第17章 因式分解 综合检测卷-2025-2026学年新教材八年级数学上册单元大小卷（人教版2024）

第十七章 因式分解 第十七章 因式分解 综合检测卷 时间：90 min 满分：120 分 一、选择题（每小题 3 分） 1.多项式 3�2 + 6�� 的公因式是( ) A.3 B.� C.3� D.3� 解析：多项式 3�2 + 6��的公因式是 3� ，故选 C. 2.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A.3� + 3� − 5 = 3(� + �) − 5 B.(� + 1)(� − 1) = �2 − 1 C.�2 + 2� + 1 = (� + 1)2 D.�2 + 6� + 4 = (� + 3)2 − 5 解析：3� + 3� − 5 = 3(� + �) − 5 中等号右边不是乘积的形式，故 A 不符合题意； (� + 1)(� − 1) = �2 − 1 是乘法运算，故 B 不符合题意； �2 + 2� + 1 = (� + 1)2 符合因式分解的定义，故 C 符合题意； �2 + 6� + 4 = (� + 3)2 − 5 中，等号右边不是乘积的形式，故 D 不符合题意.故选 C. 3.运用公式�2 − 2�� + �2 = (� − �)2 直接对整式 9�2 − 12� + 4 进行因式分解，则公式中的� 可以是( ) A.3� B.9� C.3�2 D.9�2 解析：9�2 − 12� + 4 = (3�)2 − 2 × 3� × 2 + 22 = (3� − 2)2， ∴ 公式中的� 可以是 3� .故选 A. 4. 课堂上老师在黑板上布置了如下所示的题目：用平方差公式分解下列各式： (1)a2 − b2;(2) − x2 − y2;(3) − x2 + 9;(4)4m2 − 25n2 . 小南马上发现了其中有一道题目错了，错误的是( ) A.第（1）道题 B.第（2）道题 C.第（3）道题 D.第（4）道题 解析：（1）�2 − �2 = (� + �)(� − �) ，它可以利用平方差公式因式分解； 118/144 第十七章 因式分解 （2）− �2 − �2 =− (�2 + �2) ，它不能利用平方差公式因式分解； （3）− �2 + 9 = 32 − �2 = (3 + �)(3 − �) ，它可以利用平方差公式因式分解； （4）4�2 − 25�2 = (2� + 5�)(2� − 5�) ，它可以利用平方差公式因式分解综上， 第（2）道题错误，故选 B. 5. 如果� + � = 3，�� = 1，那么�3� + 2�2�2 + ��3 的值为( ) A.0 B.1 C.4 D.9 解析：∵ � + � = 3，�� = 1 ， ∴ �3� + 2�2�2 + ��3 = ��(�2 + 2�� + �2) = ��(� + �)2 = 1 × 32 = 9 ，故选 D. 6. 设� = 1 3 �(� + 1)(� + 2)，� = 1 3 �(� − 1)(� + 1) ，那么�−� 等于( ) A.�2 + � B.(� + 1)(� + 2) C.1 3 �2 + 1 3 � D.1 3 (� + 1)(� + 2) 解析：�− � = 1 3 �(� + 1)(� + 2) − 1 3 �(� − 1)(� + 1) = 1 3 �(� + 1)[� + 2 − (� − 1)] = �2 + � .故选 A. 7. 若65 2×11−352×11 � 的结果为整数，则整数� 的值不可能是( ) A.44 B.55 C.66 D.77 解析：原式= 11×(65 2−352) � = 11×(65+35)×(65−35) � = 11×100×30 � = 11×2 3×3×53 � . 当� = 44 时，44 = 22 × 11，是 11 × 23 × 3 × 53 的因子， 可使结果为整数，故选项 A 不符合题意； 当� = 55 时，55 = 11 × 5，是 11 × 23 × 3 × 53 的因子， 可使结果为整数，故选项 B 不符合题意； 当� = 66 时，66 = 2 × 3 × 11，是 11 × 23 × 3 × 53 的因子， 可使结果为整数，故选项 C 不符合题意； 当� = 77 时，77 = 7 × 11 ，不是 11 × 23 × 3 × 53 的因子，不可使结果为整数， 故选项 D 符合题意.故选 D. 119/144 第十七章 因式分解 8. 在日常生活中取款、登录账号等都需要密码，有一种用“因式分解”法生成的密码记忆方便. 原理是如对于多项式�4 − �4 ，因式分解的结果是(� − �)(� + �)(�2 + �2)，若取� = 9，� = 9， 则各个因式的值是� − � = 0 ，� + � = 18，�2 + �2 = 162 ，于是就可以把“018162”作为一个 六位数的密码.对于多项式�3 − ��2，取� = 50，� = 20 ，用上述方法生成的密码不可能是( ) A.503070 B.507030 C.307040 D.703050 解析：∵ �3 − ��2 = �(�2 − �2) = �(� + �)(� − �). ∵ � = 50，� = 20， ∴ 各个因式的值为� = 50，� + � = 70，� − � = 30， ∴ 产生的密码不可能是 307040，故选 C. 9. 将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一 个等式.例如，由图（1）可得等式�2 + (� + �)� + �� = (� + �)(� + �) .将若干张图（2）所示 的卡片进行拼图，可以将二次三项式�2 + 3�� + 2�2 分解因式为( ) A.(� + �)(2� + �) B.(� + �)(� + 2�) C.(� + 2�)(3� + �) D.(� + �)(� + 3�) 解析：如图，∴ �2 + 3�� + 2�2 = (� + �)(� + 2�) ，故选 B. 10. 我们定义：若一个整式能表示成�2 + �2 （�,� 是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”. 例如：因为� = �2 + 2�� + 2�2 = (� + �)2 + �2（�,�是整式），所以� 为“完全式”.若� = �2 + 4�2 − 8� + 12� + �（�,�是整式，�为常数）为“完全式”，则� 的值为( ) A.26 B.25 C.24 D.23 120/144 第十七章 因式分解 解析：� = �2 + 4�2 − 8� + 12� + � = �2 − 8� + 16 + 4�2 + 12� + 9 + � − 25 = (� − 4)2 + (2� + 3)2 + � − 25. ∵ � = �2 + 4�2 − 8� + 12� + �（�，�是整式，� 为常数）为“完全式”， ∴ � − 25 = 0，解得� = 25 ，故选 B. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为� + 10 ，请你写出一个符合条件的多项式：_ _______________________. 解析：∵ �2 − 100 = (� + 10)(� − 10)，∴ 符合条件的一个多项式是�2 − 100 ， 故答案为�2 − 100 （答案不唯一）. 12. 分解因式：22 025 − 22 024 = ______. 解析：22 025 − 22 024 = 22 024 × 2 − 22 024 = 22 024 × (2 − 1) = 22 024 ，故答案为22 024 . 13. 若多项式1 4 �2 − � + �2 能用完全平方公式因式分解，则� 的值是____. 解析：∵ 多项式1 4 �2 − � + �2能用完全平方公式因式分解，∴ � =± 1 . 14. 计算(1 − 1 22 )(1 − 1 32 )…(1 − 1 92 )(1 − 1 102 ) 的值是___． 解析：原式= (1 + 1 2 )(1 − 1 2 )(1 + 1 3 )(1 − 1 3 ) …(1 + 1 9 )(1 − 1 9 ) × (1 + 1 10 )(1 − 1 10 ) = 3 2 × 1 2 × 4 3 × 2 3 ×⋯ × 10 9 × 8 9 × 11 10 × 9 10 = 1 2 × 11 10 = 11 20 ．故答案为11 20 ． 15. 对于二次三项式�2 +�� + �，如果能将常数项�分解成两个因数�，� ，使�，�的和恰好 等于一次项系数�，即�� = � ，� + � = �，就能将�2 +�� + � 分解因式，这种分解因式的 方法取名为“十字相乘法”.为使分解过程直观，常常采用如图所示的方法，将二次项系数的因 数与常数项的因数分列两边，再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解. 根据上述方法，代数式�2 − 2� − 15 因式分解的结果为______________. 121/144 第十七章 因式分解 解析：如图，�2 − 2� − 15 = (� − 5)(� + 3) . 16. 小明从分别标有 1 到 21 的 21 张卡片中抽出两张，结果发现两个数字中较大数 2 倍的平方 减去较小数的平方刚好等于这 21 张卡片上数字之和，那么所抽出两个数字的积是____. 解析：设这两个数分别为�，�(1 ≤ � < � ≤ 21) . 由题意可得(2�)2 − �2 = 1 + 2 + 3 + ⋯+ 21 = 231. ∵ 1 ≤ � < � ≤ 21， ∴ 5 ≤ 2� + � ≤ 62 , 3 ≤ 2� − � ≤ 41, ∴ (2� + �)(2� − �) = 11 × 21 或(2� + �)(2� − �) = 33 × 7 ， 即 2� + � = 21, 2� − � = 11或 2� + � = 33, 2� − � = 7, 解得 � = 8, � = 5或 � = 10, � = 13 （不符合题意，舍去）. 当� = 8，� = 5 时，�� = 40 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分） 17. （8 分）因式分解： （1）−3�2 + 12� ； 解：原式=− 3�(� − 4) .（2 分） （2）2��2 − 8� ； 122/144 第十七章 因式分解 解：原式= 2�(�2 − 4) （3 分） = 2�(� + 2)(� − 2) .（4 分） （3）2(� − �) + 4�(� − �) ； 解：原式= 2(� − �) − 4�(� − �) （5 分） = 2(� − �)(1 − 2�) .（6 分） （4）2�(� − 6) + 18 . 解：原式= 2(�2 − 6� + 9) （7 分） = 2(� − 3)2 .（8 分） 18. （10 分）利用因式分解计算： （1）45.82 − 91.6 × 35.8 + 35.82 ； 解：原式= 45.82 − 2 × 45.8 × 35.8 + 35.82 （3 分） = (45.8 − 35.8)2 = 102 = 100 .（5 分） （2）9 × 1.22 − 16 × 1.42 . 解：原式= 32 × 1.22 − 42 × 1.42 （7 分） = 3.62 − 5.62 = (3.6 + 5.6) × (3.6 − 5.6) （9 分） = 9.2 × ( − 2) =− 18.4 .（10 分） 19. （10 分）如图，长方形����的长为�，宽为� ，已知长比宽多 1，且面积为 12，求下列 各式的值： （1）�2� − ��2 ； 123/144 第十七章 因式分解 解：根据题意得� − � = 1，�� = 12 .（2 分） 原式= ��(� − �) = 12 × 1 = 12 .（5 分） （2）3�3� − 6�2�2 + 3��3 . 解：由（1）知，� − � = 1，�� = 12 ， 则原式= 3��(�2 − 2�� + �2) = 3��(� − �)2 = 3 × 12 × 12 = 36 .（10 分） 20. （12 分）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行相关运算 和解题，这种解题方法叫作配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用. 例如：①用配方法因式分解：�2 + 6� + 8 . 解析：�2 + 6� + 8 = �2 + 6� + 9 − 1 = (� + 3)2 − 1 = (� + 3 + 1)(� + 3 − 1) = (� + 4)(� + 2) . ②求�2 + 6� + 8 的最小值. 解析：�2 + 6� + 8 = �2 + 6� + 9 − 1 = (� + 3)2 − 1 . ∵ (� + 3)2 ≥ 0 ， ∴ (� + 3)2 − 1 ≥− 1 ， 即�2 + 6� + 8 的最小值为−1 . 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：�2 + 4� + _________. 解：�2 + 4� + 4 = (� + 2)2，即添加的常数项为 4，故答案为 4.（2 分） （2）利用上述方法进行因式分解析：�2 − 10� + 21 . 解：�2 − 10� + 21 = �2 − 10� + 25 − 4 = (� − 5)2 − 4 = (� − 5 + 2)(� − 5 − 2) = (� − 3)(� − 7) .（7 分） 124/144 第十七章 因式分解 （3）求 4�2 + 4� + 5 的最小值. 解：4�2 + 4� + 5 = 4�2 + 4� + 1 + 4 = (2� + 1)2 + 4 .（10 分） ∵ (2� + 1)2 ≥ 0，∴ (2� + 1)2 + 4 ≥ 4， 即 4�2 + 4� + 5 的最小值为 4.（12 分） 21.探究性问题（12 分）若一个正整数� 能表示成�2 − �2(�，�是正整数，且� > �)的形式，则 称这个数为“明礼崇德数”，�与�是� 的一个平方差分解．例如：因为 5 = 32 − 22 ，所以 5 是 “明礼崇德数”，3 与 2 是 5 的平方差分解；再如：� = �2 + 2�� = �2 + 2�� + �2 − �2 = (� + �)2 − �2 （�，�是正整数），所以�也是“明礼崇德数”，� + �与�是� 的一个平方差分解． （1）【尝试填空】判断：3___明礼崇德数”（填“是”或“不是”）； 解：∵ 3 = 22 − 12，∴ 3 是“明礼崇德数”，故答案为是.（2 分） （2）【解决问题】已知�2 + �与�2是�的一个平方差分解，求代数式� （用含�，� 的式子表示）； 解：根据题意得 � = (�2 + �)2 − (�2)2 = (�2 + � + �2)(�2 + � − �2) = 2�2� + �2 .（7 分） （3）【拓展应用】已知� = �2 − �2 + 4� − 6� + �(�，�是正整数，� 是常数，且� > � + 1)， 要使�是“明礼崇德数”，试求出符合条件的� 值，并说明理由. 解：� =− 5 .理由如下： ∵ � = �2 − �2 + 4� − 6� + � = (�2 + 4� + 4) − (�2 + 6� + 9) + � + 5 = (� + 2)2 − (� + 3)2 + � + 5 ， ∴ 当� + 5 = 0 时，� = (� + 2)2 − (� + 3)2为“明礼崇德数”， 此时� =− 5 ，故当� =− 5 时， � 为“明礼崇德数”.（12 分） 125/144 第十七章 因式分解 22.探究性问题（14 分）第一步：阅读材料，拓展知识.要把多项式�� + �� + �� + �� 分解因 式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式�，再把它的后两项分成一组，提出公因式�， 从而可得�� + �� + �� + �� = (�� + ��) + (�� + ��) = �(� + �) + �(� + �) = (� + �)(� + �) ，这种方法称为分组法. 第二步：理解知识，尝试填空. （1）�� − �� + �� − �2 = (�� − ��) + (�� − �2) = �(� − �) + �(� − �) = _________________ ____. 解：�� − �� + �� − �2 = �� − �� + �� − �2 = � � − � + � � − � = �(� − �) − �(� − �) = (� − �)(� − �)， 故答案为(� − �)(� − �).（4 分） 第三步：应用知识，解决问题. （2）因式分解：�2 + 5� − �� − 5� = ___________________________. 【解】�2 + 5� − �� − 5� = �2 −�� + 5� − 5� = � �− � + 5 � −� = �(� − �) − 5(� − �) = (� − �)(� − 5) 故答案为(� − �)(� − 5).（8 分） 第四步：提炼思想，拓展应用. （3）已知三角形的三边长分别是�，�，� ，且满足�2 + 2�2 + �2 = 2�(� + �) ，试判断这个 三角形的形状，并说明理由. 解：这个三角形为等边三角形.理由如下：∵ �2 + 2�2 + �2 = 2�(� + �) ， ∴ �2 + 2�2 + �2 − 2�� − 2�� = 0，∴ �2 − 2�� + �2 + �2 − 2�� + �2 = 0 ， ∴ (� − �)2 + (� − �)2 = 0 .（12 分） ∵ (� − �)2 ≥ 0，(� − �)2 ≥ 0，∴ � − � = 0，� − � = 0，∴ � = � = �， ∴ 这个三角形是等边三角形.（14 分） 126/144 第十七章 因式分解 第十七章 因式分解 综合检测卷 时间：90 min 满分：120 分 一、选择题（每小题 3 分） 1.多项式3𝑚2 + 6𝑚𝑛 的公因式是( ) A.3 B.𝑚 C.3𝑚 D.3𝑛 2.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A.3𝑥 + 3𝑦 − 5 = 3(𝑥 + 𝑦) − 5 B.(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 𝑥2 − 1 C.𝑥2 + 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)2 D.𝑥2 + 6𝑥 + 4 = (𝑥 + 3)2 − 5 3.运用公式𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2 直接对整式9𝑥2 − 12𝑥 + 4进行因式分解，则公式中的𝑎 可以是( ) A.3𝑥 B.9𝑥 C.3𝑥2 D.9𝑥2 4. 课堂上老师在黑板上布置了如下所示的题目：用平方差公式分解下列各式： (1)a2 − b2;(2) − x2 − y2;(3) − x2 + 9;(4)4m2 − 25n2 . 小南马上发现了其中有一道题目错了，错误的是( ) A.第（1）道题 B.第（2）道题 C.第（3）道题 D.第（4）道题 5. 如果𝑎 + 𝑏 = 3，𝑎𝑏 = 1，那么𝑎3𝑏 + 2𝑎2𝑏2 + 𝑎𝑏3 的值为( ) A.0 B.1 C.4 D.9 6. 设𝑀 = 1 3 𝑎(𝑎 + 1)(𝑎 + 2)，𝑁 = 1 3 𝑎(𝑎 − 1)(𝑎 + 1) ，那么𝑀 −𝑁 等于( ) A.𝑎2 + 𝑎 B.(𝑎 + 1)(𝑎 + 2) C.1 3 𝑎2 + 1 3 𝑎 D. 1 3 (𝑎 + 1)(𝑎 + 2) 7. 若 652×11−352×11 𝑛 的结果为整数，则整数𝑛 的值不可能是( ) A.44 B.55 C.66 D.77 70/89 第十七章 因式分解 8. 在日常生活中取款、登录账号等都需要密码，有一种用“因式分解”法生成的密码记忆方便. 原理是如对于多项式𝑥4 − 𝑦4 ，因式分解的结果是(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦)(𝑥2 + 𝑦2)，若取𝑥 = 9，𝑦 = 9， 则各个因式的值是𝑥 − 𝑦 = 0 ，𝑥 + 𝑦 = 18，𝑥2 + 𝑦2 = 162 ，于是就可以把“018162”作为一个 六位数的密码.对于多项式𝑥3 − 𝑥𝑦2，取𝑥 = 50，𝑦 = 20 ，用上述方法生成的密码不可能是( ) A.503070 B.507030 C.307040 D.703050 9. 将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一 个等式.例如，由图（1）可得等式𝑥2 + (𝑝 + 𝑞)𝑥 + 𝑝𝑞 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞) .将若干张图（2）所示 的卡片进行拼图，可以将二次三项式𝑎2 + 3𝑎𝑏 + 2𝑏2 分解因式为( ) A.(𝑎 + 𝑏)(2𝑎 + 𝑏) B.(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 2𝑏) C.(𝑎 + 2𝑏)(3𝑎 + 𝑏) D.(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 3𝑏) 10. 我们定义：若一个整式能表示成𝑎2 + 𝑏2 （𝑎,𝑏 是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”. 例如：因为𝑀 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)2 + 𝑦2（𝑥,𝑦是整式），所以𝑀 为“完全式”.若𝑆 = 𝑥2 + 4 𝑦2 − 8𝑥 + 12𝑦 + 𝑘（𝑥,𝑦是整式，𝑘为常数）为“完全式”，则𝑘 的值为( ) A.26 B.25 C.24 D.23 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为𝑥 + 10 ，请你写出一个符合条件的多项式：_ _______________________. 12. 分解因式：22 025 − 22 024 = ______. 13. 若多项式 1 4 𝑥2 − 𝑥 + 𝑘2 能用完全平方公式因式分解，则𝑘 的值是____. 14. 计算(1 − 1 22 )(1 − 1 32 )…(1 − 1 92 )(1 − 1 102 ) 的值是___． 71/89 第十七章 因式分解 15. 对于二次三项式𝑥2 +𝑚𝑥 + 𝑛，如果能将常数项𝑛分解成两个因数𝑎，𝑏 ，使𝑎，𝑏的和恰好 等于一次项系数𝑚，即𝑎𝑏 = 𝑛 ，𝑎 + 𝑏 = 𝑚，就能将𝑥2 +𝑚𝑥 + 𝑛 分解因式，这种分解因式的 方法取名为“十字相乘法”.为使分解过程直观，常常采用如图所示的方法，将二次项系数的因 数与常数项的因数分列两边，再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解. 根据上述方法，代数式𝑥2 − 2𝑥 − 15 因式分解的结果为______________. 16. 小明从分别标有 1 到 21 的 21 张卡片中抽出两张，结果发现两个数字中较大数 2 倍的平方 减去较小数的平方刚好等于这 21 张卡片上数字之和，那么所抽出两个数字的积是____. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分） 17. （8 分）因式分解： （1）−3𝑥2 + 12𝑥 ； （2）2𝑎𝑚2 − 8𝑎 ； （3）2(𝑥 − 𝑦) + 4𝑏(𝑦 − 𝑥) ； （4）2𝑥(𝑥 − 6) + 18 . 72/89 第十七章 因式分解 18. （10 分）利用因式分解计算： （1）45.82 − 91.6 × 35.8 + 35.82 ； （2）9 × 1.22 − 16 × 1.42 . 19. （10 分）如图，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷的长为𝑎，宽为𝑏 ，已知长比宽多 1，且面积为 12，求下列 各式的值： （1）𝑎2𝑏 − 𝑎𝑏2 ； （2）3𝑎3𝑏 − 6𝑎2𝑏2 + 3𝑎𝑏3 . 73/89 第十七章 因式分解 20. （12 分）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行相关运算 和解题，这种解题方法叫作配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用. 例如：①用配方法因式分解：𝑎2 + 6𝑎 + 8 . 解析：𝑎2 + 6𝑎 + 8 = 𝑎2 + 6𝑎 + 9 − 1 = (𝑎 + 3)2 − 1 = (𝑎 + 3 + 1)(𝑎 + 3 − 1) = (𝑎 + 4)(𝑎 + 2) . ②求𝑎2 + 6𝑎 + 8 的最小值. 解析：𝑎2 + 6𝑎 + 8 = 𝑎2 + 6𝑎 + 9 − 1 = (𝑎 + 3)2 − 1 . ∵ (𝑎 + 3)2 ≥ 0 ， ∴ (𝑎 + 3)2 − 1 ≥ −1 ， 即𝑎2 + 6𝑎 + 8的最小值为−1 . 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：𝑎2 + 4𝑎 + _________. （2）利用上述方法进行因式分解析：𝑎2 − 10𝑎 + 21 . （3）求4𝑥2 + 4𝑥 + 5 的最小值. 74/89 第十七章 因式分解 21.探究性问题（12 分）若一个正整数𝑥 能表示成𝑎2 − 𝑏2(𝑎，𝑏是正整数，且𝑎 > 𝑏)的形式， 则称这个数为“明礼崇德数”，𝑎与𝑏是𝑥 的一个平方差分解．例如：因为5 = 32 − 22 ，所以 5 是“明礼崇德数”，3 与 2 是 5 的平方差分解；再如：𝑀 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 − 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦 )2 − 𝑦2 （𝑥，𝑦是正整数），所以𝑀也是“明礼崇德数”，𝑥 + 𝑦与𝑦是𝑀 的一个平方差分解． （1）【尝试填空】判断：3___明礼崇德数”（填“是”或“不是”）； （2）【解决问题】已知𝑥2 + 𝑦与𝑥2是𝑃的一个平方差分解，求代数式𝑃 （用含𝑥，𝑦 的式子表 示）； （3）【拓展应用】已知𝑁 = 𝑥2 − 𝑦2 + 4𝑥 − 6𝑦 + 𝑘(𝑥，𝑦是正整数，𝑘 是常数，且𝑥 > 𝑦 + 1)， 要使𝑁是“明礼崇德数”，试求出符合条件的𝑘 值，并说明理由. 75/89 第十七章 因式分解 22.探究性问题（14 分）第一步：阅读材料，拓展知识.要把多项式𝑎𝑚 + 𝑎𝑛 + 𝑏𝑚 + 𝑏𝑛 分解因 式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式𝑎，再把它的后两项分成一组，提出公因式 𝑏，从而可得𝑎𝑚 + 𝑎𝑛 + 𝑏𝑚 + 𝑏𝑛 = (𝑎𝑚 + 𝑎𝑛) + (𝑏𝑚 + 𝑏𝑛) = 𝑎(𝑚 + 𝑛) + 𝑏(𝑚 + 𝑛) = (𝑚 + 𝑛 )(𝑎 + 𝑏) ，这种方法称为分组法. 第二步：理解知识，尝试填空. （1）𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 − 𝑏2 = (𝑎𝑏 − 𝑎𝑐) + (𝑏𝑐 − 𝑏2) = 𝑎(𝑏 − 𝑐) + 𝑏(𝑐 − 𝑏) = ________________ _____. 第三步：应用知识，解决问题. （2）因式分解：𝑚2 + 5𝑛 −𝑚𝑛 − 5𝑚 = ___________________________. 第四步：提炼思想，拓展应用. （3）已知三角形的三边长分别是𝑎，𝑏，𝑐 ，且满足𝑎2 + 2𝑏2 + 𝑐2 = 2𝑏(𝑎 + 𝑐) ，试判断这个 三角形的形状，并说明理由. 76/89