精品解析：河南省信阳高级中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高一下期06月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式结合复数的四则运算求解. 【详解】由题意可知：， 由，可得. 故选：B. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断. 【详解】对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形， 所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误； 对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确； 对于C：以直角三角形直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥， 以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体， 故C错误； 对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误； 故选：B. 3. 已知向量．若与平行，则实数λ的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，向量共线的坐标表示计算得解. 详解】由，得，而，与平行， 因此，解得， 所以实数λ的值为. 故选：D 4. 从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（ ） A. 至少有2个红球 B. 至少有2个黄球 C. 都是黄球 D. 至多2个红球 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的定义判断即可. 【详解】从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，只有三红、两红一黄、一红两黄、三黄这四种情况， 则“至少有1个红球”的对立事件是“都是黄球”. 故选：C. 5. 如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算法则，，进而可得答案. 详解】由已知得，， . 故 故选：A 6. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助题目条件可得，再根据向量模长与向量平方的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，又，故， 则. 故选：D. 7. 克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由托勒密定理求出，设圆的半径为，由正弦定理可得，即可得到，再根据及二倍角公式求出，即可求出，从而得解. 【详解】解：由托勒密定理，得． 因为，所以． 设圆的半径为，由正弦定理，得． 又，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，则，故． 故选：B 8. 在平面四边形ABCD中，，将沿AC折起，使点到达点的位置，且三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三棱锥体积公式求出高，再通过线面垂直关系找出相关线段长度，利用外接球的性质建立关于球心到平面距离的方程，求出后进而得到外接球半径，最后根据球的表面积公式计算出结果. 【详解】 已知，且， 将代入可得：，解得. 取的中点，连接.则. 在中，因为已知，（），根据勾股定理，且，所以平面 设三棱锥的外接球的球心为，的外接圆的圆心为，因为是等边三角形，所以为等边的中心. 在等边中， 是高（三线合一），，则，. 设的外接圆的圆心为，在上，连接， 因为，四边形为矩形. 设.在和中，根据勾股定理有，展开等式可得，解得. 设三棱锥的外接球的半径为，在中，根据勾股定理. 将代入可得. 根据球的表面积公式，可得表面积. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 有下列四个命题，其中不正确的命题有（ ） A. 已知，，， 是空间任意四点，则 B. 若两个非零向量 与 满足 ，则 C. 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D. 对于空间的任意一点 和不共线的三点，，，若 ，则，，， 四点共面 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量的加减运算法则，空间向量基本定理的推论可解. 【详解】对于A，已知 ，，，是空间任意四点， 则 ，故A正确； 对于B，若两个非零向量 与 满足 ， 则，，正确； 对于C，任何两个向量都是共面向量，不正确； 对于D，对于空间的任意一点 和不共线的三点，，， 若 ， 当且仅当 时，，，， 四点共面，故错误． 故选：CD. 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则符合条件的有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分和两种情况结合正弦函数的单调性讨论即可；对于B，得到或，即可判断；对于C，可以得到，但是不一定是最大角，由此即可判断；对于D，由正弦定理即可判断. 【详解】对于A：由，则当时，， 当时，由可知，所以，A正确； 对于B：由，，，得：或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 对于C：由正弦定理可将转化为， 则，所以，但无法判断A，B的范围，C错误. 对于D：由，根据正弦定理得： ，∴，且， 所以满足条件的三角形有两个，D正确. 故选：ABD. 11. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，则下列结论正确的是（    ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出圆锥的母线长和底面半径，利用圆锥的侧面积公式可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；求出的取值范围，结合可求出的取值范围；将以为轴旋转到与共面，得到，求出的长，即可得出的最小值，可判断D选项. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径. 对于选项A：圆锥的侧面积为，故选项A错误； 对于选项B：由圆的几何性质可知，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，可得， 即，当且仅当时，等号成立， 则三棱锥体积为：， 即三棱锥体积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C：因为，故， 当点与点重合时，；当点与点重合时，， 又因为点与、不重合，则， 又，可得，故选项C错误； 对于选项D：因为，，， 由可得. 又，所以为等边三角形，则. 将以为轴旋转到与共面， 得到，则为等边三角形，. 如图，当、、三点共线时，取最小值. 因为，， 所以， ，故选项D正确. 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数为纯虚数，则实数的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算复数，由复数为纯虚数，即实部为零即可求解. 【详解】由，所以， 因为复数为纯虚数，所以，即. 故答案为：. 13. 平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，以为基底表示出，根据向量数量积的运算律可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数值域求法可求得结果. 【详解】设， ，， ， 当时，；当时，； 的取值范围为. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件底面面积最大时得到高的范围，再根据得到，利用单调性可求得最值. 【详解】，，故底面三角形外接圆半径为， ，， 当时等号成立， 由，，， 当离平面最远时，外接球表面积最小，此时，在平面的投影为中点， 设球心为，则在上，故，化简得到， 注意到函数在上单调递增，故， 所以． 故答案为：. 【点睛】本题考查了求内接几何体的问题，球的表面积最小的问题，要有好的空间想象力，属于中档题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 2021年4月6日，我国发表了《人类减贫的中国实践》白皮书，白皮书提到占世界人口近五分之一的中国全面消除绝对贫困，提前10年实现减贫目标．为帮助村民巩固脱贫成果，某村委会积极引导村民种植一种名贵中药材，并成立药材加工厂对该药材进行切片加工，包装成袋出售．已知这种袋装中药的质量以某项指标值为衡量标准，值越大，质量越好，该质量指标值的等级及出厂价如下表所示： 质量指标值 等级 三有 二级 一级 优级 出厂价（元/袋） 100 120 150 190 该药材加工厂为了解生产这种袋装中药的经济效益，从所生产的这种袋装中药中随机抽取了1000袋，测量了每袋中药成品的值，得到如图所示的频率分布直方图． （1）视频率为概率，求该药材加工厂所生产的袋装中药成品的质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； （2）现将该种袋装中药放在某药店出售，在某天进店的甲、乙、丙3位顾客中，购买此款袋装中药的概率分别为，，，且三人是否购买互不影响，试求这3人中恰有2人购买此款袋装中药的概率； 【答案】（1）71 （2） 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图中平均数的计算公式计算可得； (2)根据相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算可得； 【小问1详解】 平均数为， 故可以估计该中药加工厂生产的袋装中药的质量指标值的平均数为71． 【小问2详解】 这3人中恰有2人购买此款袋装中药的概率为：． 16. 如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． （1）试用向量表示向量； （2）试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果； （2）证得，即可得出结论. 【小问1详解】 因为， 而， 又D为的中点，所以， 所以 ． 【小问2详解】 因为， ， 所以， ，所以． 所以四点共面． 17. 如图，在四棱锥中，平面，且四边形是正方形，，，分别是棱，，中点． （1）求证：平面； （2）若，求点到平面距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接DE，推导四边形BEDF是平行四边形，从而得到，再得到，从而平面BFG，平面BFG，进而得到平面平面BFG，因此得证平面； （2）由平面，，可得平面ABCD，作，垂足为M，则，进而得到平面BFG，即的长是点C到平面BFG的距离，再利用等面积法求解即可. 【小问1详解】 连接， ∵是正方形，，分别是棱，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵是的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面，平面， ∵，直线在平面内， ∴平面平面，∵平面， ∴平面． 【小问2详解】 ∵平面，， ∴平面， 过C在平面内，作，垂足为，则， ∵，又直线FG，BF在平面内， ∴平面， ∴的长是点C到平面的距离， ∵中，， ∴由等面积可得， ∴点C到平面的距离为. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足，. （1）求B； （2）若D为线段BC上一点，且满足，，求CD的长； （3）若为锐角三角形，求面积的范围. 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边，利用余弦定理可求答案； （2）利用三角形的特征求出角，利用余弦定理可求答案； （3）利用正弦定理表示，写成面积表达式，结合角的范围可求答案. 【小问1详解】 由题可得， ∴，∵，∴. 【小问2详解】 D为线段BC上一点，且满足，， ∴为等边三角形， ∴. 设，在中，， 即， 整理得：，解得或（舍），即. 【小问3详解】 在△ABC中，，由正弦定理得： ， 于是得. 因为是锐角三角形，则，且， 于是有，则，即，， 从而得， 所以△ABC面积的取值范围是. 19. 如图，在直三棱柱中，侧棱，，且分别为, 的中点. （1）证明：平面； （2）若. （i）求和的长； （ii）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证平面平面，由面面平行的性质定理可得平面. （2）（i）由等腰三角形三线合一的性质可得结果. （ii）作，，由面面平行得二面角的大小即为二面角的大小，找到二面角的平面角，通过正切值计算可得结果. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接. ∵为的中点，且侧面为矩形，∴. ∵平面，平面，∴平面. ∵为的中点，∴是的中位线，故. ∵平面，平面，∴平面. ∵，且平面，∴平面平面. ∵平面，∴平面. 【小问2详解】 （i）∵，且， ∴，且， 故，. （ii）如图，过点作于，过作于点，连接， 由（1）知平面平面， ∴二面角的大小即为二面角的大小. 在直三棱柱中，侧面底面，侧面底面，平面，且， ∴平面. ∵平面，平面，∴，. ∵，，平面，∴平面. ∵平面，∴， ∴为二面角的平面角. ∵，， ∴在中，，∴， ∴二面角的大小为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高一下期06月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，为虚数单位，则（ ） A B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 3. 已知向量．若与平行，则实数λ的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（ ） A. 至少有2个红球 B. 至少有2个黄球 C. 都是黄球 D. 至多2个红球 5. 如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（ ） A 4 B. 2 C. D. 8. 在平面四边形ABCD中，，将沿AC折起，使点到达点的位置，且三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 有下列四个命题，其中不正确的命题有（ ） A. 已知，，， 是空间任意四点，则 B. 若两个非零向量 与 满足 ，则 C. 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D. 对于空间的任意一点 和不共线的三点，，，若 ，则，，， 四点共面 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则符合条件的有两个 11. 如图，为圆锥底面圆直径，点是圆上异于、的动点，，则下列结论正确的是（    ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数为纯虚数，则实数的值为_____________． 13. 平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是______． 14. 在三棱锥中，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 2021年4月6日，我国发表了《人类减贫的中国实践》白皮书，白皮书提到占世界人口近五分之一的中国全面消除绝对贫困，提前10年实现减贫目标．为帮助村民巩固脱贫成果，某村委会积极引导村民种植一种名贵中药材，并成立药材加工厂对该药材进行切片加工，包装成袋出售．已知这种袋装中药的质量以某项指标值为衡量标准，值越大，质量越好，该质量指标值的等级及出厂价如下表所示： 质量指标值 等级 三有 二级 一级 优级 出厂价（元/袋） 100 120 150 190 该药材加工厂为了解生产这种袋装中药的经济效益，从所生产的这种袋装中药中随机抽取了1000袋，测量了每袋中药成品的值，得到如图所示的频率分布直方图． （1）视频率为概率，求该药材加工厂所生产袋装中药成品的质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； （2）现将该种袋装中药放在某药店出售，在某天进店的甲、乙、丙3位顾客中，购买此款袋装中药的概率分别为，，，且三人是否购买互不影响，试求这3人中恰有2人购买此款袋装中药的概率； 16. 如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． （1）试用向量表示向量； （2）试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 17. 如图，在四棱锥中，平面，且四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求点到平面的距离. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足，. （1）求B； （2）若D为线段BC上一点，且满足，，求CD的长； （3）若为锐角三角形，求面积的范围. 19. 如图，在直三棱柱中，侧棱，，且分别为, 的中点. （1）证明：平面； （2）若. （i）求和的长； （ii）求二面角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$