内容正文:
第十五章 轴对称
第十五章 轴对称 基础诊断卷
时间:90 min 满分:120 分
一、选择题(每小题 3 分)
1.电影《哪吒之魔童闹海》票房一飞冲天,你发现藏在画面里的精彩纹样了吗?这些纹样不仅
让画面更加丰盈,更是浓厚的中国传统文化的体现.以下四个从纹样中变形出来的图形不属于
轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路,园丁在花园中栽种了 4 棵桂花树.分别以两条
小路为𝑥轴、𝑦 轴建立如图所示的平面直角坐标系.若𝐴,𝐵两处桂花树的位置关于𝑥轴对称,点
𝐴 的坐标为(−3,3),则点𝐵 的坐标为( )
A.(3,3) B.(3, −3) C.(−3,3) D.(−3,−3)
3.如图,在△𝐴𝐵𝐶中,𝐴𝐵 = 𝐴𝐶,𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐶 ,且𝐵𝐶 = 4,则𝐵𝐷 的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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第十五章 轴对称
4.如图,由 5 个“◯”和 3 个“☐ ”组成的图形关于某条直线对称,则该直线是( )
A.𝑙1 B.𝑙2 C.𝑙3 D.𝑙4
5.某平板电脑支架及其示意图如图所示,其示意图中,𝐴𝐵 = 𝐶𝐷,𝐸𝐴 = 𝐸𝐷 .为了使用的舒适
性,可调整∠𝐴𝐸𝐶的大小.若∠𝐴𝐸𝐶增大16∘ ,则∠𝐵𝐷𝐸 的变化情况是( )
A.增大16∘ B.减小16∘ C.增大8∘ D.减小8∘
6.桌面上有𝐴,𝐵两个球,若要将𝐵 球射向桌面任意一边,使其反弹一次后击中𝐴 球,则如图
所示的 4 个点(点𝐷,𝐸,𝐹,𝐺 )中,可以瞄准的点是(注:反弹前后球的路线与桌面边沿的夹角
相等)( )
A.𝐷 B.𝐸 C.𝐹 D.𝐺
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第十五章 轴对称
7.如图为某家具设计图,其中△𝐴𝐵𝐷和△𝐶𝐵𝐷 为“大三斜”组件( “大三斜”组件为两个全等的等
腰直角三角形).已知某人位于点𝑃处,点𝑃与点𝐴关于直线𝐷𝑄 对称,连接𝐶𝑃,𝐷𝑃.若∠𝐴𝐷𝑄 = 25∘
,则∠𝐷𝐶𝑃 的度数为( )
A.25∘ B.24∘ C.21∘ D.20∘
8.如图,点𝐶为线段𝐵𝐸 上一点,分别以𝐵𝐶,𝐶𝐸为边,在𝐵𝐸同侧作等边△𝐴𝐵𝐶 和等边△𝐷𝐶𝐸,
连接𝐴𝐸,𝐵𝐷相交于点𝑃,则∠𝐵𝑃𝐸 的度数为( )
A.100∘ B.110∘ C.120∘ D.130∘
9.如图,△𝐴𝐵𝐶中,∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ ,∠𝐶𝐴𝐵 = 60∘ ,动点𝑃在斜边𝐴𝐵所在的直线𝑚上运动,连
接𝑃𝐶.当点𝑃在直线𝑚 上运动时,能使图中出现等腰三角形的点𝑃 的位置有( )
A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个
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第十五章 轴对称
10.如图,线段𝐴𝐵,𝐷𝐸 的垂直平分线交于点𝐶,且∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐸𝐷𝐶 = 72∘ ,∠𝐴𝐸𝐵 = 92∘ ,
则∠𝐸𝐵𝐷 的度数为( )
A.118∘ B.128∘ C.158∘ D.168∘
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
11.命题“如果𝑎 = 𝑏,那么𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 ”的逆命题为____________________________.
12.如图,在△𝐴𝐵𝐶中,∠𝐴𝐵𝐶 = 90∘ ,∠𝐴𝐶𝐵 = 60∘ ,𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐶,垂足为𝐷.若𝐶𝐷 = 2,则𝐴𝐶
的长为___.
13.每两个圆环相交的部分叫作曲边四边形,如图所示,从左至右共有八个曲边四边形,分别
给它们标上序号.观察图形,我们发现标号为 2 的曲边四边形(下简称 2)经过平移能与 6 重合,
2 还与_________成轴对称. (请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上)
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第十五章 轴对称
14.如图,在△𝐴𝐵𝐶 中,𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 10 cm,𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵,垂足为𝐸,交𝐴𝐶于𝐷 .若△𝐷𝐵𝐶的
周长为18 cm,则𝐵𝐶的长为___cm .
14 题图 15 题图
15.折纸是一项有趣的活动,蕴含着丰富的数学知识.如图,将一条对边互相平行的纸带进行两
次折叠.折痕分别为𝐴𝐵,𝐶𝐷,点𝐸落在𝐶𝐹 上.若𝐶𝐷//𝐵𝐸,且∠𝐶𝐵𝐸 =
1
3
∠𝐴𝐵𝐶,则∠1 = _____
_.
16.如图,在△𝐴𝐵𝐶中,𝐴𝐵 = 𝐴𝐶,点𝐷 在𝐴𝐵上,𝐴𝐷 = 𝐷𝐶 = 𝐵𝐶 .
(1)∠𝐴 =____∘ ;
(2)若𝐴𝐵 = 𝑚,𝐵𝐷 = 𝑛,𝐷𝐸 ⊥ 𝐵𝐶于点𝐸,则𝐵𝐸 =________.(用含𝑚,𝑛 的式子表示)
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第十五章 轴对称
三、解答题(本大题共 6 小题,共 66 分)
17.(8 分)在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中,△𝐴𝐵𝐶 的位置如图所示.
(1)分别写出以下顶点的坐标:𝐴 (____,___);𝐵 (___,___).
(2)顶点𝐶关于𝑦轴对称的点𝐶′ 的坐标为(___,___).
(3)顶点𝐵关于直线𝑥 = −1 的对称点的坐标为(____,___).
18.(10 分)如图,𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶 的角平分线,𝐶𝐸//𝐴𝐷,与𝐵𝐴的延长线相交于点𝐸,点𝐹在𝐴𝐷
的延长线上,且𝐹𝐶 = 𝐴𝐶 .求证:
(1)△𝐴𝐶𝐸 是等腰三角形;
(2)𝐴𝐵//𝐶𝐹 .
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第十五章 轴对称
19.(10 分)如图,在△𝐴𝐵𝐶中,𝐴𝐵 的垂直平分线𝐸𝐹交𝐵𝐶于点𝐸,交𝐴𝐵于点𝐹,𝐷为线段𝐶𝐸的
中点,𝐵𝐸 = 𝐴𝐶 .
(1)求证:𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐶 ;
(2)若∠𝐵𝐴𝐶 = 75∘ ,求∠𝐵 的度数.
20.(12 分)如图,在△𝐴𝐵𝐶 中,𝐴𝐵 = 𝐴𝐶,𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵,交𝐴𝐵于点𝐷 .
(1)过点𝐵作𝐵𝐸 ⊥ 直线𝐶𝐷于点𝐸 .(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)∠𝐴𝐵𝐸与∠𝐴𝐶𝐸 之间有何数量关系?请说明理由.
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第十五章 轴对称
21.(12 分)如图,在△𝐴𝐵𝐶 中,𝐴𝐵 = 𝐴𝐶,𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线,点𝐸是𝐴𝐵边上一动点,点𝑃
是𝐴𝐷上一动点,连接𝐵𝑃,𝐸𝐶,𝐸𝑃 .
(1)若∠𝐵𝐴𝐷 = 37∘ ,求∠𝐴𝐶𝐵 的度数;
(2)若𝐵𝐶 = 6,𝐴𝐷 = 4,𝐴𝐵 = 5,且𝐶𝐸 ⊥ 𝐴𝐵,求𝐶𝐸 的长;
(3)在(2)的条件下,请直接写出𝐵𝑃 + 𝐸𝑃 的最小值.
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第十五章 轴对称
22.(14 分)如图,点𝑂 是等边△𝐴𝐵𝐶内一点,𝐷是△𝐴𝐵𝐶外的一点,∠𝐴𝑂𝐵 = 110∘ ,∠𝐵𝑂𝐶
= 𝛼 ,△𝐵𝑂𝐶≌△𝐴𝐷𝐶,∠𝑂𝐶𝐷 = 60∘ ,连接𝑂𝐷 .
【初步探究】(1)求证:△𝑂𝐶𝐷 是等边三角形;
【深入探究】(2)当𝛼 = 150∘ 时,试判断△𝐴𝑂𝐷 的形状,并说明理由;
【解决问题】(3)当𝛼 为多少度时,△𝐴𝑂𝐷 是等腰三角形?
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第十五章 轴对称
第十五章 轴对称 基础诊断卷
时间:90 min 满分:120 分
一、选择题(每小题 3 分)
1.电影《哪吒之魔童闹海》票房一飞冲天,你发现藏在画面里的精彩纹样了吗?这些纹样不仅
让画面更加丰盈,更是浓厚的中国传统文化的体现.以下四个从纹样中变形出来的图形不属于
轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
解析:选项 A 的图案不能找到这样的一条直线,使图形沿这条直线折叠,直线两旁的部分能
够完全重合,所以不是轴对称图形;选项 B、C、D 的图案能找到这样的一条直线,使图形沿
这条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,所以是轴对称图形.故选 A.
2.某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路,园丁在花园中栽种了 4 棵桂花树.分别以两条
小路为�轴、� 轴建立如图所示的平面直角坐标系.若�,�两处桂花树的位置关于�轴对称,点
� 的坐标为( − 3,3),则点� 的坐标为( )
A.(3,3) B.(3, − 3) C.( − 3,3) D.( − 3, − 3)
解析:∵ �,�两处桂花树的位置关于�轴对称,点� 的坐标为( − 3,3),
∴ 点�的坐标为( − 3, − 3) .故选 D.
3.如图,在△���中,�� = ��,�� ⊥ �� ,且�� = 4,则�� 的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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第十五章 轴对称
解析:∵ �� = ��,�� ⊥ ��,∴ ��是△���的边�� 的中线,
∴ �� = �� = 1
2
�� = 2 ,故选 B.
等腰三角形“三线合一”
在等腰三角形中,运用“三线合一”时,已知其中“一线”,就可以得到另外“两线”.
根据等腰三角形“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及垂直的关系.
4.如图,由 5 个“◯”和 3 个“☐ ”组成的图形关于某条直线对称,则该直线是( )
A.�1 B.�2 C.�3 D.�4
解析:由题图可知,该图形关于直线�3 对称.故选 C.
5.某平板电脑支架及其示意图如图所示,其示意图中,�� = ��,�� = �� .为了使用的舒适
性,可调整∠���的大小.若∠���增大16∘ ,则∠��� 的变化情况是( )
A.增大16∘ B.减小16∘ C.增大8∘ D.减小8∘
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第十五章 轴对称
解析:∵ �� = ��,∴ ∠��� = ∠��� ,∴ ∠��� = ∠��� + ∠��� = 2∠���. ∵ ∠���增大16∘ ,
∴ ∠��� 增大8∘. ∵ ∠��� = 180∘ −∠���,∴ ∠���减小8∘ .故选 D.
6.桌面上有�,�两个球,若要将� 球射向桌面任意一边,使其反弹一次后击中� 球,则如图
所示的 4 个点(点�,�,�,� )中,可以瞄准的点是(注:反弹前后球的路线与桌面边沿的夹角相
等)( )
A.� B.� C.� D.�
解析:根据题中所给的信息进行判断可得将� 球射向桌面的点�,可使一次反弹后击中� 球,
如图 ,故选 A.
7.如图为某家具设计图,其中△���和△��� 为“大三斜”组件(“大三斜”组件为两个全等的等
腰直角三角形).已知某人位于点�处,点�与点�关于直线�� 对称,连接��,��.若∠��� = 25∘
,则∠��� 的度数为( )
A.25∘ B.24∘ C.21∘ D.20∘
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第十五章 轴对称
解析:
角 边
分析
图形
特征
点�与点�关于直线�� 对称 ∠��� = ∠��� = 25∘ �� = ��
△���和△��� 为两个全等
的等腰直角三角形
∠��� = ∠��� = 45∘ �� = ��
综合判断
∠��� = ∠��� + ∠��� + ∠��� +
∠��� = 140∘
�� = ��
计算角度 ∠��� = 12 (180
∘ − ∠���) = 20∘
答案:D.
8.如图,点�为线段�� 上一点,分别以��,��为边,在��同侧作等边△��� 和等边△���,
连接��,��相交于点�,则∠��� 的度数为( )
A.100∘ B.110∘ C.120∘ D.130∘
解析:设��,��交于点�. ∵ △���和△���是等边三角形,∴ �� = �� ,
∠��� = ∠��� = 60∘ ,�� = ��,∴ ∠��� = ∠��� = 180∘ − 60∘ = 120∘ .在
△���和△���中,
�� = ��,
∠��� = ∠���,
�� = ��,
∴ △���≌△���(SAS),∴ ∠��� = ∠��� .
又∵ ∠��� = ∠���,∴ 由三角形内角和定理可得∠��� = ∠��� = 60∘ ,
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第十五章 轴对称
∴ ∠��� = 180∘ − ∠��� = 180∘ − 60∘ = 120∘ .故选 C.
9.如图,△���中,∠��� = 90∘ ,∠��� = 60∘ ,动点�在斜边��所在的直线�上运动,连
接��.当点�在直线� 上运动时,能使图中出现等腰三角形的点� 的位置有( )
A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个
解析:如图,
以�为圆心,��长为半径画弧,交直线�于点�4,�2,以� 为圆心,��长为半径画弧,交直
线�于点�1,�3,∴ �� = ��1 = ��3 ,�� = ��2 = ��4. ∵ ∠��� = 60∘ ,∠��� = 90∘ ,
∴ ∠��� = 30∘ ,△���3 是等边三角形,∴ ∠��3� = 60∘ = ∠�3�� + ∠���3,∴ ∠���3 = 30∘ =
∠�3��,∴ ��3 = ��3 .
因此出现等腰三角形的点�的位置有 4 个,即�1,�2,�3,�4 .故选 C.
10.如图,线段��,�� 的垂直平分线交于点�,且∠��� = ∠��� = 72∘ ,∠��� = 92∘ ,则
∠��� 的度数为( )
A.118∘ B.128∘ C.158∘ D.168∘
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第十五章 轴对称
解析:如图,
连接��. ∵ 线段��,��的垂直平分线交于点� ,
∴ �� = ��,�� = �� ,
∴ ∠��� = ∠��� = ∠��� = ∠��� = 72∘, ∴ ∠��� = ∠��� ,
∴ ∠��� − ∠��� = ∠��� − ∠���,即∠��� = ∠���.在△���
和△���中,
�� = ��,
∠��� = ∠���,
�� = ��,
∴ △���≌△���(SAS) ,
∴ ∠��� = ∠���.设∠��� = ∠��� = � ,则∠��� = 72∘ − � ,
∠��� = 92∘ − � ,∴ ∠��� = ∠��� − ∠��� = 72∘ − (92∘ − �) = � − 20∘ ,
∴ 在△���中,∠��� = 180∘ − (72∘ − �) − (� − 20∘) = 128∘ ,故选 B.
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第十五章 轴对称
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
11.命题“如果� = �,那么� + � = � + � ”的逆命题为____________________________.
解析:将原命题的结论改为条件,条件改为结论,即可得出原命题的逆命题为
如果� + � = � + �,那么� = �.故答案为如果� + � = � + �,那么� = � .
12.如图,在△���中,∠��� = 90∘ ,∠��� = 60∘ ,�� ⊥ ��,垂足为�.若�� = 2,则��
的长为___.
解析:∵ ∠��� = 90∘ ,∠��� = 60∘ ,�� ⊥ �� ,
∴ ∠��� = 180∘ −∠� −∠��� = 30∘ ,∠� = 180∘ − ∠��� − ∠��� = 30∘ ,
∴ �� = 2�� = 4,∴ �� = 2�� = 8 .故答案为 8.
13.每两个圆环相交的部分叫作曲边四边形,如图所示,从左至右共有八个曲边四边形,分别
给它们标上序号.观察图形,我们发现标号为 2 的曲边四边形(下简称 2)经过平移能与 6 重合,
2 还与_________成轴对称. (请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上)
解析:根据轴对称图形的定义可知,标号为 2 的曲边四边形与 1,3,7 成轴对称.故
答案为 1,3,7.
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第十五章 轴对称
14.如图,在△��� 中,�� = �� = 10 cm,��垂直平分��,垂足为�,交��于� .若△���
的周长为 18 cm,则��的长为___cm .
解析:∵ ��垂直平分��,∴ �� = ��. ∵ △��� 的周长为�� + �� + �� = 18 cm,
∴ �� + �� + �� = 18 cm .
∵ �� = �� = �� + �� = 10 cm,∴ �� = 18 − 10 = 8(cm) ,故答案为 8.
15.折纸是一项有趣的活动,蕴含着丰富的数学知识.如图,将一条对边互相平行的纸带进行两
次折叠.折痕分别为��,��,点�落在�� 上.若��//��,且∠��� = 1
3
∠���,则∠1 = ______.
解析:由折叠可知,2∠��� + ∠��� = 180∘. ∵ ∠��� = 1
3
∠���,∠��� = ∠��� + ∠��� ,
∴ ∠��� = 2∠���,∴ 4∠��� + ∠��� = 180∘ ,∴ ∠��� = 36∘. ∵ ��//�� ,
∴ ∠��� = 180∘ −∠��� = 144∘ .由折叠可知,
2∠��� + ∠1 = 180∘. ∵ ∠��� = ∠1 + ∠���,∴ 2(144∘ − ∠1) + ∠1 = 180∘ ,
∴ ∠1 = 108∘ ,故答案为108∘ .
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第十五章 轴对称
16.如图,在△���中,�� = ��,点� 在��上,�� = �� = �� .
(1)∠� =____ ∘ ;
解析:∵ �� = ��,∴ ∠� = ∠���. ∵ �� = �� = �� ,∴ ∠� = ∠���,∠� = ∠��� ,
∴ ∠� = ∠��� = ∠���. ∵ ∠��� = ∠� + ∠���,∴ ∠��� = 2∠� ,
∴ ∠� = ∠��� = ∠��� = 2∠�. ∵ ∠� + ∠� + ∠��� = 180∘ ,
∴ 5∠� = 180∘ ,∴ ∠� = 36∘ .故答案为 36.
(2)若�� = �,�� = �,�� ⊥ ��于点�,则�� =________.(用含�,� 的式子表示)
解析:在��上截取�� = ��,如图, 连接��,则�� = �� ,
∴ ∠��� = ∠� = ∠��� = 2∠� = 72∘ ,∴ ∠��� = 180∘ − 72∘ × 2 = 36∘. ∵ ∠��� = 180∘ −
∠� −∠��� = 180∘ − 72∘ − 72∘ = 36∘ ,∴ ∠��� = ∠��� = 36∘ ,
∴ �� = �� = �� = �. ∵ �� = �,∴ �� = �� = �� = �− � ,
∴ �� = 2�� = �� − �� = � − 2�,∴ �� = 1
2
�− �.故答案为1
2
�− � .
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第十五章 轴对称
三、解答题(本大题共 6 小题,共 66 分)
17.(8 分)在平面直角坐标系���中,△��� 的位置如图所示.
(1)分别写出以下顶点的坐标:� (____,___);� (___,___).
解析:由题图可得,�( − 4,3),�(3,0) ,故答案为−4 ,3,3,0.…………(4 分)
(2)顶点�关于�轴对称的点�' 的坐标为(___,___).
解析:顶点�关于�轴对称的点�'的坐标为(2,5) ,故答案为 2,5.…………(6 分)
(3)顶点�关于直线� =− 1 的对称点的坐标为(____,___).
解析:顶点�关于直线� =− 1 的对称点的坐标为( − 5,0).故答案为−5 ,0.…………(8 分)
18.(10 分)如图,��是△��� 的角平分线,��//��,与��的延长线相交于点�,点�在��
的延长线上,且�� = �� .求证:
(1)△��� 是等腰三角形;
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第十五章 轴对称
【证明】∵ ��是△��� 的角平分线,
∴ ∠��� = ∠��� .…………(2 分)
∵ ��//��,∴ ∠��� = ∠���,∠��� = ∠�,∴ ∠� = ∠���,∴ �� = �� ,
∴ △��� 是等腰三角形.…………(5 分)
(2)��//�� .
解:∵ �� = ��,∴ ∠��� = ∠� .…………(7 分)
∵ ∠��� = ∠���,∴ ∠� = ∠���,∴ ��//�� .…………(10 分)
19.(10 分)如图,在△���中,�� 的垂直平分线��交��于点�,交��于点�,�为线段��
的中点,�� = �� .
(1)求证:�� ⊥ �� ;
【证明】连接��. ∵ ��垂直平分�� ,
∴ �� = �� .…………(2 分)
∵ �� = ��,∴ �� = ��. ∵ �是��的中点,∴ �� ⊥ �� .…………(4 分)
(2)若∠��� = 75∘ ,求∠� 的度数.
解:连接��.设∠� = �∘ .由题意得,�� = ��,∴ ∠��� = ∠� = �∘ ,
∴ ∠��� = ∠� + ∠��� = 2�∘. ∵ �� = ��,∴ ∠� = ∠��� = 2�∘ .…………(6 分)
在△���中,∠� + ∠� + ∠��� = 180∘ ,∴ 3�∘ + 75∘ = 180∘ ,∴ �∘ = 35∘ ,
∴ ∠� = 35∘ .…………(10 分)
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第十五章 轴对称
20.(12 分)如图,在△��� 中,�� = ��,��平分∠���,交��于点� .
(1)过点�作�� ⊥ 直线��于点� .(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
解:如图, �� 即为所求.…………(5 分)
(2)∠���与∠��� 之间有何数量关系?请说明理由.
解:∠��� = 90∘ − 3∠��� .理由:
∵ ��平分∠���,∴ ∠��� = ∠���,∠��� = 2∠��� .…………(8 分)
∵ �� = ��,∴ ∠��� = ∠��� = 2∠���. ∵ �� ⊥ ��,∴ ∠��� = 90∘ ,
∴ ∠��� = 90∘ − ∠��� − ∠��� = 90∘ − ∠��� − 2∠��� = 90∘ − 3∠���. …………(12 分)
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第十五章 轴对称
21.(12 分)如图,在△��� 中,�� = ��,��是��边上的中线,点�是��边上一动点,点�
是��上一动点,连接��,��,�� .
(1)若∠��� = 37∘ ,求∠��� 的度数;
解:∵ �� = ��,��是��边上的中线,∴ ∠��� = ∠���,�� ⊥ �� ,
∴ ∠��� = 90∘ .…………(2 分)
∵ ∠��� = 37∘ ,∴ ∠��� = 90∘ − ∠��� = 53∘ ,∴ ∠��� = 53∘ .…………(4 分)
(2)若�� = 6,�� = 4,�� = 5,且�� ⊥ ��,求�� 的长;
解:∵ �� ⊥ ��,∴ �△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
�� ⋅ ��. ∵ �� = 6,�� = 4,�� = 5 ,
∴ �� = 24
5
.…………(8 分)
(3)在(2)的条件下,请直接写出�� + �� 的最小值.
解:24
5
.…………(12 分)
连接��.由(1)可知��垂直平分线段��,∴ �� = �� ,
∴ �� + �� = �� + �� ≥ ��,∴ �� + ��的最小值为24
5
.
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第十五章 轴对称
22.(14 分)如图,点� 是等边△���内一点,�是△���外的一点,∠��� = 110∘ ,∠��� = �
,△���≌△���,∠��� = 60∘ ,连接�� .
【初步探究】
(1)求证:△��� 是等边三角形;
【证明】∵ △���≌△���,∴ �� = �� .…………(1 分)
又∵ ∠��� = 60∘ ,∴ △��� 是等边三角形.…………(3 分)
【深入探究】
(2)当� = 150∘ 时,试判断△��� 的形状,并说明理由;
解:△��� 是直角三角形.…………(4 分)
理由如下:∵ △���是等边三角形,∴ ∠��� = 60∘ .…………(5 分)
∵ △���≌△���,� = 150∘ ,∴ ∠��� = ∠��� = � = 150∘ ,
∴ ∠��� = ∠��� − ∠��� = 150∘ − 60∘ = 90∘ ,∴ △��� 是直角三角形.…………
(7 分)
【解决问题】
(3)当� 为多少度时,△��� 是等腰三角形?
解:∵ △���是等边三角形,∴ ∠��� = ∠��� = 60∘ .
∵ ∠��� = 110∘ ,∠��� = ∠��� = � ,
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第十五章 轴对称
∴ ∠��� = 360∘ − ∠��� − ∠��� − ∠��� = 360∘ − 110∘ − � − 60∘ = 190∘ − �, ∠��� =
∠��� − ∠��� = � − 60∘ ,∴
∠��� = 180∘ −∠��� − ∠��� = 180∘ − (190∘ − �) − (� − 60∘) = 50∘ .…………(11 分)
①当∠��� = ∠���时,190∘ − � = � − 60∘ ,∴ � = 125∘ .
②当∠��� = ∠���时,190∘ − � = 50∘ ,∴ � = 140∘ .
③当∠��� = ∠���时,� − 60∘ = 50∘ ,∴ � = 110∘ .
综上所述,当� = 110∘ 或125∘ 或140∘ 时,△��� 是等腰三角形.…………(14 分)
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