55 离散型随机变量重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 55 离散型随机变量及其分布列 常考结论及公式 结论一：两点分布的期望和方差 若 X 服从两点分布，那么 ( )E X p= ， ( ) (1 )D X p p= − 结论二：与期望和方差有关的重要结论 （1） ( ) ( )E aX b aE X b+ = + ， 2( ) ( )D aX b a D X+ = ； （2）若 1 2,X X 相互独立，则 1 2 1 2( ) ( ) ( )E X X E X E X= ； （3）均值与方差的关系： 2 2( ) ( ) ( )D X E X E X= − . 题型一 离散型随机变量的期望与方差的简单求解 【例 1】已知随机变量 X 满足 ( ) ( )2 1,2,3,6 ( a P X k k a k = = = 为常数），则 X 的方差 ( )D X =（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【跟踪训练 1】随机变量 X的概率分布为 ( ) ( 1, 2,3) ( 1) a P X n n n n = = = + ，其中 a是常数， 则 ( )E X =（ ） A． 38 81 B． 13 9 C． 152 243 D． 52 27 题型二 期望与方差性质的运用 【例 2】随机变量 X 的分布为 2 1 2 1 2 a b −         ，若  3 3 6E X + = ，则  D X = ___________. 【跟踪训练 2】若离散型随机变量 X的分布列如下，若 ( ) 0, ( ) 1E X D X= = ，则 ( 1)P X  =（ ） X -1 0 1 2 P a b c 1 12 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 A． 1 2 B． 2 5 C． 3 4 D． 2 3 题型三 两点分布 【例 3】已知随机变量满足 ( 0) 1P p = = − ， ( 1)P p = = ，其中0 1p  .令随机变量 | ( ) |E  = − ，则（ ） A． ( ) ( )E E  B． ( ) ( )E E  C． ( ) ( )D D  D． ( ) ( )D D  【跟踪训练 3】已知随机变量 i 满足 ( )0i iP p = = ， ( )1 1i iP p = = − ，且 1 0 2 ip  ， 1,2i = ．若 ( ) ( )1 2E E  ，则（ ）． A． 1 2p p ，且 ( ) ( )1 2D D  B． 1 2p p ，且 ( ) ( )1 2D D  C． 1 2p p ，且 ( ) ( )1 2D D  D． 1 2p p ，且 ( ) ( )1 2D D  题型四 随机变量均值与方差大小比较问题 【例 4】甲盒子装有 3 个红球，1 个黄球，乙盒中装有 1 个红球，3 个黄球，同时从甲 乙两盒中取出 ( 1,2,3)i i = 个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为 1 2( ), ( )E i E i ，则以下结论错误的是（ ） A． 1 2(1) (1)E E B． 1 2(2) (2)E E= C． 1 2(1) (1) 4E E+ = D． 1 2(3) (1)E E 【跟踪训练 4】信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量 X所有可能的取值为 1， 2，…，n，且 1 ( ) 0( 1,2, , ), 1 n i i i P X i p i n p = = =  = = ，定义 X的信息熵 2 1 ( ) ( log ) n i i i H X p p = = − ． 命题 1：若 1 ( 1,2, , )ip i n n = = ，则 ( )H X 随着 n的增大而增大； 命题 2：若 2n m= ，随机变量 Y所有可能的取值为 1，2，…，m，且 2 1( ) ( 1,2, , )j m jP Y j p p j m+ −= = + = ，则 ( ) ( )H X H Y ． 则以下结论正确的是（ ） A．命题 1 正确，命题 2 错误 B．命题 1 错误，命题 2 正确 C．两个命题都错误 D．两个命题都正确 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型五 随机变量中的最值与范围问题 【例 5】体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3 次，一次发球成 功，则停止发球，否则一直发到 3 次为止．设学生一次发球成功的概率为 (0,1)p ，发 球次数为 X，若 X的数学期望 ( ) 1.75E X  ，则 P的取值范围是（ ） A． 7 0, 12       B． 7 ,1 12       C． 1 0, 2       D． 1 ,1 2       【跟踪训练 5】随机变量 ξ的分布列如下：  0 4x 22 1 x− P 1 4 k 1 2 则当 ( )E  取最大值时， ( )D  =（ ） A． 2 3 B． 5 9 C．1 D． 4 3 题型六 随机变量的综合问题 【例 6】核酸检测也就是病毒 DNA和 RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法， 在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测 血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率 降低检测成本，设计了如下试验，预备 12 份试验用血液标本，其中 2 份阳性，10 份阴 性，从标本中随机取出 n份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分， 混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性， 需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.若每次检测费用为 a元， 记检测的总费用为 X元. (1)当 n=3 时，求 X的分布列和数学期望. (2)比较 n=3 与 n=4 两种方案哪一个更好，说明理由. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【跟踪训练 6】某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验 试剂品 分为两类不同剂型 1 和 2 ．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂 1 和 2 合格的概率分别为 3 4 和 3 5 ，第二次检测时两类试剂 1 和 2 合格的概率分别为 4 5 和 2 3 ．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品 才算合格． (1)设经过两次检测后两类试剂 1 和 2 合格的种类数为 X ，求 X 的分布列和数学期望； (2)若地区排查期间，一户 4 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医 护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品 进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结 束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为 (0 1)p p  且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为 ( )f p ， 若当 0p p= 时， ( )f p 最大，求 0p 的值． 课后突破训练 1．同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别 为 1X ， 2X ，记  1 2min ,X X X= ，则 ( )2 4P X  =（ ） A． 5 12 B． 7 12 C． 1 3 D． 1 2 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 2．已知数列{ }na 满足 1 0a = ，且对任意 n∈N*， 1na + 等概率地取 1na + 或 1na − ，设 na 的值为随机变量 n ，则（ ） A．P（ξ3＝2）＝ 1 2 B．E（ξ3）＝1 C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2） D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0） 3．现有 4 个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数 为 1 或 2 的人去打篮球，掷出点数大于 2 的人去打乒乓球.用 X ，Y 分别表示这 4 个人 中去打篮球和乒乓球的人数，记 X Y = − ，求随机变量的数学期望E 为（ ） A． 128 81 B． 135 81 C． 140 81 D． 148 81 4．有一个盒子里有 1 个红球，现将n （ *nN ）个黑球放入盒子后，再从盒子里随机 取一球，记取到的红球个数为个，则随着n（ *nN ）的增加，下列说法正确的是（ ） A． ( )E  减小， ( )D  增加 B． ( )E  增加， ( )D  减小 C． ( )E  增加， ( )D  增加 D． ( )E  减小， ( )D  减小 5．设0 a b  ，随机变量 X 的分布是 1 2 4 a b a b     +  ，则 ( )E X 的取值范围是（ ） A． 3 1, 2       B． 11 ,3 4      C． 11 1, 4       D． 5 3 , 2 2      6．某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质，现从不同地区采集了 100 个 样本，勘探队中的成员甲提议用如下方式进行检测，先将 100 个样本分为 10 组，每组 再选取部分样本进行混合，对混合样本进行检测，如果不含该矿物质，则检测下一组， 若含有该矿物质，则逐个检测；成员乙提议将 100 个样本分为 5 组或 20 组等等．假设 每个样本含有该矿物质的概率 0.01p = ．且每个样本是否含有该矿物质相互独立．则下 列选项中检测次数的期望值最小的是（ ）（参考数据： 5 10 200.99 0.951,0.99 0.904,0.99 0.818  = ） A．5 个一组 B．10 个一组 C．20 个一组 D．逐个检验 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 7．（多选）乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项 目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参 赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分 出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为 ( )0 1p p  ，实际比赛局数的期望值记为 ( )f p ，下列说法正确的是（ ） A．三局就结束比赛的概率为 ( ) 33 1p p+ − B． ( )f p 的常数项为 3 C． 1 4 3 5 f f             D． 1 33 2 8 f   =    8．（多选）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1） 逐份检测：（2）混合检测：将其中 k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴 性，则这 k份核酸全为阴性，因而这 k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳 性，为了明确这 k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这 k份核酸再逐份检测，此 时，这 k份核酸的检测次数总共为 1k + 次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的 检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为 ( )0 1p p  ， 若 10k = ，运用概率统计的知识判断下列哪些 p值能使得混合检测方式优于逐份检测方 式．（参考数据： lg0.794 0.1 − ）（ ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 9．已知等差数列 na 的公差为d ，随机变量 X 满足 ( ) ( )0 1 , 1,2,3,4i iP X i a a i= =   = ， 则d 的取值范围为__________. 10．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为 R的函数： 1( )f x x= ， 2 2 ( )f x x= ， 3 3 ( )f x x= ， 4( ) sinf x x= ， 5 ( ) cosf x x= ， 6( ) 2 | | 1f x x= + ．现从盒子中逐一 抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停 止抽取，否则继续进行，设抽取次数为 X，则 3X  的概率为___________． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 11．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出 售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量n（单位： 枝， Nn ）的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求 X 的分布列、数学 期望； ②若花店计划一天购进16枝或17 枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17 枝？请说明理由. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 12．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为 ( )0 1p p  ， 现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验， 且最多试验10次.记 X 为试验结束时所进行的试验次数． (1)写出 X 的分布列； (2)证明： ( ) 1 E X p  ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 55 离散型随机变量及其分布列 常考结论及公式 结论一：两点分布的期望和方差 若 X 服从两点分布，那么 ( )E X p= ， ( ) (1 )D X p p= − 结论二：与期望和方差有关的重要结论 （1） ( ) ( )E aX b aE X b+ = + ， 2( ) ( )D aX b a D X+ = ； （2）若 1 2,X X 相互独立，则 1 2 1 2( ) ( ) ( )E X X E X E X= ； （3）均值与方差的关系： 2 2( ) ( ) ( )D X E X E X= − . 题型一 离散型随机变量的期望与方差的简单求解 【例 1】已知随机变量 X 满足 ( ) ( )2 1,2,3,6 ( a P X k k a k = = = 为常数），则 X 的方差 ( )D X = （ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据所给概率公式利用概率之和为 1 求出 a，再求出期望即可计算方差得解. 【详解】 ( ) ( )2 1,2,3,6 a P X k k k = = = ， 1 2 3 6 a a a a + + + = ，解得 1 2 a = ， 所以 1 ( 2 ) 2 P X k k = = ， 所以 1 1 1 1 ( ) 2 4 6 12 4 2 4 6 12 E X =  +  +  +  = ， 2 2 2 21 1 1 1( ) (2 4) (4 4) (6 4) (12 4) 8 2 4 6 12 D X = −  + −  + −  + −  = ， 故选：D 【跟踪训练 1】随机变量 X的概率分布为 ( ) ( 1, 2,3) ( 1) a P X n n n n = = = + ，其中 a是常数， 则 ( )E X =（ ） A． 38 81 B． 13 9 C． 152 243 D． 52 27 【答案】B 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 【分析】由分布列的性质求出a ，再由均值的公式即可求出答案. 【详解】 ( ) ( 1) 1 a a a P X n n n n n = = = − + + ，∵ ( 1) ( 2) ( 3) 1P X P X P X= + = + = = ， ∴ 1 2 2 3 3 4 a a a a a a − + − + − = ，解得 4 3 a = ， 则 2 2 1 ( 1) , ( 2) , ( 3) 2 3 6 9 12 9 a a a P X P X P X= = = = = = = = = ， ∴ ( ) 6 2 1 13 1 2 3 9 9 9 9 E X =  +  +  = ． 故选：B 题型二 期望与方差性质的运用 【例 2】随机变量 X 的分布为 2 1 2 1 2 a b −         ，若  3 3 6E X + = ，则  D X = ___________. 【答案】2 【分析】根据数学期望的性质可求得  E X ，并结合概率和为1构造方程组求得 ,a b，利 用方差计算公式可求得结果. 【详解】    3 3 3 3 6E X E X+ = + = ，   1E X = ， 即 2 1 1a b− + + = ，又 1 1 2 a b+ + = ， 1 6 a = ， 1 3 b = ，   ( ) ( ) ( ) 2 2 21 1 1 2 1 1 1 2 1 2 6 3 2 D X = − −  + −  + −  = . 故答案为：2 . 【跟踪训练 2】若离散型随机变量 X的分布列如下，若 ( ) 0, ( ) 1E X D X= = ，则 ( 1)P X  =（ ） X -1 0 1 2 P a b c 1 12 A． 1 2 B． 2 5 C． 3 4 D． 2 3 【答案】D 【分析】根据分布列所有概率之和为 1，且 ( ) 0, ( ) 1E X D X= = 可得 , ,a b c的值，再根据 和事件概率的加法公式即可得出结果. 【详解】由题意知， 1 1 12 a b c+ + + = ①； 由 ( ) 0E X = ，即 1 ( ) 1 0 1 2 0 12 E X a b c= −  +  +  +  = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 得 1 0 6 a c− + + = ②； 由 ( ) 1D X = ，即 2 2 2 2 1( ) ( 1 0) (0 0) (1 0) (2 0) 1 12 D X a b c= − −  + −  + −  + −  = 整理得   1 1 3 a c+ + = ③ 联立①②③解得 5 1 1 , , 12 4 4 a b c= = = ； 又因为 ( 1) ( 1) ( 0)P X P X P X = = − + = 所以 2 ( 1) 3 P X a b = + = . 故选：D. 题型三 两点分布 【例 3】已知随机变量满足 ( 0) 1P p = = − ， ( 1)P p = = ，其中0 1p  .令随机变量 | ( ) |E  = − ，则（ ） A． ( ) ( )E E  B． ( ) ( )E E  C． ( ) ( )D D  D． ( ) ( )D D  【答案】D 【分析】根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的 均值及方差表示出 ( ) ( ),E D  和 ( )E  ( )D  ,根据0 1p  比较大小即可得解. 【详解】随机变量满足 ( 0) 1P p = = − , ( 1)P p = = ,其中 0 1p  . 则随机变量的分布列为:  0 1 P 1 p− p 所以 ( ) ( ) ( ), 1E p D p p = = − 随机变量 | ( ) |E  = − , 所以当 0 = 时, ( )E p  = − = ,当 1 = 时, ( ) 1E p  = − = − 所以随机变量 | ( ) |E  = − 的分布列如下表所示(当 0.5p = 时,只有一个情况,概率为 1):  p 1 p− P 1 p− p 则 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1E p p p p p p = − + − = − 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 1D p p p p p p p p = − −  − + − − −        ( )( ) 2 1 2 1p p p= − − 当 ( ) ( )E E = 即 ( )2 1p p p= − ,解得 1 2 p = .所以 A、B 错误. ( ) ( )D D − ( ) ( )( ) 2 1 1 2 1p p p p p= − − − − ( ) 224 1 0p p= −  恒成立. 所以 C 错误,D 正确 故选:D 【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题. 【跟踪训练 3】已知随机变量 i 满足 ( )0i iP p = = ， ( )1 1i iP p = = − ，且 1 0 2 ip  ， 1,2i = ．若 ( ) ( )1 2E E  ，则（ ）． A． 1 2p p ，且 ( ) ( )1 2D D  B． 1 2p p ，且 ( ) ( )1 2D D  C． 1 2p p ，且 ( ) ( )1 2D D  D． 1 2p p ，且 ( ) ( )1 2D D  【答案】B 【分析】根据已知写出对应的两点分布的分布列,根据公式求出期望,由 ( ) ( )1 2E E  可得 1 2p p ,根据方差公式构造二次函数,借助函数的单调性即可得出结果. 【详解】由题知变量 1 ， 2 的分布列均为两点分布．变量 1 ， 2 的分布列如下： 1 0 1 2 0 1 P 1p 11 p− P 2p 21 p− 则 ( )1 11E p = − ， ( )2 21E p = − ， ( ) ( )1 1 11D p p = − ， ( ) ( )2 2 21D p p = − ， 由 ( ) ( )1 2 11E E p   − 2 1 21 p p p −   ，因为 1 0 2 ip  ， 1,2i = ， 函数 (1 )y x x= − 在 1 0, 2       上单调递增，所以 ( ) ( )1 2D D  . 故选:B． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及方差．本题的关键要识别出变 量服从两点分布，运用相应数学期望和方差公式计算，其次运用二次函数的性质来比较 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 大小，属于中档题. 题型四 随机变量均值与方差大小比较问题 【例 4】甲盒子装有 3 个红球，1 个黄球，乙盒中装有 1 个红球，3 个黄球，同时从甲 乙两盒中取出 ( 1,2,3)i i = 个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为 1 2( ), ( )E i E i ，则以下结论错误的是（ ） A． 1 2(1) (1)E E B． 1 2(2) (2)E E= C． 1 2(1) (1) 4E E+ = D． 1 2(3) (1)E E 【答案】D 【分析】分别就 1,2,3i = 计算概率得出数学期望，得出结论． 【详解】用 X 表示交换后甲盒子中的红球数，Y 表示交换后乙盒子中的红球数， 当 1i = 时， 则 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4      9 1 2 2 4 0     16 ? 16 C C C C P X P Y P X P Y C C C C （ ） （ ） ，（ ） （ ）   = = = = = = = = = =   ， 1 1 3 1 1 1 4 4   3 3 1 2   8 C C P X P Y C C  = = = =  =  （ ） （ ） ， 1 2 9 3 1 5 9 1 3 3 1 2 3 4 1 2 0 1 16 8 16 2 16 16 8 2 E E（） ， （） =  +  +  = =  +  +  = ． 故 A 正确，C 正确， 当 2i = 时， 2 2 1 1 2 3 3 3 1 3 2 2 2 2 4 4 4 4        1 1 1 3 2 2 2     4 ?  2 C C C C C P X P Y P X P Y C C C C   = = = = = = = = =  =  （ ） （ ） ，（ ） （ ） ， 1 1 1 1 3 1 3 1 2 2 4 4       1 3 1   4 C C C C P X P Y C C   = = = =  =（ ） （ ） ． 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 3 2 1 2 4 2 4 4 2 4 E E =  +  +  = =  +  +  =（ ） ， （ ） ． 故 B 正确． 当 3i = 时， 3 3 3 2 1 3 3 3 3 1 3 3 3 3 4 4 4 4        1 3 0 4 1 3 2     16 ?    8 C C C C C P X P Y P X P Y C C C C   = = = = = = = = =   =  （ ） （ ） ，（ ） （ ） ， 9 2 2 16 P X P Y（ ） （ ）= = = = ， 1 1 3 9 3 3 0 1 2 16 8 16 2 E =  +  +  =（） ． 故 D 错误． 故选 D． 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，组合数公式应用，属于中档题． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 【跟踪训练 4】信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量 X所有可能的取值为 1， 2，…，n，且 1 ( ) 0( 1,2, , ), 1 n i i i P X i p i n p = = =  = = ，定义 X的信息熵 2 1 ( ) ( log ) n i i i H X p p = = − ． 命题 1：若 1 ( 1,2, , )ip i n n = = ，则 ( )H X 随着 n的增大而增大； 命题 2：若 2n m= ，随机变量 Y所有可能的取值为 1，2，…，m，且 2 1( ) ( 1,2, , )j m jP Y j p p j m+ −= = + = ，则 ( ) ( )H X H Y ． 则以下结论正确的是（ ） A．命题 1 正确，命题 2 错误 B．命题 1 错误，命题 2 正确 C．两个命题都错误 D．两个命题都正确 【答案】A 【分析】根据信息熵公式，利用对数的运算性质及对数函数的单调性判断命题 1；由已 知公式得到 ( ), ( )H X H Y 关于 ip 的展开式，应用作差法及对数的性质判断 ( ), ( )H X H Y 的大 小判断命题 2. 【详解】若 1 ( 1,2, , )ip i n n = = ，则 2 2 1 1 ( ) log logH X n n n n = −   = ，故 ( )H X 随着 n的增大而 增大，命题 1 正确； ( ) 0( 1,2, , )iP X i p i n= =  = ，则 1 2 1 2 2 2 2 2 2( ) ( log log ... log )m mH X p p p p p p= − + + + ， 而 2n m= ， 2 1( ) ( 1,2, , )j m jP Y j p p j m+ −= = + = ， 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1( ) [( )log ( ) ( )log ( ) ... ( )log ( )]m m m m m m m mH Y p p p p p p p p p p p p− − + += − + + + + + + + + + 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1[ log ( ) log ( ) ... log ( )]m m m mp p p p p p p p p−= − + + + + + + ， 所以 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) log log ... log 0 m m m m m p p p p p p p p p H X H Y p p p− + + + − = + + +  ，故 ( ) ( )H X H Y ，命题 2 错误； 故选：A 题型五 随机变量中的最值与范围问题 【例 5】体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3 次，一次发球成 功，则停止发球，否则一直发到 3 次为止．设学生一次发球成功的概率为 (0,1)p ，发 球次数为 X，若 X的数学期望 ( ) 1.75E X  ，则 P的取值范围是（ ） A． 7 0, 12       B． 7 ,1 12       C． 1 0, 2       D． 1 ,1 2       【答案】C 【分析】计算学生每次发球的概率，求出期望的表达式，求解 ( ) 1.75E X  ，可解出 p 值. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 【详解】根据题意，学生一次发球成功的概率为 p，即 ( 1)p X p= = ，发球次数为 2 即 二次发球成功的概率为 ( 2) (1 )P X p p= = − ，发球次数为 3 的概率为 2( 3) (1 )P X p= = − ， 则期望 2 2( ) 2 (1 ) 3(1 ) 3 3E X p p p p p p= + − + − = − + ，依题意有 ( ) 1.75E X  ， 即 2 3 3 1.75p p− +  ，解得 5 2 p  或 2 p   ，结合 p的实际意义，可得 1 0 2 p  . 故选：C． 【跟踪训练 5】随机变量 ξ的分布列如下：  0 4x 22 1 x− P 1 4 k 1 2 则当 ( )E  取最大值时， ( )D  =（ ） A． 2 3 B． 5 9 C．1 D． 4 3 【答案】C 【分析】先利用分布列性质求得 k的值，得出 ( )E  的表达式，利用三角代换求得最大 值以及此时 x的值，再根据方差的计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意可得 1 1 1 1, 4 2 4 k k+ + = = ， 故 2 212 1 1 1 1 ( ) 0 4 24 4 E x x x x =  +  + −  = − + ， 令 π π sin , [ , ] 2 2 x  =  − ， 则 2 π1 cos sin 2 sin(( ) ) 2 4 E x x   = − + = + = +  ， 当 π 4  = 时，即 2 2 x = 时， ( )E  取得最大值， 则 2 2 21 1 1( ) (0 2) (2 2 2) ( 2 2) 1 4 4 2 D  = −  + −  + −  = ， 故选：C 题型六 随机变量的综合问题 【例 6】核酸检测也就是病毒 DNA和 RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法， 在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测 血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率 降低检测成本，设计了如下试验，预备 12 份试验用血液标本，其中 2 份阳性，10 份阴 性，从标本中随机取出 n份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性， 需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.若每次检测费用为 a元， 记检测的总费用为 X元. (1)当 n=3 时，求 X的分布列和数学期望. (2)比较 n=3 与 n=4 两种方案哪一个更好，说明理由. 【答案】(1)分布列见解析， 104 11 a (2) 3n = 效果好，理由见解析 【分析】(1)2 分阳性在一组，检测 7 次，各一组，检测 10 次，写出 X 的所有可能值， 求出对应的概率即可求解； (2)由(1)的思路求出检测总费用Y 的数学期望并比较大小即可得解. 【详解】（1）当 3n = 时，共分 4 组， 当 2 份阳性在一组，第一轮检测 4 次，第二轮检测 3 次，共检测 7 次， 若 2 分阳性各在一组，第一轮检测 4 次，第二轮检测 6 次，共检测 10 次， 所以检测的总费用 X 的所有可能值为7 ,10a a，任意检测有 3 3 3 3 12 9 6 3C C C C 种等可能结果，2 分阳性在一组有 1 1 3 3 4 10 9 3A C C C 种等可能结果， ( ) 1 1 3 3 3 4 10 9 6 3 3 3 3 3 12 9 6 3 A C C C C 2 7 C C C C 11 P X a= = = ， 9 ( 10 ) 1 ( 7 ) 11 P X a P X a= = − = = ， 所以检测的总费用 X 的分布列为： X 7a 10a P 2 11 9 11 X 的数学期望 2 9 104 ( ) 7 10 11 11 11 a E X a a=  +  = ， （2）当 4n = 时，共分 3 组，当 2 份阳性在一组，共检测 7 次，若 2 分阳性各在一组， 共检测 11 次，检测的总费用Y 的所有可能值为7 ,11a a，任意检测有 4 4 4 12 8 4C C C 种等可能结 果，2 份阳性在一组有 1 2 4 4 3 10 8 4A C C C 种等可能结果， 所以 ( ) 1 2 4 4 3 10 8 4 4 4 4 12 8 4 A C C C 3 7 C C C 11 P Y a= = = ， 8 ( 11 ) 1 ( 7 ) 11 P Y a P Y a= = − = = ， 所以检测的总费用Y 的分布列为： Y 7a 11a 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 P 3 11 8 11 Y 的数学期望 3 8 109 104 ( ) 7 11 11 11 11 11 a a E Y a a=  +  =  , 所以 3n = 时的方案更好一些. 【跟踪训练 6】某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验 试剂品 分为两类不同剂型 1 和 2 ．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂 1 和 2 合格的概率分别为 3 4 和 3 5 ，第二次检测时两类试剂 1 和 2 合格的概率分别为 4 5 和 2 3 ．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品 才算合格． (1)设经过两次检测后两类试剂 1 和 2 合格的种类数为 X ，求 X 的分布列和数学期望； (2)若地区排查期间，一户 4 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医 护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品 进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结 束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为 (0 1)p p  且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为 ( )f p ， 若当 0p p= 时， ( )f p 最大，求 0p 的值． 【答案】(1)分布列见解析，1 (2) 0 2 1 2 p = − ． 【分析】（1）先得到剂型 1 与 2 合格的概率，求出 X的所有可能取值及相应的概率， 得到分布列，求出期望值； （2）求出 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 1 1 2f p p p p p p p p= − + − = − − ，令 1x p= − ，得到 ( ) ( )( )2 21 0 1g x x x x= −   ，利用基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）剂型 1 合格的概率为： 3 4 3 4 5 5  = ； 剂型 2 合格的概率为： 3 2 2 5 3 5  = ． 由题意知 X的所有可能取值为 0，1，2． 则 ( ) 3 2 6 0 1 1 5 5 25 P X     = = −  − =        ， ( ) 3 2 3 2 13 1 1 1 5 5 5 5 25 P X     = = −  +  − =        ， ( ) 3 2 6 2 5 5 25 P X = =  = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 则 X的分布列为 X 0 1 2 P 6 25 13 25 6 25 数学期望 ( ) 6 13 6 0 1 2 1 25 25 25 E X =  +  +  = ． （2）检测 3 人确定“感染高危户”的概率为 ( ) 2 1 p p− ， 检测 4 人确定“感染高危户”的概率为 ( ) 3 1 p p− ， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 1 1 2f p p p p p p p p= − + − = − − ． 令 1x p= − ，因为0 1p  ，所以0 1x  ， 原函数可化为 ( ) ( )( )2 21 0 1g x x x x= −   ． 因为 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 4 4 x x x x  + −   −  = ， 当且仅当 2 21x x= − ，即 2 2 x = 时，等号成立． 此时 2 1 2 p = − ，所以 0 2 1 2 p = − ． 课后突破训练 1．同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别 为 1X ， 2X ，记  1 2min ,X X X= ，则 ( )2 4P X  =（ ） A． 5 12 B． 7 12 C． 1 3 D． 1 2 【答案】B 【分析】分别求出随机变量 2X = 、 3X = 、 4X = 时的概率，再利用互斥事件的加法公 式计算作答. 【详解】依题意，随机变量 X 满足2 4X  的事件是 2X = 、 3X = 、 4X = 的 3 个互 斥事件的和， 而 2 1 2 2 2 C 4C ( 2) 6 P X + = = ， 2 1 2 2 2 C 3C ( 3) 6 P X + = = ， 2 1 2 2 2 C 2C ( 4) 6 P X + = = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 所以 ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C 4C C 3C C 2C 9 7 5 7 6 6 6 36 12 2 4P X + + +  + == + + = + . 故选：B 2．已知数列{ }na 满足 1 0a = ，且对任意 n∈N*， 1na + 等概率地取 1na + 或 1na − ，设 na 的值为随机变量 n ，则（ ） A．P（ξ3＝2）＝ 1 2 B．E（ξ3）＝1 C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2） D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0） 【答案】D 【分析】由题意可知 a2＝1 或 a2＝－1，且 P（a2＝1）＝P(a2＝－1)＝ 1 2 ，进而可求 ξ3 的期望，可判断 AB；再结合条件求 P（ξ5＝0），可判断 CD. 【详解】依题意 a2＝1 或 a2＝－1，且 P（a2＝1）＝P(a2＝－1)＝ 1 2 ， ξ3＝a3的可能取值为 2，0，－2 P（ξ3＝2）＝ 1 2 × 1 2 ＝ 1 4 ， P（ξ3＝0）＝2× 1 1 2 2  ＝ 1 2 ， P（ξ3＝－2）＝ 1 1 2 2  ＝ 1 4 ， E（ξ3）＝2× 1 4 +0× 1 2 +(－2）× 1 4 ＝0，由此排除 A 和 B； ξ4＝a4的可能取值为 3, 1，－1，－3， P（ξ4＝3）＝ 1 2 P（ξ3＝2）＝ 1 8 ， P（ξ4＝1）＝ 3 3( 2) ( 0) 2 P  = + = ＝ 3 8 ， P（ξ4＝－1）＝ 3 3( 0) ( 2) 2 P P = + = − ＝ 3 8 ， P（ξ4＝－3）＝ 1 2 P（ξ3＝－2）＝ 1 8 ， ξ5＝a5的可能取值为 4，2，0，－2，－4 P（ξ5＝0）＝ 4 4( 1) ( 1) 2 P P = + = − ＝ 3 8 ， P（ξ5＝2）＝ 4 4( 3) ( 1) 2 P P = + = ＝ 1 4 ， 所以 P（ξ5＝0）＞P（ξ5＝2），排除 C． 因为 P（ξ5＝0）＝ 3 8 ，P（ξ3＝0）＝ 1 2 ，所以 P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0），故 D 正确. 故选：D． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 3．现有 4 个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数 为 1 或 2 的人去打篮球，掷出点数大于 2 的人去打乒乓球.用 X ，Y 分别表示这 4 个人 中去打篮球和乒乓球的人数，记 X Y = − ，求随机变量的数学期望E 为（ ） A． 128 81 B． 135 81 C． 140 81 D． 148 81 【答案】D 【分析】分别求出每个人去打篮球、打乒乓球的概率，的所有可能取值为 0，2，4， 利用二项分布的概率公式求出的分布列即可求得的期望值. 【详解】依题意，这 4 个人中，每个人去打篮球的概率为 1 3 ，去打乒乓球的概率为 2 3 ， 设“这 4 个人中恰有 i人去打篮球”为事件 ( )0,1,2,3,4iA i = ， 则 4 4 1 2 ( ) 3 3 i i i iP A C −             = ﹐的所有可能取值为 0，2，4. 由于 1A 与 3A 互斥﹐ 0A 与 4A 互斥，故 2 8 ( 0) ( ) 27 P P A = = = ﹐ 1 3 40 ( 2) ( ) ( ) 81 P P A P A = = + = ， 0 4 17 ( 4) ( ) ( ) . 81 P P A P A = = + = 所以的分布列为  2 2 4 P 8 27 40 81 17 81 随机变量 ξ的数学期望 8 40 17 148 0 2 4 27 81 81 81 E =  +  +  = . 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与期望、二项分布的概率求解，属于较难题. 4．有一个盒子里有 1 个红球，现将n （ *nN ）个黑球放入盒子后，再从盒子里随机 取一球，记取到的红球个数为个，则随着n（ *nN ）的增加，下列说法正确的是（ ） A． ( )E  减小， ( )D  增加 B． ( )E  增加， ( )D  减小 C． ( )E  增加， ( )D  增加 D． ( )E  减小， ( )D  减小 【答案】D 【分析】由题易知，取到红球个数服从两点分布 (1, )B p ，根据两点分布的均值和方差 的公式可得所以 ( ) 1 1 E n  = + ， ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 1 n D n n n    = − =  + +  + ，易得 ( )E  随着 n的 增大而减小，对于 ( )D  ，利用导数研究其单调性即可得出结论. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 【详解】取到红球个数服从两点分布 (1, )B p ，其中 1 1 p n = + ， 所以 ( ) 1 1 E n  = + ，显然 ( )E  随着 n的增大而减小. ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 1 n D n n n    = − =  + +  + ， 记 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 11 1 1 1 x x f x xx x x x + = = − = − ++ + + + ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 2 1 1 1 1 x f x x x x − + + = + +  = − + ， 当 1x  时， ( ) 0f x  ，故 ( )f x 在 )1,+ 上单调递减， 则当 *nN 时， ( )D  随着 n的增大而减小. 故选：D. 5．设0 a b  ，随机变量 X 的分布是 1 2 4 a b a b     +  ，则 ( )E X 的取值范围是（ ） A． 3 1, 2       B． 11 ,3 4      C． 11 1, 4       D． 5 3 , 2 2      【答案】B 【分析】根据概率之和为1找到 ,a b之间的关系，用 ,a b表示出 ( )E X ，结合不等关系求 出 ( )E X 的范围. 【详解】根据分布列的性质可知： ( ) 1 0 1 0 1 0 1 a b a b a b a b  + + + =         +  ，结合题干条件0 a b  可解得： 1 1 0 4 2 a b    ，而 ( ) 5 1 2 4 ( ) 5 6 5( ) 2 E X a b a b a b a b b b=  +  +  + = + = + + = + ，于是 ( ) 5 11 ,3 2 4 E X b   = +     . 故选：B 6．某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质，现从不同地区采集了 100 个 样本，勘探队中的成员甲提议用如下方式进行检测，先将 100 个样本分为 10 组，每组 再选取部分样本进行混合，对混合样本进行检测，如果不含该矿物质，则检测下一组， 若含有该矿物质，则逐个检测；成员乙提议将 100 个样本分为 5 组或 20 组等等．假设 每个样本含有该矿物质的概率 0.01p = ．且每个样本是否含有该矿物质相互独立．则下 列选项中检测次数的期望值最小的是（ ）（参考数据： 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 5 10 200.99 0.951,0.99 0.904,0.99 0.818  = ） A．5 个一组 B．10 个一组 C．20 个一组 D．逐个检验 【答案】B 【分析】分别求出每组检测次数的可能值及概率计算出期望，然后可得总检测次数的期 望，最后比较可得． 【详解】若 5 个一组时，每组检测次数为， 1 = 或 5， 5( 1) 0.99 0.951P  = =  ， 5( 6) 1 0.99 0.049P  = = −  ， 的分布列是  1 6 P 0.951 0.049 ( ) 1 0.951 6 0.049 1.245E  =  +  = ， 总检测次数 X 的期望为 20 20 1.245 24.9EX E= =  = ， 若 10 个一组时，每组检测次数为 1 ， 1 1 = 或 11， 10 1( 1) 0.99 0.904P  = =  ， 10 1( 11) 1 0.99 0.096P  = = −  ， 1 的分布列是 1 1 11 P 0.904 0.096 1( ) 1 0.904 11 0.096 1.96E  =  +  = ， 总检测次数 1X 的期望为 1 110 10 1.96 19.6EX E= =  = ， 若 20 个一组时，每组检测次数为 2 ， 2 1 = 或 21， 20 2( 1) 0.99 0.818P  = =  ， 20 2( 21) 1 0.99 0.182P  = = −  ， 2 的分布列是 2 1 21 P 0.818 0.182 2( ) 1 0.818 21 0.182 4.64E  =  +  = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 总检测次数 2X 的期望为 2 25 5 4.64 23.2EX E= =  = ， 若逐个检测，总检测次数为 100， 因此 10 个一组检测次数的期望值最小， 故选：B． 7．（多选）乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项 目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参 赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分 出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为 ( )0 1p p  ，实际比赛局数的期望值记为 ( )f p ，下列说法正确的是（ ） A．三局就结束比赛的概率为 ( ) 33 1p p+ − B． ( )f p 的常数项为 3 C． 1 4 3 5 f f             D． 1 33 2 8 f   =    【答案】ABD 【分析】设实际比赛局数为 x ，先计算出 x 可能取值的概率，即可判断 A 选项；进而求 出期望值 ( )f p ，即可判断 BCD 选项. 【详解】设实际比赛局数为 x ， 则 ( ) ( ) 333 1P x p p= = + − ， ( ) ( ) ( ) 31 3 1 3 34 C 1 C 1P x p p p p= = − + − ， ( ) ( ) 22 2 45 C 1P x p p= = − ， 因此三局就结束比赛的概率为 ( ) 33 1p p+ − ，则 A 正确； 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 23 1 3 1 2 2 4 3 2 3 3 43 1 4 C 1 C 1 5 C 1 6 12 3 3 3f p p p p p p p p p p p p p    = + − + − + − +  − = − + + +     ， 由 ( )0 3f = ，则常数项为 3，则 B 正确； 由 1 33 2 8 f   =    ，则 D 正确； 由 ( ) ( )( )3 2 224 36 6 3 3 2 1 4 4 1f p p p p p p p= − + + = − − − ， 0 1p  ，所以 24 4 1 0p p− −  ， 令 ( ) 0f p  ，则 1 0 2 p  ；令 ( ) 0f p  ，则 1 1 2 p  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 则函数 ( )f p 在 1 0, 2       上单调递增，在 1 ,1 2       上单调递减， 因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 23 1 1 3 2 2 3 3 41 3 1 4 C 1 C 1 5 C 1f p p p p p p p p p f p    − = − + − + − +  −    + =  ， 所以 ( )f p 关于 1 2 p = 对称，且 p 越极端，越可能快结束，有 1 1 4 1 2 3 5 2 − −≤ ，得 1 4 3 5 f f             ，则 C 不正确. 故选：ABD. 8．（多选）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1） 逐份检测：（2）混合检测：将其中 k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴 性，则这 k份核酸全为阴性，因而这 k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳 性，为了明确这 k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这 k份核酸再逐份检测，此 时，这 k份核酸的检测次数总共为 1k + 次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的 检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为 ( )0 1p p  ， 若 10k = ，运用概率统计的知识判断下列哪些 p值能使得混合检测方式优于逐份检测方 式．（参考数据： lg0.794 0.1 − ）（ ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】CD 【分析】计算混合检测分式，样本需要检测的总次数Y 的期望 ( )E Y ，又逐份检测方式， 样本需要检测的总次数 X ，知 ( ) 10E X = ，利用 ( ) ( )E Y E X 求解可得 p 的范围，即可 得出选项. 【详解】设混合检测分式，样本需要检测的总次数Y 可能取值为1,11 10( 1) (1 )P Y p= = − ， 10( 11) 1 (1 )P Y p= = − − 故Y 的分布列为： Y 1 11 P 10(1 )p− 101 (1 )p− − 10 1010( ) 1 (1 ) 11 1 (1 ) 11 10 (1 )Y p p pE  =  − +  − − = −  −  设逐份检测方式，样本需要检测的总次数 X ，则 ( ) 10E X = 要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需 ( ) ( )E Y E X 即 1011 10 (1 10)p−  −  ，即 10(1 ) 1 10 p−  ，即 0.101 1p −−  武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 又 lg0.794 0.1 − ， lg0.794101 0.794p  = − ， 0.79 .1 4 0 206p = − 0 0.206p  故选：CD 9．已知等差数列 na 的公差为d ，随机变量 X 满足 ( ) ( )0 1 , 1,2,3,4i iP X i a a i= =   = ， 则d 的取值范围为__________. 【答案】 1 1 , 6 6   −    【分析】根据随机变量分布列的性质可得 ( ) 4 1 1 i P X i = = = ，即可得出 1a 与公差d 的关系， 再根据0 1, 1,2,3,4ia i  = ，即可求得d 的取值范围. 【详解】由题意可知 ( ) 4 1 2 3 4 1 1 4 6 1 i P X i a a a a a d = = = + + + = + = ，可得 1 1 6 4 d a − = ， 由0 1, 1,2,3,4ia i  = 可得 1 6 0 1 4 1 6 0 1 4 1 6 0 2 1 4 1 6 0 3 1 4 d d d d d d d −    −  +    −  +    −   +   ，解得 1 1 2 6 3 1 2 2 1 3 2 2 1 1 6 2 d d d d  −    −     −     −    ， 综合可得，d 的取值范围为 1 1 6 6 d−   . 故答案为： 1 1 , 6 6   −    10．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为 R的函数： 1( )f x x= ， 2 2 ( )f x x= ， 3 3 ( )f x x= ， 4( ) sinf x x= ， 5 ( ) cosf x x= ， 6( ) 2 | | 1f x x= + ．现从盒子中逐一 抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停 止抽取，否则继续进行，设抽取次数为 X，则 3X  的概率为___________． 【答案】 4 5 /0.8 【分析】由题可知 X的取值范围是 1,2,3,4 ，而 ( ) ( ) ( )3 1 2P X P X P X = = + = ，分别 求出 1,2X = 概率，即可求出答案. 【详解】易判断 ( ) 22f x x= ， ( )5 cosf x x= ， 6( ) 2 | | 1f x x= + 为偶函数，所以写有偶函数 的卡片有 3 张， X 的取值范围是 1,2,3,4 ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 ( ) 1 3 1 6 C 1 1 C 2 P X = = = ， ( ) 1 1 3 3 1 1 6 5 C C 3 2 C C 10 P X = = = ， 所以 ( ) ( ) ( ) 1 3 8 4 3 1 2 2 10 10 5 P X P X P X = = + = = + = = ． 故答案为： 4 5 11．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出 售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量n（单位： 枝， Nn ）的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求 X 的分布列、数学 期望； ②若花店计划一天购进16枝或17 枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17 枝？请说明理由. 【答案】(1) ( ) 10 80, 16 N 80, 16 n n y n n −  =   ； (2)①分布列见解析， ( ) 76E X = ；②都有道理，理由见解析. 【分析】（1）分 16n  、 16n  两种情况讨论，结合题中信息可得出 y 关于n 的函数关系 式； （2）①分析可知随机变量 X 的可能取值有60 、70 、80，计算出随机变量 X 在不同取 值下的概率，可得出随机变量 X 的分布列，进而可求得 ( )E X 、 ( )D X 的值； ②若花店一天购进17 枝玫瑰花，Y 表示当天的利润（单位：元）,计算出随机变量Y 的 数学期望值，比较 ( )E X 与 ( )E Y 的大小关系，可得出结论. 【详解】（1）解：当日需求量 16n  时，利润 80y = ； 当日需求量 16n  时，利润 ( )5 5 16 10 80y n n n= − − = − . 所以 y 关于n 的函数解析式为 ( ) 10 80, 16 N 80, 16 n n y n n −  =   . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 （2）解：① X 可能的取值为60 、70 、80， 当 14n = 时， 60X = ， ( )60 0.1P X = = ， 当 15n = 时， 70X = ， ( )70 0.2P X = = ， 当 16n  时， 80X = ， ( )80 0.7P X = = . X 的分布列为： X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 X 的数学期望为 ( ) 60 0.1 70 0.2 80 0.7 76E X =  +  +  = . X 的方差为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 60 76 0.1 70 76 0.2 80 76 0.7 44D X = −  + −  + −  = . ②花店一天应购进17 枝玫瑰花.理由如下： 若花店一天购进17 枝玫瑰花，Y 表示当天的利润（单位：元）， 当 14n = 时， 5 14 5 3 55Y =  −  = ， ( )55 0.1P Y = = ， 当 15n = 时， 5 15 5 2 65Y =  −  = ， ( )65 0.2P Y = = ， 当 16n = 时， 5 16 5 1 75Y =  −  = ， ( )75 0.16P Y = = ， 当 17n  时， 5 17 85Y =  = ， ( )85 0.54P Y = = . 那么Y 的分布列为 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y 的数学期望为 ( ) 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54 76.4E Y =  +  +  +  = . 由以上的计算结果可以看出， ( ) ( )E X E Y ， 即购进17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润. 故花店一天应购进17 枝玫瑰花. 12．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为 ( )0 1p p  ， 现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验， 且最多试验10次.记 X 为试验结束时所进行的试验次数． (1)写出 X 的分布列； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 (2)证明： ( ) 1 E X p  ． 【答案】(1)分布列见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据独立重复试验概率公式计算即可求得分布列； （2）令 ( ) 9 1 1 1 i i S i p − = = − ，由数学期望公式可得 ( ) ( ) 9 10 1E X pS p= + − ；利用错位相减 法可求得 pS ，代入整理得到 ( ) ( ) 101 1 1E X p p  = − −  ，由此可证得结论. (1) 当1 9X  时， ( ) ( ) 1 1 i P X i p p − = = − ， 1,2, ,9i =  ； 当 10X = 时， ( ) ( ) 9 10 1P X p= = − ； X 的分布列为： X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P p ( )1p p− ( ) 2 1p p− ( ) 3 1p p− ( ) 4 1p p− ( ) 5 1p p− ( ) 6 1p p− ( ) 7 1p p− ( ) 8 1p p− ( ) 9 1 p− (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 9 1 9 1 9 1 1 1 10 1 1 10 1 i i i i E X i p p p p i p p − − = = = − + − = − + −  ； 令 ( ) 9 1 1 1 i i S i p − = = − ，则 ( ) ( ) 9 10 1E X pS p= + − ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 7 8 1 2 1 3 1 8 1 9 1S p p p p= + − + − + + − + − ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 8 9 1 1 2 1 3 1 8 1 9 1p S p p p p p− = − + − + − + + − + − ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 2 8 9 91 1 1 1 1 1 9 1 9 1 p pS p p p p p p − −  = + − + − + + − − − = − − ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 9 9 9 91 1 1 1 9 1 10 1 1 p p E X p p p p p − − − −  = − − + − = + − ( ) 101 1 1 p p  = − −  ； 又 0 1p  ， ( ) 10 0 1 1 1p  − −  ， ( ) 1 E X p   . 【点睛】关键点点睛：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望的求解；本题证明 问题的关键是能够将问题转化为数列求和问题，采用错位相减法求得 pS 后，代入整理 即可得到结论.