第18章 分式 基础诊断卷-2025-2026学年新教材八年级数学上册单元大小卷（人教版2024）

第十八章 分式 第十八章 分式 基础诊断卷 时间：90 min 满分：120 分 一、选择题（每小题 3 分） 1.下列是分式的是( ) A. 3 𝑥−1 B.𝑦 2 + 1 C.𝑥𝑦 D. 𝑦 4 2.计算 𝑏 𝑎 ⋅ 2𝑎 𝑐 的结果是( ) A.2𝑏 𝑐 B.𝑏 𝑐 C. 𝑏 2𝑐 D.2𝑏 𝑎 3.人体内一种细胞的直径约为 1.56 微米，相当于0.000 001 56米，数字0.000 001 56 用科学记 数法表示为( ) A.1.56 × 10−5 B.0.156 × 10−5 C.1.56 × 10−6 D.15.6 × 10−7 4.根据下列表格中的信息，𝑦 代表的分式可能是( ) 𝑥 … −2 −1 0 1 2 … 𝑦 … 0 * * 无意义 * … A.𝑥−1 𝑥+2 B.𝑥+2 𝑥+1 C.𝑥+2 𝑥−1 D.𝑥−2 𝑥−1 5.下列式子从左到右变形一定正确的是( ) A.𝑎 𝑏 = 𝑎2 𝑏2 B.𝑎 𝑏 = 𝑎+1 𝑏+1 C.𝑎2+𝑏2 𝑎+𝑏 = 𝑎 + 𝑏 D. −𝑎 −𝑏 = 𝑎 𝑏 6.解分式方程 1 𝑥 − 1−𝑥 2𝑥 = 1 ，去分母后，结果正确的是( ) A.2 − 1 − 𝑥 = 1 B.2 − 1 + 𝑥 = 2𝑥 C.2 − 1 + 𝑥 = 1 D.2 − 1 − 𝑥 = 2𝑥 7.秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活.如图（1）和图（2），欣欣 通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴， 则由两幅图可得方程( ) 77/89 第十八章 分式 图（1） 图（2） A.24 32 = 9 𝑥−10 B.24 32 = 𝑥−10 9 C.24 32 = 9 𝑥+10 D.24 32 = 𝑥+10 9 8.已知 𝐴 𝑚−1 + 𝐵 𝑚−2 = 3𝑚−4 (𝑚−1)(𝑚−2) ，则常数𝐴，𝐵 的值分别是( ) A.𝐴 = 2，𝐵 = 1 B.𝐴 = 1，𝐵 = 2 C.𝐴 = −1，𝐵 = −2 D.𝐴 = −2，𝐵 = −1 9.已知关于𝑥的分式方程 𝑘𝑥 𝑥−3 − 2 = 3 3−𝑥 无解，则𝑘 的值为( ) A.𝑘 = 2或𝑘 = −1 B.𝑘 = −2 C.𝑘 = 2或𝑘 = 1 D.𝑘 = −1 10.规律探究，已知代数式 𝑥 𝑥+1 ，第一次操作将 𝑥 𝑥+1 作为新的𝑥代入 𝑥 𝑥+1 中,化简后得到新的式子记 为𝐹1 = 𝑥 2𝑥+1 ，第二次操作将 𝑥 2𝑥+1 作为新的𝑥 代入𝐹1中,化简后得到新的式子记为𝐹2 = 𝑥 4𝑥+1 ，第三 次操作将 𝑥 4𝑥+1 作为新的𝑥代入𝐹2 中,化简后得到新的式子记为𝐹3,⋯ ,以此类推，有以下结论： ①𝐹3 = 𝑥 6𝑥+1 ；②若 1 2 < 𝑥 < 1，则87 < 1 𝐹2 + 1 𝐹4 + 1 𝐹6 < 90；③不存在整数𝑥使得 𝐹2 𝐹5 的值为负整数. 其中正确的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11.从代数式 3，𝑎2 − 1，𝑎 + 1 中任选两个，组成一个最简分式：_________________（写出一 个即可） 12.分式 1 2𝑥 ， 𝑥 4𝑦2 的最简公分母是______. 13.如果( 𝑥 𝑎 )2 = 𝑥2 𝑦4 (𝑥 ≠ 0)，那么𝑎与𝑦 之间的关系为____________. 14.学习了“分式的加减法”，小刚同学画出了如下运算流程图：图中①代表的运算步骤为_____ _，②代表的运算步骤为______.（填“通分”或“约分”） 78/89 第十八章 分式 15.定义新运算：对于非零的两个实数𝑎和𝑏 ，规定𝑎※𝑏 = 1 𝑏 − 2 𝑎 ，如3※2 = 1 2 − 2 3 = − 1 6 . 若(𝑥 − 4)※(𝑥 + 1) = 0，则𝑥 的值为____. 16.阅读资料： 使等式𝑥 + 3 𝑥 = 1 + 3成立的𝑥的值为𝑥 = 1或𝑥 = 3 ； 使等式𝑥 + 3 𝑥 = 2 + 3 2 成立的𝑥的值为𝑥 = 2或𝑥 = 3 2 ； 使等式𝑥 + 3 𝑥 = 4 + 3 4 成立的𝑥的值为𝑥 = 4或𝑥 = 3 4 ；…. 按此规律，使等式𝑚 + 7−2𝑚 𝑚−2 = 67 8 成立的𝑚 的值为_______. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分） 17.（8 分）计算： （1） 25−𝑎2 𝑎2−6𝑎+9 ÷ 𝑎−5 2𝑎−6 ⋅ 𝑎−3 𝑎+5 ； （2）(1 − 6 𝑚−1 ) ÷ 𝑚2−14𝑚+49 𝑚2−𝑚 . 79/89 第十八章 分式 18.（10 分）解分式方程： （1） 1 𝑥 = 4 𝑥+3 ； （2） 𝑥 𝑥−1 − 1 = 3 (𝑥−1)(𝑥+2) . 19.（10 分）某超市的一种瓶装饮料每箱售价为 36 元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动， 买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售的这种饮料每箱多少瓶. 20.（12 分）先化简，再求值： 𝑥+9 𝑥2−9 ÷ ( 2𝑥 𝑥−3 − 𝑥 𝑥+3 )，其中𝑥 = 2 . 下面是同学们几种不同解法的部分运算过程： ①原式= 𝑥+9 𝑥2−9 ÷ [ 2𝑥(𝑥+3) (𝑥+3)(𝑥−3) − 𝑥(𝑥−3) (𝑥+3)(𝑥−3) ] . ②原式= 𝑥+9 𝑥2−9 ÷ 2𝑥 𝑥−3 − 𝑥+9 𝑥2−9 ÷ 𝑥 𝑥+3 . ③将被除式与除式位置颠倒，即化简( 2𝑥 𝑥−3 − 𝑥 𝑥+3 ) ÷ 𝑥+9 𝑥2−9 并代入求值后，取结果的倒数. （1）以上解法中正确的是_____________________（填序号即可）； （2）①中运算的依据是_______________________________； （3）请选择一种正确的解法，写出完整的解答过程. 80/89 第十八章 分式 21.（12 分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车，其基本信息如下： 燃油车 油箱容积：40 升 油价：9 元/升 行驶里程：𝑎 千米 每千米行驶费用： 40×9 𝑎 元 新能源车 电池电量：60 千瓦时 电价：0.6 元/千瓦时 行驶里程：𝑎 千米 每千米行驶费用：________ （1）用含𝑎 的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 _________（代数式化为最简结果）. （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多 0.54 元. ①分别求出这两款车的每千米行驶费用. ②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为 5 096 元和 7 256 元.问：每年行驶里程为多少 千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+ 年其他费用）？ 81/89 第十八章 分式 22.（14 分）【阅读材料】若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 则称这个分式为“和谐分式”.如： 𝑥+1 𝑥−1 = 𝑥−1+2 𝑥−1 = 𝑥−1 𝑥−1 + 2 𝑥−1 = 1 + 2 𝑥−1 ， 2𝑥−3 𝑥+1 = 2𝑥+2−5 𝑥+1 = 2𝑥+2 𝑥+1 + −5 𝑥+1 = 2 + −5 𝑥+1 ，则 𝑥+1 𝑥−1 和 2𝑥−3 𝑥+1 都是“和谐分式”. 【初步探究】（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 _______________（填序号）； ① 𝑥+1 𝑥 ；② 2𝑥2+𝑥 2𝑥 ；③ 𝑥+2 𝑥+1 ；④ 𝑦2+1 𝑦2 . 【深入探究】（2）将“和谐分式” 𝑎2−2𝑎+3 𝑎−1 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为 𝑎2−2𝑎+3 𝑎−1 =______+ ____； 【拓展延伸】（3）应用：先化简 3𝑥+6 𝑥+1 − 𝑥−1 𝑥 ÷ 𝑥2−1 𝑥2+2𝑥 ，并求𝑥 取什么整数时，该式的值为整数. 82/89 第十八章 分式 第十八章 分式 基础诊断卷 时间：90 min 满分：120 分 一、选择题（每小题 3 分） 1.下列是分式的是( ) A. 3 �−1 B.� 2 + 1 C.�� D.� 4 解析：由题意得， 3 �−1 是分式，� 2 + 1，��和� 4 都是整式，∴ 选项 A 符合题意，选项 B，C，D 不符合题意，故选 A. 2.计算� � ⋅ 2� � 的结果是( ) A.2� � B.� � C. � 2� D.2� � 解析：� � ⋅ 2� � = �⋅2� �⋅� = 2� � ，故选 A. 3.人体内一种细胞的直径约为 1.56 微米，相当于 0.000 001 56 米，数字 0.000 001 56 用科学 记数法表示为( ) A.1.56 × 10−5 B.0.156 × 10−5 C.1.56 × 10−6 D.15.6 × 10−7 解析：0.000 001 56 = 1.56 × 10−6 ，故选 C. 4.根据下列表格中的信息，� 代表的分式可能是( ) � … −2 −1 0 1 2 … � … 0 * * 无意义 * … A.�−1 �+2 B.�+2 �+1 C.�+2 �−1 D.�−2 �−1 解析：∵ 当� = 1 时，分式无意义，∴ 分式的分母可能是� − 1. ∵ 当� =− 2 时， 分式为 0，∴ 分式的分子可能是� + 2，∴ 分式可能是�+2 �−1 ，故选 C. 5.下列式子从左到右变形一定正确的是( ) A.� � = � 2 �2 B.� � = �+1 �+1 C.�2+�2 �+� = � + � D. −� −� = � � 127/144 第十八章 分式 解析： 选项 分子、分母变化情况 是否符合分式的基本性质 A 分子乘�，分母乘� 不符合 B 分子、分母同时加 1 不符合 C 分母除以�+�，分子不是除以�+� 不符合 D 分子、分母同时乘−1 符合 故选 D. 6.解分式方程1 � − 1−� 2� = 1 ，去分母后，结果正确的是( ) A.2 − 1 − � = 1 B.2 − 1 + � = 2� C.2 − 1 + � = 1 D.2 − 1 − � = 2� 解析：1 � − 1−� 2� = 1，两边同乘 2�，得 2 − (1 − �) = 2�，即 2 − 1 + � = 2� ，故选 B. 7.秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活.如图（1）和图（2），欣欣 通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴， 则由两幅图可得方程( ) 图（1） 图（2） A.24 32 = 9 �−10 B.24 32 = �−10 9 C.24 32 = 9 �+10 D.24 32 = �+10 9 解析：根据题图（1）和题图（2），∵ 直尺 A 的对应长度分别为 24，9，直尺 B 的对应长度 分别为 32，� − 10，∴ 列方程为24 32 = 9 �−10 .故选 A. 8.已知 � �−1 + � �−2 = 3�−4 (�−1)(�−2) ，则常数�，� 的值分别是( ) A.� = 2，� = 1 B.� = 1，� = 2 C.� =− 1，� =− 2 D.� =− 2，� =− 1 解析： � �−1 + � �−2 = �(�−2) (�−1)(�−2) + �(�−1) (�−1)(�−2) = ��−2�+��−� (�−1)(�−2) = (�+�)�−(2�+�) (�−1)(�−2) . 128/144 第十八章 分式 ∵ � �−1 + � �−2 = 3�−4 (�−1)(�−2) ，∴ � + � = 3,① 2� + � = 4,② ②−①得� = 1，把� = 1 代入①得� = 2，∴ 方程组的解为 � = 1,� = 2, 故选 B. 9.已知关于�的分式方程 �� �−3 − 2 = 3 3−� 无解，则� 的值为( ) A.� = 2 或� =− 1 B.� =− 2 C.� = 2 或� = 1 D.� =− 1 解析： �� �−3 − 2 = 3 3−� 去分母并整理得(� − 2)� =− 9.①当� − 2 = 0 时,整式方程无解,即原分式 方程无解,此时� = 2;②当� − 2 ≠ 0 时，解得� = −9 �−2 .∵ 关于� 的分式方程 �� �−3 − 2 = 3 3−� 无解， ∴ � − 3 = 0，解得� = 3，则 −9 �−2 = 3，解得� =− 1 ，经检验,� =− 1 是方程 −9 �−2 = 3 的解.综上, � =− 1 或� = 2 .故选 A. 分式方程无解 将分式方程化为整式方程后，①当整式方程无解时，分式方程无解；②当整式方程有解，但 所有解都是分式方程的增根时，分式方程也无解. 10.规律探究，已知代数式 � �+1 ，第一次操作将 � �+1 作为新的�代入 � �+1 中,化简后得到新的式子记 为�1 = � 2�+1 ，第二次操作将 � 2�+1 作为新的� 代入�1中,化简后得到新的式子记为�2 = � 4�+1 ，第三 次操作将 � 4�+1 作为新的�代入�2 中,化简后得到新的式子记为�3,⋯ ,以此类推，有以下结论： ①�3 = � 6�+1 ；②若1 2 < � < 1，则 87 < 1 �2 + 1 �4 + 1 �6 < 90；③不存在整数�使得�2 �5 的值为负整 数. 其中正确的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析：依题意得�1 = � 2�+1 ，�2 = � 4�+1 ，�3 = � 4�+1 4× �4�+1+1 = � 4�+1 4�+4�+1 4�+1 = � 8�+1 ，故①不正确.由题易得 规律�� = � 2��+1 ，∴ �4 = � 16�+1 ,�6 = � 64�+1 , ∴ 1 �2 + 1 �4 + 1 �6 = 4�+1 � + 16�+1 � + 64�+1 � = 84�+3 � = 84 + 3 � .∵ 1 2 < � < 1，∴ 3 < 3 � < 6 ， ∴ 87 < 1 �2 + 1 �4 + 1 �6 < 90，故②正确.∵ �5 = � 32�+1 , 129/144 第十八章 分式 ∴ �2 �5 = � 4�+1 � 32�+1 = 32�+1 4�+1 = 32�+8−7 4�+1 = 8 − 7 4�+1 .若要使�2 �5 为整数，且� 为整数，则 4� + 1 =− 7 或 4� + 1 = 1，∴ � = 0 或� =− 2. ∵ 当� = 0 时，�5 = 0， �2 �5 无意义；当� =− 2 时，�2 �5 = 9 > 0，∴ 不存在整数�使得�2 �5 的值为负整数，故③正确.综上所述，正确的结论有②③，共 2 个, 故选 C. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11.从代数式 3，�2 − 1，� + 1 中任选两个，组成一个最简分式：_________________（写出一 个即可） 解析：分式可以为 3 �+1 .故答案为 3 �+1 （答案不唯一）. 12.分式 1 2� ， � 4�2 的最简公分母是______. 解析：分式 1 2� ， � 4�2 的最简公分母为 4��2.故答案为 4��2 . 13.如果( � � )2 = � 2 �4 (� ≠ 0)，那么�与� 之间的关系为____________. 解析：∵ ( � � )2 = � 2 �4 ，∴ � 2 �2 = � 2 �4 ，∴ �2 = �4，方程两边同时开方，得� =± �2 ，故答案为� =± �2 . 14.学习了“分式的加减法”，小刚同学画出了如下运算流程图：图中①代表的运算步骤为_____ _，②代表的运算步骤为______.（填“通分”或“约分”） 130/144 第十八章 分式 解析：两个分式是异分母时，应先确定最简公分母，再进行通分；如果同分母的分式进行加减 运算后不是最简分式，应进行约分.故答案为通分,约分. 15.定义新运算：对于非零的两个实数�和� ，规定�※� = 1 � − 2 � ，如 3※2 = 1 2 − 2 3 =− 1 6 . 若(� − 4)※(� + 1) = 0，则� 的值为____. 解析：∵ �※� = 1 � − 2 � ，∴ (� − 4)※(� + 1) = 1 �+1 − 2 �−4 .∵ (� − 4)※(� + 1) = 0， ∴ 1 �+1 − 2 �−4 = 0，解得� =− 6.经检验，� =− 6 是 1 �+1 − 2 �−4 = 0 的解.故答案为−6 . 16.阅读资料： 使等式� + 3 � = 1 + 3 成立的�的值为� = 1 或� = 3 ； 使等式� + 3 � = 2 + 3 2 成立的�的值为� = 2 或� = 3 2 ； 使等式� + 3 � = 4 + 3 4 成立的�的值为� = 4 或� = 3 4 ；…. 按此规律，使等式�+ 7−2� �−2 = 67 8 成立的� 的值为_______. 解析：∵ � + 7−2� �−2 = 67 8 ，∴ �(�−2) �−2 + 7−2� �−2 = 67 8 ，∴ � 2−4�+7 �−2 = 67 8 ，即� 2−4�+4+3 �−2 = 8 + 3 8 ， ∴ (�−2) 2+3 �−2 = 8 + 3 8 ，即�− 2+ 3 �−2 = 8 + 3 8 .根据题意，可得�− 2 = 8 或�− 2 = 3 8 ，解得� = 10 或� = 19 8 .经检验，� = 10 或� = 19 8 是原方程的解，故答案为 10 或19 8 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分） 17.（8 分）计算： （1） 25−� 2 �2−6�+9 ÷ �−5 2�−6 ⋅ �−3 �+5 ； 解：原式= (5−�)(5+�) (�−3)2 ⋅ 2(�−3) �−5 ⋅ �−3 �+5 …………（2 分）=− 2 .…………（4 分） （2）(1 − 6 �−1 ) ÷ � 2−14�+49 �2−� . 解：原式= �−1−6 �−1 ÷ (�−7) 2 �(�−1) …………（6 分） = �−7 �−1 ⋅ �(�−1) (�−7)2 …………（7 分） = � �−7 .…………（8 分） 131/144 第十八章 分式 18.（10 分）解分式方程： （1）1 � = 4 �+3 ； 解：方程两边同乘�(� + 3)，得� + 3 = 4� ，……（2 分）解得� = 1 .…………（4 分） 检验：当� = 1 时，�(� + 3) ≠ 0，故原方程的解为� = 1 .…………（5 分） （2） � �−1 − 1 = 3 (�−1)(�+2) . 解：方程两边同乘(� − 1)(� + 2)，得�(� + 2) − (� − 1)(� + 2) = 3 ，……（7 分） 整理得� + 2 = 3，解得� = 1 .…………（9 分） 检验：当� = 1 时，(� − 1)(� + 2) = 0 ，故原方程无解.…………（10 分） 19.（10 分）某超市的一种瓶装饮料每箱售价为 36 元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动， 买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售的这种饮料每箱多少瓶. 解：设这家超市销售的这种饮料每箱�瓶.根据题意得 36 �+2 = 36 � × 0.9 ，……（5 分） 解得� = 18 .…………（7 分） 经检验，� = 18 是原方程的解，也符合题意. 答：这家超市销售的这种饮料每箱 18 瓶.…………（10 分） 20.（12 分）先化简，再求值： �+9 �2−9 ÷ ( 2� �−3 − � �+3 )，其中� = 2 . 下面是同学们几种不同解法的部分运算过程： ①原式= �+9 �2−9 ÷ [ 2�(�+3) (�+3)(�−3) − �(�−3) (�+3)(�−3) ] . ②原式= �+9 �2−9 ÷ 2� �−3 − �+9 �2−9 ÷ � �+3 . ③将被除式与除式位置颠倒，即化简( 2� �−3 − � �+3 ) ÷ �+9 �2−9 并代入求值后，取结果的倒数. （1）以上解法中正确的是_____________________（填序号即可）； （2）①中运算的依据是_______________________________； 132/144 第十八章 分式 （3）请选择一种正确的解法，写出完整的解答过程. 解：（选择的解法不同，解答过程不同）选择①，原式 = �+9 �2−9 ÷ [ 2�(�+3) (�+3)(�−3) − �(�−3) (�+3)(�−3) ] = �+9 (�+3)(�−3) ÷ 2� 2+6�−�2+3� (�+3)(�−3) = �+9 (�+3)(�−3) ÷ � 2+9� (�+3)(�−3) = �+9 (�+3)(�−3) ⋅ (�+3)(�−3) �(�+9) = 1 � .…………（10 分） 当� = 2 时，原式= 1 2 .………………（12 分） 21.（12 分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车，其基本信息如下： 燃油车 油箱容积：40 升 油价：9 元/升 行驶里程：� 千米 每千米行驶费用：40×9 � 元 新能源车 电池电量：60 千瓦时 电价：0.6 元/千瓦时 行驶里程：� 千米 每千米行驶费用：________ （1）用含� 的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 _________（代数式化为最简结果）. 解：根据题意可得，新能源车的每千米行驶费用为60×0.6 � = 36 � （元）. 故答案为36 � 元.…………（2 分） （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多 0.54 元. ①分别求出这两款车的每千米行驶费用. ②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为 5 096 元和 7 256 元.问：每年行驶里程为多少 千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+ 年其他费用）？ 解：①根据题意可得40×9 � − 36 � = 0.54，解得� = 600 .…………（5 分） 经检验，� = 600 是原方程的解.∴ 40×9 � = 0.6，36 � = 0.06 .…………（8 分） 答：新能源车的每千米行驶费用为 0.06 元，燃油车的每千米行驶费用为 0.6 元.…（9 分） ②设每年行驶里程为� 千米时，买新能源车的年费用更低.根据题意得 133/144 第十八章 分式 0.06� + 7 256 < 0.6� + 5 096 ，（10 分）解得� > 4 000（11 分） 答：每年行驶里程大于 4 000 千米时，买新能源车的年费用更低.（12 分） 22.（14 分）【阅读材料】若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 则称这个分式为“和谐分式”.如：�+1 �−1 = �−1+2 �−1 = �−1 �−1 + 2 �−1 = 1 + 2 �−1 ，2�−3 �+1 = 2�+2−5 �+1 = 2�+2 �+1 + −5 �+1 = 2+ −5 �+1 ，则�+1 �−1 和2�−3 �+1 都是“和谐分式”. 【初步探究】 （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 _______________（填序号）； ① �+1 � ；② 2� 2+� 2� ；③ �+2 �+1 ；④ � 2+1 �2 . 解：① �+1 � = 1 + 1 � ，是和谐分式；② 2� 2+� 2� = � + 1 2 ，不是和谐分式；③ �+2 �+1 = �+1+1 �+1 = 1 + 1 �+1 ，是和谐分式；④ � 2+1 �2 = 1 + 1 �2 ，是和谐分式.故答案为①③④.…………（3 分） 【深入探究】 （2）将“和谐分式”� 2−2�+3 �−1 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为� 2−2�+3 �−1 =____ __+ ____； 解析：� 2−2�+3 �−1 = � 2−2�+1+2 �−1 = (�−1) 2+2 �−1 = � − 1 + 2 �−1 ，故答案为� − 1 ， 2 �−1 . …（5 分） 【拓展延伸】 （3）应用：先化简3�+6 �+1 − �−1 � ÷ � 2−1 �2+2� ，并求� 取什么整数时，该式的值为整数. 解：原式= 3�+6 �+1 − �−1 � ⋅ �(�+2) (�+1)(�−1) = 3�+6 �+1 − �+2 �+1 = 2�+4 �+1 = 2(�+1)+2 �+1 = 2 + 2 �+1 . ……（10 分） ∵ 要使该式的值为整数，且�为整数， ∴ � + 1 =± 1 或� + 1 =± 2，∴ � = 0 或−2 或 1 或−3 .…………（12 分） 又∵ 分式有意义时，� ≠ 0 且� ≠ 1 且� ≠− 1 且� ≠− 2，∴ � =− 3，即当� =− 3 时， 该式的值为整数.…………（14 分） 134/144