高一入学成效检测卷 (A)-【初高中·衔接直通车】2025年初升高数学衔接直通车

高一入学成效检测卷(A) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M∪N＝(　　) A.{x|－1≤x<1} B.{x|x>－3} C.{x|－3<x<4} D.{x|x<4} 2.设集合A＝{x|x≤ }，a＝，那么(　　) A.aA B.a∉A C.{a}∉A D.{a}A 3.下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)且为偶函数是(　　) A.y＝x B.y＝x4 C.y＝x－1 D.y＝x3 4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A.p和q都是真命题 B.綈p和q都是真命题 C.p和綈q都是真命题 D.綈p和綈q都是真命题 5.不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a，c的值为(　　) A.a＝6，c＝1 B.a＝－6，c＝－1 C.a＝1，c＝1 D.a＝－1，c＝－6 6.已知f(x)是一次函数，且f(x－1)＝3x－5，则f(x)的解析式为(　　) A.f(x)＝3x＋2 B.f(x)＝3x－2 C.f(x)＝2x＋3 D.f(x)＝2x－3 7.中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译作“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合M＝，N＝，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是(　　) A.y＝2x B.y＝x＋2 C.y＝2 D.y＝x2－1 8.若函数f(x)对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，1]上是减函数，则(　　) A.f<f(－1)<f(2) B.f(－1)<f<f(2) C.f(2)<f(－1)<f D.f(2)<f<f(－1) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是(　　) A.很小的实数可以构成集合 B.集合{x|y＝x2－1}与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合 C.由1，，，，0.5这些数组成的集合有4个元素 D.集合{(x，y)|xy<0，x，y∈R}是指第二或第四象限内的点集 10.以下四个命题中正确的是(　　) A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 B.“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件 C.“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件 D.设a，b∈R，且ab≠0，若<1，则>1 11.狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人，并且是有意识地“以概念代替直觉”的人.在狄利克雷之前，数学家们主要研究具体函数，进行具体计算，他们不大考虑抽象问题，但狄利克雷之后，人们开始考虑函数的各种性质，例如奇偶性、单调性、周期性等.1837年，狄利克雷拓广了函数概念，提出了自变量x与另一个变量y之间的现代观念的对应关系，并举出了一个著名的函数——狄利克雷函数：D(x)＝下列说法正确的有(　　) A.D＝D(x) B.D＝D(x) C.D(x)＝D D.D(x)的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，则f(1)的值为________. 13.(2024·上海卷)已知f(x)＝x3＋a，且f(x)是奇函数，则a＝________. 14.已知集合A＝，B＝{x|x2－2x－m<0}，若A∩B＝{x|－1<x<4}，则实数m的值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}. (1)分别求∁R(A∩B)，(∁RB)∪A； (2)已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值范围. 16.(15分)已知实数x>0，y>0，且2xy＝x＋y＋a. (1)当a＝0时，求2x＋4y的最小值； (2)当a＝时，求x＋y的最小值. 17.(15分)关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解为. (1)求a，b的值； (2)求关于x的不等式≥0的解集. 18.(17分)已知f(x)是定义在D上的函数，对任意的x∈D，存在常数M>0，使得f(x)≤M恒成立，则称f(x)是在D上的限定值为M的受限函数. (1)若函数f(x)＝x＋5是在(－∞，5]上的限定值为M的受限函数，求M的取值范围； (2)若函数g(x)＝x2－4x＋3是在[1，m]上的限定值为3的受限函数，求m的最大值. 19.(17分)现有如下内容： 例：求x3－3x，x∈的最小值. 解：由平均值不等式：当a，b，c∈时，a＋b＋c≥3恒成立，当且仅当a＝b＝c时等号成立，得到x3＋1＋1≥3x， 于是x3－3x＝x3＋1＋1－3x－2≥3x－3x－2＝－2，当且仅当x＝1时等号成立； 所以当且仅当x＝1时，x3－3x取到最小值－2. (1)请你模仿上面例题，研究x4－4x，x∈的最小值； (2)研究x3－3x，x∈的最小值； (3)求当a>0时，x3－ax，x∈的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一入学成效检测卷(A) 1.C　由集合的并运算，得M∪N＝{x|－3<x<4}. 2.D　因为A是集合，a是元素，两者的关系应是属于与否的关系.{a}与A是包含与否的关系，所以选项A，C显然不对.而<，所以a是A的一个元素，{a}是A的一个子集，故选D. 3.B　选项A中y＝x＝是非奇非偶的函数，选项C中y＝x－1是奇函数，对于选项D中y＝x3也是奇函数，均不满足题意；选项B中y＝x4是偶函数，且过点(0，0)，(1，1)，满足题意. 4.B　解法一　因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以綈p为真命题.因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以綈q为假命题，所以綈p和q都是真命题，故选B. 解法二　(特殊值法)在命题p中，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以命题p为假命题，綈p为真命题.在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0，1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，綈q为假命题，所以綈p和q都是真命题，故选B. 5.B　由已知得a<0，且，为方程ax2＋5x＋c＝0的两根，故＋＝－，×＝，解得a＝－6，c＝－1. 6.B　设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 所以f(x－1)＝k(x－1)＋b＝3x－5， 即kx－k＋b＝3x－5， 所以解得k＝3，b＝－2， 所以f(x)＝3x－2. 7.C　对于A，当x＝－1时，y＝－2∉N，故A错误； 对于B，当x＝1时，y＝1＋2＝3∉N，故B错误； 对于C，当x＝－1时，y＝2＝2∈N， 当x＝1时，y＝2＝2∈N， 当x＝2时，y＝2＝4∈N， 当x＝4时，y＝2＝16∈N， 即任取x∈M，总有y＝2∈N，故C正确； 对于D，当x＝－1时，y＝2－1＝0∉N，故D错误. 故选C. 8.B　因为函数f(x)对于任意实数x总有 f(－x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2)， 因为f(x)在区间(－∞，1]上是减函数且－2<－<－1，所以f(－1)<f<f(－2).即f(－1)<f<f(2). 9.CD　A很小的实数标准不确定，故不能构成集合；对于B，其中第一个集合是数集，第二个集合是点集，故不是同一集合.对于C，因为＝＝0.5，故这些数组成的集合有4个元素.对于D，因为xy<0，故点(x，y)是第二或第四象限内的点.综上，C，D正确. 10.BC　A.由2>－3⇒/ 22>(－3)2知，该命题为假命题. B.a2>b2⇒|a|2>|b|2⇒|a|>|b|，该命题为真命题. C.a>b⇒a＋c>b＋c，又a＋c>b＋c⇒a>b；“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件为真命题. D.可举反例：如a，b异号，虽然<1，但<0. 11.AC　因为D(x)＝ 对于A：若x∈Q，则x＋1∈Q， 则D＝D(x)＝1， 若x∈∁RQ，则x＋1∈∁RQ， 则D＝D(x)＝0， 综上可得：D＝D(x)，故A正确； 对于B：若x∈∁RQ，则D(x)＝0∈Q， 所以D＝D(0)＝1， 即D≠D(x)，故B错误； 对于C：若x∈Q，则－x∈Q， 则D(x)＝D＝1， 若x∈∁RQ，则－x∈∁RQ， 则D(x)＝D＝0， 综上可得：D(x)＝D，故C正确； 对于D：因为D(x)＝ 所以D(x)的值域为，故D错误； 故选AC. 12.解析：由f(2x＋1)＝3x＋2， 得f(1)＝f(2×0＋1)＝3×0＋2＝2. 答案：2 13.解析：解法一　因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即(－x)3＋a＝－(x3＋a)，得a＝0. 解法二　因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝a＝0. 经检验，a＝0符合题意. 答案：0 14.解析：由≥1，得≤0， 所以－1<x≤5，所以A＝{x|－1<x≤5}. 因为B＝{x|x2－2x－m<0}， A∩B＝{x|－1<x<4}， 所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8. 此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数m的值为8. 答案：8 15.解：(1)因为A∩B＝{x|3≤x<6}， 所以∁R(A∩B)＝{x|x<3或x≥6}. 因为∁RB＝{x|x≤2或x≥9}，所以(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}. (2)因为C⊆B，所以 所以2≤a≤8，即实数a的取值范围为2≤a≤8. 16.解：(1)当a＝0时，2xy＝x＋y， ∴＋＝2，∴2x＋4y＝×＝≥＝3＋2，当且仅当＝且＋＝2，即y＝，x＝时等号成立，此时2x＋4y取得最小值3＋2. (2)当a＝时，2xy＝x＋y＋＝x＋y＋(x＋y)2－xy， ∴3xy＝x＋y＋(x＋y)2≤3×2，解得x＋y≥4， 当且仅当x＝y且2xy＝x＋y＋，即x＝y＝2时等号成立，故x＋y的最小值为4. 17.解：(1)∵x的不等式ax2＋bx＋2>0的解为，∴x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，且a<0， 由韦达定理可得 解得a＝－12，b＝－2. (2)∵a＝－12，b＝－2. ∴不等式≥0即≥0， 即≤0，解得－≤x<2， 即不等式的解集为. 18.解：(1)函数f(x)＝x＋5在(－∞，5]上单调递增，f(x)max＝f(5)＝10，依题意，M≥10， 所以M的取值范围是[10，＋∞). (2)函数g(x)＝x2－4x＋3，g(1)＝0<3，m>1， 由函数g(x)是在[1，m]上的限定值为3的受限函数，得g(m)≤3，即m2－4m≤0， 解得0≤m≤4，因此1<m≤4， 所以m的最大值为4. 19.解：(1)由平均值不等式：当a，b，c，d∈时，a＋b＋c＋d≥4恒成立，当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立，得到x4＋1＋1＋1≥4x， 于是，当x≥0时，x4－4x＝x4＋1＋1＋1－4x－3≥4－4x－3＝－3， 当且仅当x＝1时，等号成立， 故x4－4x，x∈的最小值为－3. (2)由平均值不等式：当a，b，c∈时，a＋b＋c≥3恒成立，当且仅当a＝b＝c时等号成立，得到x3＋27＋27≥3＝27x， 当且仅当x3＝27，即当x＝3时，等号成立， 所以，当x≥0时，x3－3x＝＝≥(27x－27x－54)＝－6， 所以x3－3x，x∈的最小值为－6. (3)当a>0且x≥0时，令t>0，则x3＋t＋t≥3＝3x， 令3x＝ax，可得t＝＝， 所以，当a>0且x≥0时，x3－ax＝x3＋t＋t－ax－2t≥3x－ax－2t＝－2t＝－， 所以，当a>0时，x3－ax，x∈的最小值为－. 学科网（北京）股份有限公司 $$