家提出了一种基于视 频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统．规定：某区域内的m 个点 ( ), ,i i i iP x y z 的深度 iz 的均值为 1 1 m i i z m  = =  ，标准偏差为 ( ) 2 1 1 m i i z m   = = − ，深度 [ 3 , 3 ]iz     − + 的点 视为孤立点．则根据下表中某区域内 8 个点的数据，下列结论正确的是（ ） iP 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7P 8P ix 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.4 15.4 13.4 iy 15.1 14.2 14.3 14.4 14.5 15.4 14.4 15.4 iz 20 12 13 15 16 14 12 18 A． 16 = B． 29 2  = C． 1P 不是孤立点 D． 8P 是孤立点 【答案】BC 【分析】根据题目所给公式和表中数据计算即可. 【详解】由表可知 ( ) 1 20 12 13 15 16 14 12 18 15 8  = + + + + + + + = ，A 错误； 2 2 2(20 15) (12 15) (18 15) 29 8 2  − + − + + − = = ，B 正确； 所以 3 3 [ 3 , 3 ] 15 29,15 29 2 2       − + = − +    ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 因为 29 5 ，所以 3 15 29 20 2 +  ， 则 1 3 3 20 15 29,15 29 2 2 z   =  − +    ， 8 3 3 18 15 29,15 29 2 2 z   =  − +    ， 所以 1P 、 8P 不是孤立点，C 正确，D 错误； 故选：BC 9．已知 ( )24,5N  ，且 ( 3) ( 1)P P a  =  + ，则 1 4 (0 )x a x a x +   − 的最小值为 ___________． 【答案】 9 4 【分析】先由正态分布对称性求出 4a = ，进而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【详解】由正态分布的对称性可知： 1 5a+ = ，解得： 4a = ， 因为0 4x  ，所以4 0x−  ，由基本不等式得： ( ) 1 4 1 1 4 4 4 4 4 x x x x x x      + = + + −     − −    1 4 4 1 4 4 9 1 4 5 2 4 4 4 4 4 x x x x x x x x  − −  = + + +  +  =    − −    ， 当且仅当 4 4 4 x x x x − = − ，即 4 3 x = 时等号成立， 所以不等式得最小值为 9 4 故答案为： 9 4 10．柯西分布(Cauchydistribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变 量 X 服从柯西分布为 ( )0~ ,X C x ，其中当 1 = ， 0 0x = 时的特例称为标准柯西分布， 其概率密度函数为 ( ) ( )2 1 1 f x x = + ．已知 ( )~ 1,0X C ， ( ) 23 3 P X  = ， ( ) 11 3 12 P X  = ，则 ( )1P X  − = ________. 【答案】 1 4 /0.25 【分析】由概率密度函数得其关于 0x = 对称，由对称性求得概率． 【详解】由已知，概率密度函数图象关于 0x = 对称， ( ) 23 3 P X  = ， ( ) 10 3 3 P X  = 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 又 ( ) 11 3 12 P X  = ，  ( ) 1 0 1 4 P X  = ， ( ) 1 1 0 4 P X−   = ，  ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 2 2 4 4 P X P X − = − −   = − = 故答案为： 1 4 ． 11．在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况， 进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷 调查的 100 人的得分统计结果如表所示： 组别 [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数 2 13 21 25 24 11 4 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ( ),198Z N  ，近似为这 100 人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）， ①求的值； ②利用该正态分布，求 ( )74.5 88.5P Z  ； （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于的可以获赠 2 次随机话费，得分低于的可以获赠 1 次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额（单位：元） 20 50 概率 3 4 1 4 现有市民甲参加此次问卷调查，记 X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费， 求 X 的分布列与数学期望． 参考数据与公式： 198 14 ．若 2~ ( , )X N   ，则 ( ) 0.6826P X   −   + = ， ( 2 2 ) 0.9544P X   −   + = ， ( 3 3 ) 0.9974P X   −  + =≤ . 【答案】（1） 60.5 = ， ( )74.5 88. .1355 0 9P Z  = ；（2）分布列见解析， 165 ( ) 4 E X = 【分析】（1）直接根据公式计算得到 60.5 = ，再根据正态分布的对称性及 ( ) ( 2 )74.5 88.5 PP Z Z   +   +  = 计算得到答案. （2）获赠话费 X 的可能取值为 20，40，50，70，100，计算概率得到分布列，再计算 数学期望得到答案. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 【详解】（1）由题意得： 30 2 40 13 50 21 60 25 70 24 80 11 90 4 60.5 100  +  +  +  +  +  +  = ， ∴ 60.5 = ，∵ 198 14 =  ， 1 ( 2 2 ) ( 88.5) ( 2 ) 0.0228 2 P Z P Z P Z       − −   +  =  + = = ， ( ) 0.6826 (60.5 74.5) 0.3413 2 2 P X P Z    −   +   = = = ( ) (60.574. 74.5) ( 88.55 88.5 5 )0. P Z P ZP Z   −    = − 0.5 0.3413 0.0228 0.1359= − − = （2）由题意知 ( ) ( ) 1 2 P Z P Z  =  = ，. 获赠话费 X 的可能取值为 20，40，50，70，100， ( ) 1 3 3 20 2 4 8 P X = =  = ， ( ) 1 3 3 9 40 2 4 4 32 P X = =   = ， ( ) 1 1 1 50 2 4 8 P X = =  = ， ( ) 1 3 1 1 1 3 3 70 2 4 4 2 4 4 16 P X = =   +   = ， ( ) 1 1 1 1 100 2 4 4 32 P X = =   = ，. ∴ X 的分布列为： X 20 40 50 70 100 P 3 8 9 32 1 8 3 16 1 32 ∴ 3 9 1 3 1 165 ( ) 20 40 50 70 100 8 32 8 16 32 4 E X =  +  +  +  +  = . 【点睛】方法点睛：本题考查了正态分布求概率，分布列和数学期望，求离散型随机变 量的分布列，首先要根据具体情况确定 X 的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识 求出 X 取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接 应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题. 12．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包， 该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是 1000g，上下浮动不超过 50g， 这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为 1000g，标准差为 50g 的正 态分布. (1)已知如下结论：若 ( )2,X N   ，从 X 的取值中随机抽取 ( ), 2k k k N 个数据，记 这 k 个数据的平均值为Y ，则随机变量 2 ,Y N k          .利用该结论解决下面问题. ①假设面包师的说法是真实的，随机购买 25 个面包，记随机购买 25 个面包的平均值 为Y ，求 ( )980P Y  ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 23 页 ②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25 天后，得到的数据都落在 ( )950,1050 上 并经计算 25 个面包质量的平均值为 978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率 角度说明庞加菜举报该面包师的理由； (2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有 6 个面包，其 中黑色面包有 2 个；第二箱中共装有 8 个面包，其中黑色面包有 3 个.现随机挑选一箱， 然后从该箱中随机取出 2 个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望. 附： ①随机变量服从正态分布 ( )2,N   ，则 ( ) 0.6827P     −   + = ， ( )2 2 0.9545P     −   + = ， ( )3 3 0.9973P     −   + = ②通常把发生概率小于 0.05 的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生 【答案】(1)①0.02275；②答案见解析 (2)分布列见解析， 17 24 【分析】（1）（i）由正太分布的对称性及3 原则进行求解；（ii）结合第一问求解的概 率及小概率事件进行说明； （2）设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为 0,1,2,求出相应的概率，进 而求出分布列及数学期望. 【详解】（1）（i）假设面包师说法是真实的，则每个面包的质量 ( )21000,50X N 由已知结论可知， ( )21000,10Y N 由附①数据知， ( ) 1 0.9545 980 0.02275 2 P Y −  = = （ii），由附②知，事件“ 980Y  ”为小概率事件， 由题 25 个面包质量的平均值 978.72 980Y =  ， 小概率事件“ 980Y  ”发生所以庞加莱认为面包师的说法不真实，进行了举报 （2）由题意，设随机挑选一箱，取出两个面包，其中黑色面包个数为，则的取值 为 0，1，2 设 =iA “所取两个面包来自第 i箱” ( )1,2i = ，所以 1 2 1 2 A AP P= = 设 iB = “所取两个面包有 i各黑色面包” ( )1,2i = ，由全概率公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 54 0 1 1 0 2 2 2 2 6 8 CC1 1 53 0 2 C 2 C 140 P P B A P A P B A P A = = + =  +  =∣ ∣ ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 5 34 2 1 1 1 1 2 2 2 2 6 8 C CC C1 1 449 1 2 C 2 C 840 P P B A P A P B A P A = = + =  +  =∣ ∣ ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 24 页 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 32 2 1 1 2 2 2 2 2 6 8 CC1 1 73 2 2 C 2 C 840 P P B A P A P B A P A = = + =  +  =∣ ∣ ， 所以黑色面包个数的分布列为  0 1 2 P 53 140 449 840 73 840 所以 53 449 73 595 17 0 1 2 140 840 840 840 24 E =  +  +  = =