内容正文:
第十五章 轴对称
第十五章 轴对称 素养检测卷
时间:90 min 满分:120 分
一、选择题(每小题 3 分)
1.下列图形中,对称轴最多的是( )
A.等边三角形 B.角 C.等腰三角形 D.线段
2.下列图形中,点𝐴,𝐵关于直线𝑙 对称的是( )
A. B. C. D.
3.如图,在等腰△𝐴𝐵𝐶中,𝐴𝐵 = 𝐴𝐶,𝐶𝐷是𝐴𝐵 边上的高,若∠𝐴 = 42∘ ,
则∠𝐷𝐶𝐵 的度数为( )
A.48∘ B.42∘ C.31∘ D.21∘
4.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是( )
A.在同一个三角形中,等边对等角
B.两个角互余的三角形是等腰三角形
C.如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形
D.如果一个三角形有两条边相等,那么这个三角形是等腰三角形
46/89
第十五章 轴对称
5.如图,在△𝐴𝐵𝐶中,以点𝐴 为圆心,𝐴𝐶的长为半径作圆弧交𝐵𝐶于点𝐷,再分别以点𝐵和点𝐷
为圆心,大于
1
2
𝐵𝐷的长为半径作圆弧,两弧分别交于点𝑀 和点𝑁,连接𝑀𝑁交𝐴𝐵于点𝐸,连接𝐴𝐷,
𝐸𝐷.若𝐴𝐵 = 9,𝐴𝐶 = 7 ,则△𝐴𝐷𝐸 的周长为( )
A.22 B.20 C.18 D.16
6.如图,在平面直角坐标系中,𝐴(−1, 𝑏) ,𝐵(1, 𝑏),𝐶(2, 𝑏),𝐷(3.5, 𝑏) 分别是四盏灯笼的顶
点,平移一盏灯笼,使得四盏灯笼关于一条垂直于𝑥 轴的直线成轴对称,则平移的方法可以是
( )
A.将𝐴向右平移 0.5 个单位 B.将𝐵 向左平移 3 个单位
C.将𝐶向左平移 3.5 个单位 D.将𝐷 向左平移 4.5 个单位
7.如图所示为钢架的示意图,∠𝐴 = 25∘ ,焊上等长的钢条𝑃1𝑃2,𝑃2𝑃3,⋯ 来加固钢架.若𝑃1𝐴
= 𝑃1𝑃2 ,则这样的钢条至多需要( )
A.2 根 B.3 根 C.4 根 D.5 根
47/89
第十五章 轴对称
8.如图,已知𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 ,则∠1与∠2 的关系是( )
A.∠1 + 3∠2 = 180∘ B.2∠1 + ∠2 = 180∘
C.3∠1 − ∠2 = 180∘ D.∠1 = 2∠2
9.如图,△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹 都是等边三角形,点𝐷,𝐸,𝐹分别在边𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐴𝐶上.若△𝐴𝐵𝐶 的
周长为 15,𝐴𝐹 = 2,则𝐵𝐸 的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图,直线𝑀𝑁 ⊥ 𝑃𝑄,垂足为𝑂,点𝐴是射线𝑂𝑃 上一点,𝑂𝐴 = 2,以𝑂𝐴为边在𝑂𝑃右侧作∠𝐴𝑂𝐹
= 17∘ ,且满足𝑂𝐹 = 4.若点𝐵 是射线𝑂𝑁上的一个动点(不与点𝑂重合),连接𝐴𝐵.作△𝐴𝑂𝐵
的两个外角平分线交于点𝐶,在点𝐵的运动过程中,当线段𝐶𝐹取最小值时,∠𝑂𝐹𝐶 的度数为(
)
A.62∘ B.67∘ C.68∘ D.90∘
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
11.已知△𝐴𝐵𝐶中,𝐴𝐵 = 𝐴𝐶,∠𝐵 = 65∘ ,则∠𝐴 = ____.
48/89
第十五章 轴对称
12.如图,一艘轮船由海平面上𝐶 地出发向南偏西25∘ 方向行驶 50 海里到达𝐵地,再由𝐵地向
北偏西35∘ 方向行驶 50 海里到达𝐴地,则𝐴,𝐶 两地相距____海里.
13.如图,在△𝐴𝐵𝐶 中,𝐴𝐵 = 𝑎,𝐴𝐶 = 𝑏,∠𝐵𝐴𝐶 = 150∘ ,则𝑆△𝐴𝐵𝐶 = _____.
14.如图,在△𝐴𝐵𝐶中,∠𝐴 = 32∘ ,∠𝐵 = 36∘ ,点𝐷 是边𝐴𝐵上一点,点𝐵关于直线𝐶𝐷的对称
点为𝐵′,当𝐵′𝐷//𝐴𝐶时,∠𝐵𝐶𝐷 的度数为____.
15.如图,在△𝐴𝐵𝐶 中,𝐴𝐵 = 𝐴𝐶,∠𝐵𝐴𝐶 = 36∘ ,过点𝐴作𝐴𝐷//𝐵𝐶 ,连接𝐵𝐷,作线段𝐴𝐷的
垂直平分线𝐸𝐹交𝐴𝐷于点𝐸,交𝐵𝐷 于点𝐹,连接𝐴𝐹,若𝐴𝐹 = 𝐴𝐵,则∠𝐷 =____∘ .
49/89
第十五章 轴对称
16.如图,△𝐴𝐵𝐶 中,∠𝐵𝐴𝐶 = 90∘ ,点𝐷在边𝐴𝐶上,连接𝐵𝐷,∠𝐵𝐷𝐶 = 2∠𝐵𝐶𝐴 ,点𝐸在线段
𝐵𝐷上,𝐷𝐸 = 𝐷𝐶.若𝐵𝐸 = 4,则𝐴𝐷 = ___.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 66 分)
17.(8 分)如图,在3 × 3的网格中,△𝐴𝐵𝐶 的三个顶点均在格点上,这样的三角形叫作“格点
三角形”.在下面四个图中分别画出一个“格点三角形”与原△𝐴𝐵𝐶 关于某条直线成轴对称.(将画
出的三角形涂上阴影,画出的“格点三角形”不要重复)
图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
18.(10 分)如图,△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形,𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 ,∠𝐵𝐴𝐶 = 72∘ ,点𝐷是𝐵𝐶 的中点.
(1)求∠𝐶 的度数;
(2)求∠𝐶𝐴𝐷 的度数;
(3)点𝐸在边𝐴𝐶上,若𝐸𝐴 = 𝐸𝐷,试说明:𝐸𝐷//𝐴𝐵 .
50/89
第十五章 轴对称
19.(10 分)某综合实践小组设计了一个简易发射器,其示意图如图(1)所示.发射杆𝐴𝑃始终
平分同一平面内两条固定轴所成的∠𝐵𝐴𝐶 ,且∠𝐵𝐴𝐶 = 120∘ ,𝐴𝐸 = 𝐴𝐹 = 20 cm,发射中心𝐷
能沿着发射杆滑动,𝐷𝐸,𝐷𝐹 为橡皮筋.
图(1) 图(2)
(1)证明:𝐷𝐸 = 𝐷𝐹 ;
(2)在△𝐴𝐸𝐷由图(2)中的等边△𝐴𝐸𝐷1变成Rt △ 𝐴𝐸𝐷2的过程中,发射中心𝐷 向下滑动的距
离𝐷1𝐷2 是多少?
51/89
第十五章 轴对称
20.(12 分)如图,在△𝐴𝐵𝐶 中,𝐴𝐵 = 𝐴𝐶,点𝐷在△𝐴𝐵𝐶内,𝐵𝐷 = 𝐵𝐶,∠𝐷𝐵𝐶 = 60∘ ,点𝐸在
△𝐴𝐵𝐶外,∠𝐵𝐶𝐸 = 150∘ ,∠𝐴𝐵𝐸 = 60∘ .
(1)求∠𝐴𝐷𝐵 的度数;
(2)判断△𝐴𝐵𝐸 的形状并加以证明.
52/89
第十五章 轴对称
21.(12 分)如图,在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中,𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐸是𝐴𝐵 的中点,连接𝐷𝐸并延长交𝐶𝐵的延长
线于点𝐹,点𝐺在边𝐵𝐶上,且∠𝐺𝐷𝐹 = ∠𝐴𝐷𝐹 .
(1)求证:△𝐷𝐺𝐹 是等腰三角形;
(2)连接𝐸𝐺,若𝐸𝐺 = 2,∠𝐷𝐺𝐶 = 60∘ ,求𝐷𝐺 的长.
53/89
第十五章 轴对称
22.(14 分)如图(1),已知𝐴,𝐵 为直线𝑀𝑁同侧的两点,连接𝐴𝑃,𝐵𝑃,若∠𝐴𝑃𝑀 = ∠𝐵𝑃𝑁,则
称点𝑃为点𝐴,𝐵 关于直线𝑀𝑁 的“等角点”.
图(1) 图(2)
【理解运用】(1)如图(2),在△𝐴𝐵𝐶中,𝐷为𝐵𝐶上一点,点𝐷,𝐸关于直线𝐴𝐵 对称,连接𝐸𝐵并
延长至点𝐹,判断点𝐵是否为点𝐷,𝐹关于直线𝐴𝐵 的“等角点”,并说明理由;
【拓展提升】(2)如图(3),在△𝐴𝐵𝐶中,∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐵𝐴𝐶的平分线交于点𝑂,点𝑂 到𝐴𝐶的
距离为 2,直线𝑙垂直平分边𝐵𝐶,点𝑃为点𝑂,𝐵关于直线𝑙 的“等角点”,连接𝑂𝑃,𝐵𝑃,当∠𝐴𝐶𝐵
= 60∘ 时,求𝑂𝑃 + 𝐵𝑃 的值.
图(3)
54/89
第十五章 轴对称
第十五章 轴对称 素养检测卷
时间:90 min 满分:120 分
一、选择题(每小题 3 分)
1.下列图形中,对称轴最多的是( )
A.等边三角形 B.角 C.等腰三角形 D.线段
解析:等边三角形有三条对称轴,角和等腰三角形各有一条对称轴,线段有两
条对称轴.故选 A.
2.下列图形中,点�,�关于直线� 对称的是( )
A. B. C. D.
解析:∵ 点�,�关于直线�对称,∴ 直线�垂直平分线段�� ,故选项 C 符合题意,故选 C.
3.如图,在等腰△���中,�� = ��,��是�� 边上的高,若∠� = 42∘ ,
则∠��� 的度数为( )
A.48∘ B.42∘ C.31∘ D.21∘
解析:∵ �� = ��,∠� = 42∘ ,∴ ∠� = ∠��� = 1
2
× (180∘ − 42∘) = 69∘ .又
∵ �� ⊥ ��,∴ ∠��� = 90∘ ,∴ ∠��� = 90∘ − 69∘ = 21∘ .故选 D.
81/144
第十五章 轴对称
4.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是( )
A.在同一个三角形中,等边对等角
B.两个角互余的三角形是等腰三角形
C.如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形
D.如果一个三角形有两条边相等,那么这个三角形是等腰三角形
解析:原命题的逆命题是如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形,
故选 C.
5.如图,在△���中,以点� 为圆心,��的长为半径作圆弧交��于点�,再分别以点�和点�
为圆心,大于1
2
��的长为半径作圆弧,两弧分别交于点� 和点�,连接��交��于点�,连接��,
��.若�� = 9,�� = 7 ,则△��� 的周长为( )
A.22 B.20 C.18 D.16
解析:由作图可知�� = ��,��垂直平分��,∴ �� = ��,∴ △��� 的周长为�� + �� + �� =
�� + �� + �� = �� + ��. ∵ �� = 9,�� = 7,∴ △��� 的周长为 9 + 7 = 16 ,故选 D.
6.如图,在平面直角坐标系中,�( − 1, �) ,�(1, �),�(2, �),�(3.5, �) 分别是四盏灯笼的顶
点,平移一盏灯笼,使得四盏灯笼关于一条垂直于� 轴的直线成轴对称,则平移的方法可以是
( )
A.将�向右平移 0.5 个单位 B.将� 向左平移 3 个单位
C.将�向左平移 3.5 个单位 D.将� 向左平移 4.5 个单位
82/144
第十五章 轴对称
解析:将�( − 1, �)向右平移 0.5 个单位,∴ 此时�( − 0.5, �). ∵ �(1, �),�(2, �) ,�(3.5, �),
∴ −0.5+3.5
2
= 1.5,1+2
2
= 1.5,∴ 此时这四盏灯笼有一条对称轴为直线� = 1.5,∴ A 选项符合题意.
将�(1, �)向左平移 3 个单位,∴ 此时�( − 2, �). ∵ �( − 1, �),�(2, �),�(3.5, �),∴ −2+3.5
2
= 0.75,
−1+2
2
= 0.5,∴ 此时这四盏灯笼没有对称轴,∴ B 选项不符合题意.将�(2, �)向左平移 3.5 个单
位,∴ 此时�( − 1.5, �). ∵ �( − 1, �),�(1, �),�(3.5, �),∴ −1.5+3.5
2
= 1,−1+1
2
= 0,∴ 此时
这四盏灯笼没有对称轴,∴ C 选项不符合题意.将�(3.5, �)向左平移 4.5 个单位,∴ 此时�( −
1, �). ∵ �( − 1, �),�(1, �),�(2, �),∴ −1+2
2
= 0.5 ≠ 1,∴ 此时这四盏灯笼没有对称轴,∴ D
选项不符合题意.故选 A.
7.如图所示为钢架的示意图,∠� = 25∘ ,焊上等长的钢条�1�2,�2�3,⋯ 来加固钢架.若�1� =
�1�2 ,则这样的钢条至多需要( )
A.2 根 B.3 根 C.4 根 D.5 根
解析:∵ �1� = �1�2,∴ ∠� = ∠�1�2� = 25∘,∴ ∠�2�1�3 = ∠� + ∠�1�2� = 50∘ .若�2�3 可
以焊接,∵ �1�2 = �2�3,∴ ∠�1�3�2 = ∠�2�1�3 = 50∘ ,∴ ∠�1�2�3 = 80∘ .若�3�4 可以焊接,
则∠�3�2�4 = 75∘. ∵ �2�3 = �3�4,∴ ∠�3�4�2 = 75∘ .若�4�5 可以焊接,则∠�5�3�4 = 100∘. ∵
�4�5 = �3�4 ,∴ ∠�4�5�3 = 100∘ ,∴ 此时不能继续焊接.综上所述,这样的钢条至多需要 3 根.
故选 B.
83/144
第十五章 轴对称
8.如图,已知�� = �� = �� ,则∠1 与∠2 的关系是( )
A.∠1 + 3∠2 = 180∘ B.2∠1 + ∠2 = 180∘
C.3∠1 − ∠2 = 180∘ D.∠1 = 2∠2
解析:∵ �� = �� = ��,∴ ∠� = ∠� = 180∘ − 2∠1 ,
∴ ∠1 − ∠2 = ∠� = 180∘ − 2∠1,∴ 3∠1 − ∠2 = 180∘ .故选 C.
9.如图,△���和△��� 都是等边三角形,点�,�,�分别在边��,��,��上.若△��� 的周
长为 15,�� = 2,则�� 的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:
利用等边三角形
的性质得出边角
关系
∵ △���是等边三角形,∴ ∠� = ∠� = 60∘ ,∴ ∠��� + ∠��� = 120∘.
∵ △��� 是等边三角形,∴ ∠��� = 60∘ ,�� = ��,
∴ ∠��� + ∠��� = 120∘ ,∴ ∠��� = ∠���
证明全等
在△���和△���中,
∠� = ∠�,
∠��� = ∠���,
�� = ��,
△���≌△���(AAS) ,
∴ �� = �� = 2,�� = ��
计算线段长
∵ △���的周长为 15 且△���是等边三角形,∴ �� = 5 ,
∴ AD = AB − BD = 5 − 2 = 3,∴ BE = 3
答案:B.
84/144
第十五章 轴对称
10.如图,直线�� ⊥ ��,垂足为�,点�是射线�� 上一点,�� = 2,以��为边在��右侧作
∠��� = 17∘ ,且满足�� = 4.若点� 是射线��上的一个动点(不与点�重合),连接��.作
△��� 的两个外角平分线交于点�,在点�的运动过程中,当线段��取最小值时,∠��� 的度
数为( )
A.62∘ B.67∘ C.68∘ D.90∘
解析:如图,
连接��,过�作�� ⊥ ��于点�,作�� ⊥ �� 于点�,作�� ⊥ ��于点�.
∵ ��平分∠���,��平分∠��� ,∴ �� = ��,�� = ��,∴ �� = ��,
∴ �� 平分∠���. ∵ �� ⊥ ��,∴ ∠��� = 90∘ ,
∴ ∠��� = 45∘. ∵ ∠��� = 17∘ ,
∴ ∠��� = ∠��� − ∠��� = 28∘. ∵ 当�� ⊥ ��时,�� 最小,此时∠��� = 90∘ ,
∴ ∠��� = 90∘ − ∠��� = 62∘ .故选 A.
85/144
第十五章 轴对称
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
11.已知△���中,�� = ��,∠� = 65∘ ,则∠� = ____.
解析:∵ 在△���中,�� = ��,∠� = 65∘ ,∴ ∠� = ∠� = 65∘ ,
∴ ∠� = 180∘ − 65∘ × 2 = 50∘ .故答案为50∘ .
12.如图,一艘轮船由海平面上� 地出发向南偏西25∘ 方向行驶 50 海里到达�地,再由�地向北
偏西35∘ 方向行驶 50 海里到达�地,则�,� 两地相距____海里.
解析:如图,
连接��.由题意得∠��� = 25∘ ,∠��� = 35∘ ,
�� = �� = 50 海里,��//��,∴ ∠��� = ∠��� = 25∘ ,
∴ ∠��� = ∠��� + ∠��� = 60∘ ,∴ △��� 是等边三角形,
∴ �� = �� = 50 海里,∴ �,� 两地相距 50 海里,故答案为 50.
86/144
第十五章 轴对称
13.如图,在△��� 中,�� = �,�� = �,∠��� = 150∘ ,则�△��� = _____.
解析:如图,
作�� ⊥ ��交��的延长线于点� .在直角三角形���中,∠��� = 180∘ −∠��� = 30∘ ,
∴ �� = 1
2
�� = 1
2
� ,则�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
� ⋅ 1
2
� = 1
4
��.故答案为1
4
�� .
14.如图,在△���中,∠� = 32∘ ,∠� = 36∘ ,点� 是边��上一点,点�关于直线��的对称
点为�',当�'�//��时,∠��� 的度数为____.
解析:∵ �'�//��,∴ ∠���' = ∠� = 32∘ ,
∴ ∠���' = 180∘ − ∠���' = 148∘. ∵ 点�关于直线��的对称点为�' ,
∴ ∠���' = ∠��� = 1
2
× (360∘ − ∠���') = 106∘ ,
∴ ∠��� = 180∘ −∠� − ∠��� = 38∘ .故答案为38∘ .
87/144
第十五章 轴对称
15.如图,在△��� 中,�� = ��,∠��� = 36∘ ,过点�作��//�� ,连接��,作线段��的
垂直平分线��交��于点�,交�� 于点�,连接��,若�� = ��,则∠� =____ ∘ .
解析:∵ ∠��� = 36∘ ,�� = �� ,
∴ ∠��� = ∠� =
1
2
× (180∘ − ∠���) =
1
2
× (180∘ − 36∘) = 72∘.
∵ ��//��,∴ ∠� = ∠���. ∵ �� 垂直平分��,∴ �� = ��,∴ ∠��� = ∠�,
∴ ∠��� = ∠� + ∠��� = 2∠�. ∵ �� = �� ,
∴ ∠��� = ∠��� = 2∠� ,
∴ ∠��� = ∠��� + ∠��� = 2∠� + ∠� = 3∠� = 72∘ ,∴ ∠� = 24∘ ,故答案为 24.
16.如图,△��� 中,∠��� = 90∘ ,点�在边��上,连接��,∠��� = 2∠��� ,点�在线段
��上,�� = ��.若�� = 4,则�� = ___.
解析:
88/144
第十五章 轴对称
设∠��� = � ,∠��� = � ,∴ ∠��� = ∠��� + ∠��� = � + �. ∵ ∠��� = 2∠��� ,
∴ ∠��� = 2∠��� = 2� + 2�. ∵ �� = �� ,
∴ ∠��� = ∠��� = �. ∵ ∠��� + ∠��� = ∠��� ,
∴ ∠��� = ∠��� − ∠��� = � − �. ∵ ∠��� + ∠��� + ∠��� = 180∘,
∴ 2� + 2� + � − � + � + � = 180∘ ,
∴ � + 2� = 90∘. ∵ ∠��� = ∠��� + ∠��� = � + � + � − � = 2� ,∠��� + ∠��� = 90∘ ,
∴ ∠��� = 90∘ − ∠��� = 90∘ − 2� = � .如图,延长�� 至�,使�� = ��,连接��.
∵ ∠��� = 90∘ ,∴ �� ⊥ ��,∴ �� = �� ,∴ ∠��� = ∠��� = � ,
∴ ∠��� = ∠��� + ∠��� + ∠��� = � + � + � − � = � + � ,
∴ ∠��� = ∠��� = � + � ,∴ �� = ��,∴ �� = ��. ∵ �� = �� + �� ,
�� = �� + ��,�� = ��,∴ �� = �� = 4,∴ �� = �� = 1
2
�� = 2 .故答案为 2.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 66 分)
17.(8 分)如图,在 3 × 3 的网格中,△��� 的三个顶点均在格点上,这样的三角形叫作“格
点三角形”.在下面四个图中分别画出一个“格点三角形”与原△��� 关于某条直线成轴对称.(将
画出的三角形涂上阴影,画出的“格点三角形”不要重复)
图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
解:如图,阴影部分即为所作(答案不唯一).…………(8 分)
图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
89/144
第十五章 轴对称
18.(10 分)如图,△���是等腰三角形,�� = �� ,∠��� = 72∘ ,点�是�� 的中点.
(1)求∠� 的度数;
解:∵ �� = ��,∠��� = 72∘ ,
∴ ∠� = ∠� = 1
2
× (180∘ − 72∘) = 54∘. …………(3 分)
(2)求∠��� 的度数;
解:∵ �� = ��,点�是�� 的中点,
∴ ∠��� = 1
2
∠��� = 1
2
× 72∘ = 36∘. …………(6 分)
(3)点�在边��上,若�� = ��,试说明:��//�� .
解:∵ �� = ��,点�是��的中点,∴ �� ⊥ ��,∴ ∠��� = 90∘ .…………(7 分)
∵ �� = ��,∴ ∠��� = ∠��� = 36∘ ,
∴ ∠��� = 90∘ − 36∘ = 54∘. ∵ ∠� = 54∘ ,∴ ∠� = ∠���,∴ ��//�� .…………(10 分)
90/144
第十五章 轴对称
19.(10 分)某综合实践小组设计了一个简易发射器,其示意图如图(1)所示.发射杆��始终
平分同一平面内两条固定轴所成的∠��� ,且∠��� = 120∘ ,�� = �� = 20 cm,发射中心�
能沿着发射杆滑动,��,�� 为橡皮筋.
图(1) 图(2)
(1)证明:�� = �� ;
【证明】∵ ��平分∠���,∴ ∠��� = ∠��� .…………(1 分)
在△���和△���中,
�� = ��,
∠��� = ∠���,
�� = ��,
∴ △���≌△���(SAS) ,…………(4 分)
∴ �� = �� .…………(5 分)
(2)在△���由图(2)中的等边△���1变成 Rt △ ���2的过程中,发射中心� 向下滑动的距
离�1�2 是多少?
解:∵ △���1是等边三角形,�� = 20 cm,∴ ��1 = �� = 20 cm .…………(6 分)
在 Rt △ ���2中,∠���2 =
1
2
∠��� = 60∘ ,∴ ∠��2� = 30∘ ,
∴ ��2 = 2�� = 40 cm ,…………(8 分)
∴ �1�2 = ��2 − ��1 = 40 − 20 = 20(cm) .
答:发射中心�向下滑动的距离�1�2是 20 cm .…………(10 分)
91/144
第十五章 轴对称
20.(12 分)如图,在△��� 中,�� = ��,点�在△���内,�� = ��,∠��� = 60∘ ,点�
在△���外,∠��� = 150∘ ,∠��� = 60∘ .
(1)求∠��� 的度数;
解:∵ �� = ��,∠��� = 60∘ ,
∴ △��� 是等边三角形,…………(1 分)
∴ �� = ��,∠��� = ∠��� = ∠��� = 60∘ .
在△���和△���中,
�� = ��,
�� = ��,
�� = ��,
∴ △���≌△���(SSS) ,…………(4 分)
∴ ∠��� = ∠���,∴ ∠��� = 1
2
× (360∘ − 60∘) = 150∘ .…………(6 分)
(2)判断△��� 的形状并加以证明.
解:△��� 是等边三角形.证明:
∵ ∠��� = ∠��� = 60∘ ,∴ ∠��� = ∠��� .…………(7 分)
在△���和△��� 中,
∠��� = ∠��� = 150∘,
�� = ��,
∠��� = ∠���,
∴ △���≌△���(ASA) ,…………(9 分)
∴ �� = �� .…………(10 分)
∵ ∠��� = 60∘ ,∴ △��� 是等边三角形.…………(12 分)
92/144
第十五章 轴对称
21.(12 分)如图,在四边形����中,��//��,�是�� 的中点,连接��并延长交��的延长
线于点�,点�在边��上,且∠��� = ∠��� .
(1)求证:△��� 是等腰三角形;
证明:∵ ��//��,∴ ∠��� = ∠���. ∵ ∠��� = ∠���,∴ ∠��� = ∠��� ,
∴ �� = ��,∴ △��� 是等腰三角形.…………(4 分)
(2)连接��,若�� = 2,∠��� = 60∘ ,求�� 的长.
解:∵ ��//��,∴ ∠��� = ∠��� .
∵ �为��的中点,∴ �� = �� .…………(5 分)
在△���和△���中,
∠��� = ∠���,
∠��� = ∠���,
�� = ��,
∴ △���≌△���(AAS) ,…………(8 分)
∴ �� = �� .…………(9 分)
由(1)可知,△��� 为等腰三角形,∴ �� ⊥ ��. ∵ ��//��,∠��� = 60∘ ,
∴ ∠��� = ∠��� = 60∘. ∵ ∠��� = ∠���,∴ ∠��� = 30∘ ,∴ 在 Rt △ ��� 中,
�� = 2�� = 2 × 2 = 4 .…………(12 分)
93/144
第十五章 轴对称
22.(14 分)如图(1),已知�,� 为直线��同侧的两点,连接��,��,若∠��� = ∠���,
则称点�为点�,� 关于直线�� 的“等角点”.
图(1) 图(2)
图(3)
【理解运用】(1)如图(2),在△���中,�为��上一点,点�,�关于直线�� 对称,连接��
并延长至点�,判断点�是否为点�,�关于直线�� 的“等角点”,并说明理由;
解:点�是点�,�关于直线�� 的“等角点”.…………(2 分)
理由如下:∵ 点�,�关于直线�� 对称,∴ ∠��� = ∠��� .…………(4 分)
∵ ∠��� = ∠���,∴ ∠��� = ∠���,∴ 点�是点�,�关于直线�� 的“等角点”(6 分)
【拓展提升】(2)如图(3),在△���中,∠���,∠���的平分线交于点�,点� 到��的距
离为 2,直线�垂直平分边��,点�为点�,�关于直线� 的“等角点”,连接��,��,当∠��� = 60∘
时,求�� + �� 的值.
94/144
第十五章 轴对称
解:如图,
连接��,��,过点�作�� ⊥ ��于�,则��的长为点� 到��的距离,令直线�与��的交点为�,
与��的交点为�.
∵ ∠��� ,∠���的平分线交于点�,∴ 易知��平分∠��� ,
∴ ∠��� = 1
2
∠��� = 30∘ .∵ �� ⊥ ��,∴ �� = 2�� = 4 .…………(9 分)
∵ 直线�垂直平分边��,∴ ∠��� = ∠���,�� = �� .…………(10 分)
∵ 点�为点�,�关于直线�的“等角点”,∴ ∠��� = ∠��� ,∴ ∠��� = ∠��� (12 分)
∵ ∠��� + ∠��� + ∠��� = 180∘ ,∴ ∠��� + ∠��� + ∠��� = 180∘ ,
∴ 点�,�,� 在同一条直线上,∴ �� + �� = �� + �� = �� = 4 .…………(14 分)
95/144