第13章三角形基础诊断卷-2025-2026学年新教材八年级数学上册单元大小卷（人教版2024）

2025-08-11

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第十三章三角形第十三章三角形基础诊断卷时间：90 min 满分：120 分一、选择题（每小题 3 分） 1.如图，窗户打开后，用窗钩�� 可将其固定，其所运用的几何原理是( ) A.三角形具有稳定性 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.两点之间，线段最短解析：窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状，所运用的几何原理是三角形具有稳定性.故选 A. 2.如图，在△��中，∠�� = 60∘ ，∠� = 50∘ ，��//��，则∠1 的度数为( ) A.50∘ B.60∘ C.70∘ D.80∘ 解析：∵ ∠�� = 60∘ ，∠� = 50∘ ， ∴ ∠� = 180∘ −∠�� − ∠� = 180∘ − 60∘ − 50∘ = 70∘. ∵ ��//��， ∴ ∠1 = ∠� = 70∘ ，故选 C. 3.如图是某同学的折纸示意图，则�� 是△�� 的( ) A.高线 B.角平分线 C.中线 D.垂直平分线 3/144 第十三章三角形解析：根据折叠的性质得�� = ��，∴ ��是△�� 的中线.故选 C. 4.如图，�� ⊥ ��交��的延长线于点� ，�� ⊥ ��交��的延长线于点�，�� ⊥ ��于点�，则在 △�� 中，�� 边上的高是( ) A.�� B.�� C.�� D.�� 解析：∵ �� ⊥ ��交��的延长线于点�，∴ 在△��中，�� 边上的高是�� ，故选 D. 警示：钝角三角形的高钝角三角形两条较短边上的高在三角形外部. 5.如图，�� ⊥ ��，∠1 = ∠2，∠� = 45∘ ，则∠�� 的度数是( ) A.85∘ B.90∘ C.95∘ D.100∘ 解析：∵ �� ⊥ ��，∠1 = ∠2，∴ ∠1 = ∠2 = 45∘. ∵ ∠� = 45∘ ， ∴ ∠�� = 180∘ − ∠2 − ∠� = 180∘ − 45∘ − 45∘ = 90∘ ，故选 B. 4/144 第十三章三角形 6.将一副三角板按照如图所示的方式摆放，点�在线段��的延长线上，若∠�� = 63∘ ，则 ∠�� 的度数为( ) A.12∘ B.15∘ C.18∘ D.22∘ 解析：由题意可知，∠�� = 45∘ ，∠�� = 30∘. ∵ ∠�� = 63∘ ， ∴ ∠�� = ∠�� − ∠�� = 63∘ − 45∘ = 18∘. ∵ ∠��是△�� 的外角， ∴ ∠�� = ∠�� − ∠�� = 30∘ − 18∘ = 12∘ .故选 A. 7.在探究证明“三角形的内角和是180∘ ”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是180∘ ”的是( ) A.过�作��//�� B.延长��到�过� 作��//�� C.过��上一点� 作��//��, ��//�� 5/144 第十三章三角形 D.作�� ⊥ ��于点� 解析：由��//��，得∠�� = ∠�，∠�� = ∠� . 由∠�� + ∠�� + ∠�� = 180∘ ，得∠� + ∠�� + ∠� = 180∘ ，故 A 不符合题意. 由��//��，得∠� = ∠��，∠� = ∠��.由∠�� + ∠�� + ∠�� = 180∘ ，得∠� + ∠� + ∠�� = 180∘ ，故 B 不符合题意.由��//��，得∠�� = ∠�� ，∠� = ∠��.由��//��，得∠�� = ∠�，∠� = ∠��，∴ ∠� = ∠�� . 由∠�� + ∠�� + ∠�� = 180∘ ，得∠� + ∠� + ∠� = 180∘ ，故 C 不符合题意. 由�� ⊥ ��于�，得∠�� = ∠�� = 90∘ ，无法证得三角形的内角和是180∘ ，故 D 符合题意.故选 D. 技巧三角形内角和定理的证明证明方法不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角转化，组合成一个平角，常借助平行线转化. 8.如图，点�为△�� 内一点，∠�� = 10∘ ，∠� = 60∘ ，�� ⊥ ��，则∠�� 的度数是( ) A.15∘ B.20∘ C.25∘ D.30∘ 6/144 第十三章三角形解析：如图，延长��交��于点�. ∵ ∠�� = 10∘ ，∠� = 60∘ ， ∴ ∠�� = ∠� + ∠�� = 60∘ + 10∘ = 70∘. ∵ �� ⊥ ��， ∴ ∠�� = 90∘ ，∴ ∠�� = 180∘ − ∠�� − ∠�� = 180∘ − 70∘ − 90∘ = 20∘ ，即∠�� 的度数是20∘ ，故选 B. 点拨：根据直角作辅助线题目中有直角时，可以像本题解析中一样，延长一条直角边，得到另一个直角. 9. 健康骑行逐渐受到人们喜欢，如图是便携式折叠自行车的示意图，已知��//��，��//�� ， ��平分∠��.若∠� = 70∘ ，∠�� = 60∘ ，则∠�� = ( ) A.80∘ B.90∘ C.100∘ D.110∘ 解析：∵ ��//��，∴ ∠�� + ∠� = 180∘. ∵ ��//�� ， ∴ ∠�� + ∠�� = 180∘， ∴ ∠�� = ∠� = 70∘. ∵ ��平分∠�� ， ∴ ∠�� = 1 2 ∠�� = 30∘. ∵ ��//��，∴ ∠�� = 180∘ −∠�� = 120∘ ， ∴ ∠�� = ∠�� − ∠�� = 50∘ ，∴ ∠�� = 180∘ − ∠�� − ∠�� = 100∘ ，故选 C. 7/144 第十三章三角形 10.如图，△�� 和△��是由△��分别沿着��，�� 边翻折得到的.若∠� = 82∘ ，则∠1 的度数是( ) A.132∘ B.149∘ C.129∘ D.139∘ 解析：设∠�� = ∠2,∠�� = ∠3 .由翻折得∠�� = ∠2，∠�� = ∠3， ∴ ∠�� = 2∠2 ，∠�� = 2∠3. ∵ ∠�� + ∠�� = ∠� ，∴ 2∠2 + 2∠3 = ∠� ，∴ ∠2 + ∠3 = 1 2 ∠�， ∴ ∠1 = 180∘ − (∠2 + ∠3) = 180∘ − 1 2 ∠� = 180∘ − 1 2 × 82∘ = 139∘ ，故选 D. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11.如图是应用 DeepSeek 公司研发的一个 AI 模型画出的图形，在△��中，顶点� 的对边是_ ____. 解析：△��的三边分别为��，��，��，其中��，��与点� 相邻，��与点�相对，据此可得顶点�的对边是��，故答案为�� . 8/144 第十三章三角形 12.如图，这是一台放置在水平桌面上的电脑显示屏，将其侧面抽象成平面几何图形，测得 ∠�� = 120∘ ，∠�� = 2∠��，则∠�� = ____ ∘ . 解析：∵ ∠�� = 2∠��，∠�� = ∠�� + ∠��，∠�� = 120∘ ， ∴ 1 2 ∠�� + ∠�� = 120∘ ，∴ ∠�� = 80∘ ，故答案为 80. 13.小刚平时跳跃泥潭障碍训练中助跑跳跃距离为(4.5 ± 0.1) 米，在某次训练挑战中他不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（�� 的长度），于是测量了相关长度.由于米尺长度有限，小刚测得�� = 2.2 米，�� = 2.1 米.根据小刚的测量，他____完成这项训练挑战.（填“能” 或“不能”）解析：∵ �� = 2.2 米，�� = 2.1 米，∴ 0.1 米< �� < 4.3 米.∵ 小刚平时跳跃泥潭障碍训练中助跑跳跃距离的范围为 4.4 米到 4.6 米，∴ 他能完成这项训练挑战.故答案为能. 点拨：三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 9/144 第十三章三角形 14.如图，�处在�处的北偏西40∘ 方向，� 处在�处的北偏西75∘ 方向，则∠�� 的度数为___ _. 解析：如图， ∠�� + ∠�� = 180∘. ∵ ∠�� = 75∘ ， ∴ ∠�� + ∠�� = 105∘. ∵ ∠�� = 40∘ ， ∴ ∠�� + ∠�� = 145∘ ，∴ ∠�� = 180∘ − 145∘ = 35∘ .故答案为35∘ . 15.如图，��是△��的角平分线，��是△�� 的高，∠�� = 60∘ ，∠�� = 50∘ ，点�为边 ��上一点，当△�� 为直角三角形时，∠�� 的度数为_________. 10/144 第十三章三角形解析：当∠�� = ��∘ 时当∠�� = ��∘ 时 ∵ ��是△�� 的角平分线， ∠�� = ��∘ ，∴ ∠�� = ��∘ ， ∴ 在�� △ ��中，∠�� = ��∘ 同理可得∠�� = ��∘. ∵ ��是△�� 的高， ∠�� = ��∘ ，∴ ∠�� = ∠�� = ��∘ ， ∴ ∠�� = ∠�� − ∠�� = ��∘ 综上所述，∠��的度数为��∘ 或��∘ 点拨：直角三角形的分类讨论问题如果没有确定直角三角形的直角顶点，则应分类讨论，在没有其他条件的限制下，每个顶点都有可能是直角顶点，讨论时注意不重不漏. 16.在△��中，∠� = 160∘ .第一步：在△��上方确定一点�1，使∠�1�� = ∠��，∠�1�� = ∠�� ，如图（1），则∠�1的度数为______；第二步：在△�1��上方确定一点�2 ，使∠�2��1 = ∠�1��，∠�2��1 = ∠�1�� ，如图（2）.照此下去，至多能进行____步. 解析：∵ ∠� = 160∘ ， ∴ ∠�� + ∠�� = 180∘ − ∠� = 20∘. ∵ ∠�1�� = ∠��，∠�1�� = ∠�� ， ∴ ∠�1�� + ∠�1�� = 2(∠�� + ∠��) = 40∘ ， 11/144 第十三章三角形 ∴ ∠�1 = 180∘ − (∠�1�� + ∠�1��) = 140∘ .同理，∠�2 = 120∘ ，∠�3 = 100∘ ， ⋯ ，∠�� = 180∘ − 20∘(� + 1)，当� = 8 时，∠�8 = 0∘ ，∴ 至多能进行七步. 故答案为140∘ ，七. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分） 17.（8 分）求出下列图形中� 的值. 图（1）图（2）（1）解：∵ 40 + � + � = 180 ，∴ � = 70 （2）∵ � + 70 = � + (� + 10) ，∴ � = 60 18.（10 分）如图，��和�� 分别是△��的高和角平分线，��是△��的边�� 上的中线. （1）若△��的面积为 6，则△�� 的面积为______；解：∵ ��是△��的边��的中线，∴ �� = ��，∴ �△�� = �△�� = 6， ∴ �△�� = 12，故答案为 12 （2）若∠� = 70∘ ，∠�� = 60∘ ，求∠��和∠�� 的度数. 解：∵ ��是△��的高，∴ ∠�� = 90∘. ∵ ∠� = 70∘ ， ∴ ∠�� = 90∘ −∠� = 90∘ − 70∘ = 20∘ 12/144 第十三章三角形 ∵ ∠�� = 60∘ ，∴ ∠�� = 180∘ −∠� −∠�� = 180∘ − 70∘ − 60∘ = 50∘. ∵ �� 是△��的角平分线，∴ ∠�� = 1 2 ∠�� = 25∘ ， ∴ ∠�� = ∠�� + ∠� = 25∘ + 70∘ = 95∘ 19.（10 分）某建材市场上的一种钢管的长度及相应价格如下表.学校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经购买了两根长度分别为 2 m 和 5 m 的钢管，还需要购买一根. 长度(m) 1 2 3 4 5 6 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 （1）有哪几种长度的钢管可供选择？解：设第三根钢管的长度为� m，则 5 − 2 < � < 5 + 2 ，即 3 < � < 7 . 答：长度为 4 m、5 m、6 m 的钢管可供选择. （2）若要求做成的三角形支架的周长为偶数，则做成该三角形支架一共需要花多少钱？解：∵ 三角形支架的周长为偶数，∴ 还要购买一根长度为 5 m 的钢管， ∴ 需要花 15 × 1 + 30 × 2 = 75 （元）. 答：做成该三角形支架一共需要花 75 元. 20.（12 分）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的 3 倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”.例如，三个内角分别为120∘ ，40∘ ，20∘ 的三角形是“三倍角三角形”. （1）△��中，∠� = 35∘ ，∠� = 40∘ ，△�� 是“三倍角三角形”吗？为什么？解：△�� 是“三倍角三角形”. 理由如下：∵ ∠� = 35∘ ，∠� = 40∘ ， ∴ ∠� = 180∘ − 35∘ − 40∘ = 105∘ ∵ 105∘ = 35∘ × 3，∴ △�� 是“三倍角三角形” （2）若△��是“三倍角三角形”，且∠� = 30∘ ，求△�� 中最小内角的度数. 13/144 第十三章三角形解：∵ ∠� = 30∘ ，∴ ∠� + ∠� = 150∘ 当∠� = 3∠� = 90∘ 时，∠� = 60∘ ,△��中最小内角的度数为30∘ ；当30∘ = 3∠�时，∠� = 10∘ ，∠� = 140∘ ,△��中最小内角的度数为10∘ ；当∠� = 3∠�,即∠� + 3∠� = 150∘ 时，∠� = 37.5∘ ，∠� = 112.5∘ △�� 中最小内角的度数为30∘ . 综上，△��中最小内角的度数为10∘ 或30∘ . 21.（12 分）如图，在△��中，��是∠�� 的平分线，�为线段��上一个动点，�� ⊥ ��于点�，交��的延长线于点� . （1）若∠� = 40∘ ，∠�� = 50∘ ，求∠��和∠�� 的度数；解：∵ ∠� = 40∘ ，∠�� = 50∘ ， ∴ ∠�� = 180∘ − ∠� − ∠�� = 90∘ . ∵ ��是∠�� 的平分线， ∴ ∠�� = ∠�� = 1 2 ∠�� = 45∘ ， ∴ ∠�� = 180∘ − ∠�� −∠�� = 85∘ . （2）若∠�� = 90∘ ，∠�� = ∠�，求∠� 的度数. 解：∵ �� ⊥ ��，∴ ∠�� = 90∘ ， ∴ ∠�� + ∠� = 180∘ −∠�� = 90∘ ∵ ∠�� = 90∘ ，∴ ∠�� + ∠�� = 180∘ − ∠�� = 90∘ ， ∴ ∠�� + ∠�� = ∠�� + ∠�，∴ ∠�� = ∠� . 14/144 第十三章三角形 ∵ ∠�� = ∠�，∴ ∠�� = ∠��. ∵ ��是∠�� 的平分线， ∴ ∠�� = 2∠�� = 2∠� . ∵ ∠� + ∠�� + ∠�� = 180∘ ，∴ ∠� + 2∠� = 90∘ ，解得∠� = 30∘ 22.（14 分）在△��中，∠� = 70∘ ，�，� 分别是边��，��上的点（不与点�，�，�重合）. 点�是平面内一动点（�与�，� 不在同一直线上，且不与�，�重合）.设∠�� = ∠1，∠�� = ∠2， ∠�� = ∠� . 【提出问题】（1）若点�在边��上运动，如图（1）所示，则∠1 + ∠2 = _________（用含∠� 的代数式表示）；解：如图（1），连接�� .∵ ∠2 = ∠�� + ∠��，∠1 = ∠�� + ∠�� ， ∴ ∠1 + ∠2 = ∠�� + ∠�� + ∠�� + ∠�� = ∠�� + ∠�� = ∠� + 70∘ ，故答案为70∘ + ∠� 【深入探究】（2）若点�在△��的外部，如图（2）所示，写出∠� ，∠1，∠2 之间满足的数量关系，并 15/144 第十三章三角形说明理由; 如图（2）解：∠2 − ∠1 = ∠� − 70∘ ，理由如下：如图（2），设��交��于� . ∵ ∠�� + ∠� = ∠2，∠�� + ∠� = ∠1，∠�� = ∠�� ， ∴ ∠2 − ∠1 = (∠�� + ∠�) − (∠�� + ∠�) = ∠� − 70∘. 【拓展延伸】（3）延长��，当点�在�� 的延长线上运动时，试在图（3）中画出相应图形，标注相关字母与数字，并直接写出∠� ，∠1，∠2 之间满足的数量关系. 图（3）解：如图（3）， ∠2 = ∠1 + ∠� + 70∘ .设��交��于�. ∵ ∠2 = ∠� + ∠�� ，∠�� = ∠1 + ∠� ， ∴ ∠2 = ∠� + ∠1 + ∠� ，∴ ∠2 = ∠1 + ∠� + 70∘ . 16/144 第十三章三角形如图（4）， ∠2 = 70∘ + ∠1 − ∠� 设��交��于�. ∵ ∠�� = ∠2 − ∠� ，∠�� = ∠1 − ∠� ，∠�� = ∠�� ， ∴ ∠2 − ∠� = ∠1 − ∠� ，∴ ∠2 = 70∘ + ∠1 − ∠� . 17/144 第十三章三角形第十三章三角形基础诊断卷时间：90 min 满分：120 分一、选择题（每小题 3 分） 1.如图，窗户打开后，用窗钩𝐴𝐵 可将其固定，其所运用的几何原理是( ) A.三角形具有稳定性 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.两点之间，线段最短 2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶 = 60∘ ，∠𝐵 = 50∘ ，𝐴𝐷//𝐵𝐶，则∠1 的度数为( ) A.50∘ B.60∘ C.70∘ D.80∘ 3.如图是某同学的折纸示意图，则𝐴𝐷 是△𝐴𝐵𝐶 的( ) A.高线 B.角平分线 C.中线 D.垂直平分线第 3 题图第 4 题图 4.如图，𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶交𝐵𝐶的延长线于点𝐸 ，𝐵𝐹 ⊥ 𝐴𝐶交𝐴𝐶的延长线于点𝐹，𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵于点𝐷，则在△𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐶 边上的高是( ) A.𝐴𝐸 B.𝐶𝐷 C.𝐴𝐹 D.𝐵𝐹 3/89 第十三章三角形 5.如图，𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷，∠1 = ∠2，∠𝐷 = 45∘ ，则∠𝐵𝐴𝐷 的度数是( ) A.85∘ B.90∘ C.95∘ D.100∘ 6.将一副三角板按照如图所示的方式摆放，点𝐸在线段𝐵𝐶的延长线上，若∠𝐹𝐸𝐵 = 63∘ ，则 ∠𝐸𝐷𝐶 的度数为( ) A.12∘ B.15∘ C.18∘ D.22∘ 7.在探究证明“三角形的内角和是180∘ ”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是180∘ ”的是( ) A.过𝐶作𝐸𝐹//𝐴𝐵 B.延长𝐴𝐶到𝐹过𝐶 作𝐶𝐸//𝐴𝐵 C.过𝐴𝐵上一点𝐷 作𝐷𝐸//𝐵𝐶, 𝐷𝐹//𝐴𝐶 D.作𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵于点𝐷 4/89 第十三章三角形 8.如图，点𝐷为△𝐴𝐵𝐶 内一点，∠𝐵𝐶𝐷 = 10∘ ，∠𝐵 = 60∘ ，𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐷，则∠𝐵𝐴𝐷 的度数是( ) A.15∘ B.20∘ C.25∘ D.30∘ 9. 健康骑行逐渐受到人们喜欢，如图是便携式折叠自行车的示意图，已知𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐸//𝐵𝐷 ， 𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷.若∠𝐷 = 70∘ ，∠𝐴𝐶𝐷 = 60∘ ，则∠𝐴𝐸𝐶 = ( ) A.80∘ B.90∘ C.100∘ D.110∘ 10.如图，△𝐴𝐵𝐺 和△𝐴𝐸𝐶是由△𝐴𝐵𝐶分别沿着𝐴𝐵，𝐴𝐶 边翻折得到的.若∠𝛼 = 82∘ ，则∠1 的度数是( ) A.132∘ B.149∘ C.129∘ D.139∘ 5/89 第十三章三角形二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11.如图是应用DeepSeek 公司研发的一个AI模型画出的图形，在△𝐴𝐵𝐹中，顶点𝐵 的对边是__ ___. 12.如图，这是一台放置在水平桌面上的电脑显示屏，将其侧面抽象成平面几何图形，测得∠𝐴𝐶𝐷 = 120∘ ，∠𝐴𝐵𝐶 = 2∠𝐵𝐴𝐶，则∠𝐴𝐵𝐶 = ____ ∘ . 13.小刚平时跳跃泥潭障碍训练中助跑跳跃距离为(4.5 ± 0.1) 米，在某次训练挑战中他不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（𝐴𝐵 的长度），于是测量了相关长度.由于米尺长度有限，小刚测得𝐴𝐶 = 2.2米，𝐵𝐶 = 2.1 米.根据小刚的测量，他____完成这项训练挑战.（填“能” 或“不能”） 6/89 第十三章三角形 14.如图，𝐶处在𝐵处的北偏西40∘ 方向，𝐶 处在𝐴处的北偏西75∘ 方向，则∠𝐴𝐶𝐵 的度数为___ _. 15.如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶 的高，∠𝐵𝐴𝐶 = 60∘ ，∠𝐵𝐶𝐸 = 50∘ ，点𝐹为边𝐴𝐵上一点，当△𝐵𝐷𝐹 为直角三角形时，∠𝐴𝐷𝐹 的度数为_________. 第 15题图第 16题图 16.在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴 = 160∘ .第一步：在△𝐴𝐵𝐶上方确定一点𝐴1，使∠𝐴1𝐵𝐴 = ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴1𝐶𝐴 = ∠𝐴𝐶𝐵 ，如图（1），则∠𝐴1的度数为______；第二步：在△𝐴1𝐵𝐶上方确定一点𝐴2 ，使∠𝐴2𝐵 𝐴1 = ∠𝐴1𝐵𝐴，∠𝐴2𝐶𝐴1 = ∠𝐴1𝐶𝐴 ，如图（2）.照此下去，至多能进行____步. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分） 17.（8 分）求出下列图形中𝑥 的值. 图（1）图（2） 7/89 第十三章三角形 18.（10 分）如图，𝐴𝐷和𝐵𝐹 分别是△𝐴𝐵𝐶的高和角平分线，𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶 上的中线. （1）若△𝐴𝐵𝐸的面积为 6，则△𝐴𝐵𝐶 的面积为______；（2）若∠𝐶 = 70∘ ，∠𝐵𝐴𝐶 = 60∘ ，求∠𝐷𝐴𝐶和∠𝐴𝐹𝐵 的度数. 19.（10 分）某建材市场上的一种钢管的长度及相应价格如下表.学校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经购买了两根长度分别为2 m和5 m 的钢管，还需要购买一根. 长度(m) 1 2 3 4 5 6 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 （1）有哪几种长度的钢管可供选择？（2）若要求做成的三角形支架的周长为偶数，则做成该三角形支架一共需要花多少钱？ 8/89 第十三章三角形 20.（12 分）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的 3 倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”.例如，三个内角分别为120∘ ，40∘ ，20∘ 的三角形是“三倍角三角形”. （1）△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴 = 35∘ ，∠𝐵 = 40∘ ，△𝐴𝐵𝐶 是“三倍角三角形”吗？为什么？（2）若△𝐴𝐵𝐶是“三倍角三角形”，且∠𝐵 = 30∘ ，求△𝐴𝐵𝐶 中最小内角的度数. 21.（12 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶 的平分线，𝑃为线段𝐴𝐷上一个动点，𝑃𝐸 ⊥ 𝐴𝐷于点𝑃，交𝐵𝐷的延长线于点𝐸 . （1）若∠𝐵 = 40∘ ，∠𝐴𝐶𝐵 = 50∘ ，求∠𝐵𝐴𝐷和∠𝐴𝐷𝐶 的度数；（2）若∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ ，∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐸，求∠𝐵 的度数. 9/89 第十三章三角形 22.（14 分）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴 = 70∘ ，𝐷，𝐸 分别是边𝐴𝐶，𝐴𝐵上的点（不与点𝐴，𝐵，𝐶重合）. 点𝑃是平面内一动点（𝑃与𝐷，𝐸 不在同一直线上，且不与𝐵，𝐶重合）.设∠𝑃𝐷𝐶 = ∠1，∠𝑃𝐸𝐵 = ∠2， ∠𝐷𝑃𝐸 = ∠𝛼 . 【提出问题】（1）若点𝑃在边𝐵𝐶上运动，如图（1）所示，则∠1 + ∠2 = _________（用含∠𝛼 的代数式表示）；如图（1）如图（2）【深入探究】（2）若点𝑃在△𝐴𝐵𝐶的外部，如图（2）所示，写出∠𝛼 ，∠1，∠2 之间满足的数量关系，并说明理由; 【拓展延伸】（3）延长𝐵𝐶，当点𝑃在𝐵𝐶 的延长线上运动时，试在图（3）中画出相应图形，标注相关字母与数字，并直接写出∠𝛼 ，∠1，∠2 之间满足的数量关系. 图（3） 10/89

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