56 二项分布与超几何分布重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 56 二项分布与超几何分布专题 常考结论及公式 结论一：超几何分布的定义及其相关重要结论 （1）定义：一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有M 件次品，从 N 件产品中随机 抽取 n 件（不放回），用 X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为 ( ) k n k M N M n N C C P X k C − −= = ， , 1, 2, , .k m m m r= + + 其中 *, ,n N M N , M N , n N ，  max 0,m n N M= − + ,  min ,r n M= .如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式， 那么称随机变量 X 服从超几何分布. （2）在超几何分布中， X 可以解释为从包含M 件次品的 N 件产品中，不放回地随机 抽取 n 件产品数，令 M p N = ，则 ( )E X np= . 结论二：二项分布的定义及其相关重要结论 （1）定义：一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A发生的概率为 p ，用 X 表示事件 A发生的次数，则 X 的分布列为 ( ) (1 ) k k n k nP X k C p p −= = − ， 0,1,k = . ,n .如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从二项分布，记作 ~ ( , )X B n p . （2）二项分布的数字特征：如果 ~ ( , )X B n p ，那么 ( )E X np= , ( ) (1 )D X np p= − . （3）在二项分布 ~ ( , )X B n p 中，   0 ( ) (1 ) 1 n n k P X k p p = = = + − = . 题型一 超几何分布的判断及性质运用 【例 1】（多选）关于超几何分布下列说法正确的是（ ） A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布的总体里可以只有一类物品 C．超几何分布中的参数是N ， M ，n D．超几何分布的总体往往由差异明显的两 部分组成 【答案】ACD 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 【分析】根据超几何分布的概念及内涵，结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，故 A 正确； 超几何分布实质上就是有总数为N 件的两类物品，其中一类有 ( )M M N 件，从所有 物品中任取 ( )n n N 件，这 n 件中所含这类物品的件数 X 是一个离散型随机变量， 它取值为 k 时的概率为 ( ) k n k M N M n N C C P X k C − −= = （ k l ， l 是 n 和M 中较小的一个）， ∴B 错误；C、D 正确. 故选：ACD 【跟踪训练 1】（多选）在一个袋中装有质地大小一样的 6 个黑球，4 个白球，现从中 任取 4 个小球，设取出的 4 个小球中黑球的个数为 X，则下列结论正确的是（ ） A．随机变量 X可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6 B．随机变量 X服从超几何分布 C． ( ) (0 4)P X P X＝ ＝ ＝ D． ( ) 16 25 D X = 【答案】BD 【分析】根据题意知随机变量 X服从超几何分，利用超几何分布的性质，再结合离散型 随机变量的方差公式即可求解. 【详解】根据超几何分布的定义知，随机变量 X服从超几何分布，故 B 正确； 由题意可知，随机变量 X的可能取值为 0，1，2，3，4，故 A 不正确； 4 4 10 4C 1( 0) C 210 P X = = = ； 6 3 4 10 4 1C C 4 ( 1) C 35 P X = = = ； 2 2 6 4 4 10 C C 3 ( 2) C 7 P X = = = 6 1 4 10 4 3C C 8 ( 3) C 21 P X = = = ， 4 4 10 6C 1( 4) C 14 P X = = = . 所以 ( ) (0 4)P X P X=  = ，故 C 不正确； ( ) 1 4 3 8 1 84 0 1 2 3 4 210 35 7 21 14 35 E X =  +  +  +  +  = . ( ) 2 2 2 2 2 84 1 84 4 84 3 84 8 84 1 16 0 1 2 3 4 35 210 35 35 35 7 35 21 35 14 25 D X           = −  + −  + −  + −  + −  =                    故选：BD. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型二 求超几何分布的分布列及数字特征 【例 2】4 月 23 日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅 读时间的分配情况，从该地区随机抽取了 500 名高一学生进行在线调查，得到了这 500 名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成 0,2 ，( 2,4 ，( 4,6 ，( 6,8 ， ( 8,10 ，( 10,12 ，( 12,14 ，( 14,16 ，( 16,18 九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从这 500 名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在 ( 10,12 内的概率； (2)为进一步了解这 500 名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日 平均阅读时间在 ( 12,14 ， ( 14,16 ， ( 16,18 三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取 了 10人，现从这 10 人中随机抽取 3 人，记日平均阅读时间在 ( 14,16 内的学生人数为 X， 求 X的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取 10 名学生，用 ( )P k 表示 这 10 名学生中恰有 k名学生日平均阅读时间在 ( 8,12 内的概率，其中 0k = ，1，2，…， 10．当 ( )P k 最大时，写出 k的值．（只需写出结论） 【答案】(1)0.20 (2) X 的分布列见解析，数学期望为 6 5 (3)5 【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，能求出a 的值，进而估计出概率； （2）先按比例抽取人数，由题意可知此分布列为超几何分布，即可求出分布列； （3）求出 ( )P k 的式子进行判断. 【详解】（1）由频率分布直方图得： 2(0.02 0.03 0.05 0.05 0.15 0.05 0.04 0.01) 1a+ + + + + + + + = ， 解得 0.10a = ， 0.10 2 0.20 = ，所以日平均阅读时间在 ( 10,12 内的概率为 0.20； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 （2）由频率分布直方图得： 这 500 名学生中日平均阅读时间在 (12，14]，(14，16]， (16 ，18]三组内的学生人数分 别为：500 0.10 50 = 人，500 0.08 40 = 人，500 0.02 10 = 人， 若采用分层抽样的方法抽取了 10 人， 则从日平均阅读时间在 (14，16]内的学生中抽取： 40 10 4 50 40 10  = + + 人， 现从这 10 人中随机抽取 3 人，则 X 的可能取值为 0，1，2，3， 3 6 3 10 20 1 ( 0) 120 6 C P X C = = = = ， 1 2 4 6 3 10 60 1 ( 1) 120 2 C C P X C = = = = ， 2 1 4 6 3 10 36 3 ( 2) 120 10 C C P X C = = = = ， 3 4 3 10 4 1 ( 3) 120 30 C P X C = = = = ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 数学期望 ( ) 1 3 1 6 1 2 3 2 10 30 5 E X =  +  +  = . （3） 5k = ，理由如下： 由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在 ( 8,12 内的概率为 0.50，从该地区所有高一 学生中随机抽取 10 名学生，恰有 k名学生日平均阅读时间在 ( 8,12 内的分布列服从二项 分布 (10,0.50)X B ， 10 10 10 10 1 1 1 ( ) C ( ) (1 ) C ( ) 2 2 2 k k k kP k −= − = ，由组合数的性质可得 5k = 时 ( )P k 最大. 【跟踪训练 2】某研究小组在进行一项水质监测实验，受取样环境所限，每次取得的水 样均有 1 10 的概率受到污染而无法用于研究，假设每次取样互不影响. (1)研究小组取样 2 次，求水样均受到污染的概率； (2)研究小组取样 3 次，记 3 份水样中受到污染的水样数量为 X ，求 X 的分布列及数学 期望； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 (3)已知取出的 100 份水样中，有 2 份水样受到污染，为筛选出污染的水样，研究小组将 100 份水样分成 10 组，每组 10 份；将每组的各份水样分别取一小部分进行混合，对所 有混合物进行逐份检测，若无污染，则可确定该组水样无污染，否则还需对该组所有水 样逐份检测. 若两份污染水样不在同一组，则检测次数是多少？（直接写出结论） 【答案】(1) 1 100 (2)分布列见解析， 3 10 (3)30 次· 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）求出 X 的可能取值，及其对应的概率，即可得出 X 的分布列，再由数学期望公式 求 X 的数学期望； （3）首先 100 份水样分成 10 组，每组 10 份，需要检测 10 次，若有污染还需对该组所 有水样逐份检测，两份污染水样不在同一组，所以要检测 20 次，即可求出一共需要检 测的次数. 【详解】（1）社事件 A为“取样 2 次，水样均受到污染”， 1 1 1 ( ) 10 10 100 P A =  = · （2） X 可取0,1,2,3 ， 0 3 3 9 729 ( 0) C ( ) 10 1000 P X = = = ， 1 2 3 1 9 243 ( =1) C ( ) 10 10 1000 P X = = 2 2 3 1 9 27 ( =2) C ( ) 10 10 1000 P X = = ， 3 3 3 1 1 ( =3) C ( ) 10 1000 P X = = 则 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 729 1000 243 1000 27 1000 1 1000 故 729 243 27 1 300 3 ( )=0 +1 +2 +3 = = 1000 1000 1000 1000 1000 10 E X     · （或写 1 (3, ) 10 X B ，则 1 3 ( )=3 = 10 10 E X  也可以） （3）若两份污染水样不在同一组，则检测次数是 30 次， 首先 100 份水样分成 10 组，每组 10 份，需要检测 10 次， 若有污染还需对该组所有水样逐份检测，两份污染水样不在同一组，所以要检测 20 次， 所以一共检测 30 次. 题型三 与超几何分布有关的最值问题 【例 3】一个袋子中有 100 个大小相同的球，其中有 40 个黄球，60 个白球．采取不放 回摸球，从中随机摸出 22 个球作为样本，用 X表示样本中黄球的个数．当 ( )P X k= 最 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 大时， ( )E X k+ = ____________． 【答案】 4 17 5 【分析】首先分析超几何分布最大项确定 k 的值，再通过超几何分布的期望公式求出 ( )E X 的值，即可求出 ( )+E X k . 【详解】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布 ( )P X k= = 22 40 60 22 100 C C 012...22 C k k k − =， ，， ， ( )P X k= 最大时，即 2240 60C C k k− 最大， 超几何分布最大项问题，利用比值求最大项 设 ( ) C C C s m s k n k s m n a P X s − −= = = 则 1 1 1 C C C C C C s m s m s k n k n m s m s s n k n k a a + − − + − − − =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) !! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! ! ! ! ! ! ! n kk s k s m s n k m s k n k s k s m s n k m s − + − − − − − − + + =  − − − − − + ( ) ( ) ( ) ( )1 1 k s m s s n k m s − − = + − − + + 令 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 k s m s s n k m s − −  + − − + + ( ) ( ) ( ) ( )1 1k s m s s n k m s − −  + − − + + ( ) ( )2 2 2 1s k m s km s n k m s n k m − + +  + + − − + + − − ( ) ( )2 1km n s n m k  + + + − − ( ) ( ) ( )1 2 1 1km m k n s n + + +  + + + + ( ) ( )1 1 1 2 k m s n + +   − + 故当 ( ) ( )1 1 2 k m s n + +  + 时， ( )P X s= 严格增加， 当 ( ) ( )1 1 1 2 k m s n + +  − + 时， ( )P X s= 严格下降， 即 9k = 时取最大值， 此题中 100 22 40n m k s k= = = =， ， ， ， 根据超几何分布的期望公式可得 ( ) 40 22 8.8 100   = = = k m E X n ， ( ) 8.8 9 17.8+ = + =E X k 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 故答案为：17.8 【跟踪训练 3】一批产品共 100 件，其中有 3 件不合格品，从中随机 ( )Nn n 件，若用 X表示所抽取的 n件产品中不合格品的件数，则使 1X = 的概率取得最大值时，n =______． 【答案】33 【分析】由题意可得 ( 99)( 100) ( 1) ,1 98, 323400 n n n P X n − − = =   记函数 ( ) ( 99)( 100),1 98,f x x x x x= − −   利用导数即可得到答案 【详解】解：由题意可得 ( ) ( ) ( ) 1 1 3 97 100 100 , 97! 3 1 ! 98 !C C 0 1 ! ! 1 ( 99)( 00) ( 1) ,1 9 4 0 ! 8 C 323 00 n n n n n n n P X n n n −  − − − − = = = =   − 且 *Nn ， 记函数 ( ) ( 99)( 100),1 98,f x x x x x= − −   则由 2 ( ) 3 398 9900 0,f x x x = − + = 解得 1 199 9901 33.17, 3 x − =  2 199 9901 99.50 3 x + =  (舍去), 所以当 11 ,x x  ( ) 0,f x  ( )f x 递增； 当 1 98,x x  ( ) 0,f x  ( )f x 递减； 因为 (33) (34) 33 66 67 34 65 66 66 0f f− =   −   =  ， 所以当 33n = 时， 1X = 的概率取得最大值， 故答案为：33 题型四 独立重复试验中的概率问题 【例 4】甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，比赛采取 5 局 3 胜制，假设每局比赛相互独 立且没有平局，若每局比赛甲胜的概率为 3 5 ，则比赛在第 4 局结束的概率为（ ） A． 72 625 B． 162 625 C． 234 625 D． 324 625 【答案】C 【分析】分两种情况第 4 局甲赢、第 4 局乙赢，结合独立性乘法公式即可求解. 【详解】打完第 4 局比赛结束，包含以下两种情况， （1）第 4 局甲赢，前三局甲赢两局， 概率为 2 2 3 3 2 3 162 C 5 5 5 625     =    ； （2）第 4 局乙赢，前三局乙赢两局， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 概率为 2 2 3 2 3 72 C 5 5 5 625 2    =     ；  打完第 4 局比赛结束的概率为 162 72 234 625 625 625 + = 故选：C 【跟踪训练 4】2023 年 1 月至 4 月，曲靖市辖区内长期没有下雨，4 月份处于严重干旱 状况，广大市民必须加强节约用水意识，家家户户都要节约用水.为了督促市民节约用 水，曲靖市水务投资公司对居民生活用水实行阶梯水价制度进行收费，其收费标准如下： 一户居民每月用水量不超过 15 吨时，收费单价为 3.5 元/吨；超过 15 吨但不超过 20 吨 时，超出 15 吨部分的收费单价为 4.75 元/吨；超过 20 吨时属于严重超标，超出 20 吨部 分的收费单价为 6 元/吨.某学生社团对某生活区的住户进行用水量调查，该生活区的某 单元内居住着 3 户人家，每户月用水量严重超标的概率均为 (0 1)p p  且相互独立，该 单元有至少两户人家月用水量严重超标的概率为 ( )f p ，当 ( ) 1 2 f p = 时， p =（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 3 4 【答案】A 【分析】设事件A 为：该单元有 2 户人家月用水量严重超标，事件 B 为：该单元有 3 户 人家月用水量严重超标，求出 ( )P A ，可得 ( ) ( ) ( )f p P A P B= + ，将各选项代入验证 可得答案； 或者，令 ( ) 2 3 1 3 2 2 f p p p= − = ，求出方程的根可得答案. 【详解】设事件A 为：该单元有 2 户人家月用水量严重超标，事件 B 为：该单元有 3 户 人家月用水量严重超标，则 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3 3 33 3C 1 3 1 , CP A p p p p P B p p= − = − = = ， 即 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 33 1 3 2 (0 1)f p P A P B p p p p p p= + = − + = −   ， 将各选项代入验证发现，唯有 1 2 p = 满足要求，故 A 正确； 或者，令 ( ) 2 3 1 3 2 2 f p p p= − = ，整理为： ( )( )3 2 2(2 ) 3 (2 ) 2 2 1 4 4 2 0p p p p p−  + = − − − = ， 所以 1 2 p = 或 1 3 2 p  = ，因为0 1p  ，所以 1 2 p = . 故选：A. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 题型五 二项分布中的概率最值问题 【例 5】（多选）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相 互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面 挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小 木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从 左到右分别编号为 1，2，3，……，6，用 X 表示小球落入格子的号码， 则（ ） A． ( ) 1 1 32 P X = = B． ( ) 7 2 E X = C．当 P 最大时， 3X = D． ( ) 5 4 D X = 【答案】ABD 【分析】令 1Y X= − ，分析可知 1 ~ (5, ) 2 Y B ，利用独立重复试验的概率公式可判断 AC 选项；利用二项分布的期望公式和期望的性质可判断 B 选项；利用二项分布的方差公式 以及方差的性质可判断 D 选项． 【详解】记事件 A= “向右下落”，则事件 A = “向左下落”，且 1 ( ) ( ) 2 P A P A= = ， 令 1Y X= − ，因为小球最后落入格子的号码 X 等于事件A 发生的次数Y 加上 1， 而小球在下落过程中共碰撞小木钉 5 次，则 1 ~ (5, ) 2 Y B ， 对于 A， 51 1( 1) ( 0) (1 ) 2 32 P X P Y= = = = − = ，故 A 正确； 对于 B， 1 7 ( ) ( ) 1 5 1 , 2 2 E X E Y= + =  + = 故 B 正确； 对于 C, 51 1( 1) ( 0) (1 ) 2 32 P X P Y= = = = − = ， 1 4 5 1 1 5 ( 2) ( 1) C (1 ) 2 2 32 P X P Y= = = =  − = ， 2 2 3 5 1 1 10 ( 3) ( 2) C (1 ) 2 2 32 P X P Y   = = = =  − =    ， 3 3 2 5 1 1 10 ( 4) ( 3) C (1 ) 2 2 32 P X P Y   = = = =  − =    ， 4 4 5 1 1 5 ( 5) ( 4) C (1 ) 2 2 32 P X P Y   = = = =  − =    ， 5 5 5 1 1 ( 6) ( 5) C (1 ) 2 32 P X P Y= = = =  − = ， 故当 2X = 或 3X = 时，概率最大，故 C 错误， 对于 D， 1 1 5 ( ) ( ) 5 (1 ) 2 2 4 D X D Y= =   − = ，故 D 正确． 故选:ABD 【跟踪训练 5】某工厂的某种产品成箱包装，每箱100件，每一箱产品在交付用户之前 要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格 品的概率都为 ( )0 1p p  ，且各件产品是否为不合格品相互独立．记10件产品中恰有3 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 件不合格品的概率为 ( )f p ，则 ( )f p 取最大值时， p = _______． 【答案】 3 10 【分析】利用独立重复试验的概率可得出 ( )f p 的表达式，利用导数法可求得函数 ( )f p 取最大值对应的 p 值. 【详解】因为每件产品为不合格品的概率都为 ( )0 1p p  ，且各件产品是否为不合格 品相互独立， 所以，10件产品中恰有3件不合格品的概率为 ( ) ( ) 73 3 10C 1f p p p=  − ， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 6 63 2 3 3 3 2 10 10 103C 1 7C 1 C 1 3 1 7f p p p p p p p p p =  − −  − =  − − −   ( ) ( ) 63 2 10C 1 3 10p p p=  − − ， 当 3 0 10 p  时， ( ) 0f p  ，此时函数 ( )f p 单调递增， 当 3 1 10 p  时， ( ) 0f p  ，此时函数 ( )f p 单调递减， 故当 3 10 p = 时， ( )f p 取最大值. 故答案为： 3 10 . 题型六 二项分布模型的综合应用 【例 6】进行独立重复试验，设每次成功的概率为 ( )0 1p p  ，则失败的概率为1 p− ， 将试验进行到恰好出现 r 次成功时结束试验，以 X 表示试验次数，则称 X 服从以 r ， p 为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为 ( ),X NB r p ． (1)若 1 3, 3 X NB        ，求 ( )5P X = ； (2)若 1 2, 2 X NB        ， *nN ， 2n  ． ①求 ( ) 2 n i P X i = = ； ②要使得在 n 次内结束试验的概率不小于 3 4 ，求n 的最小值． 【答案】(1) 8 81 (2)① 1 1 2n n+ − ；②5 【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式计算可得； （2）①依题意可得 ( ) 1 1 1 C 2 i iP X i −   = =     ， ( )2i  ，再利用裂项相消法求和即可； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 ②①可知 1 3 1 2 4n n+ −  ，即 1 1 2 4n n+  ，令 1 2 n n n a + = ( )2n  ，判断 na 的单调性，再由特殊 值即可求出n 的取值范围，即可得解. 【详解】（1）因为 1 3, 3 X NB        ，所以 ( ) 2 2 2 4 1 1 1 8 5 C 1 3 3 3 81 P X     = =  −  =        . （2）①因为 1 2, 2 X NB        ， *nN ， 2n  ， 所以 ( ) 1 1 1 C 2 i iP X i −   = =     ， ( )2i  ， 所以 ( ) 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1C 2 2 2 2 i i i i i i n n n n i i i i i P X i i = = = = − − −  = = = = +   −            1 2 2 3 3 4 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2n n n n n n − + + + = + + − + − + − + + − = − ； ②由①可知 1 3 1 2 4n n+ −  ，所以 1 1 2 4n n+  ， 令 1 2 n n n a + = ( )2n  ，则 1 1 1 2 1 0 2 2 2 n n n n n n n n a a+ + + + + − = − = −  ， 所以 1 2 n n n a + = 单调递减，又 4 5 1 16 4 a =  ， 5 3 1 16 5 a =  ， 所以当 5n  时 1 1 2 4n n+  ，则n 的最小值为5 . 【跟踪训练 6】在政府精准扶贫政策的扶持下，甲、乙，丙三位学徒跟老李师傅学习制 作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为 1p ， 2p ， 3p ，且 3 2 10 1p p p    ．现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作， 且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功 则结束． (1)按照甲、乙、丙的顺序制作该陶器，若 1 2 2 9 p p = ，且 1 2 ,1 3 p       ，求制作该陶器的人 数均值的最大值； (2)若这种陶器制作成功后需要两轮检测都合格才能上市销售，已知学徒甲制作的陶器第 一轮检测合格的概率为 2 3 ，第二轮检测合格的概率为 3 5 ，且两轮检测是否合格相互之间 没有影响．如果这种陶器可以上市销售，则每件陶器可获利 100 元；如果这种陶器不能 上市销售，则每件陶器亏损 80 元．现有学徒甲制作的这种陶器 4 件，求这 4 件陶器获 利 220 元的概率． 【答案】(1) 14 9 (2) 96 625 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 【分析】（1）设制作人数为 X ，求得随机变量 X 的分布列，得到 ( ) 1 1 29 2 2 9 9 E X p p   = − +    ， 设 ( ) 2 2 9 h x x x = + ，求得 ( ) 0h x  ，得到函数 ( )h x 的单调性与最小值，即可求解； （2）设“该陶器能上市销售”为事件A ，求得 ( ) 2 5 P A = ，结合独立重复试验的概率公式， 即可求解. 【详解】（1）解：设制作人数为 X ，他们三人各自能制作成功该陶器的概率分别为 1p 、 2p 、 3p ， 可得 1 1 2 1 2( 1) , ( 2) (1 ) , ( 3) (1 )(1 )P X p P X p p P X p p= = = = − = = − − ， 则随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1p ( )1 21 p p− ( )( )1 21 1p p− − 均值为 ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 2 1 2 1 22 1 3 1 1 3 2E X p p p p p p p p p= + − + − − = − − + ， ( ) 1 2 1 2 1 1 29 2 3 2 2 9 9 E X p p p p p p   = − − + = − +    ， 设 ( ) 2 2 9 h x x x = + ， 2 ,1 3 x       ， 因为 2 ,1 3 x       ，且 ( ) 2 2 2 0 9 h x x  = −  ， 所以 ( )h x 在 2 ,1 3      上单调递增，所以 ( ) 2 3 h x h        ， 所以 ( ) 1 1 29 2 29 2 14 2 9 9 9 3 9 E X p h p     = − +  − =       ， 所以当 1 2 3 p = 时， ( )E X 的最大值为 14 9 ． （2）解：记“该陶器能上市销售”为事件A ，则 ( ) 2 3 2 3 5 5 P A =  = , 由已知可知 4 件陶器获利 220 元的情况是可上市销售 3 件， 则概率为 3 3 4 2 3 96 C 5 5 625 P   =  =    ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 课后突破训练 1．某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社 团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的 概率依次为 1 3 ，m ，n ，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的 概率为 1 30 ，至少通过一个社团考核的概率为 11 15 ，则m n+ =（ ） A． 4 5 B． 7 10 C． 2 3 D． 3 5 【答案】B 【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，列式求解. 【详解】因至少通过一个社团考核的概率为 11 15 ，则三个社团都没有通过的概率为 4 15 ， 依题意， 得 ( )( ) 1 1 3 30 1 4 1 1 1 3 15 mn m n  =    − − − =    即 ( ) 1 10 2 1 5 mn m n mn  =   − + + =  ， 解得 7 10 m n+ = . 故选：B. 2．某大型超市设立了“助农促销”专区，销售各种农产品，积极解决农民农副产品滞销 问题.为加大农产品销量，该超市进行了有奖促销活动，凡购买专区的农产品每满 100 元的顾客均可参加该活动，活动规则如下:将某空地划分为（1）（2）（3）(4)四个区域， 顾客将一皮球投进区域（1）或者（2）一次，或者投进区域（3）两次，或者投进区域 (4)三次，便视为中奖，投球停止，且投球次数不超过四次.已知顾客小王每次都能将皮 球投进这块空地，他投进区域（1）与（2）的概率均为 (0 1)p p  ，投进区域（3）的 概率是投进区域（1）的概率的 2 倍，且每次投皮球相互独立.小王第二次投完皮球首次 中奖的概率记为 1P ，第四次投完皮球首次中奖的概率记为 2P ，若 1P  2P ，则 p 的取值范 围为（ ） A． 3 3 0, 12  −      B． 3 3 0, 12  +      C． 3 3 1 , 12 4  −      D． 3 3 3 3 , 12 12  − +      【答案】C 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 【分析】首先根据条件，理解 1P 和 2P 对应的事件，再根据独立事件的概率公式求解概率， 根据 1P  2P 后，即可求解. 【详解】小王投进区域（3）的概率为2p，投进区域(4)的概率为1 4p− ，故 1 0 4 p  . 小王第二次投完皮球后，首次中奖包含“第一次区域（1）（2）均末投中，第二次投中区 域（1）或（2）”和“第一次与第二次均投中区域（3）"两个事件， 则概率为 2 1 (1 2 ) 2 (2 )P p p p= −  + = 2p . 第四次投完皮球后，首次中奖，需前三次投完后有一次投进区域（3），有两次投进区域 (4)， 因此 ( )1 2 22 3 2 (1 4 ) 6 1 16 8P p p p p p=  − = + −C ，令 2 1 0P P−  ， 得 224 12 1 0p p− +  ，解得 3 3 3 3 12 12 p − +   ，又0  1 4 p  ，所以 3 3 1 12 4 p −   . 故选：C. 3．设随机变量 (10, )X B p ，且满足 ( ) 2.4D X = ， ( 4) ( 6)P X P X=  = ，则 p＝（ ） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 【答案】C 【分析】根据二项分布的方差公式及概率公式列式求解即可. 【详解】依题意可知， ( ) 10 (1 ) 2.4D X p p= − = ，即 2 0.24 0p p− + = ，解得 0.6p = 或 0.4p = ， 又 ( 4) ( 6)P X P X=  = ，所以 4 4 6 6 6 4 10 10(1 ) CC (1 )p p p p−  − ，所以 2 2(1 )p p−  ，解得 1 0 2 p  ， 所以 p = 0.4． 故选：C. 4．在一次与“概率”相关的研究性活动中，老师准备了 30 个不透明的纸箱，每个箱子中 装了 6 个形状大小相同的小球（2 个红球，4 个黑球），分甲、乙两组让同学们来摸球. 甲组：在 20 个纸箱中各任意摸出一个小球；乙组：在剩下的 10 个纸箱中各任意摸出两 个小球.将甲组至少能摸出一个红球的概率记为 1p ，乙组至少能摸出一个红球的概率记 为 2p ，则（ ） A． 1 2p p B． 1 2p p C． 1 2p p= D．以上三种情况都有可能 【答案】A 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 【分析】根据给定条件，求出甲组、乙组从一个纸箱中摸出有红球的概率，再利用独立 重复试验的概率公式及对立事件的概率公式，列式比较大小作答. 【详解】甲组从一个纸箱中任意摸出一个球，摸出是红球的概率为 2 1 6 3 = ， 甲组至少能摸出一个红球的事件，其对立事件为摸出的球没有红球，因此 20 1 2 1 ( ) 3 p = − ， 乙组从一个纸箱中任意摸出两个球，摸出有红球的概率为 2 4 2 6 C 3 1 C 5 − = ， 乙组至少能摸出一个红球的事件，其对立事件为摸出的球没有红球， 因此 10 2 2 1 ( ) 5 p = − ，因为 20 10 102 4 2( ) ( ) ( ) 3 9 5 =  ，所以 1 2p p . 故选：A. 5．（多选）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 1 2 3 4 5A a a a a a= （例如 10100），其中 A的各位数中 ( )1,2,3,4,5ka k = 出现 0 的概率为 1 3 ，出现 1 的概率为 2 3 ， 记 1 2 3 4 5X a a a a a= + + + + ，则当程序运行一次时（ ） A．X服从超几何分布 B． ( ) 10 1 243 P X = = C．X的均值 ( ) 10 3 E X = D．X的方差 ( ) 10 9 D X = 【答案】BCD 【分析】根据二项分布的定义可判断 A 的正误，利用二项分布可判断 B 的正误，利用 公式计算出 X 的期望和方差后可判断 CD 的正误. 【详解】由二进制数 A的特点知，每一个数位上的数字只能填 0，1 且每个数位上的数 字互不影响， 故 X的可能取值有0,1,2,3,4,5，且 X 的取值表示 1 出现的次数， 由二项分布的定义，可得 2 5, 3 X B       ，故 A 错误； 故 1 4 1 5 2 1 10 ( 1) C 3 3 243 P X     = = =        ，故 B 正确； 因为 2 5, 3 X B       ，所以 ( ) 2 10 5 3 3 E X =  = ， ( ) 2 1 10 5 3 3 9 D X =   = ， 故 C 正确，D 正确． 故选：BCD. 6．（多选）一个袋子中装有除颜色外完全相同的 10 个球，其中有 6 个黑球，4 个白球， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 现从中任取 4 个球，记随机变量 X 为取出白球的个数，随机变量Y 为取出黑球的个数， 若取出一个白球得 2 分，取出一个黑球得 1 分，随机变量Z 为取出 4 个球的总得分，则 下列结论中正确的是（ ） A． ( ) 1 1 2 P X = = B． 4X Y+ = C． ( ) ( )E X E Y D． ( ) 28 5 E Z = 【答案】BD 【分析】由条件可知，袋子中有 6 黑 4 白，又共取出 4 个球，所以 4X Y+ = ，可判断 B 选项； X 的取值为01,2,3,4， ，计算 ( ), 01,2,3,4P X i i= = ， 的概率和期望值，又 ( ) ( )4P Y i P X i= = = − ，可计算 ( )E Y ，可判断 AC 选项；Z 的取值为4,5 6,7,8， ，且 ( ) ( )4P Z i P X i= = = − ，计算 ( )E Z 可判断 D 选项. 【详解】解：由条件可知，袋子中有 6 黑 4 白，又共取出 4 个球，所以 4X Y+ = ，故 B 正确； X 的取值为01,2,3,4， ， ( ) 0 4 4 6 4 10 C C 15 0 C 210 P X = = = ， ( ) 1 10 3 4 6 4 C C 8 1 C 21 80 210 P X = = = = ， ( ) 2 2 4 6 4 10 C C 90 2 C 210 P X = = = ， ( ) 3 1 4 6 4 10 C C 24 3 C 210 P X = = = ， ( ) 4 0 4 6 4 10 C C 1 4 C 210 P X = = = ，可知 A 错； Y 的取值为01,2,3,4， ，且 ( ) ( )0 4P Y P X= = = ， ( ) ( )1 3P Y P X= = = ， ( ) ( )2 2P Y P X= = = ， ( ) ( )3 1P Y P X= = = ， ( ) ( )4 0P Y P X= = = ， 则 ( ) 80 180 72 4 8 210 5 E X + + + = = ， ( ) 240 180 24 60 12 210 5 E Y + + + = = ，所以 ( ) ( )E X E Y ，故 C 错； Z 的取值为4,5 6,7,8， ，且 ( ) ( )4 0P Z P X= = = ， ( ) ( )5 1P Z P X= = = ， ( ) ( )6 2P Z P X= = = ， ( ) ( )7 3P Z P X= = = ， ( ) ( )8 4P Z P X= = = ， 所以 ( ) 15 4 8 5 90 6 24 7 1 8 1176 28 210 210 5 E Z  +  +  +  +  = = = ，故 D 正确； 故选：BD. 7．（多选）在等差数列 na 中， 2 8a = − ， 3 4a = − .现从数列 na 的前 10 项中随机抽取 3 个不同的数，记取出的数为正数的个数为 X.则（ ） A．X服从二项分布 B．X服从超几何分布 C． ( ) 1 2 2 P X = = D． ( ) 9 5 E X = 【答案】BCD 【分析】求出等差数列的通项公式，确定前 10 项中的正数项，再逐项分析判断作答. 【详解】依题意，等差数列 na 公差 3 2 4d a a= − = ，则通项为 2 ( 1) 4 16na a n d n= + − = − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 由 0na  得 4n  ，即等差数列 na 前 10 项中有 6 个正数， X 的可能值为 0，1，2，3， ( N, 3)X k k k=   的事件表示取出的 3 个数中有 k个正数， (3 )k− 个非负数， 因此， 3 6 4 3 10 C C ( ) ( N, 3) C k k P X k k k − = =   ，X不服从二项分布，X服从超几何分布，A 不正 确，B 正确； 2 1 6 4 3 10 1 ( 2) 2 C C P X C = = = ，C 正确； ( ) 3 6 9 10 5 E X  = = ，D 正确. 故选：BCD 8．把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从 中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数 X 不少于2的概 率为______． 【答案】 49 60 【分析】确定三角形的个数，以及直角三角形、钝角三角形的个数，利用组合计数原理 以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设 AB为半圆弧的直径，C 、D、E为半圆弧另外的三个四等分 点， 从A 、B 、C 、D、E这5个点任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为 3 5C 10= . 其中直角三角形有： ABC、 ABD△ 、 ABE，共3个，钝角三角形的个数为10 3 7− = ， 由题意可知  0,1,2,3X  ， ( ) 2 1 7 3 3 10 C C 63 2 C 120 P X = = = ， ( ) 3 7 3 10 C 35 3 C 120 P X = = = ， 因此，所求概率为 63 35 49 120 60 P + = = . 故答案为： 49 60 . 9．一个袋中有形状、大小完全相同的100个小球，其中 (2 92)n n  个红球，其余为白 球.从中一次性任取10个小球，将“恰好含有2个红球”的概率记为 ( )f n ，则当n = 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 __________时， ( )f n 取得最大值． 【答案】20 【分析】由题意可知，满足超几何分布，列出 ( )f n 的公式，建立 ( )f n 与 n 的表达式， 求最大值． 【详解】 ( ) 2 8 100 10 100 C C C n nf n −= ， ( )f n 取得最大值，也即是 2 8100C Cn n− 取最大， 所以 2 8 2 8 1 101 100 2 8 2 8 1 99 100 C C C C C C C C n n n n n n n n − − − + − −     ，解得 192 202 10 10 n  ，故 20n = ． 故答案为：20 10．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n 次，每次发射 信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为 X . ①当 6n = 时， ( )2P X  = _______； ②已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y ，若其数学期望 ( )E Y 和方差 ( )D Y 均存 在，则对任意正实数a ，有 ( )( ) ( ) 2 1 D Y P Y E Y a a −   − .根据该不等式可以对事件 “ ( )Y E Y a−  ”的概率作出下限估计.为了至少有 98%的把握使发射信号“1”的频率在 0.4 与 0.6 之间，估计信号发射次数n 的最小值为_______. 【答案】 11 32 1250 【分析】①根据二项分布公式计算 ( )2P X  ；②运用二项分布公式算出 ( )E X 和 ( )D X ，再根据题意求出 ( )X E X a−  中 a的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解. 【详解】①当 6n = 时，由已知 1 6, 2 X B       ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2P X P X P X P X = = + = + = 6 5 2 4 0 1 2 6 6 6 1 1 1 1 1 1 6 15 11 2 2 2 2 2 64 64 64 32 C C C         = +  +  = + + =                ； ②由已知 1 , 2 X B n       ，所以 ( ) ( )0.5 , 0.25E X n D X n= = ， 若0.4 0.6 X n   ，则0.4 0.6n X n  ，即 0.1 0.5 0.1n X n n−  −  ，即 0.5 0.1X n n−  . 由切比雪夫不等式 ( ) 2 0.25 0.5 0.1 1 (0.1 ) n P X n n n −   − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4 与0.6 之间，则 2 0.25 1 0.98 (0.1 ) n n −  ， 解得 1250n  ，所以估计信号发射次数n 的最小值为 1250. 故答案为： 11 32 ；1250. 11．国学小组有编号为 1，2，3，…，n 的 n 位同学，现在有两个选择题，每人答对第 一题的概率为 2 3 、答对第二题的概率为 1 2 ，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛 规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第 1 号同学开始第 1 轮出赛，先答第 一题；②若第 ( )1,2,3, , 1i i n= − 号同学未答对第一题，则第 i 轮比赛失败，由第 1i 号 同学继继续比赛；③若第 ( )1,2,3, , 1i i n= − 号同学答对第一题，则再答第二题，若该 生答对第二题，则比赛在第 i轮结枣；若该生未答对第二题，则第 i 轮比赛失败，由第 1i 号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第n 轮，则不 管第 n 号同学答题情况，比赛结束． (1)令随机变量 nX 表示 n 名同学在第 nX 轮比赛结束，当 3n = 时，求随机变量 3X 的分布 列； (2)若把比赛规则③改为：若第 ( )1,2,3, , 1i i n= − 号同学未答对第二题，则第 i轮比赛失 败，第 1i 号同学重新从第一题开始作答．令随机变量 nY 表示n 名挑战者在第 nY 轮比赛 结束． ①求随机变量 ( )*N , 2nY n n  的分布列； ②证明： ( )nE Y 单调递增，且小于 3． 【答案】(1)分布列见解析 (2)①分布列见解析 ；②证明见解析 【分析】（1）由题设有， 3X 可取值为 1，2，3，应用独立事件乘法公式、互斥事件概率 求法求各值对应的概率，即可得分布列； （2）①应用二项分布概率公式求 nY 取值 1，2，…，n 对应概率，即可得分布列； ②由①分布列得 ( ) 1 11 1 2 1 2 3 3 3 k nn n k E Y k n − −− =     =  +         （ *Nn ， 2n  ），定义法判断 ( )nE Y 单 调性，累加法、等比数列前 n项和公式求 ( )nE Y 通项公式，即可证结论. 【详解】（1）由题设， 3X 可取值为 1，2，3， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 ( )3 2 1 1 1 3 2 3 P X = =  = ， ( )3 2 1 1 1 2 1 5 2 3 2 2 3 3 2 18 P X = =   +   = ， ( )3 1 5 7 3 1 3 18 18 P X = = − − = ， 因此 3X 的分布列为 3X 1 2 3 P 1 3 5 18 7 18 （2）① nY 可取值为 1，2，…，n ， 每位同学两题都答对的概率为 2 1 1 3 2 3 p =  = ，则答题失败的概率均为： 2 1 2 1 3 2 3 −  = ， 所以 ( )*1 1, NnY k k n k=   −  时， ( ) 1 2 1 3 3 k nP Y k −   = =     ；当 nY n= 时 ( ) 1 2 3 n nP Y n −   = =     ， 故 nY 的分布列为： nY 1 2 3 … n 1− n P 1 3 2 1 3 3  2 2 1 3 3       … 2 2 1 3 3 n−       1 2 3 n−       ②由①知： ( ) 1 11 1 2 1 2 3 3 3 k nn n k E Y k n − −− =     =  +         （ *Nn ， 2n  ）． ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 2 2 1 0 3 3 3 3 3 n n n n n nE Y E Y n n n − − +         − =  + + − =                 ，故 ( )nE Y 单调递增； 由上得 ( )2 5 3 E Y = ，故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 4 3 1n n nE Y E Y E Y E Y E Y E Y E Y E Y −= + − + − + + −          ， ∴ ( ) 2 2 2 3 1 1 2 2 1 3 35 2 2 2 5 2 3 2 3 23 3 3 3 3 3 1 3 n n n nE Y − − −      −                 = + + + + = + = −                 − ， 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 5 3nE Y E Y E Y E Y E Y      ． 12．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､ 消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某 口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员 从某日所生产的口罩中随机抽取了 100 个，将其质量指标值分成以下五组： )100,110 ，  )110,120 ， )120,130 ， )130140, ， 140,150 ，得到如图所示的频率分布直方图. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 （1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于 130 的为二级口罩，质量指标值不低于 130 的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样 本口罩中随机抽取 8 个口罩，再从抽取的 8 个口罩中随机抽取 3 个，记其中一级口罩的 个数为 X ，求 X 的分布列及均值. （2）甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加A 店的一个订单“秒杀”抢购，乙计 划在该型号口罩的某网络购物平台上参加 B 店的一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均 由 ( )*2,n n n N 个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在A ， B 两店订单“秒杀”成功的概 率均为 ( ) 2 1 2n+ ，记甲､乙两人抢购成功的订单总数量､口罩总数量分别为Y ，Z . ①求Y 的分布列及均值； ②求Z 的均值取最大值时，正整数n 的值. 【答案】（1）分布列答案见解析， 3 4 EX = ；（2）①分布列答案见解析， ( ) 2 2 2 EX n = + ； ② n 的值为 2. 【分析】（1）可得 X 的可能取值为 0，1，2，求出 X 取不同值的概率，即可得出分布列， 求出期望； （2）①可得Y 的可能取值为 0，1，2，求出 X 取不同值的概率，即可得出分布列； ②利用基本不等式可求出. 【详解】（1）结合频率分布直方图，得用分层随机抽样抽取 8 个口罩，其中二级､一级 口罩的个数分别为 6，2，所以 X 的可能取值为 0，1，2. ( ) 3 0 6 2 3 8 C C C 5 0 14 P X = = = ， ( ) 2 1 6 2 3 8 C C C 15 1 28 P X = = = ， ( ) 1 2 6 2 3 8 C C C 3 2 28 P X = = = ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 P 5 14 15 28 3 28 所以 5 15 3 3 0 1 2 14 28 28 4 =  +  +  =EX . （2）①由题意，知Y 的可能取值为 0，1，2. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 31 0 1 2 2 n n P Y n n   + + = = − =  + +   ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 P Y n n n n   = = −  = −  + + + +   ， ( ) ( ) 4 1 2 2 P Y n = = + ，所以Y 的分布列为 Y 0 1 2 P ( ) ( ) 2 2 4 4 3 2 n n n + + + ( ) ( ) 2 4 2 2 2 2n n − + + ( ) 4 1 2n+ 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 4 4 2 4 3 2 2 1 2 0 1 2 2 2 2 2 2 n n EY n n n n n  + + =  +  − +  =  + + + + +   . 因为Z nY= ，所以 ( ) 2 2 2 1 4 42 4 n EZ nEY n n n = = =  + + + ，当且仅当 2n = 时取等号. 所以EZ 取最大值时， n 的值为 2. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 56 二项分布与超几何分布专题 常考结论及公式 结论一：超几何分布的定义及其相关重要结论 （1）定义：一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有M 件次品，从 N 件产品中随机 抽取 n 件（不放回），用 X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为 ( ) k n k M N M n N C C P X k C − −= = ， , 1, 2, , .k m m m r= + + 其中 *, ,n N M N , M N , n N ，  max 0,m n N M= − + ,  min ,r n M= .如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式， 那么称随机变量 X 服从超几何分布. （2）在超几何分布中， X 可以解释为从包含M 件次品的 N 件产品中，不放回地随机 抽取 n 件产品数，令 M p N = ，则 ( )E X np= . 结论二：二项分布的定义及其相关重要结论 （1）定义：一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A发生的概率为 p ，用 X 表示事件 A发生的次数，则 X 的分布列为 ( ) (1 ) k k n k nP X k C p p −= = − ， 0,1,k = . ,n .如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从二项分布，记作 ~ ( , )X B n p . （2）二项分布的数字特征：如果 ~ ( , )X B n p ，那么 ( )E X np= , ( ) (1 )D X np p= − . （3）在二项分布 ~ ( , )X B n p 中，   0 ( ) (1 ) 1 n n k P X k p p = = = + − = . 题型一 超几何分布的判断及性质运用 【例 1】（多选）关于超几何分布下列说法正确的是（ ） A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布的总体里可以只有一类物品 C．超几何分布中的参数是N ， M ，n D．超几何分布的总体往往由差异明显的两 部分组成 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 【跟踪训练 1】（多选）在一个袋中装有质地大小一样的 6 个黑球，4 个白球，现从中 任取 4 个小球，设取出的 4 个小球中黑球的个数为 X，则下列结论正确的是（ ） A．随机变量 X可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6 B．随机变量 X服从超几何分布 C． ( ) (0 4)P X P X＝ ＝ ＝ D． ( ) 16 25 D X = 题型二 求超几何分布的分布列及数字特征 【例 2】4 月 23 日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅 读时间的分配情况，从该地区随机抽取了 500 名高一学生进行在线调查，得到了这 500 名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成 0,2 ，( 2,4 ，( 4,6 ，( 6,8 ， ( 8,10 ，( 10,12 ，( 12,14 ，( 14,16 ，( 16,18 九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从这 500 名学生中随机抽取一人，日平均 阅读时间在 ( 10,12 内的概率； (2)为进一步了解这 500 名学生数字媒体阅读 时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日 平均阅读时间在 ( 12,14 ，( 14,16 ，( 16,18 三 组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 10 人，现从这 10 人中随机抽取 3 人，记日平均阅读时间在 ( 14,16 内的学生人数为 X， 求 X的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取 10 名学生，用 ( )P k 表示 这 10 名学生中恰有 k名学生日平均阅读时间在 ( 8,12 内的概率，其中 0k = ，1，2，…， 10．当 ( )P k 最大时，写出 k的值．（只需写出结论） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【跟踪训练 2】某研究小组在进行一项水质监测实验，受取样环境所限，每次取得的水 样均有 1 10 的概率受到污染而无法用于研究，假设每次取样互不影响. (1)研究小组取样 2 次，求水样均受到污染的概率； (2)研究小组取样 3 次，记 3 份水样中受到污染的水样数量为 X ，求 X 的分布列及数学 期望； (3)已知取出的 100 份水样中，有 2 份水样受到污染，为筛选出污染的水样，研究小组将 100 份水样分成 10 组，每组 10 份；将每组的各份水样分别取一小部分进行混合，对所 有混合物进行逐份检测，若无污染，则可确定该组水样无污染，否则还需对该组所有水 样逐份检测. 若两份污染水样不在同一组，则检测次数是多少？（直接写出结论） 题型三 与超几何分布有关的最值问题 【例 3】一个袋子中有 100 个大小相同的球，其中有 40 个黄球，60 个白球．采取不放 回摸球，从中随机摸出 22 个球作为样本，用 X表示样本中黄球的个数．当 ( )P X k= 最 大时， ( )E X k+ = ____________． 【跟踪训练 3】一批产品共 100 件，其中有 3 件不合格品，从中随机 ( )Nn n 件，若用 X表示所抽取的 n件产品中不合格品的件数，则使 1X = 的概率取得最大值时，n =______． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型四 独立重复试验中的概率问题 【例 4】甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，比赛采取 5 局 3 胜制，假设每局比赛相互独 立且没有平局，若每局比赛甲胜的概率为 3 5 ，则比赛在第 4 局结束的概率为（ ） A． 72 625 B． 162 625 C． 234 625 D． 324 625 【跟踪训练 4】2023 年 1 月至 4 月，曲靖市辖区内长期没有下雨，4 月份处于严重干旱 状况，广大市民必须加强节约用水意识，家家户户都要节约用水.为了督促市民节约用 水，曲靖市水务投资公司对居民生活用水实行阶梯水价制度进行收费，其收费标准如下： 一户居民每月用水量不超过 15 吨时，收费单价为 3.5 元/吨；超过 15 吨但不超过 20 吨 时，超出 15 吨部分的收费单价为 4.75 元/吨；超过 20 吨时属于严重超标，超出 20 吨部 分的收费单价为 6 元/吨.某学生社团对某生活区的住户进行用水量调查，该生活区的某 单元内居住着 3 户人家，每户月用水量严重超标的概率均为 (0 1)p p  且相互独立，该 单元有至少两户人家月用水量严重超标的概率为 ( )f p ，当 ( ) 1 2 f p = 时， p =（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 3 4 题型五 二项分布中的概率最值问题 【例 5】（多选）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相 互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面 挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小 木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从 左到右分别编号为 1，2，3，……，6，用 X 表示小球落入格子的号码， 则（ ） A． ( ) 1 1 32 P X = = B． ( ) 7 2 E X = C．当 P 最大时， 3X = D． ( ) 5 4 D X = 【跟踪训练 5】某工厂的某种产品成箱包装，每箱100件，每一箱产品在交付用户之前 要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格 品的概率都为 ( )0 1p p  ，且各件产品是否为不合格品相互独立．记10件产品中恰有3 件不合格品的概率为 ( )f p ，则 ( )f p 取最大值时， p = _______． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 题型六 二项分布模型的综合应用 【例 6】进行独立重复试验，设每次成功的概率为 ( )0 1p p  ，则失败的概率为1 p− ， 将试验进行到恰好出现 r 次成功时结束试验，以 X 表示试验次数，则称 X 服从以 r ， p 为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为 ( ),X NB r p ． (1)若 1 3, 3 X NB        ，求 ( )5P X = ； (2)若 1 2, 2 X NB        ， *nN ， 2n  ． ①求 ( ) 2 n i P X i = = ； ②要使得在 n 次内结束试验的概率不小于 3 4 ，求n 的最小值． 【跟踪训练 6】在政府精准扶贫政策的扶持下，甲、乙，丙三位学徒跟老李师傅学习制 作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为 1p ， 2p ， 3p ，且 3 2 10 1p p p    ．现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作， 且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功 则结束． (1)按照甲、乙、丙的顺序制作该陶器，若 1 2 2 9 p p = ，且 1 2 ,1 3 p       ，求制作该陶器的人 数均值的最大值； (2)若这种陶器制作成功后需要两轮检测都合格才能上市销售，已知学徒甲制作的陶器第 一轮检测合格的概率为 2 3 ，第二轮检测合格的概率为 3 5 ，且两轮检测是否合格相互之间 没有影响．如果这种陶器可以上市销售，则每件陶器可获利 100 元；如果这种陶器不能 上市销售，则每件陶器亏损 80 元．现有学徒甲制作的这种陶器 4 件，求这 4 件陶器获 利 220 元的概率． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 课后突破训练 1．某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社 团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的 概率依次为 1 3 ，m ，n ，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的 概率为 1 30 ，至少通过一个社团考核的概率为 11 15 ，则m n+ =（ ） A． 4 5 B． 7 10 C． 2 3 D． 3 5 2．某大型超市设立了“助农促销”专区，销售各种农产品，积极解决农民农副产品滞销 问题.为加大农产品销量，该超市进行了有奖促销活动，凡购买专区的农产品每满 100 元的顾客均可参加该活动，活动规则如下:将某空地划分为（1）（2）（3）(4)四个区域， 顾客将一皮球投进区域（1）或者（2）一次，或者投进区域（3）两次，或者投进区域 (4)三次，便视为中奖，投球停止，且投球次数不超过四次.已知顾客小王每次都能将皮 球投进这块空地，他投进区域（1）与（2）的概率均为 (0 1)p p  ，投进区域（3）的 概率是投进区域（1）的概率的 2 倍，且每次投皮球相互独立.小王第二次投完皮球首次 中奖的概率记为 1P ，第四次投完皮球首次中奖的概率记为 2P ，若 1P  2P ，则 p 的取值范 围为（ ） A． 3 3 0, 12  −      B． 3 3 0, 12  +      C． 3 3 1 , 12 4  −      D． 3 3 3 3 , 12 12  − +      3．设随机变量 (10, )X B p ，且满足 ( ) 2.4D X = ， ( 4) ( 6)P X P X=  = ，则 p＝（ ） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 4．在一次与“概率”相关的研究性活动中，老师准备了 30 个不透明的纸箱，每个箱子中 装了 6 个形状大小相同的小球（2 个红球，4 个黑球），分甲、乙两组让同学们来摸球. 甲组：在 20 个纸箱中各任意摸出一个小球；乙组：在剩下的 10 个纸箱中各任意摸出两 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 个小球.将甲组至少能摸出一个红球的概率记为 1p ，乙组至少能摸出一个红球的概率记 为 2p ，则（ ） A． 1 2p p B． 1 2p p C． 1 2p p= D．以上三种情况都有可能 5．（多选）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 1 2 3 4 5A a a a a a= （例如 10100），其中 A的各位数中 ( )1,2,3,4,5ka k = 出现 0 的概率为 1 3 ，出现 1 的概率为 2 3 ， 记 1 2 3 4 5X a a a a a= + + + + ，则当程序运行一次时（ ） A．X服从超几何分布 B． ( ) 10 1 243 P X = = C．X的均值 ( ) 10 3 E X = D．X的方差 ( ) 10 9 D X = 6．（多选）一个袋子中装有除颜色外完全相同的 10 个球，其中有 6 个黑球，4 个白球， 现从中任取 4 个球，记随机变量 X 为取出白球的个数，随机变量Y 为取出黑球的个数， 若取出一个白球得 2 分，取出一个黑球得 1 分，随机变量Z 为取出 4 个球的总得分，则 下列结论中正确的是（ ） A． ( ) 1 1 2 P X = = B． 4X Y+ = C． ( ) ( )E X E Y D． ( ) 28 5 E Z = 7．（多选）在等差数列 na 中， 2 8a = − ， 3 4a = − .现从数列 na 的前 10 项中随机抽取 3 个不同的数，记取出的数为正数的个数为 X.则（ ） A．X服从二项分布 B．X服从超几何分布 C． ( ) 1 2 2 P X = = D． ( ) 9 5 E X = 8．把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从 中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数 X 不少于2的概 率为______． 9．一个袋中有形状、大小完全相同的100个小球，其中 (2 92)n n  个红球，其余为白 球.从中一次性任取10个小球，将“恰好含有2个红球”的概率记为 ( )f n ，则当n = __________时， ( )f n 取得最大值． 10．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n 次，每次发射 信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为 X . ①当 6n = 时， ( )2P X  = _______； ②已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y ，若其数学期望 ( )E Y 和方差 ( )D Y 均存 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 在，则对任意正实数a ，有 ( )( ) ( ) 2 1 D Y P Y E Y a a −   − .根据该不等式可以对事件 “ ( )Y E Y a−  ”的概率作出下限估计.为了至少有 98%的把握使发射信号“1”的频率在 0.4 与 0.6 之间，估计信号发射次数n 的最小值为_______. 11．国学小组有编号为 1，2，3，…，n 的 n 位同学，现在有两个选择题，每人答对第 一题的概率为 2 3 、答对第二题的概率为 1 2 ，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛 规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第 1 号同学开始第 1 轮出赛，先答第 一题；②若第 ( )1,2,3, , 1i i n= − 号同学未答对第一题，则第 i 轮比赛失败，由第 1i 号 同学继继续比赛；③若第 ( )1,2,3, , 1i i n= − 号同学答对第一题，则再答第二题，若该 生答对第二题，则比赛在第 i轮结枣；若该生未答对第二题，则第 i 轮比赛失败，由第 1i 号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第n 轮，则不 管第 n 号同学答题情况，比赛结束． (1)令随机变量 nX 表示 n 名同学在第 nX 轮比赛结束，当 3n = 时，求随机变量 3X 的分布 列； (2)若把比赛规则③改为：若第 ( )1,2,3, , 1i i n= − 号同学未答对第二题，则第 i轮比赛失 败，第 1i 号同学重新从第一题开始作答．令随机变量 nY 表示n 名挑战者在第 nY 轮比赛 结束． ①求随机变量 ( )*N , 2nY n n  的分布列； ②证明： ( )nE Y 单调递增，且小于 3． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 12．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､ 消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某 口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员 从某日所生产的口罩中随机抽取了 100 个，将其质量指标值分成以下五组： )100,110 ，  )110,120 ， )120,130 ， )130140, ， 140,150 ，得到如图所示的频率分布直方图. （1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于 130 的为二级口罩，质量指标值不低于 130 的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样 本口罩中随机抽取 8 个口罩，再从抽取的 8 个口罩中随机抽取 3 个，记其中一级口罩的 个数为 X ，求 X 的分布列及均值. （2）甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加A 店的一个订单“秒杀”抢购，乙计 划在该型号口罩的某网络购物平台上参加 B 店的一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均 由 ( )*2,n n n N 个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在A ， B 两店订单“秒杀”成功的概 率均为 ( ) 2 1 2n+ ，记甲､乙两人抢购成功的订单总数量､口罩总数量分别为Y ，Z . ①求Y 的分布列及均值； ②求Z 的均值取最大值时，正整数n 的值.