第18章 分式 素养检测卷-2025-2026学年新教材八年级数学上册单元大小卷（人教版2024）

第十八章 分式 第十八章 分式 素养检测卷 时间：90 min 满分：120 分 一、选择题（每小题 3 分） 1.对于� 取任何实数都有意义的分式为( ) A. 3 �2+1 B. 3 �2−1 C. 3 (�+1)2 D. 3 (�−1)2 解析：A 选项，∵ �2 + 1 ≥ 1，∴ 分式 3 �2+1 对于� 取任何实数都有意义，符合题意； B 选项，当� =± 1 时，�2 − 1 = 0，分式 3 �2−1 此时无意义，不符合题意；C 选项， 当� =− 1 时，(� + 1)2 = 0，分式 3 (�+1)2 此时无意义，不符合题意；D 选项， 当� = 1 时，(� − 1)2 = 0，分式 3 (�−1)2 此时无意义，不符合题意.故选 A. 2.若4� + 4� = 1 2 ，则� 的值为( ) A.−1 B.−2 C.0 D.1 解析：∵ 4� + 4� = 2 × 4� = 2 × 22� = 22�+1 = 1 2 = 2−1，∴ 2� + 1 =− 1 ， ∴ � =− 1 ，故选 A. 3.把分式2�−3� �+� 中�，� 的值都扩大为原来的 4 倍，则分式的值( ) A.扩大为原来的 4 倍 B.扩大为原来的 8 倍 C.缩小为原来的1 4 D.不变 解析：把分式2�−3� �+� 中�，� 的值都扩大为原来的 4 倍可得 2×4�−3×4� 4�+4� = 4(2�−3�) 4(�+�) = 2�−3� �+� ，故该分式的值不变，故选 D. 4.计算|�−2| �−2 + |2−�| �−2 的结果是( ) A.0 B.2 C.−2 D.2 或−2 解析：原式= |�−2|+|2−�| �−2 .当� > 2 时，原式= �−2+�−2 �−2 = 2； 当� < 2 时，原式= −�+2+2−� �−2 =− 2 .故选 D. 135/144 第十八章 分式 5.若1 � − 1 � = 4，则 �� �−� 的值为( ) A.1 4 B.− 1 4 C.4 D.−4 解析：∵ 1 � − 1 � = 4，∴ � ≠ 0，� ≠ 0，整理得� − � = 4��，∴ � − � =− 4�� ， ∴ �� �−� = �� −4�� =− 1 4 ，故选 B. 6.纳米(nm) 是一种长度单位，常用于度量物质原子的大小，1 nm = 10−9 m.已知某种植物孢 子的直径为 45 000 nm ，用科学记数法表示该孢子的直径为( ) A.4.5 × 10−6m B.4.5 × 10−5 m C.45 × 10−5 m D.0.45 × 10−7m 解析：45 000 nm = 45 000 × 10−9 m = 4.5 × 104 × 10−9m = 4.5 × 10−5m .故选 B. 7.如下是学习分式方程的实际应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程.下列判断正确的 是( ) 甲、乙两个工程队，甲队修路 400 米与乙队修路 600 米所 用的时间相等，乙队每天比甲队多修 20 米，求甲队每天 修路的长度 嘉嘉：600 � − 400 � = 20 ； 洪洪：400 � = 600 �+20 A.嘉嘉设的未知量是甲队每天修路的长度 B.洪洪设的未知量是乙队每天修路的长度 C.甲队每天修路的长度是 40 米 D.乙队每天修路的长度是 40 米 解析：∵ 洪洪是根据时间相等列出的分式方程，∴ � 表示甲队每天修路的长度，故选项 B 错 误，不符合题意；解分式方程400 � = 600 �+20 ，得� = 40.经检验，� = 40 为分式方程的解，∴ 甲 队每天修路的长度是 40 米，故选项 C 正确，符合题意，选项 D 错误，不符合题意；∵ 嘉嘉是 根据乙队每天比甲队多修 20 米列出的分式方程，∴ � 表示甲队修路 400 米所需时间或乙队修 路 600 米所需时间，选项 A 错误，不符合题意. 故选 C. 136/144 第十八章 分式 8.如图，若� = 6�，� > 0，则 1 �−� (� − 2��−� 2 � ) 的值在( ) A.第①段 B.第②段 C.第③段 D.第④段 解析：∵ � = 6�,� > 0 ,∴ 1 �−� (� − 2��−� 2 � ) = 1 �−� ⋅ � 2−2��+�2 � = 1 �−� ⋅ (�−�) 2 � = �−� � = 6�−� 6� = 5� 6� = 5 6 . ∵ 5 6 = 10 12 ，1 4 = 3 12 ，1 2 = 6 12 ，3 4 = 9 12 ， 9 12 < 5 6 < 1，∴ 1 �−� (� − 2��−� 2 � ) 的值在第④段.故选 D. 9.对于两个不相等的实数�，�，我们规定符号 Max{� ，�}表示�，�中的较大的值，如 Max{2， 4} = 4.按照这个规定，方程 Max{ 1 �−2 ， 3 �−2 } = �−3 �−2 − 2 的解为( ) A.0 B.−2 C.0 或−2 D.无解 解析：根据题意，若 3 �−2 > 1 �−2 ，则 3 �−2 = �−3 �−2 − 2 ，去分母得 3 = � − 3 − 2(� − 2)，去括号得 3 = � − 3 − 2� + 4，解得� =− 2 .经检验，� =− 2 是原分式方程的解.此时， 1 �−2 =− 1 4 ， 3 �−2 =− 3 4 ， − 3 4 <− 1 4 ，与 3 �−2 > 1 �−2 不符.若 1 �−2 > 3 �−2 ，则有 1 �−2 = �−3 �−2 − 2，解得� = 0.经检验，� = 0 符合 题意.故选 A. 10.若实数�使关于�的不等式组 2−� 3 ≤ 2+ �, � < � 3 有解且至多有 3 个整数解，使关于�的分式方程 ��−2 �−1 + 3 1−� = 2 有整数解，则满足条件的整数� 有( ) A.1 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 解析： 2−� 3 ≤ 2+ �,① � < � 3 ,② 解不等式①得� ≥− 1. ∵ 不等式组有解且至多有 3 个整数解，∴− 1 ≤ � < � 3 ,∴− 1 < � 3 ≤ 2，∴− 3 < � ≤ 6.分式方程两边都乘� − 1 得�� − 2 − 3 = 2(� − 1)，解得 � = 3 �−2 .∵ � − 1 ≠ 0，∴ � ≠ 1，∴ 3 �−2 ≠ 1 ，∴ � ≠ 5. ∵ 分式方程有整数解，∴ � − 2 =± 1， ±3，解得� = 3 或 1 或 5 或−1. ∵ � ≠ 5，−3 < � ≤ 6，∴ 满足条件的整数�为 3，1，−1 ， 共 3 个，故选 C. 137/144 第十八章 分式 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11.若分式|�|−3 �−3 的值为 0，则� = ____. 解析：∵ 分式|�|−3 �−3 的值为 0，∴ ∣�∣ − 3 = 0,� − 3 ≠ 0, ∴ � =− 3.故答案为−3 . 点拨 分式的值为 0 分式值为 0 的前提是分母不等于 0. 12.当� = 2，� = 1 时，(��3)2 × ( − � �2 )3 ÷ ( − � � )4 = ____. 解析：(��3)2 × ( − � �2 )3 ÷ ( − � � )4 = �2�6 × ( − � 3 �6 ) ÷ � 4 �4 =− �2�6 × � 3 �6 × � 4 �4 =− �5 . 当� = 2，� = 1 时，原式=− 1.故答案为−1 . 13.甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距� km.若一艘游轮在静水中航行的速度为� km/h， 水流速度为� km/h(� < �) ，则该游轮往返两港口所需时间相差______h . 解析：由题意得，该游轮往返两港口所需的时间差为 � �−� − � �+� = 2�� �2−�2 (h) . 故答案为 2�� �2−�2 . 14.若关于�的分式方程 � �−1 + 1 = � 1−� 有增根，则� 的值为____. 解析： � �−1 + 1 = � 1−� ，解得� = 1−� 2 . ∵ 关于�的分式方程 � �−1 + 1 = � 1−� 有增根，∴ 1−� 2 − 1 = 0，∴ � =− 1，故答案为−1 . 15.下面的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的， 则被污染的� 的值是___.先化简，再求值：3−� �−4 + 1,其中� = 解：原式= 3−� �−4 ⋅ (� − 4) + (� − 4)⋯① = 3 − � + � − 4 =− 1 . 解析：3−� �−4 + 1 = 3−� �−4 + �−4 �−4 =− 1 �−4 .由题意得− 1 �−4 =− 1， 解得� = 5 ，故答案为 5. 138/144 第十八章 分式 16.一次数学活动课上，聪聪发现“在周长一定的长方形中，正方形的面积最大”，那么当长方 形周长为 16 时，其面积最大值是____；之后又发现“在面积一定的长方形中，正方形的周长最 小”，进而推导出式子“� 2+9 � (� > 0) ”的最小值，则这个最小值是___. 解析：∵ 在周长一定的长方形中，正方形的面积最大，∴ 当长方形周长为 16 时，其面积最 大值是( 16 4 )2 = 16.当长方形的面积为 9 时，设一边长为� ，则另一边长为9 � . ∵ 在面积一定的 长方形中，正方形的周长最小， ∴ 当长方形面积为 9 时，其周长的最小值为 2(� + 9 � ) = 3 × 4 = 12， ∴ � 2+9 � = � + 9 � ≥ 6，∴ � 2+9 � (� > 0) 的最小值是 6.故答案为 16，6. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分） 17.（8 分）计算： （1）� 2+��+�2 (�−�)2 ⋅ � 2−�� (�+�)2−�� + 2�+2 �−� . 解：原式= � 2+��+�2 (�−�)2 ⋅ �(�−�) �2+2��+�2−�� + 2�+2 �−� = � 2+��+�2 (�−�)2 ⋅ �(�−�) �2+��+�2 + 2�+2 �−� （2 分） = � �−� + 2�+2 �−� = 3�+2 �−� .（4 分） （2）� 2−8�+16 �2+2� ÷ (� − 2 − 12 �+2 ) . 解：原式= (�−4) 2 �(�+2) ÷ [ (�−2)(�+2) �+2 − 12 �+2 ] = (�−4) 2 �(�+2) ÷ � 2−4−12 �+2 （6 分） = (�−4) 2 �(�+2) ⋅ �+2 (�+4)(�−4) = �−4 �(�+4) = �−4 �2+4� .（8 分） 139/144 第十八章 分式 18.（10 分）解方程： （1） 2� 2�−1 + 3 1−2� = 2 ； 解：去分母，得 2� − 3 = 2(2� − 1).去括号，得 2� − 3 = 4� − 2 .移项、合并同类项，得−2� = 1. ∴ � =− 1 2 .（3 分） 经检验，� =− 1 2 是原分式方程的解.（4 分） ∴ 原分式方程的解为� =− 1 2 .（5 分） （2） 7 �2+� + 3 �2−� = 6 �2−1 . 解：去分母，得 7(� − 1) + 3(� + 1) = 6�.去括号，得 7� − 7 + 3� + 3 = 6� .移项、合并同类 项，得 4� = 4.系数化为 1，得� = 1 .（8 分） 经检验，� = 1 是原分式方程的增根.（9 分） 故原分式方程无解.（10 分） 19.（10 分）已知� = �+1 �+2 ，� = �+3 �+4 . （1）若� = 1 − � �+2 ，求� 的值. 解：由� = 1 − � �+2 ，得�+1 �+2 = 1 − � �+2 = �+2−� �+2 ，∴ 2 −� = 1 ，（2 分） 解得� = 1 .（3 分） （2）当�取哪些整数时，分式� 的值为整数? 解：∵ � = �+4−1 �+4 = 1 − 1 �+4 ，�为整数，∴ 当� + 4 =± 1 时，分式� 的值为整数, ∴ � =− 3 或� =− 5 .（7 分） （3）若� > 0，比较�与� 的大小关系. 解：当� > 0 时，� − � = �+1 �+2 − �+3 �+4 =− 2 (�+2)(�+4) < 0，∴ � < � .（10 分） 140/144 第十八章 分式 20.（12 分）如图（1），在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠 成如图（2）所示的一个无盖长方体纸盒. 图（1） 图（21） （1）若图（1）中原长方形纸片的长为 20 cm、宽为 16 cm ，被剪掉的正方形的边长为� cm， 折叠得到的图（2）的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为 24 cm ，求� 的值； 解：由题意得(20 − 2�) + (16 − 2�) + � = 24，解得� = 4 . 答：� 的值为 4.（5 分） （2）现有 60 张同样规格的长方形纸片，可制作成 60 个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰 好全部制作成正方体（每个正方体需要 6 个正方形）.现把 20 名同学分为甲、乙两组，甲组制 作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均 每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学. 解：设甲组有�名同学，则乙组有(20 − �) 名同学. 根据题意得60 � = 60×46 20−� × 1 2 ，（9 分） 解得� = 15 .（10 分） 经检验，� = 15 是原分式方程的解且符合题意. 答：甲组有 15 名同学.（12 分） 141/144 第十八章 分式 21.（12 分）阅读下列材料：消元求值是解决代数式求值时的一种常用方法，在实际解题过程 中应用非常广泛，常见的消元方法有代入消元法、加减消元法、比值消元法等，下面介绍一种 倒数消元法. 例：已知� + 1 � = 1，� + 1 � = 1，求� + 1 � 的值. 解：由� + 1 � = 1 得1 � = 1 − �；由� + 1 � = 1 得� = 1 − 1 � = �−1 � . ∴ � ⋅ 1 � = �−1 � (1 − �) = 1，整理得� = �� + 1，则� + 1 � = ��+1 � = 1 . 根据上述材料内容，解答下列问题： （1）已知� + 1 � =− 1，� + 1 � =− 1，则� + 1 � = _____ ； 解：由题意，得1 � =− 1 − � ，� =− 1 − 1 � ，∴ � ⋅ 1 � = ( − 1 − 1 � )( − 1 − �) = 1 + � + 1 � + � � = 1， ∴ � =− �+1 � ， ∴ � =− �+1 � ，∴ � + 1 � = −�−1 � + 1 � = −� � =− 1.故答案为−1 .（4 分） （2）已知� = 3 − 9 � ，� = 3 − 9 � ，求证：� = 3 − 9 � ； 【证明】∵ � = 3 − 9 � ，∴ 9 � = 3 − �，∴ 1 � = 3−� 9 ，∴ � ⋅ 1 � = (3 − 9 � ) ⋅ 3−� 9 = 1， ∴ 3 − 9 � = 9 3−� ，∴ 1 − 3 � = 3 3−� ，∴ 3 � = 1 − 3 3−� ，∴ � = 3 − 9 � .（8 分） （3）已知� + 2 � = � + 2 � = � + 2 � = �（其中�，�，�互不相等），求� 的值. 解：∵ � + 2 � = � + 2 � = � + 2 � = �，∴ 2 � = � − �，� = � − 2 � ，�� + 2 = �� ， ∴ 2 � ⋅ � = 2 = (� − �)(� − 2 � ) ，（10 分） ∴ �2 − 2� � − �� + 2� � = 2，∴ �2� − 2� − ��� + 2� = 2� ， ∴ �2� − (2 + ��)� = 2(� − �). ∵ �� + 2 = ��，∴ �2� − ��2 = 2(� − �) ， ∴ (� − �)�2 = 2(� − �). ∵ � − � ≠ 0，∴ �2 = 2，∴ � =± 2 .（12 分） 142/144 第十八章 分式 22.项目式学习（14 分）根据以下素材，完成相应任务. 问题解决 任务 1 请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者队伍的“人数”和“人均植树数”分别提 出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程： 解：提出问题 1：分别求出七、八年级志愿者队伍的人数.（1 分） 解决问题：设七年级的志愿者队伍有�人，则八年级的志愿者队伍有(1 − 20%)� 人. 根据题意，得 720 (1−20%)� − 720 � = 2，解得� = 90 .（3 分） 经检验，� = 90 是所列方程的解，且符合题意， ∴ (1 − 20%)� = (1 − 20%) × 90 = 72 . 答：七年级的志愿者有 90 人，八年级的志愿者有 72 人.（5 分） 提出问题 2：分别求出七、八年级志愿者人均植树数.（6 分） 解决问题：设七年级志愿者人均植树�棵，则八年级志愿者人均植树(� + 2) 棵. 怎样计算七、八年级两支志愿者队伍的人数和人均植树数 调 查 活 动 素材 1 为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者队伍分别参加了当地的 植树活动 素材 2 小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息： ①七年级、八年级两支志愿者队伍各种植 720 棵树苗； ②八年级比七年级人均植树多 2 棵； ③八年级的志愿者人数比七年级的志愿者人数少 20% 交流质疑 小明同学把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法， 认为小明同学没有收集到七年级、八年级两支志愿者队伍的“人数”“人均植 树数”等重要信息，没法进行系统研究 143/144 第十八章 分式 根据题意，得720 � × (1 − 20%) = 720 �+2 ，解得� = 8 .（8 分） 经检验，� = 8 是所列方程的解，且符合题意，∴ � + 2 = 8 + 2 = 10 . 答：七年级志愿者人均植树 8 棵，八年级志愿者人均植树 10 棵.（10 分） 问题拓展 任务 2 小明同学还想知道参与此次活动的八年级（1）班志愿者的人数和植树数.已知如果每人 植树 9 棵，那么还剩下 12 棵树苗；如果每人植树 12 棵，那么缺少 24 棵树苗，求八年级（1） 班志愿者的人数和需种植的树苗数 解：：设八年级（1）班志愿者有�人.根据题意得 9� + 12 = 12� − 24 ， 解得� = 12 .（12 分） ∴ 9� + 12 = 9 × 12 + 12 = 120 . 答：八年级（1）班志愿者有 12 人，需种植 120 棵树苗.（14 分） 144/144 第十八章 分式 第十八章 分式 素养检测卷 时间：90 min 满分：120 分 一、选择题（每小题 3 分） 1.对于𝑥 取任何实数都有意义的分式为( ) A. 3 𝑥2+1 B. 3 𝑥2−1 C. 3 (𝑥+1)2 D. 3 (𝑥−1)2 2.若4𝑛 + 4𝑛 = 1 2 ，则𝑛 的值为( ) A.−1 B.−2 C.0 D.1 3.把分式 2𝑥−3𝑦 𝑥+𝑦 中𝑥，𝑦 的值都扩大为原来的 4 倍，则分式的值( ) A.扩大为原来的 4 倍 B.扩大为原来的 8 倍 C.缩小为原来的1 4 D.不变 4.计算 |𝑥−2| 𝑥−2 + |2−𝑥| 𝑥−2 的结果是( ) A.0 B.2 C.−2 D.2 或−2 5.若 1 𝑎 − 1 𝑏 = 4，则 𝑎𝑏 𝑎−𝑏 的值为( ) A.1 4 B.− 1 4 C.4 D.−4 6.纳米(nm) 是一种长度单位，常用于度量物质原子的大小，1 nm = 10−9 m.已知某种植物孢 子的直径为45 000 nm ，用科学记数法表示该孢子的直径为( ) A.4.5 × 10−6 m B.4.5 × 10−5 m C.45 × 10−5 m D.0.45 × 10−7 m 7.如下是学习分式方程的实际应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程.下列判断正确的 是( ) 甲、乙两个工程队，甲队修路 400 米与乙队修路 600 米所 用的时间相等，乙队每天比甲队多修 20 米，求甲队每天 修路的长度 嘉嘉： 600 𝑦 − 400 𝑦 = 20 ； 洪洪： 400 𝑥 = 600 𝑥+20 83/89 第十八章 分式 A.嘉嘉设的未知量是甲队每天修路的长度 B.洪洪设的未知量是乙队每天修路的长度 C.甲队每天修路的长度是 40 米 D.乙队每天修路的长度是 40 米 8.如图，若𝑎 = 6𝑏，𝑏 > 0，则 1 𝑎−𝑏 (𝑎 − 2𝑎𝑏−𝑏2 𝑎 ) 的值在( ) A.第①段 B.第②段 C.第③段 D.第④段 9.对于两个不相等的实数𝑎，𝑏，我们规定符号Max{𝑎 ，𝑏}表示𝑎，𝑏中的较大的值，如Max{2， 4} = 4.按照这个规定，方程Max{ 1 𝑥−2 ， 3 𝑥−2 } = 𝑥−3 𝑥−2 − 2 的解为( ) A.0 B.−2 C.0 或−2 D.无解 10.若实数𝑚使关于𝑥的不等式组{ 2−𝑥 3 ≤ 2 + 𝑥, 𝑥 < 𝑚 3 有解且至多有 3 个整数解，使关于𝑥的分式方程 𝑚𝑥−2 𝑥−1 + 3 1−𝑥 = 2 有整数解，则满足条件的整数𝑚 有( ) A.1 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11.若分式 |𝑥|−3 𝑥−3 的值为 0，则𝑥 = ____. 12.当𝑎 = 2，𝑏 = 1时，(𝑎𝑏3)2 × (− 𝑏 𝑎2 )3 ÷ (− 𝑏 𝑎 )4 = ____. 13.甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距𝑠 km.若一艘游轮在静水中航行的速度为𝑎 km /h，水流速度为𝑏 km/h(𝑏 < 𝑎) ，则该游轮往返两港口所需时间相差______h . 14.若关于𝑥的分式方程 𝑥 𝑥−1 + 1 = 𝑚 1−𝑥 有增根，则𝑚 的值为____. 84/89 第十八章 分式 15.下面的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的， 则被污染的𝑥 的值是___.先化简，再求值： 3−𝑥 𝑥−4 + 1,其中𝑥 = 解：原式= 3−𝑥 𝑥−4 ⋅ (𝑥 − 4) + (𝑥 − 4)⋯① = 3 − 𝑥 + 𝑥 − 4 = −1 . 16.一次数学活动课上，聪聪发现“在周长一定的长方形中，正方形的面积最大”，那么当长方形 周长为 16 时，其面积最大值是____；之后又发现“在面积一定的长方形中，正方形的周长最小”， 进而推导出式子“ 𝑥2+9 𝑥 (𝑥 > 0) ”的最小值，则这个最小值是___. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分） 17.（8 分）计算： （1） 𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2 (𝑥−𝑦)2 ⋅ 𝑥2−𝑥𝑦 (𝑥+𝑦)2−𝑥𝑦 + 2𝑥+2 𝑥−𝑦 . （2） 𝑥2−8𝑥+16 𝑥2+2𝑥 ÷ (𝑥 − 2 − 12 𝑥+2 ) . 85/89 第十八章 分式 18.（10 分）解方程： （1） 2𝑥 2𝑥−1 + 3 1−2𝑥 = 2 ； （2） 7 𝑥2+𝑥 + 3 𝑥2−𝑥 = 6 𝑥2−1 . 19.（10 分）已知𝐴 = 𝑎+1 𝑎+2 ，𝐵 = 𝑎+3 𝑎+4 . （1）若𝐴 = 1 − 𝑚 𝑎+2 ，求𝑚 的值. （2）当𝑎取哪些整数时，分式𝐵 的值为整数? （3）若𝑎 > 0，比较𝐴与𝐵 的大小关系. 86/89 第十八章 分式 20.（12 分）如图（1），在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠 成如图（2）所示的一个无盖长方体纸盒. 图（1） 图（21） （1）若图（1）中原长方形纸片的长为20 cm、宽为16 cm ，被剪掉的正方形的边长为𝑎 cm， 折叠得到的图（2）的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为24 cm ，求𝑎 的值； （2）现有 60 张同样规格的长方形纸片，可制作成 60 个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰 好全部制作成正方体（每个正方体需要 6 个正方形）.现把 20 名同学分为甲、乙两组，甲组制 作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均 每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学. 87/89 第十八章 分式 21.（12 分）阅读下列材料：消元求值是解决代数式求值时的一种常用方法，在实际解题过程 中应用非常广泛，常见的消元方法有代入消元法、加减消元法、比值消元法等，下面介绍一种 倒数消元法. 例：已知𝑎 + 1 𝑏 = 1，𝑏 + 1 𝑐 = 1，求𝑐 + 1 𝑎 的值. 解：由𝑎 + 1 𝑏 = 1得 1 𝑏 = 1 − 𝑎；由𝑏 + 1 𝑐 = 1得𝑏 = 1 − 1 𝑐 = 𝑐−1 𝑐 . ∴ 𝑏 ⋅ 1 𝑏 = 𝑐−1 𝑐 (1 − 𝑎) = 1，整理得𝑎 = 𝑎𝑐 + 1，则𝑐 + 1 𝑎 = 𝑎𝑐+1 𝑎 = 1 . 根据上述材料内容，解答下列问题： （1）已知𝑎 + 1 𝑏 = −1，𝑏 + 1 𝑐 = −1，则𝑐 + 1 𝑎 = _____ ； （2）已知𝑥 = 3 − 9 𝑧 ，𝑦 = 3 − 9 𝑥 ，求证：𝑧 = 3 − 9 𝑦 ； （3）已知𝑎 + 2 𝑏 = 𝑏 + 2 𝑐 = 𝑐 + 2 𝑎 = 𝑡（其中𝑎，𝑏，𝑐互不相等），求𝑡 的值. 88/89 第十八章 分式 22.项目式学习（14 分）根据以下素材，完成相应任务. 问题解决 任务 1 请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者队伍的“人数”和“人均植树数”分别提 出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程： 问题拓展 任务 2 小明同学还想知道参与此次活动的八年级（1）班志愿者的人数和植树数.已知如果每人 植树 9 棵，那么还剩下 12 棵树苗；如果每人植树 12 棵，那么缺少 24 棵树苗，求八年级（1） 班志愿者的人数和需种植的树苗数。 怎样计算七、八年级两支志愿者队伍的人数和人均植树数 调 查 活 动 素 材 1 为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者队伍分别参加了当地的植 树活动 素 材 2 小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息： ①七年级、八年级两支志愿者队伍各种植 720 棵树苗； ②八年级比七年级人均植树多 2 棵； ③八年级的志愿者人数比七年级的志愿者人数少 20% 交流质疑 小明同学把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法， 认为小明同学没有收集到七年级、八年级两支志愿者队伍的“人数”“人均植 树数”等重要信息，没法进行系统研究 89/89